2020屆高三文科數(shù)學(xué)精準培優(yōu)專練：外接球(附解析)

1、2020屆高三文科數(shù)學(xué)精準培優(yōu)專練：外接球（附 解析）一、構(gòu)造正方體與長方體的外接球問題例1:已知直三棱柱 ABC - ABiCi的6個頂點都在球。的球面上，若AB = 3, AC = 4,AB _L AC , AA1 =12 ,則球O的半徑為（）A. 37 B . 2M C . 13 D . 3加22二、與正棱錐有關(guān)的外接球問題例2: 一個正三棱錐的四個頂點都在半徑為一個大圓上，1的球面上，其中底面的三個頂點在該球的則該正三棱錐的體積是（）A當B中。出12A 三、其他柱體、錐體的外接球問題例3:已知A, B是3O的球面上的兩點，NAOB=90", C為該球面上的動點，若三棱錐O -

2、 ABC體積的最大值為36,則球O的表面積為（）A 36 兀 B . 64 兀 C . 144 兀 D . 2567t,對點增分集訓(xùn)一、選擇題1. 一個四棱柱的底面是正方形，側(cè)棱與底面垂直，其長度為4,柱的各項點在一個球面上，則這個球的表面積是（）A. 16 兀 B . 20 兀 C . 24 兀 D . 32 九2. 一個幾何體的三視圖如圖所示， 其中主視圖和左視圖是腰長為 角三角形，主視圖 左視圖 俯視圖棱柱的體積為16,棱1的兩個全等的等腰直則幾何體的外接球的表面積為（）,則該三棱柱的外接球,若四面體ABCD體則此球的表面積為A. 3 兀 B . 4百氏 C . 12 兀 D . 12，

3、33. .直三棱柱 ABC AiBiCi 中，AB_LBC, AB=BC=AA=2 的表面積為（）A. 4兀B . 8九C . 12九D .四34 .點A, B,C, D在同一個球的球面上， AB = BC=AC=。 積的最大值為亞,則這個球的表面積為（）A詈冗B .曹C .篝D . 8冗5 . 一個正四面體的所有棱長都為 也,四個頂點在同一個球面上, （ ）A. 3 九 B . 4兀 C . 3j3 D . 6 九6.已知三棱錐P - ABC的四個頂點都在同一個球面上，底面 4ABC滿足BA = BC =施，/ B = 90 -若該三棱錐體積最大值為 3,則其外接球的表面積為（）A. 21

4、兀 B.32 n C.16 n D.16 幾7,已知四面體 ABCD 中，AB = AD = 6, AC = 4, CD=2TT3, AB_L平面 ACD ,則四面體ABCD外接球的表面積為（）A. 36 兀 B . 88 兀 C . 92 兀 D . 128 7t8 .已知A, B是球。的球面上兩點，NAOB = 60。C為該球面上的動點，若三棱錐O - ABC體積的最大值為18 J3 ,則球O的體積為（）A. 81 兀 B . 128 兀 C . 144 兀 D . 2887t9 .已知A, B, C, D是同一個球面上的四個點，其中 4ABC是正三角形，ADJ_平 面ABC , AD =

5、2AB = 6 ,則該球的表面積為（）A. 16 兀 B . 24 兀 C . 32J3 冗 D . 48 九10 .已知三棱錐P - ABC的所有頂點都在球。的球面上，PA_LAB, PA_LAC, /BAC=60口，PA=2, AB=2, AC=3,則球。的表面積為（）A.空汽B .雙京C .約支D 支汽 333311 .如圖，在四面體 P ABC中，PA=PB = PC = 4,點。是點P在平面ABC上 的投影，2，且tan/APO = -則四面體P - ABC的外接球的體積為（）A. 8褥冗B . 24兀C . 32曲冗 D . 48九12 .已知四面體 ABCD的外接球球心。恰好在棱

6、 AD上，且AB = BC=J2, AC = 2,DC =2向則這個四面體的體積為（）A 2 b 2V3 0 迪 d 5/33333二、填空題13 . 一個三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的外接球的表面積為俯褪由14 .已知點P, A, B, C, D是球O表面上的點，PA_L平面ABCD,四邊形ABCD 是邊長為2曲正方形，若PA =2娓,則ZXOAB的面積為.15 .在直三棱柱 ABCABiCi中，AB = 4, AC = 6, A =，AA1=4,則直三棱柱 3ABC -A1B1C1的外接球的表面積 .16 .已知某一多面體內(nèi)接于球構(gòu)成 -個簡單組合體，如果該組合體的正視圖、俯視圖、均

7、如圖所示，且圖中的四邊形是邊長為 2的正方形，則該球的表面積是 .外接球答案例1:【答案】C【解析】 AB _L AC , .直三棱柱ABC -A1B1C1的底面ABC為直角三角形，把直三棱柱 ABC - A B1c1補成長方體，32 42 12213則長方體的體對角線就是球 O的直徑，即球O的半徑為 4 = 13 .22例2:【答案】C【解析】二正三棱錐的四個頂點都在半徑為 1的球面上，且底面的三個頂點在該球的大 圓上，:球心是底面三角形的中心，球的半徑為1, 底面三角形的邊長為 J3,即該正三棱錐的體積為例3:【答案】C【解析】設(shè)球O的半徑為R ,則Saaob =1R2 , 2當OC，平面

8、AOB時，三棱錐O - ABC的體積最大,1 1 _2 _此時 V= -Mr2mr=36,解得 R = 6,3 2所以球O的表面積為$=4冗父62 =144 7t.、選擇題1 .【答案】C【解析】正四棱柱的高為4,體積為16,則底面面積為4,即底面正方形的邊長為 2, 正四棱柱的對角線長即球的直徑為2邪,即球的半徑為 褥，球的表面積為247t.2 .【答案】A【解析】把原來的幾何體補成以 DA , DC, DP為長、寬、高的長方體，原幾何體四棱錐與長方體是同一個外接球，2R=l =，12 +12+12 =叔 R =, S求=4 tR2 = 4冗父一=3九. 243 .【答案】C【解析】二.在直

9、三棱柱 ABCA1B1cl 中，AB_LBC, AB = BC = AA1 = 2 ,AB , BC , AA為棱構(gòu)造一個正方體，22 22 22- - , c 2則外接球的半徑 R = J3 ,故表面積為S = 4#2 = 12葭4 .【答案】B【解析】設(shè)4ABC的中心為E ,過點E作平面ABC的垂線l ,則有題意可知，點 D在直線l上，4ABC的面積為S=m J3m T3Msin60'=°V3 .24由體積的最大值可得 1 m S父DE =- 3 33 D DE = J3 ,則DE=4 .33 4由題意易知，外接球的球心在 DE上,設(shè)球心為點O ,半徑OD =OB = R

10、 . ABC的外接圓半徑滿足 -a-=2r17在 Rt/XOBE 中，OE2 +BE2 =OB2 ,即（4 R） +1 =R ,解得 R = 8，一.2289 289據(jù)此可得這個球的表面積為 S = 4tR2=4/£89 = £89冗.6416B5 .【答案】A【解析】如圖，將四面體補成正方體，則正方體的棱長是1,正方體的體對角線長為 73,即此球的半徑 R =,故球的表面積S=4而2=3冗.26 .【答案】D【解析】因為 ABC為等腰三角形，所以 AC為截面圓的直徑，ac = Jab2 +ac2=273,即該三棱錐的外接球的球心 O在截面ABC中的射影為AC的中點D ,當

11、P, O, D三點共線且P,。位于截面同一側(cè)時，三棱錐的體積最大，此時三棱錐 的高為PD,所以 1x1x76x76xPD=3 ,解得 PD =3 ,3 2設(shè)外接球的半徑為 R ,則OD =3 R , OC = R ,在 RtzXOCD 中，cd =1AC =J3,由勾股定理得(3 R)2+(J3)2 = R2,解得 R=2, 2所以外接球的表面積為 S = 4/< 22 = 16冗.7 .【答案】B【解析】在4ACD中，由AD = 6, AC=4, CD =2屈,可得 AD 2 + AC2 =CD 2 ,則 AC _L AD ,又 AB_L平面 ACD ,故 2R="42 +6

12、2 +62 =788 = 2722 ,則V =4 於(屬)2 =88 r.8 .【答案】D【解析】由題意可知 VCqAB =1(1R2sin603hE1(1R2sin60r)R=18J3, R=6, 3 23 243V< = tR 288 it -39 .【答案】C【解析】把A, B, C, D擴展為三棱錐，上下地面中心連線的中點與A的距離為球的半徑，AD=2AB=6, OE=3, ABC是正三角形，所以AE=|AB2 -(2 AB)2 =43, AO=j32 +(病2 =2出.所以球的體積為4父(2，3)3 =325 m10 .【答案】A【解析】設(shè) ABC外接圓半徑為r ,三棱錐外接球

13、半徑為 R,AB =2 , AC =3, NBAC=60> :BC2 = AB2 +AC2 -2AB AC cos60口 = 4 + 9-2父 2父3=7 ,即 BC ="2.2r_2jisin 603PA_L AB, PA_L AC ,. PA_L 平面 ABC ,則將三棱錐補成三棱柱可得,2/PA22R =() r =1221+910一,3即球。的表面積為S=4tR2 =4 =4°-3311 .【答案】A【解析】二.在四面體P ABC中，PA=PB = PC=4,點。是點P在平面ABC上的投影，且tan/APO =42PO4.632_3_6 八 4.3 .sin/

14、APO=，cos-APO =，: AO =,333由題意知四面體 P-ABC的外接球的球心O'在線段PO上,.oo2+ao2=ao；（竽-R）2+（竽）2 = r2,解得 r = 6四面體P - ABC的外接球的體積為8767t.12 .【答案】B【解析】 AB=BC=V2, AC=2, . AB2+BC2 = AC2 . AB _L BC , ： AABC外接圓的直徑為 AC ,球心。'為AC的中點.球心O恰好在側(cè)棱 DA上，：OO'_L面ABC ,又外接球球心O恰好在棱AD上，所以。為AD中點，所以AD/ BC .即 BC，面 ABC , DC =2& .

15、，1_則四面體的體積為S>A ABC3DC =11 2、. 2 2 3 =2 3二、填空題13 .【答案】29幾【解析】由三視圖可知該三棱錐為邊長為 2,3, 4的長方體切去四個小棱錐得到的幾何體,設(shè)該三棱錐的外接球半徑為R ,:2R 4 9 16 = .29 , . . R = -292外接球的表面積為 S = 4卡2 = 29兀.14 .【答案】3黎【解析】: ABCD是邊長為2J3正方形，PA_L平面ABCD, PA = 2，6.：PC2 =AP2+AC2 =24+24 = 48, ：2R = 4B R = OP=2«, SJAAOB =1黑2其區(qū)2點xsin60 = 3V3 .215 .【答案】竺°3【解析】由題的直三棱柱ABC-ABC1的外接球的球心就是直三棱柱上底面外接圓的圓心02和下底面外接圓的圓心01的連線0102的中點0 .在三角形ABC中，由余弦定理得BC2 =42 +62 2父4M6Mcos- = 28 , ： BC = 2J7.3,