《變化率與導(dǎo)數(shù)》3(新人教A版選修1-1)

1、3.1 變化率與導(dǎo)數(shù)教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo) 了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵 教學(xué)重點(diǎn)：教學(xué)重點(diǎn)： 導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵變化率問題變化率問題34( )3V rr問題問題1 1 氣球膨脹率氣球膨脹率33()4Vr V2( )4.96.510h ttt 問題問題2 2 高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，運(yùn)動(dòng)員相對(duì)高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度是于水面的高度是引導(dǎo)：引導(dǎo)： 這一現(xiàn)象中，哪些量在改變？這一現(xiàn)象中，哪些量在改變？ 變量的變化情況？變量的變化情況？ 引入氣球平均膨脹率的概念引入氣球平均膨脹率的概念3343( )( )34VV rrr V當(dāng)空氣容量從增加時(shí)，半徑增加了當(dāng)空氣容

2、量從增加時(shí)，半徑增加了 r(1)r(1)r(0)= 0.62 r(0)= 0.62 當(dāng)空氣容量從加時(shí)，半徑增加了當(dāng)空氣容量從加時(shí)，半徑增加了 r(r() )r(r()= 0.)= 0. 探究活動(dòng)探究活動(dòng) 氣球的平均膨脹率是一個(gè)特殊的情況，氣球的平均膨脹率是一個(gè)特殊的情況，我們把這一思路延伸到函數(shù)上，歸納一下得我們把這一思路延伸到函數(shù)上，歸納一下得出函數(shù)的平均變化率出函數(shù)的平均變化率21212121()()()()r Vr VfxfxVVxx設(shè)某個(gè)變量設(shè)某個(gè)變量 f f 隨隨 x x 的變化而變化，的變化而變化，0limxfx 0()( )limxf xxf xx 從從 x x 經(jīng)過經(jīng)過 x x

3、 ， 量量 f f 的改變量為的改變量為()()ffxxfx 量量 f f 的平均變化率為的平均變化率為()( )ffxxfxxx 0 xfx 令， 則得到 在 的（瞬時(shí)）變化率：平均速度反映了汽車在前平均速度反映了汽車在前10秒內(nèi)的快慢程度，為了了秒內(nèi)的快慢程度，為了了解汽車的性能，還需要知道汽車在某一時(shí)刻的速度解汽車的性能，還需要知道汽車在某一時(shí)刻的速度瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度2 瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度 平均速度的概念平均速度的概念這段時(shí)間內(nèi)汽車的平均速度為這段時(shí)間內(nèi)汽車的平均速度為 )/(5410150hkmtsv 所所有有的的時(shí)時(shí)間間經(jīng)經(jīng)過過的的路路程程 已知物體作變速直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為已知物體

4、作變速直線運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為ss(t)(表示位移，表示位移，t 表示時(shí)間表示時(shí)間)，求物體在，求物體在 t0 時(shí)刻的速度時(shí)刻的速度 如圖設(shè)該物體在時(shí)刻如圖設(shè)該物體在時(shí)刻t0的位置是的位置是(t0)OA0，在時(shí)刻，在時(shí)刻t0 + t 的位置是的位置是s(t0+ t) OA1，則從，則從 t0 到到 t0 + t 這段時(shí)間內(nèi)，物體這段時(shí)間內(nèi)，物體的的 位移是位移是 )()(0001tsttsOAOAs 在時(shí)間段在時(shí)間段( t0+ t) t0 = t 內(nèi)，物體的平均速度為內(nèi)，物體的平均速度為:tsttttsttsv 0000)()( 要精確地描述非勻速直線運(yùn)動(dòng)，就要知道物要精確地描述非勻速直線運(yùn)動(dòng)，

5、就要知道物體在每一時(shí)刻運(yùn)動(dòng)的快慢程度如果物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)體在每一時(shí)刻運(yùn)動(dòng)的快慢程度如果物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是律是 s =s(t )，那么物體在時(shí)刻，那么物體在時(shí)刻t 的的瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度v，就是，就是物體在物體在t 到到 t+ t 這段時(shí)間內(nèi)，當(dāng)這段時(shí)間內(nèi)，當(dāng) t0 時(shí)平均速度時(shí)平均速度的極限即的極限即vttsttstsvt )()(lim0 例例 物體作自由落體運(yùn)動(dòng)，物體作自由落體運(yùn)動(dòng)， 運(yùn)動(dòng)方程為：運(yùn)動(dòng)方程為： ，其中位移，其中位移 單 位 是單 位 是 m ， 時(shí) 間 單 位 是， 時(shí) 間 單 位 是 s ，g=9.8m/s2 求 ：求 ： ( 1 ) 物 體 在 時(shí) 間 區(qū) 間物 體 在 時(shí) 間

6、 區(qū) 間 2，2.1上的平均速度；上的平均速度； (2) 物體在時(shí)間區(qū)間物體在時(shí)間區(qū)間2，2.01上的平均速度；上的平均速度； (3) 物體在物體在t =2時(shí)的瞬時(shí)速度時(shí)的瞬時(shí)速度. .221gts s ss(2+t)Os(2)tggtsv 212 (1) 將將 t=0.1代入上式，得代入上式，得 )/(09.2005. 2smgv (2) 將將 t=0.01代入上式，得代入上式，得)/(65.19005. 2smgv 平均速度平均速度 的極限為的極限為: :v, 0t 22 t ( 3) 當(dāng)當(dāng))/(6 .192limlim00smgtsvvtt 當(dāng)時(shí)間間隔當(dāng)時(shí)間間隔 t 逐漸變小時(shí)逐漸變小時(shí)

7、,平均速度平均速度 就越接近就越接近t0=2(s) 時(shí)的時(shí)的瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度v=19.6(m/s) 即物體在時(shí)刻即物體在時(shí)刻t0=2(s)的的瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度等于等于19.6(m/s).v 要精確地描述非勻速直線運(yùn)動(dòng)，就要知道物要精確地描述非勻速直線運(yùn)動(dòng)，就要知道物體在每一時(shí)刻運(yùn)動(dòng)的快慢程度如果物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)體在每一時(shí)刻運(yùn)動(dòng)的快慢程度如果物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是律是 s =s(t )，那么物體在時(shí)刻，那么物體在時(shí)刻t 的的瞬時(shí)速度瞬時(shí)速度v，就是，就是物體在物體在t 到到 t+ t 這段時(shí)間內(nèi)，當(dāng)這段時(shí)間內(nèi)，當(dāng) t0 時(shí)平均速度時(shí)平均速度的極限即的極限即vttsttstsvt )()(lim0 瞬時(shí)速度

8、瞬時(shí)速度2( )4.96.510h ttt 高臺(tái)跳水高臺(tái)跳水v vtt-0.1-12.610.1-13.59-0.01-13.0510.01-13.149-0.001-13.09510.001-13.1049-0.0001-13.0099510.0001-13.10049-0.00001-13.0999510.00001 -13.1000492( )4.96.510h ttt 高臺(tái)跳水高臺(tái)跳水()( )hh tth tvtt 00(2)(2)(2)limlim (4.913.1)13.1tththvtt 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念00000()()()limlimxxf xxf xffxxx 一般地

9、，函數(shù)一般地，函數(shù) y y = =f f( (x x) ) 在點(diǎn)在點(diǎn)x x= =x x0 0處的瞬時(shí)變處的瞬時(shí)變化率是化率是0000()()limlimxxf xxf xfxx ox xy0()fx我們稱它為函數(shù)我們稱它為函數(shù) y = f (x)在點(diǎn)在點(diǎn)x x= =x x0 0處的導(dǎo)數(shù)，處的導(dǎo)數(shù)，記為記為 或或，即，即導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念的概念也可記作也可記作ox xy 若這個(gè)若這個(gè)極極限不存在限不存在，則，則稱在點(diǎn)稱在點(diǎn)x x0 0 處處不不可導(dǎo)可導(dǎo)。 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) y y = = f f( (x x) ) 在點(diǎn)在點(diǎn) x x= =x x0 0 的附近有定義，當(dāng)自變量的附近有定義，當(dāng)自變量 x x

10、在在 x x0 0 處取得增量處取得增量 x x ( ( 點(diǎn)點(diǎn) x x0 0 + +x x 仍在該定義內(nèi)）時(shí)，仍在該定義內(nèi)）時(shí)， 相相應(yīng)地函數(shù)應(yīng)地函數(shù) y y 取得增量取得增量 y y = = f f ( (x x0 0 + +x x) )- f - f ( (x x0 0 ) )，若，若y y與與x x之比當(dāng)之比當(dāng) x x00的極限存在，則稱函數(shù)的極限存在，則稱函數(shù) y y = = f f( (x x) )在點(diǎn)在點(diǎn) x x0 0 處處可導(dǎo)可導(dǎo) ，并稱這個(gè)并稱這個(gè)極限極限為函數(shù)為函數(shù) y y = = f f( (x x) )在點(diǎn)在點(diǎn) x x0 0 處的處的導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)， 記為記為 。0()fx0

11、0000()()()limlimxxf xxf xyfxxx 即即00( )( ),V tS t0()Kfx切說明：說明：)(xf0 x0 xxyxy0 x（1）函數(shù)）函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)處可導(dǎo)，是指處可導(dǎo)，是指時(shí)，時(shí)，有極限如果有極限如果不存在極限，就說函數(shù)在不存在極限，就說函數(shù)在處不可導(dǎo)，或說無導(dǎo)數(shù)處不可導(dǎo)，或說無導(dǎo)數(shù)點(diǎn)點(diǎn)x是自變量是自變量x在在0 x處的改變量，處的改變量，0 x，而，而y是函數(shù)值的改變量，可以是零是函數(shù)值的改變量，可以是零 （2）)(xfy 0 x由導(dǎo)數(shù)的定義可知，求函數(shù)由導(dǎo)數(shù)的定義可知，求函數(shù)在在處的處的導(dǎo)數(shù)的步驟導(dǎo)數(shù)的步驟:00()()ff xxf x （1）求函數(shù)的增量）

12、求函數(shù)的增量:；00()()f xxf xfxx（2）求平均變化率）求平均變化率:；00()limxffxx （3）取極限，得導(dǎo)數(shù)）取極限，得導(dǎo)數(shù):00( )( ),V tS t0()Kfx切例、將原油精練為汽油、柴油、塑膠等各種不同例、將原油精練為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱。如果第產(chǎn)品，需要對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱。如果第時(shí)，原油的溫度（單位：時(shí)，原油的溫度（單位：）為）為xh2( )715(08).fxxxx計(jì)算第計(jì)算第2 h和第和第6 h，原油溫度的瞬時(shí)變化率，原油溫度的瞬時(shí)變化率，并說明它們的意義。并說明它們的意義。例例:高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中，高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)中， 秒秒

13、 時(shí)運(yùn)動(dòng)員相時(shí)運(yùn)動(dòng)員相對(duì)于水面的高度是對(duì)于水面的高度是 （單位：（單位： ），求運(yùn)動(dòng)員在），求運(yùn)動(dòng)員在 時(shí)的瞬時(shí)時(shí)的瞬時(shí)速度，并解釋此時(shí)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)速度，并解釋此時(shí)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài);在在 呢呢? t)(s105 . 69 . 4)(2ttthst1mst5 . 00limt6 . 1)5 . 0(/hst1ththth) 1 ()1 (ttt1015 . 619 . 410) 1(5 . 6) 1(9 . 4223 . 39 . 4t3 . 3同理，同理， thh1/運(yùn)動(dòng)員在時(shí)的瞬時(shí)速度為運(yùn)動(dòng)員在時(shí)的瞬時(shí)速度為 ，3 . 3) 1 (/hst1sm/3 . 3st5 . 0smh/6 . 1)5 .

14、0(/sm/6 . 1上升上升下落下落這說明運(yùn)動(dòng)員在附近，正以大約這說明運(yùn)動(dòng)員在附近，正以大約 的速率的速率 。3 . 39 . 4t)(lim0t 3 . 31/hst5 . 0sm/)(xfxxfxxf)(00你能借助函數(shù)的圖象說說平均變化率你能借助函數(shù)的圖象說說平均變化率表示什么嗎？請?jiān)诤瘮?shù)表示什么嗎？請?jiān)诤瘮?shù)圖象中畫出來圖象中畫出來0 x割線割線AB的的變化情況的的變化情況在在的過程中，的過程中，請?jiān)诤瘮?shù)圖象中畫出來請?jiān)诤瘮?shù)圖象中畫出來你能描述一下嗎？你能描述一下嗎？3.1.1 3.1.1 導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義00()( )nnnf xf xkxxPxy00 x( )yf xT

15、nxPxyo0 x( )yf xT0000( )()( )(,()yf xxfxyf xM xf x函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)在幾何上表示曲線在點(diǎn)處的切線的斜率。0000()()lim()xf xxf xkxfx 00( )(,()yf xMxf x曲線在點(diǎn)處000()()yyfxxx的切線方程為的切線方程為0tan()PTkfx即即 圓的切線定義并不適圓的切線定義并不適用于一般的曲線。用于一般的曲線。 通過通過逼近逼近的方法，將的方法，將割線趨于的確定位置的割線趨于的確定位置的直線直線定義為切線定義為切線（交點(diǎn)（交點(diǎn)可能不惟一）可能不惟一）適用于各適用于各種曲線。所以，這種定種曲線。所以，這種定義才真

16、正反映了切線的義才真正反映了切線的直觀本質(zhì)。直觀本質(zhì)。 2l1lxyABCPPP 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，在點(diǎn)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，在點(diǎn)P附近，曲線可以附近，曲線可以用在點(diǎn)用在點(diǎn)P處的切線近似代替處的切線近似代替 。 大多數(shù)大多數(shù)函數(shù)曲線函數(shù)曲線就就一小范圍一小范圍來看，大致可來看，大致可看作看作直線，直線，所以，所以，某點(diǎn)附近的曲線可以用過此某點(diǎn)附近的曲線可以用過此點(diǎn)的切線近似代替，即點(diǎn)的切線近似代替，即“以直代曲以直代曲” （以簡（以簡單的對(duì)象刻畫復(fù)雜的對(duì)象）單的對(duì)象刻畫復(fù)雜的對(duì)象） 1.在函數(shù)在函數(shù) 的的圖像上，圖像上，(1)用圖形來體現(xiàn)導(dǎo)數(shù)用圖形來體現(xiàn)導(dǎo)數(shù) ， 的幾何意義的幾何意義. 105

17、 . 69 . 4)(2ttth3 . 3) 1 (/h6 . 1)5 . 0(/hh0 . 15 . 0Ot (2)請描述，比較曲線分別在請描述，比較曲線分別在 附近增（減）以及增（減）快慢的情況。附近增（減）以及增（減）快慢的情況。在在 附近呢？附近呢？ ,0t,1t2t,3t4thtO3t4t0t1t2t (2)請描述，比較曲線分別在請描述，比較曲線分別在 附近增（減）以及增（減）快慢的情況。附近增（減）以及增（減）快慢的情況。在在 附近呢？附近呢？ ,0t,1t2t,3t4t增（減增（減):增（減）增（減）快慢：快慢：=切線的斜率切線的斜率附近：附近：瞬時(shí)瞬時(shí)變化率變化率（正或負(fù)）（正

18、或負(fù)）即：瞬時(shí)變化率（導(dǎo)數(shù)）即：瞬時(shí)變化率（導(dǎo)數(shù)）（數(shù)形結(jié)合，以直代曲）（數(shù)形結(jié)合，以直代曲）畫切線畫切線即：導(dǎo)數(shù)即：導(dǎo)數(shù) 的絕多值的大小的絕多值的大小=切線斜率的絕對(duì)值的切線斜率的絕對(duì)值的 大小大小切線的傾斜程度切線的傾斜程度（陡峭程度）（陡峭程度）以簡單對(duì)象刻畫復(fù)雜的對(duì)象以簡單對(duì)象刻畫復(fù)雜的對(duì)象(2) 曲線在曲線在 時(shí)，切線平行于時(shí)，切線平行于x軸，曲線在軸，曲線在 附近比較平坦，幾乎沒有升降附近比較平坦，幾乎沒有升降 0t4t曲線在曲線在 處切線處切線 的斜率的斜率 0 在在 附近，曲線附近，曲線 ，函數(shù)在，函數(shù)在 附近單調(diào)附近單調(diào)0t,1t,1t2t如圖，切線如圖，切線 的傾斜程度大于

19、切線的的傾斜程度大于切線的傾斜程度，傾斜程度， 2t1t,3t大于大于上升上升遞增遞增2l1l3l4l3t4t上升上升這說明曲線在這說明曲線在 附近比在附近附近比在附近 得迅速得迅速2t,1l2l,3l4l0)(),(2/1/thth0)(),(4/3/thth,1t2t,3t4t遞減遞減下降下降小于小于下降下降,3t4t 2如圖表示人體血管中的藥物濃度如圖表示人體血管中的藥物濃度c=f(t)（單位：（單位：mg/ml）隨時(shí)間）隨時(shí)間t（單位：（單位：min） 變化的函數(shù)圖像，根據(jù)圖像，估計(jì)變化的函數(shù)圖像，根據(jù)圖像，估計(jì) t=0.2,0.4,0.6,0.8（min）時(shí)，血管中）時(shí)，血管中 藥物濃度的瞬時(shí)變化率，把數(shù)據(jù)用表格