空間向量之--建立空間直角坐標(biāo)系的方法及技巧

1、空間向量之-建立空間直角坐 標(biāo)系的方法及技巧空間向量之 建立空間直角坐標(biāo)系的方法及技巧一利用共頂點(diǎn)的互相垂直的二條棱構(gòu)建直角 坐標(biāo)系例1 已知直四棱柱ABCDAiBiCiDi中，AAi =2,底面 ABCD是直角梯形，/ A為直角， AB/CD, AB = 4, AD = 2, DC = i,求異面直線 BCi與DC所成角的余弦值.解析：如圖i以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA、DC、DDi所在直線為x、v、z軸建立空間直角坐標(biāo) 系，則 Ci (0 , i, 2)、B (2, 4, 0),.ujuruur" BCi ( 2, 3,2) ) CD (0, i,0).少設(shè)黨與緒所成的角為， &q

2、uot;'fisT uuuu uuur ._k Jy則cos戰(zhàn)耦也.三I力BCi CD i7"、利用線面垂直關(guān)系構(gòu)建直角坐標(biāo)系例2 如圖2,在三棱柱ABCAiBiCi中，AB.側(cè)面BBiCiC, E為棱CCi上異于C、Ci的一點(diǎn), 2EAXEBi.已知 ab 艮 BBi = 2, BC=1, / BCCi求二面角A EBi Ai的平面角的正切值.3解析：如圖2,以B為原點(diǎn)，分別以BBi、BA 所在直線為y軸、z軸，過(guò)B點(diǎn)垂直于平面ABi的線為x軸建立空間直角坐標(biāo)系.，在三棱柱ABC AiBiCi中，有B (0,0 )、A ( 0 , 0 ,金)、0-,0 2°)由于

3、 BC=i, BBi = 2, AB = &, /BCCiCi3 3,1,0 .2 2設(shè)Ega,0且1a22r _ Azt=r urn UULf由 EAX EBi ?得 EAgEB由已知有LEA. 2 g ,-2c3c.i3c一a(a2)a2a0. . a g a0. 422即a 2或a j (舍去).故E§,J。.LuuruuuuiLUurEBi)Bi AiEBi)故一面角 A EBi ,2 a ,02Ai的平面角的大小為向量舞與EA的夾角.ujuur uun 一 uu學(xué)2"2故cosuuu uuuinEA uuu EA,23,即tanB1A BA (0Q,J2)

4、 EA三、利用面面垂直關(guān)系構(gòu)建直角坐標(biāo)系例3如圖3,在四棱錐V ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)面 VAD是正三角形;即手面VAD，底面 ABCD .fB"(1)證明AB，平面VAD;Jjje/圖3(2)求面VAD與面VDB所成的二面角的余 弦值.解析：(1) WAD的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立如圖 3所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè) AD = 2,則 A (1, 0 , 0)、D (1, 0 , 0)、B (1, 2, 0)、V (0 , 0 ,百)，器=(0 , 2, 0) , VA= (1, 。，一石).uuu ULT由 ABgVA (0,2,0)g(1,0,正)0 ,得6ABXVA.又A

5、BLAD,從而AB與平面VAD內(nèi)兩條相 交直線VA、AD都垂直，ABL平面VAD;設(shè)E為DV的中點(diǎn)，則e Lo,更22 uuu3.3 uuu33 uur EA ,0, EB 2, DV(1,0,v3)22>22>t uuu uuu33- EBgDV,2,gi,0,J3) 0 ,2 27/.EBXDV.又EALDV,因此/ AEB是所求二面角的平面 角. uut uuu cos； EA,EBuur uuuEAutu-EA EB故所求二面角的余弦值為牛.四、利用正棱錐的中心與高所在直線構(gòu)建直角坐標(biāo)系例4 已知正四棱錐V ABCD中，E為VC 中點(diǎn)，正四棱錐底面邊長(zhǎng)為 2a,高為h.(1

6、)求/ DEB的余弦值；(2)若BEL VC,求/ DEB的余弦值.5解析：(1)如圖4,以V在平面AC的射影O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Oy/AB,則由 AB = 2a, OV =C (-a a, 0) 、 D (-a) -a)a a hE ,一)一,其中 Ox/ BC,.uuuBE3 a,2uurDEa 3 h 一,一a,一2 2 2. uuu uur cos BE,DEuuu uuur BEgDE uuu 田ur BE DE6a2 h210a2 h2 ，即 cos/ DEB6a2 h2 .10a2 h2 ,2 2 2(2)因?yàn)镋是VC的中點(diǎn)，又BEX VC,所以BE朧0,即立剎”,a,

7、 h) 0,c2, 20)3 2a ha 一 一222uuu uuur jX PJ cos BE,DE_ 226a h2210a h五、利用圖形中的對(duì)稱(chēng)關(guān)系建立坐標(biāo)系圖形中雖沒(méi)有明顯交于一點(diǎn)的三條直線， 但有一定 對(duì)稱(chēng)關(guān)系(如正三棱柱、正四棱柱等)，利用自身6ABCD=4.對(duì)稱(chēng)性可建立空間直角坐標(biāo)系.例5已知兩個(gè)正四棱錐P與Q ABCD的高都為2, AB(1)證明：PQL平面ABCD;(2)求異面直線AQ與PB所成的角;(3)求點(diǎn)P到平面QAD的距離.(2)由題設(shè)知，ABCD是正方形，且ACLBD.由(1), PQ1_平面ABCD,故可分別以直線CA, DB, QP為x, y, z軸建立空間直角坐標(biāo)系(如圖1),易得 uuur uuuuuir 廠 uuu 廠uuur uuuAQgPB1AQ( 2/,0,2),PB(0,22,2), cos AQ,PBuuirjuur-.AQ PB 3所求異面直線所成的角是1 arccos-.（3） 由（2） 知）點(diǎn) D（0, 2厄0）熱（2R 272rQ）, PQ （0Q 4）.設(shè)n=(x,y,z)是平面QAD的一個(gè)法向量)則uuur ngAQ 0, uuur