函數(shù)的中值定理

1、現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第一頁，共14頁一、羅爾(Rolle)定理羅爾羅爾（R Rolleolle）定理）定理 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間 ,ba上連續(xù)上連續(xù), ,在開區(qū)間在開區(qū)間),(ba內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), ,且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值相等，即值相等，即)()(bfaf , ,那末在那末在),(ba內(nèi)至少有一點(diǎn)內(nèi)至少有一點(diǎn))(ba , ,使得函數(shù)使得函數(shù))(xf在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于零，在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于零， 即即0)( f)1()2()3(例如例如,32)(2 xxxf).1)(3( xx,3 , 1上連續(xù)上連續(xù)在在 ,)3 , 1(上可導(dǎo)上可導(dǎo)在在 , 0)3()1( ff且且)3 ,

2、 1(1( , 1 取取. 0)( f),1(2)( xxf現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二頁，共14頁點(diǎn)擊圖片任意處播放點(diǎn)擊圖片任意處播放暫停暫停物理解釋物理解釋: :變速直線運(yùn)動(dòng)在變速直線運(yùn)動(dòng)在折返點(diǎn)處折返點(diǎn)處,瞬時(shí)速瞬時(shí)速度等于零度等于零.幾何解釋幾何解釋: :ab1 2 xyo)(xfy .,水平的水平的在該點(diǎn)處的切線是在該點(diǎn)處的切線是點(diǎn)點(diǎn)上至少有一上至少有一在曲線弧在曲線弧CABC現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第三頁，共14頁證證.)1(mM 若若,)(連連續(xù)續(xù)在在baxf.mM 和和最最小小值值必必有有最最大大值值.)(Mxf 則則. 0)( xf由此得由此得),(ba . 0)( f都有都有.)2(mM 若若),

3、()(bfaf .取得取得最值不可能同時(shí)在端點(diǎn)最值不可能同時(shí)在端點(diǎn)),(afM 設(shè)設(shè).)(),(Mfba 使使內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)則則在在),()( fxf, 0)()( fxf現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第四頁，共14頁, 0 x若若; 0)()( xfxf則則有有, 0 x若若; 0)()( xfxf則則有有; 0)()(lim)(0 xfxffx; 0)()(lim)(0 xfxffx,)(存在存在 f).()( ff. 0)( f只只有有現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第五頁，共14頁注意注意:若羅爾定理的三個(gè)條件中有一個(gè)不滿足若羅爾定理的三個(gè)條件中有一個(gè)不滿足,其結(jié)其結(jié)論可能不成立論可能不成立.例如例如,;2

4、, 2, xxy,)0(2 , 2的的一一切切條條件件滿滿足足羅羅爾爾定定理理不不存存在在外外上上除除在在f . 0)(2-2 xf使使內(nèi)內(nèi)找找不不到到一一點(diǎn)點(diǎn)能能，但但在在區(qū)區(qū)間間;0, 01 , 0(,1 xxxy.1 , 0, xxy又例如又例如,現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第六頁，共14頁例例1 1.10155的的正正實(shí)實(shí)根根有有且且僅僅有有一一個(gè)個(gè)小小于于證證明明方方程程 xx證證, 15)(5 xxxf設(shè)設(shè),1 , 0)(連連續(xù)續(xù)在在則則xf. 3)1(, 1)0( ff且且由介值定理由介值定理. 0)(),1 , 0(00 xfx使使即為方程的小于即為方程的小于1的正實(shí)根的正實(shí)根.,),1 ,

5、0(011xxx 設(shè)另有設(shè)另有. 0)(1 xf使使,)(10件件之之間間滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條在在xxxf使使得得之之間間在在至至少少存存在在一一個(gè)個(gè)),(10 xx . 0)( f)1(5)(4 xxf但但)1 , 0( , 0 x矛盾矛盾,.為為唯唯一一實(shí)實(shí)根根現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第七頁，共14頁二、拉格朗日(Lagrange)中值定理拉格朗日拉格朗日（LagrangeLagrange）中值定理）中值定理 如果函數(shù)如果函數(shù) f(x)在在閉區(qū)間閉區(qū)間,ba上連續(xù)上連續(xù), ,在開區(qū)間在開區(qū)間),(ba內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), ,那末在那末在),(ba內(nèi)至少有一點(diǎn)內(nèi)至少有一點(diǎn))(ba ，使等式，使等式

6、 )()()(abfafbf 成立成立. .)1()2().()(:bfaf 去去掉掉了了與與羅羅爾爾定定理理相相比比條條件件中中注注意意).()()( fabafbf結(jié)結(jié)論論亦亦可可寫寫成成現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第八頁，共14頁ab1 2 xxoy)(xfy ABCDNM幾何解釋幾何解釋:.,ABCAB線平行于弦線平行于弦在該點(diǎn)處的切在該點(diǎn)處的切一點(diǎn)一點(diǎn)上至少有上至少有在曲線弧在曲線弧證證分析分析:).()(bfaf 條件中與羅爾定理相差條件中與羅爾定理相差弦弦AB方程為方程為).()()()(axabafbfafy ,)(ABxf減去弦減去弦曲線曲線., 兩兩端端點(diǎn)點(diǎn)的的函函數(shù)數(shù)值值相相等等所所得得

7、曲曲線線ba現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第九頁，共14頁作輔助函數(shù)作輔助函數(shù)).()()()()()(axabafbfafxfxF ,)(滿足羅爾定理的條件滿足羅爾定理的條件xF. 0)(,),( Fba使使得得內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)則則在在0)()()( abafbff即即).)()()(abfafbf 或或拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式注意注意: :拉氏公式精確地表達(dá)了函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的增量拉氏公式精確地表達(dá)了函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系.現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十頁，共14頁,),(,)(內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)在在上上連連續(xù)續(xù)，在在設(shè)設(shè)babax

8、f).10()()()(000 xxxfxfxxf則則有有),(,00baxxx ).10()(0 xxxfy也也可可寫寫成成.的的精精確確表表達(dá)達(dá)式式增增量量 y 拉格朗日中值定理又稱拉格朗日中值定理又稱有限增量定理有限增量定理.拉格朗日中值公式又稱拉格朗日中值公式又稱有限增量公式有限增量公式.微分中值定理微分中值定理推論推論.)(,)(上是一個(gè)常數(shù)上是一個(gè)常數(shù)在區(qū)間在區(qū)間那末那末上的導(dǎo)數(shù)恒為零上的導(dǎo)數(shù)恒為零在區(qū)間在區(qū)間如果函數(shù)如果函數(shù)IxfIxf現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十一頁，共14頁例例2 2).11(2arccosarcsin xxx證證明明證證1 , 1,arccosarcsin)( xxxxf設(shè)設(shè))11(11)(22xxxf . 0 1 , 1,)( xCxf0arccos0arcsin)0( f又又20 ,2 .2 C即即.2arccosarcsin xx現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十二頁，共14頁四、小結(jié)四、小結(jié)Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理)()(bfaf 羅爾定理、拉格朗日中值定理之