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1、大學(xué)數(shù)學(xué)大學(xué)數(shù)學(xué)(二)腳本編寫:曾金平 劉楚中課件制作:曾金平 劉楚中1. 行列式行列式回憶中學(xué)二元及三元方程組的求解. a11x1+a12x2=b1 a21x1+a22x2=b2(1)(2)若a110.)(1121aa+(2)得(1)22(a121121aaa2)x2b11121baa121121221111222aaaabaabx12212211121211aaaababa,22211211221111aaaababa(3)代入(1)得,222112112221211aaaaababx (4)此處.稱為二階行列式bcaddcba同樣,在求解三元線性方程組 a11x1+a12x2+a13x3
2、=b1 a21x1+a22x2+a23x3=b2 a31x1+a32x2+a33x3=b3其解為,3332312322211312113323323222131211aaaaaaaaaaabaabaabx (5),3332312322211312113333123221131112aaaaaaaaaabaabaabax.3332312322211312113333122321113113aaaaaaaaabaabaabaax (6)(7)此處333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa312312aaa322113aaa312213aaa332112aaa32231
3、1aaa3332232211aaaaa3331232112aaaaa3231222113aaaaa.131312121111AaAaAa(8)其中A11, A12,A13為的代數(shù)余子式. 三階行列式中去掉第 i 行第 j 列剩下元素按原來次序組成的2階行列式記為 Mij 稱為 的二階子式.而 Aij =(1)i+j Mij 稱為 的代數(shù)余子式由(8)知,三階行列式可用其二級子式的線性組合表示. 如果定義一階行列式 | a | = a, 則.|abx 且二階行列式可表示為2112121122211211aaaaaaaa12121111AaAa上述表明二階,三階行列式均可由其子式的組合表示. 也即
4、由低階行列式線性表示.abx 對于一元線性方程 ax=b. 其解定義定義1.nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211稱為一個(gè) n 階行列式.它可由 n 個(gè) n1 級行列式線性表示:nnAaAaAaD1112121111其中Aij=(1)i+jMij, 而Mij aij的代數(shù)余子式nnnjnjnnijijiinijijiinjijijaaaaaaaaaaaaaaaaM11111111111111111111111 aij的余子式定義為:例例1. 計(jì)算三階行列式542303241D解解:54301)4(523324203123624.72D=還可看出232322222121AaAa
5、Aa3542405221)3(4241+ 0= 8412 =72 =D,333332323131AaAaAa230244332150341+36= 24+60=72 =D,313121211111AaAaAa154303542423024+84= 1224=72 =D .以及定義定義2. nnnnaaaaD1111ininiiiiAaAaAa2211,1njijijAanjnjjjjjAaAaAaD2211.1niijijAaLaplace展開式性質(zhì):性質(zhì):性質(zhì)性質(zhì)1:D=D , 其中 D 為 D 的轉(zhuǎn)置行列式, 定義為; 212221212111nnnnnnaaaaaaaaaD性質(zhì)性質(zhì)2.
6、行列式中交換某兩行或兩列,行列式僅改變符號. 即nnnjnjininaaaaaaaaD111111;111111nnninijnjnaaaaaaaa性質(zhì)性質(zhì)3. 行列式任意一行(或列)的元素與另一行(或列)的代數(shù)余子式之積的和為零.nkjkikAa1nkkjkiAa1=0,(i j );nnnininaakakaaaD11111;11111nnnininaaaaaak性質(zhì)性質(zhì)4.性質(zhì)性質(zhì)5.nnnnininiiiinaaabababaaaaD21221111211nnnniniinaaaaaaaaa212111211; 212111211nnnniniinaaaabbaaa性質(zhì)性質(zhì)6.nnnn
7、iniiiniinaaakakakaaaaaaa21212111211=0行列式某兩行相等. 行列式某行全為0. 行列式為0.則行列式為0.例例2. 計(jì)算. 3351110243152113D解法解法1:直接用Laplace展開式3D3351104313311124353511024153511023152=3(3+0+15 20+3+0) (15 24 3+4 15+18)(0+40 1 0+25+6) 2(030+1 0 25 6)= 15 +5 70 +120 =40.解法解法2:利用性質(zhì)03550100131111115D05511111151050111211411214)5(131
8、120=40.例例3. 計(jì)算,nnnnaaaaaaD000222112111.000212221111nnnnaaaaaaD解:解:D1第一列展開nnnaaaa022211第一列展開nnnaaaaa03331122.2211nnaaa同理.22112nnaaaD例例4. 計(jì)算. 542303241D9409120241D60091202416009120241= 72.解:解:例例5. 計(jì)算.321321321321nxnxnxnxD解:解:xxxxxxnxD000000321xxxn00000032 x+1+nx+ xx+ xx+ x1000000)2) 1(nxxxnnx).2) 1(1nnxxn例例6. 設(shè)01111nnnnaaaaD,1111bxaxannn則方程組nnnnnbxaa1為,niDDxii , , 1 .11111111111nnninninniiiaabaaaabaaD其中Gramer 法則的解存在唯一,且證:證:將. 個(gè)方程代入第 jDDxiinjnjxaxa11niijixa1.1DDainijiLaplace展開DAbankkikniji11kijininkkAabD111 nknikijikAabD111nijij
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