空間向量之--建立空間直角坐標系的方法及技巧

1、空間向量之-建立空間直角坐 標系的方法及技巧空間向量之 建立空間直角坐標系的方法及技巧一利用共頂點的互相垂直的二條棱構(gòu)建直角 坐標系例1 已知直四棱柱ABCDAiBiCiDi中，AAi =2,底面 ABCD是直角梯形，/ A為直角， AB/CD, AB = 4, AD = 2, DC = i,求異面直線 BCi與DC所成角的余弦值.解析：如圖i以D為坐標原點，分別以DA、DC、DDi所在直線為x、v、z軸建立空間直角坐標 系，則 Ci (0 , i, 2)、B (2, 4, 0),.ujuruur" BCi ( 2, 3,2) ) CD (0, i,0).少設(shè)黨與緒所成的角為， &q

2、uot;'fisT uuuu uuur ._k Jy則cos戰(zhàn)耦也.三I力BCi CD i7"、利用線面垂直關(guān)系構(gòu)建直角坐標系例2 如圖2,在三棱柱ABCAiBiCi中，AB.側(cè)面BBiCiC, E為棱CCi上異于C、Ci的一點, 2EAXEBi.已知 ab 艮 BBi = 2, BC=1, / BCCi求二面角A EBi Ai的平面角的正切值.3解析：如圖2,以B為原點，分別以BBi、BA 所在直線為y軸、z軸，過B點垂直于平面ABi的線為x軸建立空間直角坐標系.，在三棱柱ABC AiBiCi中，有B (0,0 )、A ( 0 , 0 ,金)、0-,0 2°)由于

3、 BC=i, BBi = 2, AB = &, /BCCiCi3 3,1,0 .2 2設(shè)Ega,0且1a22r _ Azt=r urn UULf由 EAX EBi ?得 EAgEB由已知有LEA. 2 g ,-2c3c.i3c一a(a2)a2a0. . a g a0. 422即a 2或a j (舍去).故E§,J。.LuuruuuuiLUurEBi)Bi AiEBi)故一面角 A EBi ,2 a ,02Ai的平面角的大小為向量舞與EA的夾角.ujuur uun 一 uu學2"2故cosuuu uuuinEA uuu EA,23,即tanB1A BA (0Q,J2)

4、 EA三、利用面面垂直關(guān)系構(gòu)建直角坐標系例3如圖3,在四棱錐V ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面 VAD是正三角形;即手面VAD，底面 ABCD .fB"(1)證明AB，平面VAD;Jjje/圖3(2)求面VAD與面VDB所成的二面角的余 弦值.解析：(1) WAD的中點O為原點，建立如圖 3所示的空間直角坐標系.設(shè) AD = 2,則 A (1, 0 , 0)、D (1, 0 , 0)、B (1, 2, 0)、V (0 , 0 ,百)，器=(0 , 2, 0) , VA= (1, 。，一石).uuu ULT由 ABgVA (0,2,0)g(1,0,正)0 ,得6ABXVA.又A

5、BLAD,從而AB與平面VAD內(nèi)兩條相 交直線VA、AD都垂直，ABL平面VAD;設(shè)E為DV的中點，則e Lo,更22 uuu3.3 uuu33 uur EA ,0, EB 2, DV(1,0,v3)22>22>t uuu uuu33- EBgDV,2,gi,0,J3) 0 ,2 27/.EBXDV.又EALDV,因此/ AEB是所求二面角的平面 角. uut uuu cos； EA,EBuur uuuEAutu-EA EB故所求二面角的余弦值為牛.四、利用正棱錐的中心與高所在直線構(gòu)建直角坐標系例4 已知正四棱錐V ABCD中，E為VC 中點，正四棱錐底面邊長為 2a,高為h.(1

6、)求/ DEB的余弦值；(2)若BEL VC,求/ DEB的余弦值.5解析：(1)如圖4,以V在平面AC的射影O為坐標原點建立空間直角坐標系Oy/AB,則由 AB = 2a, OV =C (-a a, 0) 、 D (-a) -a)a a hE ,一)一,其中 Ox/ BC,.uuuBE3 a,2uurDEa 3 h 一,一a,一2 2 2. uuu uur cos BE,DEuuu uuur BEgDE uuu 田ur BE DE6a2 h210a2 h2 ，即 cos/ DEB6a2 h2 .10a2 h2 ,2 2 2(2)因為E是VC的中點，又BEX VC,所以BE朧0,即立剎”,a,

7、 h) 0,c2, 20)3 2a ha 一 一222uuu uuur jX PJ cos BE,DE_ 226a h2210a h五、利用圖形中的對稱關(guān)系建立坐標系圖形中雖沒有明顯交于一點的三條直線， 但有一定 對稱關(guān)系(如正三棱柱、正四棱柱等)，利用自身6ABCD=4.對稱性可建立空間直角坐標系.例5已知兩個正四棱錐P與Q ABCD的高都為2, AB(1)證明：PQL平面ABCD;(2)求異面直線AQ與PB所成的角;(3)求點P到平面QAD的距離.(2)由題設(shè)知，ABCD是正方形，且ACLBD.由(1), PQ1_平面ABCD,故可分別以直線CA, DB, QP為x, y, z軸建立空間直角坐標系(如圖1),易得 uuur uuuuuir 廠 uuu 廠uuur uuuAQgPB1AQ( 2/,0,2),PB(0,22,2), cos AQ,PBuuirjuur-.AQ PB 3所求異面直線所成的角是1 arccos-.（3） 由（2） 知）點 D（0, 2厄0）熱（2R 272rQ）, PQ （0Q 4）.設(shè)n=(x,y,z)是平面QAD的一個法向量)則uuur ngAQ 0, uuur