CRM客戶關系管理知識培訓的目的

1、控制工程基礎第三章主講教師：姚婷梅第三章 時域分析法一、典型輸入信號二、一階系統(tǒng)的時間響應三、二階系統(tǒng)的時間響應四、高階系統(tǒng)的時間響應五、誤差分析和計算六、穩(wěn)定性分析七、時域特性的計算機輔助分析八、小結一一、典型輸入信號l 時域分析的目的時域分析的目的 在時間域，研究在一定的輸入信號作用下，系統(tǒng)輸出隨時間變化的情況，以分析和研究系統(tǒng)的控制性能。優(yōu)點優(yōu)點：直觀、簡便 第三章 時域分析法l 典型輸入信號典型輸入信號第三章 時域分析法一般，系統(tǒng)可能受到的外加作用有控制輸入和擾動，擾動通常是隨機的，即使對控制輸入，有時其函數形式也不可能事先獲得。在時間域進行分析時，為了比較不同系統(tǒng)的控制性能，需要規(guī)定

2、一些具有典型意義的輸入信號建立分析比較的基礎。這些信號稱為控制系統(tǒng)的典型輸入信號。 對典型輸入信號的要求第三章 時域分析法q 形式簡單，便于解析分析；q 能夠使系統(tǒng)工作在最不利的情形下；q 實際中可以實現或近似實現。第三章 時域分析法 常用的典型輸入信號Asint 正弦信號 1(t)，t=0 單位脈沖信號 單位加速度信號 t， t0 單位速度(斜坡)信號 1(t)，t0 單位階躍信號 復數域表達式 時域表達式 名 稱 s121s31s22sA0,212tt第三章 時域分析法能反映系統(tǒng)在工作過程中的大部分實際情況； 典型輸入信號的選擇原則如：若實際系統(tǒng)的輸入具有突變性質，則可選階躍信號；若實際系

3、統(tǒng)的輸入隨時間逐漸變化，則可選速度信號。注意：對于同一系統(tǒng)，無論采用哪種輸入信號，由時域分析法所表示的系統(tǒng)本身的性能不會改變。第三章 時域分析法二二、一階系統(tǒng)的時間響應l 一階系統(tǒng)（慣性環(huán)節(jié)）一階系統(tǒng)（慣性環(huán)節(jié)） l 一階系統(tǒng)的一階系統(tǒng)的單位階躍響應單位階躍響應ssXi1)(TsssTssXsGsXio111111)()()(11)(TssG極點（特征根）：-1/T第三章 時域分析法0,1)(tetxTto10.6321TA0B斜率=1/T2T3T4T5Txo(t)tTtoetx/1)(63.2%86.5%95%98.2%99.3%99.8%6T第三章 時域分析法 一階系統(tǒng)單位階躍響應的特點q

4、 響應分為兩部分 瞬態(tài)響應：Tte表示系統(tǒng)輸出量從初態(tài)到終態(tài)的變化過程（動態(tài)/過渡過程） 穩(wěn)態(tài)響應：1表示t時，系統(tǒng)的輸出狀態(tài)q xo(0) = 0，隨時間的推移， xo(t) 指數增大， 且無振蕩。 xo() = 1，無穩(wěn)態(tài)誤差；第三章 時域分析法q xo(T) = 1 - e-1 = 0.632，即經過時間T，系統(tǒng) 響應達到其穩(wěn)態(tài)輸出值的63.2%，從而可以 通過實驗測量慣性環(huán)節(jié)的時間常數T；Tdttdxto1)(0q q 時間常數T反映了系統(tǒng)響應的快慢。通常工 程中當響應曲線達到并保持在穩(wěn)態(tài)值的95% 98%時，認為系統(tǒng)響應過程基本結束。從 而慣性環(huán)節(jié)的過渡過程時間為3T4T。第三章 時

5、域分析法q 將一階系統(tǒng)的單位階躍響應式改寫為：即ln1-xo(t)與時間t成線性關系。該性質可用于判別系統(tǒng)是否為慣性環(huán)節(jié)，以及測量慣性環(huán)節(jié)的時間常數。)(1txeoTt)(1ln1txtTotln1-xo(t)0第三章 時域分析法l 一階系統(tǒng)的一階系統(tǒng)的單位速度響應單位速度響應21)(ssXiTsTsTssTssXsGsXio11111)()()(220,)(tTeTttxTto第三章 時域分析法0txo(t)xi(t)xi(t)=txo(t)=t-T+Te-t/Te()=TT第三章 時域分析法 一階系統(tǒng)單位速度響應的特點q 瞬態(tài)響應：T e t /T ；穩(wěn)態(tài)響應：t T；q 經過足夠長的時間

6、(穩(wěn)態(tài)時，如t 4T)，輸 出增長速率近似與輸入相同，此時輸出為： t T，即輸出相對于輸入滯后時間T； q 系統(tǒng)響應誤差為： TeeTtxtxteTtoi)()1 ()()()(第三章 時域分析法l 一階系統(tǒng)的一階系統(tǒng)的單位脈沖響應單位脈沖響應1)(sXiTsTsGsXo111)()(0,1)(teTtxTtoxo(t)1/T0t0.368 1T斜率xo(t)T21T第三章 時域分析法 一階系統(tǒng)單位脈沖響應的特點q 瞬態(tài)響應：(1/T )e t /T ；穩(wěn)態(tài)響應：0；q xo(0)=1/T,隨時間的推移，xo(t)指數衰減；q 對于實際系統(tǒng)，通常應用具有較小脈沖寬 度（脈沖寬度小于0.1T）

7、和有限幅值的脈 沖代替理想脈沖信號。 201)(Tdttdxtoq 第三章 時域分析法l 線性定常系統(tǒng)時間響應的性質線性定常系統(tǒng)時間響應的性質 系統(tǒng)時域響應通常由穩(wěn)態(tài)分量和瞬態(tài)分量 共同組成，前者反映系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)特性，后 者反映系統(tǒng)的動態(tài)特性。 注意到： tdtdttdtdt)(1)(1)(第三章 時域分析法TtotTtoTtoTeTttxetxeTtx)(1)(1)(1對一階系統(tǒng)：)()()()(11txdtdtxtxdtdtxotooo即：系統(tǒng)對輸入信號導數的響應等于系統(tǒng)對該系統(tǒng)對輸入信號導數的響應等于系統(tǒng)對該輸入信號響應的導數輸入信號響應的導數。第三章 時域分析法同樣可知，系統(tǒng)對輸入信號積

8、分的響應等于系系統(tǒng)對輸入信號積分的響應等于系統(tǒng)對該輸入信號響應的積分，其積分常數由初統(tǒng)對該輸入信號響應的積分，其積分常數由初始條件確定始條件確定。這種輸入輸出間的積分微分性質對任何線性定常系統(tǒng)均成立。第三章 時域分析法三三、二階系統(tǒng)的時間響應l 二階系統(tǒng)二階系統(tǒng) 222222121)(nnnssTssTsG其中，T為時間常數，也稱為無阻尼自由振蕩 周期， 為阻尼比； n1/T為系統(tǒng)的無阻尼固有頻率。第三章 時域分析法 臨界阻尼二階系統(tǒng)： 1具有兩個相等的負實數極點：np2 , 1其中，稱為阻尼振蕩頻率。21nd系統(tǒng)包含兩類瞬態(tài)衰減分量：ttnntee,第三章 時域分析法 過阻尼二階系統(tǒng)： 1具

9、有兩個不相等的負實數極點：122 , 1nnp系統(tǒng)包含兩類瞬態(tài)衰減分量：tnn1exp2 零阻尼二階系統(tǒng)： 0具有一對共軛虛極點：njp2 , 1 負阻尼二階系統(tǒng)： 0極點實部大于零，響應發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定。系統(tǒng)時域響應含有復指數振蕩項：tjne第三章 時域分析法l 二階系統(tǒng)的二階系統(tǒng)的單位階躍響應單位階躍響應 第三章 時域分析法ssXi1)()2()()()(222nnniossssXsGsX 欠阻尼（01）狀態(tài) 0)11 (21)11 (211)()1(22)1(2222teetxttonn，01txo(t)q 特點 單調上升，無振蕩， 過渡過程時間長 xo () = 1，無穩(wěn)態(tài) 誤差。 第

10、三章 時域分析法 無阻尼（=0）狀態(tài) 0,cos1)(tttxno210txo(t)q 特點 頻率為n的等 幅振蕩。第三章 時域分析法 負阻尼（0）狀態(tài) 0txo(t)-10t0 xo(t)-1q -10：輸出表達式與欠阻尼狀態(tài)相同。 q -1：輸出表達式與過阻尼狀態(tài)相同。 特點：振蕩發(fā)散 特點：單調發(fā)散 第三章 時域分析法 幾點結論 q 二階系統(tǒng)的阻尼比 決定了其振蕩特性： 0 時，階躍響應發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定； 1 時，無振蕩、無超調，過渡過程長；0 1：012)(11222teetxttnonn = 1：0,)(2ttetxtnon 0 1：0,1212121212122)(12221222

11、22teettxtntnnonn = 1：0,21122)(tetttxtnnnon第三章 時域分析法 01：1212,10),sin(12)(222arctgttettxnddtdnon = 0：0,sin1)(ttttxnno第三章 時域分析法l 例題例題 例1單位脈沖信號輸入時，系統(tǒng)的響應為：求系統(tǒng)的傳遞函數。 toetx657)(解解：由題意Xi(s)=1，所以： 57)()()()()(6tooioeLtxLsXsXsXsG)6(422657sssss第三章 時域分析法 例2解解：1）單位階躍輸入時 已知系統(tǒng)傳遞函數：求系統(tǒng)的單位階躍響應和單位脈沖響應。2) 1(12)(sssG11

12、) 1(11) 1(12)()()(22sssssssXsGsXio從而： ttooetesXLtx1)()(第三章 時域分析法2）單位脈沖輸入時，由于)( 1 )(tdtdt 因此：ttooteetxdtdtx2)()(1第三章 時域分析法l 二階系統(tǒng)的性能指標二階系統(tǒng)的性能指標 控制系統(tǒng)的時域性能指標 控制系統(tǒng)的性能指標是評價系統(tǒng)動態(tài)品質的定量指標，是定量分析的基礎。系統(tǒng)的時域性能指標通常通過系統(tǒng)的單位階躍響應進行定義。常見的性能指標有：上升時間tr、峰值時間tp、調整時間ts、最大超調量Mp、振蕩次數N。 第三章 時域分析法10tMp允許誤差=0.05或0.02trtpts0.10.9x

13、o(t)控制系統(tǒng)的時域性能指標第三章 時域分析法q 評價系統(tǒng)快速性的性能指標 上升時間tr響應曲線從零時刻出發(fā)首次到達穩(wěn)態(tài)值所需時間。對無超調系統(tǒng)，上升時間一般定義為響應曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%所需的時間。 峰值時間tp響應曲線從零上升到第一個峰值所需時間。 第三章 時域分析法 調整時間ts響應曲線到達并保持在允許誤差范圍（穩(wěn)態(tài)值的2%或5%）內所需的時間。 最大超調量Mp響應曲線的最大峰值與穩(wěn)態(tài)值之差。通常用百分數表示： q 評價系統(tǒng)平穩(wěn)性的性能指標 第三章 時域分析法%100)()()(oopopxxtxM若xo(tp) xo()，則響應無超調。 振蕩次數N在調整時間ts內系統(tǒng)響應

14、曲線的振蕩次數。實測時，可按響應曲線穿越穩(wěn)態(tài)值次數的一半計數。第三章 時域分析法 欠阻尼二階系統(tǒng)的時域性能指標 上升時間tr1sin11)(2rdtrotetxrn根據上升時間的定義有：欠阻尼二階系統(tǒng)的階躍響應為：0),sin(11)(2ttetxdton第三章 時域分析法2221arccos11nndrarctgt從而：顯然， 一定時，n越大，tr越?。患矗?sinrdt, 2, 1, 0,kktrdn一定時， 越大，tr 越大。第三章 時域分析法 峰值時間tp，并將t = tp代入可得： 0)(dttdxo令0)cos(1)sin(122pdtdpdtntetepnpn即： tgttgpd

15、21)(, 2, 1, 0,kktpd第三章 時域分析法根據tp的定義解上方程可得： 21ndpt可見，峰值時間等于阻尼振蕩周期Td2/d的一半。且一定，n越大，tp越??；n一定， 越大，tp 越大。第三章 時域分析法 最大超調量 Mp%100%100)()()(21exxtxMoopop顯然，Mp僅與阻尼比有關。最大超調量直接說明了系統(tǒng)的阻尼特性。 越大， Mp 越小，系統(tǒng)的平穩(wěn)性越好，當 = 0.40.8時，可以求得相應的 Mp = 25.4%1.5%。第三章 時域分析法00.10.20.30.40.50.60.70.80.910102030405060708090100Mp二階系統(tǒng)Mp

16、圖第三章 時域分析法 調整時間ts對于欠阻尼二階系統(tǒng)，其單位階躍響應的包絡線為一對對稱于響應穩(wěn)態(tài)分量 1 的指數曲線： 211tnet01xo(t)211tne211tnenT121112111T2T3T4TT2arccos21dt第三章 時域分析法當包絡線進入允許誤差范圍之內時，階躍響應曲線必然也處于允許誤差范圍內。因此利用： 1112tnenst21lnln可以求得：由上式求得的ts包通常偏保守。第三章 時域分析法0.10.20.30.40.50.60.70.80.910510152025303540=5%=2%nts21lnlnsnt實際的nts曲線如下圖所示第三章 時域分析法由圖可見：

17、當由零增大時，nts先減小后增大，當= 5%時，nts的最小值出現在0.78處；當= 2%時，nts的最小值出現在0.69處；出現最小值后，nts隨幾乎線性增加。nts出現最小值的原因：增大時，響應的振蕩逐漸減小，nts 減小，但同時降低了響應起始段的上升速度(tr 加大)。二因素比較，在起始段前者起主要作用，nts 下降。這一段曲線上的突跳點與響應曲線切于允許誤差線相對應；第三章 時域分析法當增加到0.7左右，振蕩很小，此時起始段上升速度的下降對nts 的影響起主導作用，導致nts增加。當一定時，n越大，ts越小，系統(tǒng)響應越快。05. 0,302. 0,41lnln2nnnst當01，則即

18、擾動作用點前的前向通道傳遞函數G1(0)越大，由一定的擾動引起的穩(wěn)態(tài)誤差越小。第三章 時域分析法 系統(tǒng)總誤差 ssnssiss當系統(tǒng)同時受到輸入信號Xi(s)和擾動信號N(s)作用時，由疊加原理，系統(tǒng)總的穩(wěn)態(tài)偏差：ssnssisseee穩(wěn)態(tài)誤差：第三章 時域分析法 例題系統(tǒng)結構圖如下，其中K1、K2 、K3、 K4、 T為常數，試求當輸入xi(t)=1+t以及擾動作用下，使系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差為零的K4值和G0(s)。sK213TsKK1G0(s)Xi(s)Xo(s)+_+_K4N(s)第三章 時域分析法解解：n(t)=0時sK213TsKK1Xi(s)Xo(s)_+K4321232143)(KKKs

19、TsKKKsKKsi系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數：第三章 時域分析法)()1 ()()(1)()()(3212432sXKKKsTssKKTssXssXsXsEiiioori2321243211)1 (ssKKKsTssKKTssKKKsTsKKTsKKKsTsKKTs1)1 ()1 (32124332124301)(lim321430KKKKKssEesssi341KK 第三章 時域分析法注：已知輸入作用下閉環(huán)傳遞函數時，穩(wěn)態(tài)誤差也可由其等效單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數通過穩(wěn)態(tài)誤差系數求解。sKKTsKKKsKKsssGiii)1 ()(1)()(43232143)(1)()(sGsGs)(1)()(ss

20、sG要使系統(tǒng)對輸入xi(t)=1+t無穩(wěn)態(tài)誤差，Gi(s)需為II型系統(tǒng)，即1K3 K4 =0 K4=1/K3 。第三章 時域分析法只有擾動作用時(xi(t)=0)sKK2113TsK+G0(s)N(s)Xon(s)_3212021321)(1)()()(KKKsTssGsKKKKKsNsXsonn0)()()(sNssXnonsKKsG2101)(第三章 時域分析法q 減小穩(wěn)態(tài)誤差的方法 提高系統(tǒng)開環(huán)增益； 增加系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數中積分環(huán)節(jié)的個數； 通過順饋控制或復合控制進行補償；第三章 時域分析法Ab、不穩(wěn)定的擺AAAa、穩(wěn)定的擺六六、穩(wěn)定性分析l 穩(wěn)定的概念 穩(wěn)定性示例第三章 時域分析法

21、穩(wěn)定性定義原來處于平衡狀態(tài)的系統(tǒng)，在受到擾動作用后都會偏離原來的平衡狀態(tài)。若系統(tǒng)在擾動作用消失后，經過一段過渡過程后，系統(tǒng)仍然能夠回復到原來的平衡狀態(tài)，則稱該系統(tǒng)是（漸近）穩(wěn)定的。否則，則稱該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)自身的固有特性，取決于系統(tǒng)本身的結構和參數，與輸入無關。 第三章 時域分析法若系統(tǒng)不論擾動引起的初始偏差有多大，當擾動取消后，系統(tǒng)都能夠恢復到原有的平衡狀態(tài)，則稱該系統(tǒng)是大范圍穩(wěn)定的；否則系統(tǒng)就是小范圍穩(wěn)定的。 對于線性系統(tǒng)，小范圍穩(wěn)定一定意味著大范圍穩(wěn)定，當然此時系統(tǒng)必須工作在其線性范圍內。 第三章 時域分析法 穩(wěn)定程度臨界穩(wěn)定：若系統(tǒng)在擾動消失后，輸出與原始的平衡狀態(tài)

22、間存在恒定的偏差或輸出維持等幅振蕩，則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。 a) 穩(wěn)定b) 臨界穩(wěn)定c) 不穩(wěn)定第三章 時域分析法處于臨界穩(wěn)定，或接近臨界穩(wěn)定狀態(tài)的穩(wěn)定系統(tǒng)，由于分析時依賴的模型通常是簡化或線性化的，或者由于實際系統(tǒng)參數的時變特性等因素的影響，在實際中可能成為不穩(wěn)定的系統(tǒng)，因此，系統(tǒng)必須具備一定的穩(wěn)定裕量，以保證其在實際工作時處于穩(wěn)定狀態(tài)。 經典控制論中，臨界穩(wěn)定也視為不穩(wěn)定。第三章 時域分析法l 穩(wěn)定的條件 假設系統(tǒng)在初始條件為零時，受到單位脈沖信號(t)的作用，此時系統(tǒng)的輸出增量（偏差）為單位脈沖響應，這相當于系統(tǒng)在擾動作用下，輸出信號偏離平衡點的問題，顯然，當t時，若：0)(limtx

23、ot系統(tǒng)（漸近）穩(wěn)定。第三章 時域分析法)()()()(11101110mnasasasabsbsbsbsXsXsGnnnnmmmmio考慮系統(tǒng)01110nnnnasasasa其特征方程為：tAe對于特征方程的單實根-，相應瞬態(tài)輸出為：當- 0時，該輸出分量指數單調遞增。當- = 0時，該輸出分量為常數。第三章 時域分析法對于特征方程的一對共軛單復根- j，相應瞬態(tài)輸出為：)sin()sincos(22tCBetCtBett其中， = arctgB/C。當- 0時，該分量為指數發(fā)散的振蕩過程。當- = 0時，該分量為等幅振蕩。第三章 時域分析法)(121rrttataae對于r重實根-，相應的

24、時域分量為：當- 0時，該輸出分量指數單調遞增。當- = 0時，該輸出分量多項式遞增。第三章 時域分析法kkkrkkkkktrrrrtcbarctgttcbettctccttbtbbe, )sin(sin)(cos)(1122121121對于一對r重共軛復根 - j，相應的時域分量為：當- 0時，該分量為指數發(fā)散的振蕩過程。當- = 0時，該分量為多項式發(fā)散的振蕩過程。第三章 時域分析法綜上所述，不論系統(tǒng)特征方程的特征根為何種形式，線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：所有特征所有特征根均為負數或具有負的實數部分根均為負數或具有負的實數部分；即：所有特所有特征根均在復數平面的左半部分征根均在復數平面的左半

25、部分。由于特征根就是系統(tǒng)的極點，因此，線性系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件也可表述為：系統(tǒng)的極點均在系統(tǒng)的極點均在s平面的左半平面平面的左半平面。 顯然，穩(wěn)定性與零點無關。第三章 時域分析法l 勞斯（Routh）穩(wěn)定判據 系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件 0)()()(2101110nnnnnpspspsaasasasasD系統(tǒng)的特征方程為：其中，pi(i=0,1,2,n)為系統(tǒng)的特征根。優(yōu)點：無需求解特征根，直接通過特征方程的系數判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。第三章 時域分析法由根與系數的關系可以求得：)() 1()()()(210124213210313121022101nnnnnnnnnpppaapppppppppaapppp

26、ppaapppaa第三章 時域分析法若使全部特征根pi若均具有負實部，則要求特征方程的各項系數ai(i = 0, 1, 2, , n)均大于零，即： 注意，該條件僅為系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。 ai0 (i = 0, 1, 2, , n)第三章 時域分析法 系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件勞斯穩(wěn)定判據 其中，ai0 (i=0,1,2,n)，即滿足系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件。 0)(1110nnnnasasasasD考慮系統(tǒng)的特征方程：勞斯穩(wěn)定判據的判別過程如下： 第三章 時域分析法q 列出勞斯陣列 130211aaaaab150412aaaaab170613aaaaabsna0 a2 a4 a6 sn-1a1 a3 a5

27、 a7 sn-2b1b2b3b4 sn-3c1c2c3c4 sn-4d1d2d3d4 s2e1e2s1f1s0g1第三章 時域分析法121311bbaabc131512bbaabc141713bbaabc在上述計算過程中，為了簡化數學運算，可以用一個正整數去除或乘某一整行，這時并不改變系統(tǒng)穩(wěn)定性的結論。 121211ccbbcd131312ccbbcd141413ccbbcd第三章 時域分析法q 用勞斯判據判別系統(tǒng)穩(wěn)定性考察勞斯陣列表中第一列各數的符號，如果第一列中各數a0、a1、b1、c1、的符號相同，則表示系統(tǒng)具有正實部特征根的個數等于零，系統(tǒng)穩(wěn)定；如果符號不同，系統(tǒng)不穩(wěn)定，且符號改變的次

28、數等于系統(tǒng)具有的正實部特征根的個數。 通常a0 0，因此，勞斯穩(wěn)定判據可以簡述為勞斯陣列表中第一列的各數均大于零勞斯陣列表中第一列的各數均大于零。 第三章 時域分析法q 例題設系統(tǒng)的特征方程為：05001004)(23ssssD應用勞斯穩(wěn)定判據判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解解：勞斯陣列如下：s31100s24500s1-25 0s05000勞斯陣列第一列中元素符號改變了兩次，表明系統(tǒng)具有兩個正實部的極點，故系統(tǒng)不穩(wěn)定。事實上系統(tǒng)包含了三個極點：0.406+j10.185、0.406-j10.185、 -4.812第三章 時域分析法 低階系統(tǒng)的勞斯穩(wěn)定判據 q 二階系統(tǒng)0)(2120asasasD勞斯陣列為：s2a0a2s1a10s0a2a00，a10，a20從而，二階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為：第三章 時域分析法q 三階系統(tǒng)0)(322