教學要求理解剛體平動的概念及其特性,掌握剛體平動時速度

1、教學要求教學要求1 1、理解剛體平動的概念及其特性，掌握剛體平、理解剛體平動的概念及其特性，掌握剛體平動時速度、加速度的研究方法。動時速度、加速度的研究方法。2 2、理解轉(zhuǎn)動方程、角速度、角加速度及計算式、理解轉(zhuǎn)動方程、角速度、角加速度及計算式以及剛體內(nèi)任一點的速度、加速度計算式，掌握分以及剛體內(nèi)任一點的速度、加速度計算式，掌握分析求解剛體基本運動實際問題的方法步驟。析求解剛體基本運動實際問題的方法步驟。第一節(jié)第一節(jié) 剛體的平動剛體的平動 一、平動的概念一、平動的概念平動：平動：剛體在運動過程中，其上任一直線始終與原剛體在運動過程中，其上任一直線始終與原來的位置保持平行的運動。來的位置保持平行

2、的運動。剛體平動時，其上各點的軌跡若是直線，則稱剛體為剛體平動時，其上各點的軌跡若是直線，則稱剛體為直線平動直線平動，其上各點的軌跡若是曲線，則稱剛體為，其上各點的軌跡若是曲線，則稱剛體為曲線平動曲線平動。第六章第六章 剛體的基本運動剛體的基本運動 二、平動剛體的軌跡、速度、加速度二、平動剛體的軌跡、速度、加速度 v vA A= v= vB B a aA A= a= aB B 剛體平動時，其上各點的剛體平動時，其上各點的軌跡形狀相同，在每一瞬軌跡形狀相同，在每一瞬時，各點的速度、加速度時，各點的速度、加速度也相同。也相同。剛體上任一點的運動就可以代表整個剛體的運動，剛體上任一點的運動就可以代表

3、整個剛體的運動，即剛體的平動可以歸結(jié)為點的運動來研究。即剛體的平動可以歸結(jié)為點的運動來研究。例例1 1：如圖所示一曲柄導桿機構(gòu)。曲柄如圖所示一曲柄導桿機構(gòu)。曲柄OAOA繞固定軸繞固定軸O O轉(zhuǎn)動，通過滑塊轉(zhuǎn)動，通過滑塊A A帶動導桿帶動導桿BCBC在水平導槽內(nèi)作直線往在水平導槽內(nèi)作直線往復運動。已知復運動。已知OA=rOA=r，=t=t，（，（為常數(shù)），求導為常數(shù)），求導桿在任一瞬時的速度和加速度。桿在任一瞬時的速度和加速度。 解題步驟：解題步驟： 分析運動分析運動 導桿在導槽內(nèi)作直線平動。故由導桿在導槽內(nèi)作直線平動。故由剛體平動的特性可知，導桿的運剛體平動的特性可知，導桿的運動可用其上的任一

4、點的運動來表動可用其上的任一點的運動來表示。示。 建立運動方程建立運動方程 trtxMsinddtMddv求速度、加速度求速度、加速度aM= = - r2 cost選動點為選動點為M M，建立直角坐標軸，建立直角坐標軸OxyOxy，如圖示。故，如圖示。故M M點點沿沿x x軸作直線運動，其運動方程：軸作直線運動，其運動方程： x xM M=OAcos= rcost =OAcos= rcost vM= = =（t t） 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動方程：剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動方程： 第二節(jié)第二節(jié) 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動剛體繞定軸轉(zhuǎn)動當剛體運動時，剛體內(nèi)（或其延當剛體運動時，剛體內(nèi)（或其延伸部分）有一條直線始終固定

5、不伸部分）有一條直線始終固定不動，而這條直線以外的各點繞此動，而這條直線以外的各點繞此直線作圓周運動，這種運動稱為直線作圓周運動，這種運動稱為剛體繞定軸轉(zhuǎn)動，簡稱剛體繞定軸轉(zhuǎn)動，簡稱轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動。位。位置保持不動的直線稱為置保持不動的直線稱為轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸，簡，簡稱稱軸軸 一、轉(zhuǎn)動方程一、轉(zhuǎn)動方程 二、角速度二、角速度：是描述剛體轉(zhuǎn)動快慢和轉(zhuǎn)動方向是描述剛體轉(zhuǎn)動快慢和轉(zhuǎn)動方向的物理量。的物理量。 剛體轉(zhuǎn)動的角速度剛體轉(zhuǎn)動的角速度等于轉(zhuǎn)角等于轉(zhuǎn)角對時間對時間t t的一階導數(shù)，的一階導數(shù)，即即tdd三、角加速度三、角加速度：是表示角速度變化快慢和方向的是表示角速度變化快慢和方向的物理量。物理量。 角加速度角

6、加速度是以角速度是以角速度對時間對時間t t的導數(shù)來描述角速的導數(shù)來描述角速度隨時間的變化規(guī)律，剛體轉(zhuǎn)動的角加速度度隨時間的變化規(guī)律，剛體轉(zhuǎn)動的角加速度等于等于角速度角速度對時間對時間t t的一階導數(shù)，或等于轉(zhuǎn)角對時間的一階導數(shù)，或等于轉(zhuǎn)角對時間t t的二階導數(shù)。的二階導數(shù)。 22ddddtt四、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的特殊情況四、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的特殊情況1 1、勻速轉(zhuǎn)動、勻速轉(zhuǎn)動 即即=常量，常量，=0=0。由由=d/dt=d/dt積分可得積分可得 =0 0+t+t式中：式中：0 0剛體在剛體在t=0t=0時的初轉(zhuǎn)角。時的初轉(zhuǎn)角。2 2、勻變速轉(zhuǎn)動、勻變速轉(zhuǎn)動 即即=常量。常量。由由=d/dt=d=

7、d/dt=d2 2/dt/dt2 2積分可得積分可得 =0 0 +t +t = =0 0+0 0t+tt+t2 2/2/2 2 2-0 02 2= 2= 2（-0 0）式中：式中：0 0剛體在剛體在t=0t=0時的初角速度。時的初角速度。表表6-1 點的曲線運動與剛體定軸轉(zhuǎn)動公式對照表點的曲線運動與剛體定軸轉(zhuǎn)動公式對照表例例2 2：某發(fā)動機轉(zhuǎn)子在起動過程中的轉(zhuǎn)動方程某發(fā)動機轉(zhuǎn)子在起動過程中的轉(zhuǎn)動方程為為=t=t3 3，以以radrad計，計，t t以以s s計。試計算轉(zhuǎn)子在計。試計算轉(zhuǎn)子在2s2s內(nèi)轉(zhuǎn)內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)和過的圈數(shù)和t=2st=2s時轉(zhuǎn)子的角速度、角加速度。時轉(zhuǎn)子的角速度、角加速度。解

8、題步驟：解題步驟：由于轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動方程已知，可直接由于轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動方程已知，可直接應(yīng)用公式計算。應(yīng)用公式計算。將將t=2st=2s代入轉(zhuǎn)動方程，則代入轉(zhuǎn)動方程，則 =t=t3 3=2=23 3=8rad =8rad 于是，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為于是，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為 N=/2=8 /2=1.27N=/2=8 /2=1.27圈圈于是于是:=d/dt=3t:=d/dt=3t2 2 =d/dt=6t =d/dt=6t當當t=2st=2s時，有時，有 =3t=3t2 2=3=32 22 2=12rad/s =12rad/s =6t=6=6t=62=12rad/s2=12rad/s2 2 五、定軸轉(zhuǎn)動剛體上各點的

9、速度、加速度五、定軸轉(zhuǎn)動剛體上各點的速度、加速度 ROsOvM采用自然坐標法。在轉(zhuǎn)角采用自然坐標法。在轉(zhuǎn)角=0=0時，時，M M點的位置為弧點的位置為弧坐標原點坐標原點OO，以轉(zhuǎn)角，以轉(zhuǎn)角的正向為弧坐標的正向為弧坐標s s的正向，的正向，則有則有: : s= Rs= R 剛體上任一點沿已知軌跡的運動剛體上任一點沿已知軌跡的運動方程方程: : 1 1、運動方程、運動方程2 2、速度、加速度及其分布規(guī)律、速度、加速度及其分布規(guī)律 M M點的速度大小和方向為：點的速度大小和方向為：RtRtsddddvROsOaMaanRtRtaddddv22nRRavM M點的全加速度大小和方向為：點的全加速度大小

10、和方向為： 222n2Raaa2ntanaa為全加速度為全加速度a a與該點半徑之間的夾角與該點半徑之間的夾角 例例3 3：如圖所示：輪如圖所示：輪和輪和輪固連，半徑分別為固連，半徑分別為R R1 1和和R R2 2，在輪上繞有不可伸長的細繩，繩端掛重物，在輪上繞有不可伸長的細繩，繩端掛重物A A。若重物自靜止開始以勻加速度若重物自靜止開始以勻加速度a a下降，帶動輪下降，帶動輪和輪和輪轉(zhuǎn)動。求當重物下降轉(zhuǎn)動。求當重物下降h h時，輪時，輪邊緣上邊緣上B B點的速度點的速度和加速度的大小。和加速度的大小。hAR1R2B1B2解題分析與步驟：解題分析與步驟： 分析運動分析運動 重物為直線平動，輪重物為直線平動，輪和輪和輪固連為定固連為定軸轉(zhuǎn)動。軸轉(zhuǎn)動。 根據(jù)公式求未知量根據(jù)公式求未知量 重物自靜止開始以勻加速度重物自靜止開始以勻加速度a a下降高下降高 度度h h時，其初速度時，其初速度v v0 0=0=0，由公式，由公式 v v2 2-v-v0 02 2= 2ah = 2ah 得得 v=2ah v=2ah 輪輪和輪和輪的角速度、角加速度為的角速度、角加速度為: : = v= vB1B1/R/R1 1=2ah/R=2ah/R1 1 =a=aB1B1/R/R1 1=a/R=a/R1 1輪輪邊緣上邊緣上B B點的速度和加速度為點的速度