高等數學偏導數

1、19.2 偏導數偏導數9.2.1 偏導數的概念及其計算法偏導數的概念及其計算法 例如例如, 二元函數二元函數 z = f (x, y), 先讓先讓 y固定固定 (即即y視為常數視為常數), 這時這時z就是就是 x的一元函數的一元函數, z 對對 x的導數的導數, 為求一元函數的變化率為求一元函數的變化率, 我們引入了導數的概念我們引入了導數的概念.對于多元函數對于多元函數, 我們先考慮它關于一個自變我們先考慮它關于一個自變量的變化率量的變化率.稱為二元函數稱為二元函數 z 對對 x的偏導數的偏導數.2設二元函數設二元函數z = f (x, y), P0(x0, y0)為平面上一點為平面上一點.

2、 定義定義9.3如果如果z = f (x, y0)在在x0的某一鄰域內有定義且在的某一鄰域內有定義且在x0點點即極限即極限xyxfyxxfx ),(),(lim00000存在存在,處處在在點點),(),(00yxyxfz 則稱此極限為函數則稱此極限為函數對對x的偏導數的偏導數,記為記為,00yyxxxz ,00yyxxxf ,00yyxxxz ).,(00yxfx 或或可導可導,3yyxfyyxfyxfyy ),(),(lim),(0000000同理同理,可定義函數可定義函數 在點在點 處處對對y的偏導數為的偏導數為),(yxfz ),(00yx記為記為,00yyxxyz ,00yyxxyf

3、或或).,(00yxfy ,00yyxxyz 4的的偏導數偏導數, 如果函數如果函數 z=f (x, y)在區(qū)域在區(qū)域D內任一點內任一點 (x, y) 處處 對對x 的偏導數都存在的偏導數都存在,那么這個偏導數就是那么這個偏導數就是 x、y 同理同理, 可以定義函數可以定義函數 對自變量對自變量 y),(yxfz 數數, 簡稱簡稱偏導數偏導數.的函數的函數, 稱其為函數稱其為函數z=f (x, y)對自變量對自變量 x 的偏導函的偏導函記作記作 或或xz ).,(yxfx ,xfxz ).,(yxfy 記作記作 或或yzyfyz ,5求多元函數的偏導數求多元函數的偏導數并不需要新的方法并不需要

4、新的方法,利用一元函數利用一元函數),(yxfx 如如求求只需將只需將y 看作常量看作常量,的求導法對的求導法對x 求導即可求導即可.解解 xz;32yx yz.23yx 21yxxz82312 21yxyz72213 例例 求求 在點在點 處的偏導數處的偏導數223yxyxz )2 , 1(6證證 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 證畢證畢),1, 0( xxxzyzyzxxzyx2ln1 例例 設設證明證明7偏導數的概念可以推廣到二元以上函數偏導數的概念可以推廣到二元以上函數如如 在在 處處 ),(zyxfu ),(

5、zyxxzyxfzyxxfzyxfxx ),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy ),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz ),(),(lim),(08解解利用函數關于自變量的對稱性利用函數關于自變量的對稱性, 有有例例 求求 的偏導數的偏導數222zyxr xzyxxr221222 ,222zyxx ,222zyxyyr 222zyxzzr 9三個偏導數三個偏導數.2lnsin)(),(xazzyxfxy 求求解解 求某一點的偏導數時求某一點的偏導數時,12lnsin xx)2 , 0 , 1(yf )2 , 0 , 1(zf )2 , 0 , 1(xf1

6、2lncos2 xxx2 , 000 y002 z例例變?yōu)橐辉瘮底優(yōu)橐辉瘮?代入代入,在點在點(1,0,2)處的處的可將其它變量的值可將其它變量的值再求導再求導, 常常較簡單常常較簡單.10 求求 在點在點(1,0)處的兩個偏導數處的兩個偏導數.yyxzsin2 解解1, 0)0, 1( xz0)sin()0, 1( yyyyz2)cos1(0 yy解解2,2xyxz ,cos2yxyz , 0)0, 1( xz. 2)0, 1( yz11證證 VRTp;2VRTVp pRTV;pRTV RpVTRVpT pTTVVp2VRT pR RV 1 pVRT RTpV . 1 pTTVVp例例

7、已知理想氣體的狀態(tài)方程已知理想氣體的狀態(tài)方程(R 為常數為常數), 求證求證:12有關偏導數的幾點說明：有關偏導數的幾點說明： )0 , 0(),(0)0 , 0(),(),(22yxyxyxxyyxf當當當當例例.),(的偏導數的偏導數求求yxf解解,)0 , 0(),(時時當當 yx1. 偏導數偏導數 是一個整體記號是一個整體記號, 不能拆分不能拆分;xf 2. 分界點、不連續(xù)點處的偏導數要用定義求分界點、不連續(xù)點處的偏導數要用定義求;13 ),(yxfxy222)(yx )(22yx xxy 2 22222)()(yxxyy ),(yxfy222)(yx )(22yx xyxy 2 22

8、222)()(yxyxx ,)0 , 0(),(時時當當 yx按按定義定義得得 ).0 , 0(),(0),0 , 0(),(),(22yxyxyxxyyxf當當當當 )0 , 0(xf00lim0 xx )0 , 0(yf00lim0 yy xfxfx)0 , 0()0 ,0(lim0 yfyfy)0 , 0()0 , 0(lim0143. 偏導數存在與連續(xù)的關系偏導數存在與連續(xù)的關系但函數在該點處沒有極限，所以不連但函數在該點處沒有極限，所以不連續(xù)續(xù).偏導數存在偏導數存在 連續(xù)連續(xù).一元函數中在某點可導一元函數中在某點可導 連續(xù)連續(xù)，多元函數中在某點偏導數存在多元函數中在某點偏導數存在 連

9、續(xù)連續(xù)，. 0)0 , 0()0 , 0( yxff由前面的例子可知在由前面的例子可知在(0,0)處處,例如例如, 函數函數,0, 00,),(222222 yxyxyxxyyxf15例例 研究函數研究函數 在在(0,0)點的點的.)0 , 0(),(在在點點的的兩兩個個偏偏導導數數都都不不存存在在yxf解解 因為因為連續(xù)性與可偏導性連續(xù)性與可偏導性. 22),(yxyxf 220000lim),(limyxyxfyxyx ),0 , 0(0f 所以所以, 函數在函數在(0,0)點連續(xù)點連續(xù). 而而,)0 ,(xxf yyf ), 0(所以所以,16 二元函數二元函數f(x, y)在點在點 (

10、x0, y0)處兩個偏導數處兩個偏導數 fx(x0, y0), f y(x0, y0)存在是存在是 f (x, y) 在該點連續(xù)的在該點連續(xù)的( ).A. 充分條件而非必要條件充分條件而非必要條件B. 必要條件而非充分條件必要條件而非充分條件C. 充分必要條件充分必要條件D. 既非充分條件又非必要條件既非充分條件又非必要條件D17),(yxfz 設二元函數設二元函數),(,(00000yxfyxM設設在點在點),(000yxM有有如圖如圖,),(yxfz 為曲面為曲面偏導數偏導數.上的一點上的一點,0M),(yxfz 過點過點0M作作平面平面,0yy 此平面此平面與曲面相交得一曲線與曲面相交得

11、一曲線, 曲線的曲線的方程為方程為 ),(yxfz .0yy ),(0yxfz 由于偏導數由于偏導數),(00yxfx 等于一元函數等于一元函數),(0yxf的的導數導數),(0yxf ,0 xx 故由故由一元函數導數的幾何意義一元函數導數的幾何意義0 x0y9.2.2 偏導數的幾何意義偏導數的幾何意義yzOx18可知可知:0 xyTxT0y),(yxfz ),(0yxfz 0M偏導數偏導數),(00yxfx 在幾何上表示在幾何上表示曲線曲線 ),(yxfz 0yy 在點在點),(,(00000yxfyxM處的切線對處的切線對x軸軸的斜率的斜率;偏導數偏導數),(00yxfy 在幾何上表示在幾

12、何上表示曲線曲線 ),(yxfz 0 xx 在點在點),(,(00000yxfyxM處的切線對處的切線對y軸軸的斜率的斜率.),(0yxfz yzOx19.),(),(,(00000上一點上一點為曲面為曲面yxfzyxfyxM 設設20例例 求曲線求曲線在點在點(2,4,5)處的切線處的切線與與x軸正向所成的傾角軸正向所成的傾角.解解,21),(xyxfx ,tan1)4 , 2( xf4 4422yyxz21 xz),(yxfyy ),(yxfxy ),(yxfyx 純偏導純偏導混合偏導混合偏導x 22xz ),(yxfxx 22yz yzy yxz 2 xzy xyz 2 yzx 定義定義

13、 二階及二階以上的偏導數統稱為二階及二階以上的偏導數統稱為高階偏導數高階偏導數.9.2.3 高階偏導數高階偏導數函數函數 的二階偏導數為的二階偏導數為),(yxfz 22解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz xyx1823 xyz 219622 yyxyxz 2, 19622 yyx, 13323 xyxyyxz.222222xyzyxzyzxz 及及、例例 設設求求23一般地一般地, 多元函數的高階混合偏導數如果連多元函數的高階混合偏導數如果連續(xù)就與續(xù)就與求導次序無關求導次序無關.如果函數如果函數的兩個二階混合偏的兩個二階混合偏),(),

14、(yxfyxfyxxy 與與在區(qū)域在區(qū)域D內內連續(xù)連續(xù),定理定理9.1那么在那么在導數導數該區(qū)域內該區(qū)域內).,(),(yxfyxfyxxy 如如 yxf23 xyxf3.23xyf ),(yxfz 問題問題: 混合偏導數都相等嗎混合偏導數都相等嗎? 具備怎樣的條件具備怎樣的條件 才相等才相等 ?24解解),ln(21),(22yxyxu ,22yxxxu 2222222)(2)(yxxxyxxu .)(2222222yxyxyu 22222222222222)()(yxyxyxxyyuxu 0 利用函數關于自變量的對稱性利用函數關于自變量的對稱性. 02222 yuxu例例 驗證函數驗證函數 滿足滿足拉普拉斯方程拉普拉斯方程22ln),(yxyxu 22222)(yxxy 25例例 驗證函數驗證函數)sin(ayxz .22222xzayz 滿足滿足波動方程波動方程:證證 因因 xz 22xz yz 22yz故有故有.22222xzayz ),cos(ayx );sin(ayx ),cos(ayxa ),sin(2ayxa 26有連續(xù)的二階有連續(xù)的二階且且設設 ,)()(1fyxyxyfxz ).(,2 yxz則則導數導數)()()(yxyyxxyf y )()()(12yxyxyfxyxyfxxz 例例27有有連連續(xù)續(xù)的的其其中中設設gfxyxgyxyfu, .,222y