2003年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一真題及答案

1、2003 年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一測試數(shù)學(xué)一試題解析一、填空題(此題共 6 6 小題,每題 4 4 分,總分值 2424分分.).)12712Tln(1x)(1)(cosx)=.1【答案】【考點】兩個重要極限【難易度】【詳解】此題涉及到的主要知識點：-lim對于1型不定式,可以采取lim(1)lim(1)ex0(0,),進(jìn)而轉(zhuǎn)化為0,0,通過等價無窮小或洛必達(dá)法那么來計算. .01x2111cosx1q1丁丁(cosx1)亍lim2lim_2_ln(1x2)cosx1ln(1x2)x01n(1x2)x0 x22解析：1imo(cosx)(1im(1cosx1)()e()exe222,(2)曲面

2、zxy與平面2x4yz0平行的切平面的萬程是.【答案】2x4yz5【考點】曲面的切平面【難易度】【詳解】解析：令F(x,y,z)zx2y2,貝UFx2x,Fy2y,Fz1.設(shè)切點坐標(biāo)為小.力.),那么切平面的法矢量為2XO,2y0,1,其與平面2x4yz0平行,因此有3030,可解得XO1,y02,相應(yīng)地有ZOx2y25.241(3)設(shè)x2ancosnx(冗x力,那么a2=故所求的切平面方程為2(x1)4(y2)(z5)0,即2x4yz5. .【考點】函數(shù)在0,1上的余弦級數(shù)【難易度】【詳解】此題涉及到的主要知識點:將f(x)(x)展開為余弦級數(shù)f(x)ancosnx(x),其系數(shù)計算公式n0

3、42為anf(x)cosnxdx.解析：根據(jù)余弦級數(shù)的定義,有= =-x2sin2x0Sin2x2xdx【考點】向量空間及其相關(guān)概念【難易度】【詳解】此題涉及到的主要知識點:a2-x2cos2xdx2012,xdsin2xo(4)(4)從 R R2 2到基-xdcos2x-xcos2x到基cos2xdx的過渡矩陣為n維向量空間中,從基2,n到基n的過渡矩陣P滿足nP,因此過渡矩陣P為:P=1,2,n 1,2,一一.111解析：根據(jù)7E義,從R的基12到基10,111的過渡矩陣為22111111. .= =01120(5)設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為f(x,y)6x,0 xy1,0,其他

4、,那么PXY1=.-1【答案】14【考點】二維連續(xù)型隨機(jī)變量【難易度】【詳解】此題涉及到的主要知識點:二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度f(x,y),求滿足一定條件的概率Pg(X,Y)z0,一般可轉(zhuǎn)化為二重積分Pg(X,Y)zo=f(x,y)dxdy進(jìn)行at算.g(x,y)Z011(1x一21解析：PXY1f(x,y)dxdy：dx*6xdy=2(6x12x)dx.xy14(6)一批零件的長度X(單位：cm)服從正態(tài)分布N(,1),從中隨機(jī)地抽取16個零件,得到長度的平均值為40(cm),那么的置信度為0.95的置信區(qū)間是.(注：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值(1.96)0.975,(1.645)0.95.

5、)【答案】(39.51,40.49)【考點】區(qū)間估計的概念【難易度】【詳解】此題涉及到的主要知識點：X,1,對正態(tài)總體的數(shù)學(xué)期望進(jìn)行估計,可根據(jù)N(0,1),由nu1確定臨界值u,進(jìn)而確定相應(yīng)的置信區(qū)間.萬萬在單個正態(tài)總體方差條件下,求期望值的置信區(qū)間為&u/2-j=其中PUu1,U:N(0,1).萬解析：方法 1 1：由題設(shè),10.95,可見0.05.查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表知u1.96.此題方差2二、選擇題(此題共 6 6 小題,每題 4 4 分,總分值 2424 分.每題給出的四個選項中,只有項符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).)內(nèi)連續(xù),其導(dǎo)函數(shù)的圖形如下圖,那么f(x)有

6、()(A)(A)一個極小值點和兩個極大值點.(B)兩個極小值點和一個極大值點.( (C C) )兩個極小值點和兩個極大值點.( (D D) )三個極小值點和一個極大值點.【答案】C C【考點】函數(shù)的極值【難易度】【詳解】此題涉及到的主要知識點：根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號,確定原函數(shù)的單調(diào)性；可能的極值點應(yīng)是導(dǎo)數(shù)為零或?qū)?shù)不存在的點；解析：根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖形可知,一階導(dǎo)數(shù)為零的點有 3 3 個,而x0那么是導(dǎo)數(shù)不存在的點. .三個一階導(dǎo)數(shù)為零的點左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)符號不一致,必為極值點,且兩個極小值點,一個極大值點；在x0左側(cè)一階導(dǎo)數(shù)為正,右側(cè)一階導(dǎo)數(shù)為負(fù),可見x0為極大值點,故f(x)共有兩個極小值點和兩個極大

7、值點.設(shè)an,bn,g 均為非負(fù)數(shù)列,且liman0,limbn1,limg,那么必有()nnnn16,X40,因此,根據(jù)P1.960.95,有0.95,即P39.51,40.490.95,故的置信度為0.950.95 的置信區(qū)間是(39.51,40.49). .方法 2:2:由題設(shè),0.95,PUuPu22(u)10.95,2(u)0.975查得u1.96.221,n16, ,x40代入(xu2n,xu得置信區(qū)間(39.51,40.49). .(1)設(shè)函數(shù)f(x)在(【考點】數(shù)列極限的性質(zhì)【難【難易度】【詳解】此題涉及到的主要知識點:極限只研究n時的情況,前面的情況不能確定;根據(jù)所給條件無法

8、判斷點(0,0)是否為f(x,y)的極值點.【考點】多元函數(shù)的極值【難【難易度】(4)設(shè)向量組I:1,2,可由向量組II:1,2,s線性表示,那么()(A)當(dāng)rs時,向量組II必線性相關(guān).(B)當(dāng)rs時,向量組II必線性相關(guān).(C)當(dāng)rs時,向量組I必線性相關(guān).(D)當(dāng)rs時,向量組I必線性相關(guān).(A)anbn對任意n成立.(B)bnCn對任意n成立.(C)極限limancn不存在.n(D)極限limbnCn不存在.n類似函數(shù)極限,不定式的結(jié)果是不確定的,常見不定式包括：0,00解析：由知識點知,A,BA,B 不正確,由知識點知,C C 不正確,應(yīng)選,1,D D.(3)(3)函數(shù)f(x,y)在

9、點(0,0)的某個鄰域內(nèi)連續(xù),且limx0y0f(x,y)xy22、2(xy)1,那么(A)點(0,0)不是f(x,y)的極值點.(B)點(0,0)是f(x,y)的極大值點.(C)點(0,0)是f(x,y)的極小值點.0,00;(D)【詳解】解析：由xlimyf(x,y)xy0/2220(xy)1知,分子的極限必為零,從而有f(0,0)0,且f(x,y)xy:(x2y2)2(x,y充分小時),于是f(x,y)f(0,0):xy可見當(dāng)yx且x充分小時,f(x,y)f(0,0)2一4一.x4x0；而當(dāng)yx且x充分小時,f(x,y)一一一2f(0,0):x4x40.故點(0,0)不是f(x,y)的極

10、值點D D【考點】向量組的秩、向量組的線性相關(guān)【難【難易度】【詳解】此題涉及到的主要知識點：r(Amn)m,r(Amn)n,類似地,向量組的秩不大于向量的個數(shù)或維數(shù)；向量組的秩 向量的個數(shù)向量組線性相關(guān)解析：由題干易知：r(I)r,r(II)s,由于向量組I可由向量組II線性表示,所以r(I)r(II)s(A)當(dāng)rs時,r(II)s；(B)當(dāng)rs時,r(II)s(C)當(dāng)rs時,r(I)r；(D)當(dāng)rs時,r(I)r(II)srr(I)r(5 5)設(shè)有齊次線性方程組Ax0和Bx0,其中A,B均為mn矩陣,現(xiàn)有 4 4 個命題：假設(shè)Ax0的解均是Bx0的解,那么秩(A);(B)；假設(shè)秩(A)n 秩

11、(B),那么Ax0的解均是Bx0的解；假設(shè)Ax0與Bx0同解,那么秩瓜)=秩(8)；假設(shè)秩6)=秩(8),那么Ax0與Bx0同解.以上命題中正確的選項是()(A)(A). .(B)(B). .(C)(C). .(D)(D)【答案】B B【考點】線性方程組的公共解、同解【難【難易度】【詳解】此題涉及到的主要知識點：齊次線性方程組Ax0解向量的秩為nr(A)；向量組A可由向量組B表示,那么有r(A)r(B)；向量組等價,即向量組的極大無關(guān)組等價,有r(A)r(B).解析：假設(shè)Ax0的解均是Bx0的解,即方程組Ax0的解向量可由方程組Bx0的解向量表示,所以nr(A)nr(B),即秩(A)秩(B),

12、反之不一定成立;假設(shè)Ax0與Bx0同解,即方程組Ax0的解向量與方程組Bx0的解向量等價,所一一一一、,1以nr(A)nr(B),即秩(A)=秩(B),反之不一定成立；如A0那么秩( (A尸秩( (B)=1)=1, ,但AX0與BX0不同解.(1)(1)求 D D 的面積 A;A;(2)求D繞直線xe旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積V.【考點】平面曲線的切線、定積分的幾何應(yīng)用【難易度】(6)(6) 設(shè)隨機(jī)變量Xt(n)(n(A)(A)2(n).(B)(B)2(n1).(C)(C)YF(n,1).(D)(D)YF(1,n).【考點】2分布、F分布【難易度】【詳解】此題涉及到的主要知識點:x2x222,x

13、n(n),其中xi(i1,2,n)N(0,1)且相互獨立;F(m,n)2(m)m2(n)n解析：由題設(shè)知,XU=,其中UN(0,1),V2(n),于是YYI2X2%U2這里U2212(1),根據(jù)F分布的定義知YX2F(n,1).故應(yīng)選(C).(C).、(此題總分值 1010 分)過坐標(biāo)原點作曲線ylnx的切線,該切線與曲線ylnx及x軸圍成平面圖形【詳解】解析:(1)(1)設(shè)切點的橫坐標(biāo)為Xo, ,那么曲線ylnx在點(xo,lnXo)處的1.(XXo).由該切線過原點知Xo12xarctan展開成 x x 的帚級數(shù),并求級數(shù)12x【考點】初等函數(shù)的騫級數(shù)展開式、簡單騫級數(shù)的和函數(shù)的求法【難易

14、度】【詳解】此題涉及到的主要知識點:哥級數(shù)展開一般通過適當(dāng)?shù)暮愕茸冃?、求?dǎo)或積分等,轉(zhuǎn)化為可利用哥級數(shù)展開的情形.11函數(shù)的哥級數(shù)展開1Xx2xn1X1X211解析：由于f(x)22(1)n4nx2n,x(1,1).又f(0)-, ,14x2no224XX_所以f(x)f(0)f(t)dt2(1)n4ntdt040n0nn切線方程是ylnXoInXo10,從而Xoe.所以該切線的方程為(2)(2)切線 y y1_1yy-x.平面圖形D的面積Ao(eyey)dye“1-X與X軸及直線Xe所圍成的三角形繞直線Xe旋轉(zhuǎn)所得的圓錐體旋轉(zhuǎn)體體積為e2.曲線yInx與x軸及直線xe所圍成的圖形繞直線xe旋

15、轉(zhuǎn)所得的1V2o(eey)dy,因此所求旋轉(zhuǎn)體的體積為VV1V2四、(此題總分值12e31212 分)(eey)2dy-(5e212e3).將函數(shù)f(x)o羽的和(1)(1)42n1X,Xno2n1,1在X一處右邊級數(shù)成為由于級數(shù)21)nno2n11%收斂,左邊函數(shù)f(x)連續(xù),所以成立范圍sinysinxsinysinx白xeydyyedx臼xedyyedx;LLsinysinx2(2)(2)oxedyyedx2冗L【考點】第二類曲線積分的計算、格林公式【難易度】【詳解】解析:方法 1:1:一0sinysinxsinxsinx、(1)(1)左邊= =0edyedx= =0(ee)dx,0si

16、nysinxsinxsinx、右邊= =0edyedx= =0(ee)dx,sinysinxsinysinx所以；xedyyedx：xedyyedx. .(2)(2)由于es1nxesinx2,故由(1)(1)得sinysinxsinxsinx2xedyyedx0(ee)dx2.方法2:(1)(1)根據(jù)格林公式,得sinysinxsinysinx、Lxedyyedx(ee)dxdy,Dsinysinxsinysinx、xedyyedx(ee)dxdy. .D由于D具有輪換對稱性,所以sinysinxsinysinx、(ee)dxdy= =(ee)dxdy,m11可擴(kuò)大到x處.而在x處,右邊級數(shù)

17、雖然收斂,但左邊函數(shù)22,-11立范圍只能是x(-. .22f(x)不連續(xù),所以成,11令x一,得f(一)22_2(1)4n1_(1)n4n02n122n14no2n1一,1(1)n1再由f(-)0,得(一)-f(-).2no2n1424五、(此題總分值 1010 分)平面區(qū)域D(x,y)0 x,0y山為D的正向邊界.試證:故xesinydyyesinxdxxesinydyyesinxdx. .(2)(2)由(1)(1)知sinysinxsinysinx、Lxedyyedx(ee)dxdyDsinysinx= =edxdyedxdyDD= =esinxdxdyesinxdxdy(利用輪換對稱性

18、)DDsinxsinx2= =(ee)dxdy2dxdy2.DD六、(此題總分值 1010 分)某建筑工程打地基時,需用汽錘將樁打進(jìn)土層.汽錘每次擊打,都將克服土層對樁的阻力而作功.設(shè)土層對樁的阻力的大小與樁被打進(jìn)地下的深度成正比(比例系數(shù)為k,k0),汽錘第一次擊打?qū)洞蜻M(jìn)地下a(m).根據(jù)設(shè)計方案,要求汽錘每次擊打樁時所作的功與前一次擊打時所作的功之比為常數(shù)r(0r1).問(1)(1)汽錘擊打樁 3 3 次后,可將樁打進(jìn)地下多深？(2)(2)假設(shè)擊打次數(shù)不限,汽錘至多能將樁打進(jìn)地下多深？(注：m m 表示長度單位米.)【考點】定積分的物理應(yīng)用、數(shù)列極限的定義及其性質(zhì)【難易度】【詳解】解析：

19、(1)(1)設(shè)第n次擊打后,樁被打進(jìn)地下xn,第n次擊打時,汽錘所作的功為Wn(n1,2,3,).由題設(shè),當(dāng)樁被打進(jìn)地下的深度為x時,土層對樁的阻力的大小為kx,x1k2k2&k2所以皿kxdxx1a,W2xkxdx(x2由川2rW1可彳xx2a2ra2即x2(1r)a2.W3xkxdx(x12x2)；x2(1r)a2.由川3rW2r2W1可得x；(1r)a2r2a2,從而x3V1rr2a,即汽錘擊打 3 3 次后,可將樁打進(jìn)地下Wrr2am. .(2)由歸納法,設(shè)xnV1rr2rn1a,那么x2);2(xfa2).xn1k22k2n12Wnixkxdx-(X21xn2)=-x2i(1

20、rr)a2.xn22由于Wn1rWnr2Wn1rnW1,故得x21(1rrn1)a2rna2, ,n1rn1從而xn1.1rraa.:1r于是limx11La,即假設(shè)擊打次數(shù)不限,汽錘至多能將樁打進(jìn)地下Jam. .n11r.1r七、(此題總分值 1212 分)內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù),且y0,xx(y)是yy(x)的反函數(shù).jd,、d2x(1)試將xx(y)所滿足的微分方程d-4(ydy2分方程;3(2)求變換后的微分萬程滿足初始條件y(0)0,y(0)-的解.【考點】反函數(shù)的求導(dǎo)法那么、簡單的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程【難易度】【詳解】此題涉及到的主要知識點：2dx11dxd,dx、d,1、dxy1

21、y一二=一,r()=一()=2-dydyydydydydxydyyy(y)dx二階常系數(shù)非齊次線性微分方程ypyqf(x)的通解為：二階常系數(shù)齊次線性微分方程ypyq0的通解加二階常系數(shù)非齊次線性微分方程解.一,dx1一,解析：(1)(1)由反函數(shù)的求導(dǎo)公式知dx工,于是有dyy代入原微分方程得yysinx.(2)(2)方程(*)(*)所對應(yīng)的齊次方程yy0的通解為YxCexC2e設(shè)函數(shù)yy(x)在(dxosinx)()0&i換為dyyy(x)滿足的微ypyqf(x)的特d2xdy2dy(dy)囁中dxdyy(y)3.*1設(shè)方程* *的特解為yAcosxBsinx,代入方程* *, ,

22、求得A0,B故故y*1.-sinx,從而yy2、_._*_V_sinx的通解是yYyC1eC2e2,一一一sinx.2X Xey由xey1212 分)2 2c,1 11 1c得1.故所求初值問題的解為八、此題總分值設(shè)函數(shù) f fx x連續(xù)且恒大于零,F(t)f(x2Q(t)其中(t)(x,y,z)x2(1)(1) 討論Ft在區(qū)間0,(2)(2)證實當(dāng)t0時,Ft【考點】二重積分的計算、【 難 易度】解析: :1 1F(t)所以在0,(2)(2)要證實ty2z2)dV22,G(t)f(xy)dD(t)f(x2y2)dD(t)t2tf(x2)dxt2,D(t)(x,y)x2 內(nèi)的單調(diào)性.2-G(t

23、).冗冗t2重積分的計算、積分上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)2d由于F(t)d0_2d0.2t.2tf(t2)0f(r2)r(tr)drt220f(r)rdr-22f(r)rsindr_t_222f(r)rdr-2f(r)rdr-2f(r)rdr)F(t)0,故F(t)在(0,內(nèi)單調(diào)增加._2f(r)rdr-2f(r)dr2_一0時F(t)G(t),只需證實t一一2一一.0時,F(t)G(t)0,即-22t-2t-2f(r)rdrf(r)drf(r)rdr20.*1入t22t_2令g(t)0f(r)rdr0f(r)drtL220f(r)rdr,那么g(t)f(t2)f(r2)(tr)2dr0,故g(t)在

24、(0,由于g(t)在t0處連續(xù),所以當(dāng)t0時,有g(shù)(t)內(nèi)單調(diào)增加g(0).又g(t)0,故當(dāng)t0時,g(t)0, ,因此,當(dāng)t0時,F(t)2-G(t).九、(此題總分值1010 分)設(shè)矩陣A向量,其中A為A的伴隨矩陣,P,求B2E的特征值與特征E為 3 3 階單位矩陣【考點】 矩陣的特征值的計算、矩陣的特征向量的計算【難易度】 【詳解】此題涉及到的主要知識點:設(shè)BP1AP,假設(shè)是A的特征值,對應(yīng)特征向量為B與A有相同的特征值,但對應(yīng)特征向量不同,B對應(yīng)特征值的特征向量為解析:方法 1:1:經(jīng)計算可得A*2EE(B2E)9)2(3)故B2E的特征值為29,3.121當(dāng)129時,解9EAx0,

25、得線性無關(guān)的特征向量為k1*2是不全為零的任意常數(shù).0當(dāng)33時,解3EAx0,得線性無關(guān)的特征向量為3110所以屬于特征值33的所有特征向量為k33卜31,其中k30為任意常數(shù)1方法 2 2：設(shè)A的特征值為,對應(yīng)特征向量為,即A0.又因A*AAE,故有A*一,1、1.,1、A,1、1A于是有B(P)PA*P(P)(P),(B2E)P(2)P因此,四2為B2E的特征值,對應(yīng)的特征向量為P322232(1)2(7),223故A的特征值為121,37.121時,對應(yīng)的線性無關(guān)特征向量可取為當(dāng)37時,對應(yīng)的一個特征向量為31.所以屬于特征值29的所有特征向量為k11k21k1102k20,其中1由于A

26、70,所以由于EA1全為零的任意常數(shù);十、(此題總分值 8 8 分)平面上三條不同直線的方程分別為11:ax2by3c0,l2：bx2cy3a0,l3:cx2ay3b0.試證這三條直線交于一點的充分必要條件為abc0.【考點】線性方程組有解和無解的判定【難易度】【詳解】【詳解】此題涉及到的主要知識點:三條直線相交于一點,相當(dāng)于對應(yīng)線性方程組有唯一解ax2by3c,解析:方法1：必要性：設(shè)三條直線11,12,13交于一點,那么線性方程組bx2cy3a,(*)cx2ay3b,a有唯一解,故系數(shù)矩陣Abc2ba2b2c與增廣矩陣Ab2c2ac2a3c2223a6(abc)abcabacbc3b3(a

27、bc)(ab)2(bc)2(ca)20, ,0,那么abc,三條直線相同,故abc0.0,得P111因此,B2E的三個特征值分別為9,9, 9,9,3 3. .對應(yīng)于牛I征值 9 9 的全部特征向量為k1Pk2Pk1k21,其中k1,k2是不1對應(yīng)于牛I征值 3 3 的全部特征向量為k311其中k3是不為零的任意常數(shù)3c3a的秩均為2,于是3ba2bA|b2cc2a假設(shè)(ab)2(bc)2(ca)2a2b221232由于2(acb)2a(ab)b=2(a一b)b0,b2c24故秩(A)2. .于是,秩( (A尸秩(A)=2=2.因此方程組(*)(*)有唯一解,即三直線11,12,13交1點.Xoax2by3c,充分性：考慮線性方程組bx2cy3a,cx2ay3b,將方程組(*)(*)的三個方程相加,并由abc0.可知,方程組(*)等價于方程組22222a(ab)b=-=-ab(ab)0, ,故方程組(*)有唯一解,所以方程組(*)有唯一解,即三直線li2/3交于一點.卜一、(此題總分值 1010 分)有 3 3 件合格品.從甲箱中任取 3 3 件產(chǎn)品放入乙箱后,求:(1)(1)乙箱中次品件數(shù) X X 的數(shù)學(xué)期望；充分性：由abc0,那么從必要性的證實可知,0,故秩(A