必修2_直線與平面所成的角

1、1. 異面直線所成的角異面直線所成的角 直線直線a,ba,b是異面直線，經(jīng)過空間任意一是異面直線，經(jīng)過空間任意一點點o o，分別引直線，分別引直線a a1 1a, ba, b1 1b, b, 我們把我們把直線直線a a1 1和和b b1 1所成的所成的銳角（或直角）銳角（或直角）叫做叫做異異面直線面直線a a和和b b所成的角所成的角。一一. 復(fù)復(fù) 習習00900pO 自一點向平面引垂線，自一點向平面引垂線，叫做這點在這個平叫做這點在這個平面上的面上的； PAO 3、過斜線上、過斜線上斜足斜足A以外的一點以外的一點P向平面引垂線向平面引垂線PO，過垂，過垂足足O和斜足和斜足A的直線叫做的直線叫

2、做； 2、斜線和平面的交點、斜線和平面的交點A叫做叫做。 1、一條直線、一條直線PA和一個平面和一個平面 相交相交，但，但不和這個平不和這個平面垂直面垂直，這條直線，這條直線PA叫做這個平面叫做這個平面 的的 斜線在平面上的射影斜線在平面上的射影PAO 說明：說明：過斜線上斜足過斜線上斜足A以外的一點以外的一點P向平面引垂線向平面引垂線PO，過垂足和斜足的直線叫做，過垂足和斜足的直線叫做； 1 1、點、點P P的任意性，不與斜足的任意性，不與斜足A A重合即可重合即可2 2、射影是過垂足和斜足的、射影是過垂足和斜足的直線直線而不是線段而不是線段 斜線上任意一點斜線上任意一點在平面上的射影，一在

3、平面上的射影，一定在斜線的射影上。定在斜線的射影上。例例1：如圖：正方體如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，中，（1） AB1在平面在平面ABCD上的射影上的射影（2）AB1在平面在平面BB1C1C上的射影上的射影（3）AB1在在平平面面ADD1 上的射影上的射影A1D1C1B1ADCB直線直線AB直線直線BB1直線直線AA1o（4）AB1在平面在平面BB1D1D上的射影上的射影直線直線B1O1A 平面的一條平面的一條斜線斜線和它和它在平面上的在平面上的射影射影所成的所成的銳銳角角，叫做，叫做這條直線和這個這條直線和這個平面所成的角平面所成的角. 1、一條直線垂直于平面，它們、一條直線垂

4、直于平面，它們所成的角是直角所成的角是直角；2、一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，它們、一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，它們所成的角是所成的角是0 的角的角.特例規(guī)定：特例規(guī)定：二、平面的斜線和平面所成的角二、平面的斜線和平面所成的角1、斜線斜線與平面所成的角與平面所成的角的取值范圍是：的取值范圍是：9002、直線直線與平面所成的角與平面所成的角的取值范圍是：的取值范圍是： 900AGFEDCBH1、HC與平面與平面ABCD 所成的角為所成的角為_.2、BG與平面與平面ABCD所成的角為所成的角為_.4、EG與平面與平面ABCD所成的角為所成的角為_.練習練習:正方體正方體ABCDEFGH中中5

5、、EC與平面與平面ABCD所成的角的正切值為所成的角的正切值為_.3、EA與平面與平面ABCD所成的角為所成的角為_.454590022例例1:在正方體在正方體ABCD-A1B1C1D1中，中，求直線求直線A1B和平面和平面A1B1CD所成的角所成的角.AC1DCB1PB1A1D1PBA1 例2 如圖，在直角三角形ABD中.斜邊AB=5，它在平面上的射影BO=4，ABD=求AD與平面BDO所成角的正弦值A(chǔ) AB BC CO OD D060一一“作作”二二“證證”三三“求求”求直線和平面所成角的步驟求直線和平面所成角的步驟1.確定直線與平面的交點確定直線與平面的交點Q. PP1Q2.過直線上除過

6、直線上除Q外任意一點做平面的垂線外任意一點做平面的垂線,確定確定垂足和斜線段在平面內(nèi)的射影垂足和斜線段在平面內(nèi)的射影.斜線斜線和和射影射影所成所成的角就是斜線和平面所成的角的角就是斜線和平面所成的角.3.求解由求解由垂線垂線和和斜線段斜線段、射影射影組成的直角三角形組成的直角三角形. 關(guān)鍵：關(guān)鍵：確定斜線在平面內(nèi)的確定斜線在平面內(nèi)的射影射影.PAOl已知平面已知平面的斜線的斜線PAPA，過，過P P作作POPO垂直于平面垂直于平面，垂足為點垂足為點O. O. 平面平面內(nèi)有一條直線內(nèi)有一條直線l垂直嗎？與則、若PAlOAl,1繼續(xù)探究射影繼續(xù)探究射影垂直嗎？與則、若AlAlO,P2說明了什么？說

7、明了什么？PAOl四線一面四線一面1、平面內(nèi)的一條直線如果和這個平面的一條、平面內(nèi)的一條直線如果和這個平面的一條斜線的射影斜線的射影垂直，那么它也和這條垂直，那么它也和這條斜線斜線垂直垂直2、平面內(nèi)的一條直線如果和這個平面的一條、平面內(nèi)的一條直線如果和這個平面的一條斜線斜線垂直，那么它也和這條垂直，那么它也和這條斜線斜線的射影的射影垂直垂直例例1：如圖：正方體如圖：正方體ABCD-A1B1C1D1中，中，（1） 求證：求證：AC1BD（2）求證：求證：AC1 B1CA1D1C1B1ADCB典型：典型：四面體四面體P-ABC的頂點的頂點P在平面上的射影為在平面上的射影為O(1)P到三頂點距離相等到三頂點距離相等(3)P到三邊到三邊AB、BC、AC距離相等距離相等(2)側(cè)棱兩兩垂直側(cè)棱兩兩垂直PABCO外外垂垂內(nèi)內(nèi) O是是 ABC的的心心 O是是 ABC的的心心 O是是 ABC的的心心對棱兩兩垂直對棱兩兩垂直O(jiān)PABC例：四面體例：四面體P-ABC中，中，ACPBBC,PAABPC求證：若三棱錐有兩組對邊互相垂直，則若三棱錐有兩組對邊互相垂直，則另一組對邊必然垂直另一組對邊必然垂直O(jiān) O是垂心是垂心垂垂 O是是 ABC的的心心小結(jié)：小結(jié)：1 1、直