邏輯代數(shù)初步

1、邏輯代數(shù)初步在實(shí)際應(yīng)用中，我們經(jīng)常會(huì)遇到各種各樣的開關(guān)電路設(shè)計(jì)問題。對(duì)于一個(gè)實(shí)際問題，通常是先對(duì)問題作必要的理論分析，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，然后才能進(jìn)入實(shí)際解決問題的階段。建立開關(guān)電路數(shù)學(xué)模型所用的工具就是邏輯代數(shù)（又稱布爾代數(shù)）。在本章的學(xué)習(xí)中，我們將了解二進(jìn)制的知識(shí)，學(xué)習(xí)邏輯命題的“與”“或”“非”的相關(guān)運(yùn)算，進(jìn)一步理解邏輯代數(shù)中關(guān)于邏輯式、真值表、邏輯運(yùn)算等內(nèi)容。 本章學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)完本章內(nèi)容，你將能夠 實(shí)現(xiàn)二進(jìn)制與十進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換 理解邏輯變量及其運(yùn)算 理解邏輯式與真值表 了解邏輯運(yùn)算規(guī)律，并能使用公式、卡諾圖對(duì)邏輯式進(jìn)行化簡(jiǎn)本章目錄 §1二進(jìn)制數(shù)及其轉(zhuǎn)換（2課時(shí)）§2命

2、題邏輯（2課時(shí)）§3邏輯變量與基本運(yùn)算（2課時(shí)） §4邏輯式與真值表（1課時(shí)）該課時(shí)在行文中，缺乏探究環(huán)節(jié)。全是新東西，無法探究§5邏輯運(yùn)算律（1課時(shí)）§6邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)法（3課時(shí)） 建議閱讀1二進(jìn)制及其轉(zhuǎn)換（2課時(shí)）十進(jìn)制是我們最熟悉的一種計(jì)數(shù)方式。它使用“0、1、2、3、4、5、6、7、8、9”十個(gè)數(shù)碼放到相應(yīng)的位置來表示數(shù)。日常生活中，我們經(jīng)常會(huì)使用各種數(shù)字，例如一年365天，一瓶洗發(fā)水賣33.8元這些數(shù)都是十進(jìn)制數(shù)。探究（1）在十進(jìn)制的計(jì)數(shù)方式下，表示一個(gè)數(shù)用“0、1、2、3、4、5、6、7、8、9”這十個(gè)數(shù)碼就夠了嗎？（2）33.8，數(shù)碼

3、“3”出現(xiàn)了兩次，這兩次中“3”各表示什么？（3）十進(jìn)制數(shù)的進(jìn)位規(guī)則是什么呢？數(shù)碼所在的位置叫數(shù)位，這就是我們常說的個(gè)位、十位、百位、十分位、百分位、。每個(gè)數(shù)位上可以使用的數(shù)碼的個(gè)數(shù)叫做這個(gè)計(jì)數(shù)制的基數(shù)。十進(jìn)制的為一個(gè)數(shù)位都可以使用十個(gè)數(shù)碼，因此十進(jìn)制的基數(shù)是10。每個(gè)數(shù)位所代表的數(shù)叫做位權(quán)數(shù)。十進(jìn)制數(shù)的進(jìn)位規(guī)則是“逢十進(jìn)一”，其位權(quán)數(shù)如圖所示。位置整數(shù)部分小數(shù)部分第3位第2位第1位第1位第2位位權(quán)數(shù)十進(jìn)制數(shù)的意義是各個(gè)數(shù)位的數(shù)碼與其位權(quán)數(shù)乘積之和。例如這種寫法叫做按權(quán)全展開式。 十進(jìn)制的基數(shù)是10，每個(gè)數(shù)位上有0、1、2、9十個(gè)不同的數(shù)碼，進(jìn)位規(guī)則是“逢十進(jìn)一”。探究 類比十進(jìn)制，你能得到：

4、（1） 二進(jìn)制的基數(shù)是什么嗎？（2） 二進(jìn)制每個(gè)數(shù)位上有幾個(gè)不同的數(shù)碼？分別是什么？（3） 二進(jìn)制的進(jìn)位規(guī)則是什么？新知 一般地，二進(jìn)制的基數(shù)是2，每個(gè)數(shù)位上只有0和1兩個(gè)數(shù)碼，進(jìn)位規(guī)則是“逢二進(jìn)一”。各個(gè)數(shù)位的權(quán)數(shù)如圖所示。位置整數(shù)部分第3位第2位第1位位權(quán)數(shù)例如，二進(jìn)制數(shù)101011的意義是。將這些數(shù)制計(jì)算出來，就把二進(jìn)制數(shù)換算成了十進(jìn)制數(shù)了。為了區(qū)別不同進(jìn)位制的數(shù)，通常用下標(biāo)指明基數(shù)。例如表示十進(jìn)制的數(shù)，表示二進(jìn)制的數(shù)。在上面的計(jì)算中，我們知道隨堂練習(xí)1.分別寫出下列各數(shù)的按權(quán)展開式。（1） （2） （3） （4）2. 分別寫出下列各數(shù)的按權(quán)展開式，并計(jì)算其十進(jìn)制的值。（1） （2）例1

5、 將二進(jìn)制數(shù)101換算成十進(jìn)制數(shù)。解 可見，要想將一個(gè)二進(jìn)制數(shù)換算成十進(jìn)制數(shù)，只要將這個(gè)二進(jìn)制數(shù)寫成各個(gè)數(shù)位的數(shù)碼與其位權(quán)數(shù)乘積之和的形式，然后計(jì)算出結(jié)果，就換算成了十進(jìn)制數(shù)。那么，反過來，如何將一個(gè)十進(jìn)制數(shù)換算成二進(jìn)制數(shù)呢？實(shí)質(zhì)上就是把十進(jìn)制數(shù)化成2的各次冪之和的形式，并且各次冪的系數(shù)只能取0和1.通常使用“除2取余法”：不斷用2去除要換算的十進(jìn)制數(shù)，若余數(shù)為1，則相應(yīng)數(shù)位的數(shù)碼為1，若余數(shù)為0，則相應(yīng)數(shù)位的數(shù)碼為0，一直除到商是1為止，然后按照從高位到低位的順序?qū)懗鰮Q算結(jié)果。例2 將十進(jìn)制數(shù)換算成二進(jìn)制數(shù) 不用101，改成有3等解 余120位讀數(shù)方向   余021位 余122位

6、余023位 余024位 余125位 1 余126位所以，隨堂練習(xí)：1. 將下列二進(jìn)制數(shù)換算成十進(jìn)制數(shù)。（1） （2） （3） （4）2. 將下列十進(jìn)制數(shù)換算成二進(jìn)制數(shù)。（1） （2） （3） （4）問題解決其實(shí)，除了十進(jìn)制、二進(jìn)制外還有其他進(jìn)制。例如八進(jìn)制，它的基數(shù)是8，每個(gè)數(shù)位上有0、 1、2、3、4、5、6、7八個(gè)數(shù)碼，進(jìn)位規(guī)則是“逢八進(jìn)一”。（1）你能將八進(jìn)制各個(gè)數(shù)位的權(quán)數(shù)填寫在下表中嗎？位置整數(shù)部分第3位第2位第1位位權(quán)數(shù)（2）將和分別換算成十進(jìn)制數(shù)，它們相等嗎？習(xí)題1分別寫出下列各數(shù)的按權(quán)展開式。（1） （2） （3） （4）2將下列二進(jìn)制數(shù)換算成十進(jìn)制數(shù)。（1） （2） （3） （

7、4）3將下列十進(jìn)制數(shù)換算成二進(jìn)制數(shù)。（1） （2） （3） （4）4有人說80可能是個(gè)八進(jìn)制數(shù)，對(duì)嗎？為什么？2命題邏輯（2課時(shí)）在日常生活中，我們經(jīng)常會(huì)說一些判斷性的話語，比如：現(xiàn)在的房?jī)r(jià)比十年前高；今天是晴天；有否定？數(shù)學(xué)中的命題邏輯也是研究判斷的，我們首先從命題談起。我們將具有明確的真假意義的判斷語句稱為一個(gè)命題加真命題？算法中有。例如1. 二進(jìn)制數(shù)11等于十進(jìn)制數(shù)3；2. 所有的正方形都是平行四邊形；3. 一個(gè)實(shí)數(shù)的平方總大于零；探究 （1）上述命題都是真命題嗎？ （2）如果用1表示命題為真，用0表示命題為假，上述命題哪些為1，哪些為0？新知在自然語言中，通常會(huì)用一些聯(lián)結(jié)詞將某些簡(jiǎn)單語

8、言聯(lián)系起來，以構(gòu)成一個(gè)更復(fù)雜的復(fù)合語。例如：在語句“我不是一名教師”中，使用了聯(lián)結(jié)詞“不”？。在語句“我是男生且家在上?！敝?，使用了聯(lián)結(jié)詞“且”；在語句“我乘公交車或乘地鐵從家到學(xué)?！敝?，使用了聯(lián)結(jié)詞“或”；以上三個(gè)例子分別對(duì)應(yīng)了三張最基本的邏輯關(guān)系，也對(duì)應(yīng)了三種邏輯聯(lián)結(jié)詞“非”“且”“或”。1“非”給定命題 p：張三會(huì)計(jì)算機(jī)編程按如下方式可以構(gòu)造出一個(gè)新的命題q：張三不會(huì)計(jì)算機(jī)編程可以看出，q給出的判斷與p恰好相反，這兩個(gè)命題中肯定有一個(gè)是真命題，而另一個(gè)一定是假命題。數(shù)學(xué)上講命題q叫做命題p的否定，記作，讀作“非p”，因此命題q可以寫成：張三不會(huì)計(jì)算機(jī)編程。顯然，p與的真假性可以總結(jié)為下表

9、：p 真假假真例1 寫出下列命題的否定，并判斷原命題以及所得命題的真假。（1） p：32；（2） q：3是2的倍數(shù)。解 （1）：32。p是真命題，是假命題；（2）：3不是2的倍數(shù)。q是假命題，是真命題。隨堂練習(xí)1寫出下列命題的否定，并判斷真假。（1）三角函數(shù)y=sin x是周期函數(shù)；（2）3是91的約數(shù)。2“且”、“或”給定兩個(gè)命題 p：張三會(huì)計(jì)算機(jī)編程 q：張三會(huì)電路設(shè)計(jì)由這兩個(gè)命題，按如下方式可以構(gòu)造出兩個(gè)新的命題s：張三會(huì)計(jì)算機(jī)編程且張三會(huì)電路設(shè)計(jì)t：張三會(huì)計(jì)算機(jī)編程或張三會(huì)電路設(shè)計(jì)命題s是由命題p和命題q用“且”聯(lián)結(jié)起來的。我們可以用 “”表示“且”，因此可以將命題s寫成：pq，讀作“

10、p且q”。命題t是由命題p和命題q用“或”聯(lián)結(jié)起來的。我們可以用 “”表示“或”，因此可以將命題t寫成：pq，讀作“p或q”。顯然，只有當(dāng)p、q同時(shí)為真時(shí)，pq才是真命題；只要p、q中有一個(gè)為真，pq就是真命題。因此，pq 和pq的真假性可總結(jié)為下表。pqpq 真真真真假假假真假假假假pqpq真真真真假真假真真假假假例2 判斷下列命題的真假：（1） 矩形的對(duì)角線互相平分且相等；（2） 2是偶數(shù)且2是合數(shù)；（3） 3是偶數(shù)，或3不是質(zhì)數(shù)；（4） 11或1=1。解 （1）“矩形的對(duì)角線互相平分”是真命題，“矩形的對(duì)角線相等”也是真命題，原命題是用“且”聯(lián)結(jié)的命題，所以原命題是真命題；（2）“2是偶

11、數(shù)”是真命題，但“2是合數(shù)”是假命題，原命題是用“且”聯(lián)結(jié)的命題，所以原命題是假命題；（3）“3是偶數(shù)”是假命題，“3不是質(zhì)數(shù)”也是假命題，原命題是用“或”聯(lián)結(jié)的命題，所以原命題是假命題；（4）“11”是假命題，但“1=1”是真命題，原命題是用“或”聯(lián)結(jié)的命題，所以原命題是真命題。例1（4）通常寫作“11”.值得注意的是，日常生活中的“或”大多是不可兼得的，例如：“去郵局是要向東走或是向西走”，其中“或”指的是要么向東走，要么向西走，不能既向東走又向西走。但邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”是可以兼得的，例如“張三會(huì)計(jì)算機(jī)編程或張三會(huì)電路設(shè)計(jì)”，指的是張三會(huì)計(jì)算機(jī)編程，或者會(huì)電路設(shè)計(jì)，或者兩個(gè)都會(huì)。隨堂練習(xí)1把

12、下列命題用“且”和“或”聯(lián)結(jié)成新的命題，并判斷真假。（1）p：1+2=3，q：6-2=3；（2）p：7R，q：R。問題解決若用X、Y、Z表示王同學(xué)語文、數(shù)學(xué)、英語考試及格。試寫出下列語句的邏輯表達(dá)式：（1） 王同學(xué)語文和數(shù)學(xué)考試都及格；（2） 王同學(xué)語文考試及格，但數(shù)學(xué)考試不及格；（3） 王同學(xué)語文考試及格，但數(shù)學(xué)和英語考試都不及格；（4） 王同學(xué)語文、數(shù)學(xué)、英語考試都不及格；（5） 王同學(xué)語文、數(shù)學(xué)、英語考試恰有一門及格；（6） 王同學(xué)語文、數(shù)學(xué)、英語考試至少恰有一門及格；（7） 王同學(xué)語文、數(shù)學(xué)、英語考試至少恰有一門不及格。習(xí)題1判斷下列命題的真假。（1）3是6的約數(shù)且是8的約數(shù)；（2）4

13、是偶數(shù)或6是偶數(shù)；（3）全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等且對(duì)應(yīng)角相等；（4）是有理數(shù)或是無理數(shù)。2把下列命題用“且”和“或”聯(lián)結(jié)成新的命題，并判斷真假。（1）p：12是3的倍數(shù)，q：12是5的倍數(shù)；（2）p：7Q，q：3.14Q。3寫出下列命題的否定，并判斷真假。（1）三角函數(shù)y=sin x在定義域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；（2）120是24的倍數(shù)。3邏輯變量與基本運(yùn)算（2課時(shí)）在日常生產(chǎn)生活中，很多事物的變化只表現(xiàn)為兩種狀態(tài)。我們可以用0和1兩個(gè)符號(hào)分別表示不同的狀態(tài)。習(xí)慣上，我們通常用0表示“錯(cuò)”、“假”、“關(guān)”、“斷開”、“熄”，用1表示“對(duì)”、“真”、“開”、“合上”、“亮”。借助0和1，就可以建立兩個(gè)開關(guān)

14、并聯(lián)和串聯(lián)電路的數(shù)學(xué)模型。探究 觀察在如圖所示的并聯(lián)電路：（1）完成開關(guān)A、B與燈L的狀態(tài)的列表：開關(guān)A開關(guān)B燈L合上合上亮合上斷開斷開合上斷開斷開熄（2）如果規(guī)定“合上”用1表示，“斷開”用0表示；燈“亮”用1表示，燈“熄”用0表示，那么請(qǐng)你將上表改寫：開關(guān)A開關(guān)B燈L11110新知可以看到，燈L是否亮，取決于開關(guān)A、B的狀態(tài)，它們之間具有因果邏輯關(guān)系。邏輯代數(shù)研究的就是這種邏輯關(guān)系。開關(guān)A、B，燈L的狀態(tài)會(huì)發(fā)生變化，且只有兩種變化的狀態(tài)，這樣的量稱為邏輯變量，常用大寫字母A、B、L、表示。邏輯變量只有兩種狀態(tài)，只能取值0和1。這里的0和1只是一種符號(hào)，表示兩種對(duì)立的狀態(tài)，它們之間沒有數(shù)的大

15、小關(guān)系。0和1，稱為邏輯常量。邏輯代數(shù)中，有邏輯變量，有邏輯常量，也有運(yùn)算的概念。它們就是下面要介紹的或運(yùn)算、與運(yùn)算和非運(yùn)算，統(tǒng)稱為邏輯運(yùn)算。1或運(yùn)算一個(gè)事件的發(fā)生依賴于兩個(gè)條件，當(dāng)這兩個(gè)條件中至少有一個(gè)成立時(shí)，這個(gè)事件發(fā)生，我們稱這種邏輯關(guān)系為“或”邏輯關(guān)系。例如在上面的并聯(lián)電路中，燈L亮否取決于開關(guān)A、B的狀態(tài)，當(dāng)A、B中至少有一個(gè)“合上”時(shí)，燈L就亮了。這里燈L與開關(guān)A、B的關(guān)系就是邏輯或（也叫做邏輯加），記作L=A+B。因此，表2可以改寫為：ABA+B111+1=1101+0=1010+1=1000+0=0其中“1+1=1,1+0=1,0+1=1,0+0=0”，是或運(yùn)算的運(yùn)算規(guī)則，上表

16、叫做或運(yùn)算的真值表。如果將A和B看出輸入，A+B看出輸出的話，或運(yùn)算的規(guī)則可總結(jié)為“有1出1，全0出0”。2與運(yùn)算一個(gè)事件的發(fā)生依賴于兩個(gè)條件，當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)條件同時(shí)成立時(shí)，這個(gè)事件才發(fā)生，我們稱這種邏輯關(guān)系為“與”邏輯關(guān)系。例如在下面的串聯(lián)電路中，燈L亮否取決于開關(guān)A、B的狀態(tài)，當(dāng)A、B同時(shí)“合上”時(shí)，燈L就亮了。這里燈L與開關(guān)A、B的關(guān)系就是邏輯與（也叫做邏輯乘），記作L=A·B，在不會(huì)引起誤解的情況下，“·”也可以省略，即寫成L=AB?？梢杂孟卤肀硎綥與A、B之間的關(guān)系：ABA·B111·1=1101·0=0010·1=0000

17、·0=0其中“1·1=1,1·0=0,0·1=0,0·0=0”，是與運(yùn)算的運(yùn)算規(guī)則，上表叫做與運(yùn)算的真值表。如果將A和B看出輸入，A·B看出輸出的話，與運(yùn)算的規(guī)則可總結(jié)為“有0出0，全1出1”。例1 寫出下式的運(yùn)算結(jié)果：先算“與”，再算“或”哦?。?）1·1+0（2）1+0·1+0解 （1）1·1+0=1+0=1；（2）1+0·1+0=1+0+0=1隨堂練習(xí)1寫出下式的運(yùn)算結(jié)果：（1）1+1·0（2）0+0·1+0（3）0+0·1+0·03非運(yùn)算“非”就是

18、“反”的意思。一個(gè)事件的發(fā)生依賴于一個(gè)條件，當(dāng)這個(gè)條件成立時(shí)，這個(gè)事件不發(fā)生；反之，當(dāng)這個(gè)條件不成立時(shí)，這個(gè)事件發(fā)生。我們稱這種邏輯關(guān)系為“非”邏輯關(guān)系。例如在下面的電路中，燈L亮否取決于開關(guān)A的狀態(tài)，當(dāng)A“斷開”，時(shí)，燈L就亮；當(dāng)A“合上”時(shí)，因?yàn)槎搪罚瑹鬖就不亮了。這里燈L與開關(guān)A的關(guān)系就是邏輯非，記作L=?？梢杂孟卤肀硎綥與A之間的關(guān)系：A1001如果將A看出輸入，看出輸出的話，與運(yùn)算的規(guī)則可總結(jié)為“進(jìn)0出1，進(jìn)1出0”。其中“=1, =0,”，是非運(yùn)算的運(yùn)算規(guī)則，上表叫做非運(yùn)算的真值表。4“或”“與”“非”的復(fù)合運(yùn)算日常生活中的邏輯關(guān)系往往比單一的“或”“與”“非”復(fù)雜。例如下圖描述燈

19、F和開關(guān)A、B、C的關(guān)系時(shí)，就要綜合運(yùn)用這些運(yùn)算。事實(shí)上，我們知道只有A閉合，且B或C閉合時(shí)，F(xiàn)才會(huì)亮，這可以表示為F=A·（B+C）。該式右邊實(shí)際上就是“或”“與”“非”的復(fù)合運(yùn)算。再如 (B)+C + D，也是一個(gè)復(fù)合運(yùn)算，其中A、B、C、D都是邏輯變量。當(dāng)然因?yàn)槔ㄌ?hào)太多，上面的式子看上去比較復(fù)雜。我們規(guī)定，在邏輯運(yùn)算中，必須先算“非”，再算“與”，最后算“或”（這與數(shù)學(xué)中“先乘除，后加減”的規(guī)定類似）。于是上式可以寫成B+C+ D例2 寫出下列各式的運(yùn)算結(jié)果：（1）·0 +1+ 1·0+0（2）0+·+1+ 1·0+1解 （1）·

20、;0 +1+ 1·0+0=0·0+1+1·0+0 =0+1+0+0 =1+0+0 =1+0 =1（2）0+·+1+ 1·0+1 =0+0·0+1+ 1·0+1 =0+0+1+0+1 =1隨堂練習(xí)1. 填表：ABA+BAB010011102填表：ABAB +AB01001110數(shù)學(xué)應(yīng)用 前面討論的電路圖都是由開關(guān)、電燈等元件組成的，隨著電子技術(shù)的不斷發(fā)展，能夠?qū)崿F(xiàn)各種邏輯運(yùn)算的電子線路裝置（稱為邏輯元件）已經(jīng)被人們普遍采用。在數(shù)字電路學(xué)中，把能實(shí)現(xiàn)或運(yùn)算L=A+B的邏輯電路叫做或門，把能實(shí)現(xiàn)或運(yùn)算L=A·B的邏輯電路

21、叫做與門，把能實(shí)現(xiàn)非運(yùn)算L=的邏輯電路叫做非門。通常用下圖表示或門、與門、非門。練習(xí)1.填表：AB+010011102寫出下列各式的運(yùn)算結(jié)果：（1）（2）（3）4邏輯式與真值表（1課時(shí)）我們知道除了單一的“或”“與”“非”運(yùn)算外，還有它們之間的的復(fù)合運(yùn)算，下面將對(duì)此進(jìn)一步討論。有常量1、0以及邏輯變量經(jīng)邏輯運(yùn)算構(gòu)成的式子叫做邏輯代數(shù)式，簡(jiǎn)稱邏輯式。例如上面討論的A、A·（B+C）、(B)+C + D、1、0等都是邏輯式。這里我們把表示常量的1和0，以及單個(gè)變量，都看作是邏輯式。正如前面的討論，邏輯運(yùn)算的優(yōu)先次序依次為“非運(yùn)算”、“與運(yùn)算”、“或運(yùn)算”，如果有添加括號(hào)的邏輯式，首先要進(jìn)

22、行括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算。將各邏輯變量取定的一組值代人邏輯式，經(jīng)過運(yùn)算，可以得到邏輯式的一個(gè)值（0或1）。因?yàn)檫壿嬜兞恐荒苋?或1，所以對(duì)于一個(gè)給定的邏輯式來說，大家關(guān)心的是邏輯變量為0或1時(shí)，邏輯式的值，這通?？梢杂帽砀竦男问綄⑵浔硎境鰜?。列出邏輯變量的一切可能取值與相應(yīng)的邏輯式的值的表，叫做邏輯式的真值表。下表就是的真值表。AB111100010001如果對(duì)于邏輯變量的任何一組取值，兩個(gè)邏輯式的值都相等，這樣的兩個(gè)邏輯式叫做等值邏輯式，等值邏輯式可用“=”連接，并稱為等式。需要注意，這種相等是狀態(tài)的相同。例1 用真值表驗(yàn)證下列等式是否成立。（1）；（2）A·（B+C）=A·B+A

23、·C解 （1）列出真值表：ABA+B1110000101001001101000001111可以看出對(duì)于邏輯變量的任何一組值，與的值都相同，所以。（2）列出真值表：ABCB+CA·（B+C）A·BA·CA·B+A·C1111111111011101101110111000000001110000010100000011000000000000可以看出對(duì)于邏輯變量的任何一組值，A·（B+C）與A·B+A·C的值都相同，所以A·（B+C）=A·B+A·C。隨堂練習(xí)1.填寫下列真值

24、表：（1）ABA·B（2）ABA+B問題解決如圖，開關(guān)電路中的燈L的狀態(tài)，能否用開關(guān)A、B、C的邏輯運(yùn)算來表示？試給出該邏輯運(yùn)算的結(jié)果。解 這個(gè)電路中的開關(guān)A、B、C相并聯(lián)的電路，三個(gè)開關(guān)中至少有一個(gè)“合上”時(shí)，燈L就亮了，所以用邏輯加。L=A+B+C其真值表為：ABCA+B+C11111101101110010111010100110000練習(xí)1 列出S=的真值表。2 用真值表驗(yàn)證下列等式是否成立：（1）（2）A+A·B=A3觀察如圖所示的電路，用邏輯變量A、B表示S，并列出真值表。（A·）5邏輯運(yùn)算律（1課時(shí)）與普通代數(shù)相類似，邏輯代數(shù)中也有許多運(yùn)算律。運(yùn)用邏

25、輯運(yùn)算的運(yùn)算律能夠?qū)⑦壿嬍阶冃位蚧?jiǎn)。探究根據(jù)邏輯常量的基本運(yùn)算，不論邏輯變量A取1或0，你能猜測(cè)出下列各式的結(jié)果嗎？（1）0·A；（2）1+A；（3）1·A；（4）0+A新知常用的邏輯運(yùn)算的運(yùn)算律如下表：運(yùn)算律名稱運(yùn)算律公式表示0-1律0·A=01+A=1自等律1·A=A0+A=A重疊律A·A=AA+A=A互補(bǔ)律A·=0A+=1交換律A·B=B·AA+B=B+A結(jié)合律A·（B·C）=（A·B）·CA+（B+C）=（A+B）+C分配律A·（B+C）=A·B

26、+A·CA+（B·C）=（A+B）·（A+C）吸收律A+A·B=AA·（A+B）=A反演律還原律上表中的運(yùn)算律都可以通過真值表一一驗(yàn)證。利用這些運(yùn)算律化簡(jiǎn)邏輯式時(shí)，一般需要以下幾個(gè)步驟：（1） 去掉括號(hào)；（2） 使得項(xiàng)數(shù)最少；（3） 基本邏輯變量出現(xiàn)的次數(shù)最少。例1 利用運(yùn)算律求證：證明： （分配律） =A·1 （互補(bǔ)律） =A （自等律）例2 化簡(jiǎn)：（1）；（2）；（3）解 （1）= （反演律） = （結(jié)合律） = （重疊律）（2）= （反演律） = （還原律）（3）= （反演律） = （反演律） = （交換律、結(jié)合律） = （吸收

27、律）隨堂練習(xí)1化簡(jiǎn)：（1）；（2）問題解決某躍層住戶，在一樓樓梯裝有開關(guān)A，在二樓樓梯裝有開關(guān)B，在一樓和二樓之間的樓梯口裝有一盞電燈D。設(shè)計(jì)電路用開關(guān)A、B控制電燈，即改變?nèi)我庖粋€(gè)開關(guān)的狀態(tài)，都能改變電燈的狀態(tài)。寫出這個(gè)電路的邏輯表達(dá)式。解 列出A、B、D的真值表進(jìn)行分析。ABD000011101110根據(jù)上表發(fā)現(xiàn)，當(dāng)A=0且B=1時(shí)，或A=1且B=0時(shí)，燈亮。即=1或，由此得到邏輯式，可以使用兩個(gè)“一刀雙擲開關(guān)”來實(shí)現(xiàn)這個(gè)線路，電路圖如下。練習(xí)1用真值表證明下列各式：（1）A+1=A；（2）A+=1；（3）A·（A+B）=A2化簡(jiǎn)：（1）；（2）（建議閱讀）6邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)

28、法（3課時(shí)）通過上一節(jié)的學(xué)習(xí)，我們發(fā)現(xiàn)邏輯式是可以進(jìn)行化簡(jiǎn)的，但是只有在熟練掌握運(yùn)算律的基礎(chǔ)上才能用好。有沒有其他化簡(jiǎn)邏輯式的方法呢？答案是肯定的。下面介紹最常用的卡諾圖化簡(jiǎn)法，不過這得從邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)談起。1邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)反映邏輯變量之間關(guān)系的函數(shù)叫做邏輯函數(shù)。邏輯函數(shù)中的自變量是邏輯變量，取值范圍是1和0。與普通代數(shù)類似，邏輯函數(shù)可以寫作Y=f（A，B，C）其中，邏輯變量A、B、C為自變量，邏輯變量Y為自變量的函數(shù)。邏輯函數(shù)一般用邏輯式來表示，這個(gè)邏輯式叫做邏輯函數(shù)的表達(dá)式。例如Y= f（A，B，C） =一般地，邏輯函數(shù)中不含有或運(yùn)算的項(xiàng)叫做邏輯函數(shù)的與項(xiàng)（與項(xiàng)中每一個(gè)邏輯變量都叫做這

29、個(gè)與項(xiàng)的因子），由若干個(gè)與項(xiàng)進(jìn)行或運(yùn)算所組成的式子叫做函數(shù)的與或式。例如上述的邏輯函數(shù)Y，、都是與項(xiàng)，A、B、C都是ABC的因子，而且Y是一個(gè)與或式。對(duì)于含有n個(gè)自變量的邏輯函數(shù)，如果它的一個(gè)與項(xiàng)中，每一個(gè)自變量都出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一次，那么這個(gè)與項(xiàng)就叫做這個(gè)邏輯函數(shù)的一個(gè)最小項(xiàng)。例如，對(duì)于邏輯函數(shù)f（A，B），AB、都是它的最小項(xiàng)，但是A、都不是，前者因?yàn)椴缓宰兞緽，后者因?yàn)锳出現(xiàn)不止一次。例1 對(duì)于，指出它的與項(xiàng)和最小項(xiàng)。解 ，它的與項(xiàng)是；它的最小項(xiàng)是。2最小項(xiàng)的編號(hào)在電子電路的有關(guān)知識(shí)中，通常將f（A，B，C）的最小項(xiàng)、記作m1、m3.也許大家會(huì)問，其中的下標(biāo)1和3是怎么得到的呢？這和我們前

30、面學(xué)過的二進(jìn)制有關(guān)。如果將A、B、C都記為1，而都記為0，那么就是001，就是011，化成十進(jìn)制數(shù)分別是1和3.同理，對(duì)于三個(gè)自變量的邏輯函數(shù)f（A，B，C），有，用這種方法可以給每一個(gè)邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)一個(gè)簡(jiǎn)單的記號(hào)。例如f（A，B，C，D）的最小項(xiàng)可以記作m10，這是因?yàn)?。? 對(duì)于兩個(gè)自變量的邏輯函數(shù)f（A，B），列出它的全部最小項(xiàng)，并求出每個(gè)最小項(xiàng)相應(yīng)的下標(biāo)。解 對(duì)于兩個(gè)自變量的邏輯函數(shù)f（A，B），它的全部最小項(xiàng)是：且，3最小項(xiàng)表達(dá)式任何一個(gè)邏輯函數(shù)都可以寫成它的最小項(xiàng)的與或式，這叫做該邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式。為了獲得最小項(xiàng)表達(dá)式，首先要將邏輯函數(shù)寫成與或式，然后將因子不足的項(xiàng)進(jìn)行配項(xiàng)

31、補(bǔ)足。假定現(xiàn)有乘積項(xiàng)AB，需補(bǔ)足變量C，只要構(gòu)造AB=AB（C+）例3 將邏輯函數(shù)表示為最小項(xiàng)表達(dá)式。解 例4 已知邏輯函數(shù)的真值表如下，試寫出它的最小項(xiàng)表達(dá)式。ABC00010011010001101000101111001111解 由真值表可以看出，當(dāng)ABC分別是000、001、101、111時(shí)，邏輯函數(shù)的取值為1，所以隨堂練習(xí)1將下列邏輯函數(shù)（三個(gè)自變量）表示為最小項(xiàng)表達(dá)式：（1）；（2）；（3）2已知邏輯函數(shù)的真值表如下，試寫出它的最小項(xiàng)表達(dá)式。AB0010101011114邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法，是一個(gè)最小項(xiàng)表達(dá)式。實(shí)際上，這樣表示的邏輯函數(shù)，還可以用卡諾圖直觀地表示出來，具體方法如

32、下：就像得到最小項(xiàng)編碼時(shí)一樣，用00表示，用10表示，用11表示，如圖1所示，將表格中對(duì)應(yīng)的格子填上1，其他的格子填上0，就得到了邏輯函數(shù)的卡諾圖。 BA01010111 圖1一般地，對(duì)于給定的一個(gè)邏輯函數(shù)最小項(xiàng)表達(dá)式，按以下方法可得到它的卡諾圖表示：如果它含有2個(gè)邏輯變量（記為A，B），只需按照上面的方法填好圖1的表格即可；如果它含有3個(gè)邏輯變量（記為A，B，C），只需按照上面的方法填好圖2的表格即可；如果它含有4個(gè)邏輯變量（記為A，B，C，D），只需按照上面的方法填好圖3的表格即可。即只要將最小項(xiàng)表示式中出現(xiàn)過的最小項(xiàng)對(duì)應(yīng)編號(hào)處填1，其余地方填0即可。 CDAB00011110000111

33、10 BCA0001111001 圖2 圖3例5 先寫出的最小項(xiàng)表達(dá)式，然后畫出對(duì)應(yīng)的卡諾圖。解 對(duì)應(yīng)的卡諾圖如下： BCA000111100100110011 隨堂練習(xí)1先寫出下列邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式，然后畫出對(duì)應(yīng)的卡諾圖。（1）（2）5利用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)由于卡諾圖中相鄰的兩個(gè)方格內(nèi)，對(duì)應(yīng)的是邏輯相鄰的最小項(xiàng)，可以合并成一項(xiàng)，并消去以相反狀態(tài)出現(xiàn)的1個(gè)變量；相鄰的四個(gè)最小項(xiàng)，可以消去2個(gè)變量；相鄰的八個(gè)最小項(xiàng)，可以消去3個(gè)變量。例如，的卡諾圖如下： BA01011110其中，與是相鄰的最小項(xiàng)，且，所以可以合并成一項(xiàng)。所以可以化簡(jiǎn)為。值得注意的是，這樣的化簡(jiǎn)方式不唯一，例如上面的，也可以

34、按照虛線圈來化簡(jiǎn)，這是A的取值既有0又有1，可以消去，所以也可以化簡(jiǎn)為。因此利用卡諾圖，采用“圈1”的方法，可以化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)表達(dá)式，其基本步驟是：“圈1”時(shí)需要注意：（1） 卡諾圖是一張表，除了直接相鄰的兩個(gè)格子稱為相鄰?fù)?，表中最上面一行與最下面一行、最左邊一列與最右邊一列對(duì)應(yīng)的方格也稱為相鄰；（2） 圈內(nèi)的相鄰項(xiàng)，只能為2項(xiàng)、4項(xiàng)或8項(xiàng)，并且圈的個(gè)數(shù)盡量少。（1） 將表達(dá)式用最小項(xiàng)的和表示；（2） 畫出函數(shù)的卡諾圖；（3） 在卡諾圖中“圈1”；（4） 消去各圈中以相反狀態(tài)出現(xiàn)的變量；（5） 寫出化簡(jiǎn)后的邏輯函數(shù)表達(dá)式。例6 用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)解 邏輯函數(shù)的卡諾圖為： BCA00011110

35、0011110100所以，例7 化簡(jiǎn)解 其卡諾圖如下： BCA000111100111110110在上面的圈中，可以消去兩個(gè)量（B與、C與消去，保留），中間的圈也可以消去兩個(gè)量（B與、A、 C保留）。所以，例8化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)解 邏輯函數(shù)的卡諾圖如下：CDAB00011110000010011011110111100001所以，隨堂練習(xí)1利用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)：（1）（2）練習(xí)1將下列邏輯函數(shù)（三個(gè)自變量）表示為最小項(xiàng)表達(dá)式：（1）；（2）。2已知邏輯函數(shù)的真值表如下，試寫出它的最小項(xiàng)表達(dá)式。ABC000100110100011110001010110111113先寫出下列邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式，

36、然后畫出對(duì)應(yīng)的卡諾圖。（1）（2）4利用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)：（1）（2）讀一讀邏輯代數(shù)是分析和設(shè)計(jì)邏輯電路的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。邏輯代數(shù)是由英國(guó)科學(xué)家喬治·布爾(George·Boole)創(chuàng)立的，故又稱布爾代數(shù)。     布爾1815年生于倫敦的布爾家境貧寒，父親是位鞋匠，無力供他讀書。他的學(xué)問主要來自于自學(xué)。年僅12歲，布爾就掌握了拉丁文和希臘語，后來又自學(xué)了意大利語和法語。16歲開始任教以維持生活，從20歲起布爾對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了濃厚興趣，廣泛涉獵著名數(shù)學(xué)家牛頓、拉普拉斯、拉格朗日等人的數(shù)學(xué)名著，并寫下大量筆記。這些筆記中的思想，1847年被用于他的第一部著作邏輯的數(shù)學(xué)分析之中。 1854年，已經(jīng)擔(dān)任柯克大學(xué)教授的布爾再次出版思維規(guī)律的研究邏輯與概率的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)。以這兩部著作，布爾建立了一門新的數(shù)學(xué)學(xué)科。