第11章狀態(tài)空間模型和卡爾曼濾波

1、1 上世紀(jì)上世紀(jì)60年代初，由于工程控制領(lǐng)域的需要，產(chǎn)生了卡年代初，由于工程控制領(lǐng)域的需要，產(chǎn)生了卡爾曼濾波爾曼濾波 (Kalman Filtering)。進入。進入70年代初，人們明確提出年代初，人們明確提出了狀態(tài)空間模型的標(biāo)準(zhǔn)形式，并開始將其應(yīng)用到經(jīng)濟領(lǐng)域。了狀態(tài)空間模型的標(biāo)準(zhǔn)形式，并開始將其應(yīng)用到經(jīng)濟領(lǐng)域。80年代以后，狀態(tài)空間模型已成為一種有力的建模工具。年代以后，狀態(tài)空間模型已成為一種有力的建模工具。許許多時間序列模型，包括典型的線性回歸模型和多時間序列模型，包括典型的線性回歸模型和ARIMA模型都模型都能作為特例寫成狀態(tài)空間的形式，并估計參數(shù)值。在計量經(jīng)能作為特例寫成狀態(tài)空間的形式

2、，并估計參數(shù)值。在計量經(jīng)濟學(xué)文獻中，狀態(tài)空間模型被用來估計不可觀測的時間變量：濟學(xué)文獻中，狀態(tài)空間模型被用來估計不可觀測的時間變量：理性預(yù)期，測量誤差，長期收入，不可觀測因素（趨勢和循理性預(yù)期，測量誤差，長期收入，不可觀測因素（趨勢和循環(huán)要素）。狀態(tài)空間模型在經(jīng)濟計量學(xué)領(lǐng)域其他方面的大量環(huán)要素）。狀態(tài)空間模型在經(jīng)濟計量學(xué)領(lǐng)域其他方面的大量應(yīng)用請參見應(yīng)用請參見 Harvey（1989）和）和 Hamilton（1994） 。 2 在一般的統(tǒng)計模型中出現(xiàn)的變量都是可以觀測到的，在一般的統(tǒng)計模型中出現(xiàn)的變量都是可以觀測到的，這些模型以反映過去經(jīng)濟變動的時間序列數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，利這些模型以反映過去經(jīng)濟變動

3、的時間序列數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，利用回歸分析或時間序列分析等方法估計參數(shù)，進而預(yù)測未用回歸分析或時間序列分析等方法估計參數(shù)，進而預(yù)測未來的值。狀態(tài)空間模型的特點是提出了來的值。狀態(tài)空間模型的特點是提出了“”這一概念。這一概念。 而實際上，無論是工程控制問題中出現(xiàn)的某些狀態(tài)而實際上，無論是工程控制問題中出現(xiàn)的某些狀態(tài)（如導(dǎo)彈軌跡的控制問題）還是經(jīng)濟系統(tǒng)所存在的某些狀（如導(dǎo)彈軌跡的控制問題）還是經(jīng)濟系統(tǒng)所存在的某些狀態(tài)都是一種不可觀測的變量，正是這種觀測不到的變量反態(tài)都是一種不可觀測的變量，正是這種觀測不到的變量反映了系統(tǒng)所具有的真實狀態(tài)，所以被稱為映了系統(tǒng)所具有的真實狀態(tài)，所以被稱為。這種。這種(Unob

4、servable Component Model)。3 UC模型通過通常的回歸方程式來估計是不可能的，模型通過通常的回歸方程式來估計是不可能的，必須利用狀態(tài)空間模型來求解。必須利用狀態(tài)空間模型來求解。，從而可以通過估，從而可以通過估計各種不同的狀態(tài)向量達到分析和觀測的目的。計各種不同的狀態(tài)向量達到分析和觀測的目的。 EViews狀態(tài)空間對象對單方程或多方程動態(tài)系統(tǒng)提狀態(tài)空間對象對單方程或多方程動態(tài)系統(tǒng)提供了一個直接的、易于使用的界面來建立、估計及分析供了一個直接的、易于使用的界面來建立、估計及分析方程結(jié)果。它提供了大量的建立、平滑、濾波及預(yù)測工方程結(jié)果。它提供了大量的建立、平滑、濾波及預(yù)測工具

5、，幫助我們利用狀態(tài)空間形式來分析動態(tài)系統(tǒng)。具，幫助我們利用狀態(tài)空間形式來分析動態(tài)系統(tǒng)。 4 利用狀態(tài)空間形式表示動態(tài)系統(tǒng)主要有兩個優(yōu)點：利用狀態(tài)空間形式表示動態(tài)系統(tǒng)主要有兩個優(yōu)點： 第一，狀態(tài)空間模型將不可觀測的變量第一，狀態(tài)空間模型將不可觀測的變量(狀態(tài)變量狀態(tài)變量)并入可觀測模型并與其一起得到估計結(jié)果；并入可觀測模型并與其一起得到估計結(jié)果； 其次，狀態(tài)空間模型是利用強有效的遞歸算法其次，狀態(tài)空間模型是利用強有效的遞歸算法來估計的?？柭鼮V波可以用來估計單變量來估計的?？柭鼮V波可以用來估計單變量和多變量的和多變量的ARMA模型、模型、MIMIC（多指標(biāo)和多因果）模（多指標(biāo)和多因果）模型、馬

6、爾可夫轉(zhuǎn)換模型以及變參數(shù)模型。型、馬爾可夫轉(zhuǎn)換模型以及變參數(shù)模型。5 在本節(jié)中，我們僅就如何定義并預(yù)測一個線性狀態(tài)空間在本節(jié)中，我們僅就如何定義并預(yù)測一個線性狀態(tài)空間模型做以簡要的討論。狀態(tài)空間模型一般應(yīng)用于多變量時間模型做以簡要的討論。狀態(tài)空間模型一般應(yīng)用于多變量時間序列。設(shè)序列。設(shè) yt 是包含是包含 k 個經(jīng)濟變量的個經(jīng)濟變量的 k 1 維可觀測向量。這維可觀測向量。這些變量與些變量與 m 1 維向量維向量 t 有關(guān)有關(guān)，。定義。定義“” (measurement equation) 或稱或稱“”(signal equation)為為(11.1.1)其中：其中：T 表示樣本長度，表示樣本

7、長度， 表示表示 k m 矩陣矩陣，稱為稱為，dt 表示表示 k 1 向量，向量，ut 表示表示 k 1 向量，是均值為向量，是均值為0，協(xié)方差矩，協(xié)方差矩陣為陣為 Ht 的不相關(guān)擾動項，即的不相關(guān)擾動項，即(11.1.2),tttttudZyTt,2, 1，tttEHuu)var(0)(6 一般地，一般地， t 的元素是不可觀測的，然而可表示成一階馬的元素是不可觀測的，然而可表示成一階馬爾可夫爾可夫(Markov)過程。下面定義過程。下面定義(transition equation)或稱或稱(state equation)為為 (11.1.3)其中：其中：表示表示 m m 矩陣矩陣，稱為稱為

8、，ct 表示表示 m 1 向量向量，Rt 表示表示 m g 矩陣，矩陣， t 表示表示 g 1 向量，是均值為向量，是均值為0，協(xié)方差矩陣，協(xié)方差矩陣為為 Qt 的連續(xù)的不相關(guān)擾動項，即的連續(xù)的不相關(guān)擾動項，即(11.1.4)量測方程和狀態(tài)方程的擾動項的協(xié)方差矩陣用量測方程和狀態(tài)方程的擾動項的協(xié)方差矩陣用 表示表示,1ttttttRcTtttEQ)var(0)(Tt,2, 1，ttttQHu00var7 當(dāng)當(dāng) k 1 時，變?yōu)閱巫兞磕Ｐ停繙y方程可以寫為時，變?yōu)閱巫兞磕Ｐ?，量測方程可以寫為 (11.1.5)其中：其中：Zt 表示表示 1 m 矩陣矩陣， t 表示表示 m 1狀態(tài)向量，狀態(tài)向量，

9、 ut 是方是方差為差為 2 的擾動項的擾動項。tttttudyZTt,2, 12)var(tu8 若使上述的狀態(tài)空間模型成立，還需要滿足下面兩個假定：若使上述的狀態(tài)空間模型成立，還需要滿足下面兩個假定： (1) 初始狀態(tài)向量初始狀態(tài)向量 0 的均值為的均值為 a0，協(xié)方差矩陣為協(xié)方差矩陣為 P0，即即 (11.1.6) (2) 在所有的時間區(qū)間上，擾動項在所有的時間區(qū)間上，擾動項 ut 和和 t 相互獨立，而且相互獨立，而且它們和初始狀態(tài)它們和初始狀態(tài) 0 也不相關(guān)，即也不相關(guān)，即 (11.1.7)且且 (11.1.8) 0000)var()(P aE0)(stEuTts,2, 1,，0)(

10、0utE0)(0tETt,2, 19 量測方程中的矩陣量測方程中的矩陣 Zt , dt , Ht 與轉(zhuǎn)移方程中的矩陣與轉(zhuǎn)移方程中的矩陣Tt , ct , Rt , Qt 統(tǒng)稱為統(tǒng)稱為。如不特殊指出，它們都。如不特殊指出，它們都被假定為非隨機的。因此，盡管它們能隨時間改變，被假定為非隨機的。因此，盡管它們能隨時間改變，但是都是可以預(yù)先確定的。對于任一時刻但是都是可以預(yù)先確定的。對于任一時刻 t，yt 能夠被能夠被表示為當(dāng)前的和過去的表示為當(dāng)前的和過去的 ut 和和 t 及初始向量及初始向量 0 的線性組的線性組合，所以模型是線性的。合，所以模型是線性的。10 (11.1.9)其中：其中：E( t

11、 )=0，var( t)= 2，cov( t , t-s)=0, 通過定義狀態(tài)向量通過定義狀態(tài)向量 t =( yt , t ) 可以寫成狀態(tài)空間形式可以寫成狀態(tài)空間形式 量測方程量測方程： (11.1.10) 狀態(tài)方程狀態(tài)方程： (11.1.11)這種形式的特點是不存在量測方程噪聲這種形式的特點是不存在量測方程噪聲。 ，1tttytty)0, 1 (ttt100101Tt,2, 111 對于任何特殊的統(tǒng)計模型，狀態(tài)向量對于任何特殊的統(tǒng)計模型，狀態(tài)向量 t 的定義是由的定義是由結(jié)構(gòu)確定的。它的元素一般包含具有實際解釋意義的成結(jié)構(gòu)確定的。它的元素一般包含具有實際解釋意義的成分，例如趨勢或季節(jié)要素。

12、狀態(tài)空間模型的目標(biāo)是，所分，例如趨勢或季節(jié)要素。狀態(tài)空間模型的目標(biāo)是，所建立的狀態(tài)向量建立的狀態(tài)向量 t 包含了系統(tǒng)在時刻包含了系統(tǒng)在時刻 t 的所有有關(guān)信息，的所有有關(guān)信息，同時又使用盡可能少的元素。所以如果狀態(tài)空間模型的同時又使用盡可能少的元素。所以如果狀態(tài)空間模型的狀態(tài)向量具有最小維數(shù)，則稱為狀態(tài)向量具有最小維數(shù)，則稱為(Minimal Realization)。對一個好的狀態(tài)空間模型，最小實現(xiàn)是一。對一個好的狀態(tài)空間模型，最小實現(xiàn)是一個基本準(zhǔn)則。然而對于任一特殊問題的狀態(tài)空間模型的個基本準(zhǔn)則。然而對于任一特殊問題的狀態(tài)空間模型的表示形式卻不是惟一的，這一點很容易驗證。表示形式卻不是惟一

13、的，這一點很容易驗證。12 考慮通過定義一個任意的非奇異矩陣考慮通過定義一個任意的非奇異矩陣B，得到得到 t*=B t ，為新的狀態(tài)向量。用為新的狀態(tài)向量。用B矩陣左乘狀態(tài)方程矩陣左乘狀態(tài)方程(11.1.3)，得到，得到 (11.1.12)式中式中Tt* = BTt B-1，ct*= Bct ，Rt*= BRt 。相應(yīng)的量測方程。相應(yīng)的量測方程是是 (11.1.13)式中式中 Zt* = Zt B-1 。ttttttRcT1tttttudZy13例例11.2 二階自回歸模型二階自回歸模型AR(2) (11.1.14)其中：其中：E(ut) = 0，var(ut) = 2，cov(ut , ut

14、-s) = 0, 考慮兩個可能的考慮兩個可能的狀態(tài)空間形式狀態(tài)空間形式( k=1, m=2 )是是 (11.1.15) (11.1.16)換一種形式換一種形式 (11.1.17) ,ttttuyyy2211tttttuyy010112112tttttuyy01011211tty)0,1 ( tty)0,1 (Tt,2, 114 系統(tǒng)矩陣系統(tǒng)矩陣 Zt ，Ht ，Tt ，Rt ，Qt 可以依賴于一個可以依賴于一個的集合。狀態(tài)空間模型的一個主要的任務(wù)就是估計這些參數(shù)，的集合。狀態(tài)空間模型的一個主要的任務(wù)就是估計這些參數(shù)，在例在例11.1的的MA(1)模型中的參數(shù)模型中的參數(shù) , 2 和例和例11.

15、2的的AR(2)模型模型中的參數(shù)中的參數(shù) 1， 2， 2 是未知的，這些參數(shù)將通過是未知的，這些參數(shù)將通過 向量向量表示，并被稱為表示，并被稱為。超參數(shù)確定了。超參數(shù)確定了模型的隨機性質(zhì)，在模型的隨機性質(zhì)，在 ct 和和 dt 中出現(xiàn)的參數(shù)僅影響確定性的可中出現(xiàn)的參數(shù)僅影響確定性的可觀測變量和狀態(tài)的期望值。在狀態(tài)空間模型中可以引入外生觀測變量和狀態(tài)的期望值。在狀態(tài)空間模型中可以引入外生變量作為解釋變量，也可以引入變量作為解釋變量，也可以引入 yt 的延遲變量，這些都可以的延遲變量，這些都可以放到放到 dt 中去。如果中去。如果 ct 或或 dt 是未知參數(shù)的一個線性函數(shù)，這些是未知參數(shù)的一個線

16、性函數(shù)，這些未知參數(shù)也可以作為狀態(tài)變量或者超參數(shù)的一部分元素。未知參數(shù)也可以作為狀態(tài)變量或者超參數(shù)的一部分元素。15 由于各種各樣的外界沖擊和政策變化等因素的影響，經(jīng)濟由于各種各樣的外界沖擊和政策變化等因素的影響，經(jīng)濟結(jié)構(gòu)不斷發(fā)生變化，用結(jié)構(gòu)不斷發(fā)生變化，用OLS等固定參數(shù)模型：等固定參數(shù)模型：表現(xiàn)不出來這種經(jīng)濟結(jié)構(gòu)的變化，因此，需要考慮采用表現(xiàn)不出來這種經(jīng)濟結(jié)構(gòu)的變化，因此，需要考慮采用(Time-varying Parameter Model)。下面利用狀態(tài)空間模型。下面利用狀態(tài)空間模型來構(gòu)造變參數(shù)模型。來構(gòu)造變參數(shù)模型。 量測方程：量測方程： 狀態(tài)方程：狀態(tài)方程： ),(ttu ,00,

17、002QNtttttuyzxttt1，tttuyxTt,2, 1Tt,2, 116 xt 是具有隨機系數(shù)是具有隨機系數(shù) t 的解釋變量的集合，的解釋變量的集合，zt 是有固是有固定系數(shù)定系數(shù) 的解釋變量集合，隨機系數(shù)向量的解釋變量集合，隨機系數(shù)向量 t 是對應(yīng)于是對應(yīng)于(11.1.1)中的狀態(tài)向量，稱為可變參數(shù)。中的狀態(tài)向量，稱為可變參數(shù)。假定變。假定變參數(shù)參數(shù) t 的變動服從于的變動服從于AR(1) 模型（也可以簡單地擴展為模型（也可以簡單地擴展為AR(p) 模型），擾動向量模型），擾動向量 ut , t 假定為相互獨立的，且服假定為相互獨立的，且服從均值為從均值為0，方差為，方差為 2和協(xié)

18、方差矩陣為和協(xié)方差矩陣為 Q 的正態(tài)分布。的正態(tài)分布。 17 當(dāng)一個模型被表示成狀態(tài)空間形式就可以對其應(yīng)用當(dāng)一個模型被表示成狀態(tài)空間形式就可以對其應(yīng)用一些重要的算法求解。這些算法的核心是一些重要的算法求解。這些算法的核心是Kalman濾波。濾波。Kalman濾波是在時刻濾波是在時刻 t 基于所有可得到的信息計算狀態(tài)基于所有可得到的信息計算狀態(tài)向量的最理想的遞推過程。在某些工程問題中，狀態(tài)向量向量的最理想的遞推過程。在某些工程問題中，狀態(tài)向量的當(dāng)前值具有重要影響的當(dāng)前值具有重要影響 (例如，它可以表示火箭在空間的例如，它可以表示火箭在空間的坐標(biāo)坐標(biāo))。Kalman濾波的主要作用是：當(dāng)擾動項和初始

19、狀態(tài)濾波的主要作用是：當(dāng)擾動項和初始狀態(tài)向量服從正態(tài)分布時，能夠通過預(yù)測誤差分解計算似然函向量服從正態(tài)分布時，能夠通過預(yù)測誤差分解計算似然函數(shù)，從而可以對模型中的所有未知參數(shù)進行估計，并且當(dāng)數(shù)，從而可以對模型中的所有未知參數(shù)進行估計，并且當(dāng)新的觀測值一旦得到，就可以利用新的觀測值一旦得到，就可以利用Kalman濾波連續(xù)地修濾波連續(xù)地修正狀態(tài)向量的估計。正狀態(tài)向量的估計。18 以下設(shè)以下設(shè) YT 表示在表示在 t = T 時刻所有可利用的信息的信息時刻所有可利用的信息的信息集合，即集合，即 YT = yT , yT-1 , , y1 。狀態(tài)向量的估計問題根。狀態(tài)向量的估計問題根據(jù)信息的多少分為據(jù)

20、信息的多少分為3種類型：種類型： (1) 當(dāng)當(dāng) t T 時，超出樣本的觀測區(qū)間，是對未來狀態(tài)時，超出樣本的觀測區(qū)間，是對未來狀態(tài)的估計問題，稱為的估計問題，稱為； (2) 當(dāng)當(dāng) t = T 時，估計觀測區(qū)間的最終時點，即對現(xiàn)在時，估計觀測區(qū)間的最終時點，即對現(xiàn)在狀態(tài)的估計問題，稱為狀態(tài)的估計問題，稱為； (3) 當(dāng)當(dāng) t T 時，是基于利用現(xiàn)在為止的觀測值對過去時，是基于利用現(xiàn)在為止的觀測值對過去狀態(tài)的估計問題，稱為狀態(tài)的估計問題，稱為。19 進一步，假定進一步，假定 at t-1 和和 Pt t-1 分別表示以利用到分別表示以利用到 t-1 為止為止的信息集合的信息集合 Yt-1 為條件的狀

21、態(tài)向量為條件的狀態(tài)向量 t 的條件均值和條件誤的條件均值和條件誤差協(xié)方差矩陣，即差協(xié)方差矩陣，即 在本節(jié)假定系統(tǒng)矩陣在本節(jié)假定系統(tǒng)矩陣 Zt , Ht , Tt , Rt 和和 Qt 是已知的，設(shè)是已知的，設(shè)初始狀態(tài)向量初始狀態(tài)向量 0 的均值和誤差協(xié)方差矩陣的初值為的均值和誤差協(xié)方差矩陣的初值為 a0 和和 P0，并假定，并假定 a0 和和 P0 也是已知的。也是已知的。 )(11ttttEYa)var(11ttttYP20 考慮狀態(tài)空間模型考慮狀態(tài)空間模型(11.1.1)和和(11.1.3)，設(shè)，設(shè) ，也是基于信息集合，也是基于信息集合 Yt-1 的的 t-1 的的，Pt-1 表示估計誤差

22、的表示估計誤差的 m m 協(xié)方差矩陣，即協(xié)方差矩陣，即 (11.2.1)(11111tttttEaaP21 當(dāng)給定當(dāng)給定 at-1 和和 Pt-1 時，時， t 的條件分布的均值由下式給定，的條件分布的均值由下式給定，即即 (11.2.2) 在擾動項和初始狀態(tài)向量服從正態(tài)分布的假設(shè)下，在擾動項和初始狀態(tài)向量服從正態(tài)分布的假設(shè)下， t 的的條件分布的均值條件分布的均值 at t-1 是是 t 在最小均方誤差意義下的一個最在最小均方誤差意義下的一個最優(yōu)估計量。估計誤差的協(xié)方差矩陣是優(yōu)估計量。估計誤差的協(xié)方差矩陣是 (11.2.3)。 tttttcT11aattttttttRQRTPTP1122 一

23、旦得到新的預(yù)測值一旦得到新的預(yù)測值 yt ，就能夠修正，就能夠修正 t 的估計的估計 at t -1， (11.2.4)和和 (11.2.5)其中其中 (11.2.6)上述上述)(1111ttttttttttttdZyFZPaaa1111ttttttttttPZFZPPPttttttHZPZF1Tt,2, 123 給出一步向前狀態(tài)條件均值，我們還可以得到給出一步向前狀態(tài)條件均值，我們還可以得到 ： （11.23） 一步向前預(yù)測誤差可以通過下面的公式得到：一步向前預(yù)測誤差可以通過下面的公式得到： （11.24） 預(yù)測誤差的方差被定義為；預(yù)測誤差的方差被定義為； （11.25） tt tttttt

24、tttEEdZyyy1111a)a()(，tttttttHZPZvF1)var(,)a(tttttttttuZyyv11Tt,2, 1Tt,2, 124 Kalman濾波的初值可以按濾波的初值可以按 a0 和和 P0 或或 a1 0 和和 P1 0 指指定。這樣，每當(dāng)?shù)玫揭粋€觀測值時，定。這樣，每當(dāng)?shù)玫揭粋€觀測值時，Kalman濾波提供了濾波提供了狀態(tài)向量的最優(yōu)估計。當(dāng)所有的狀態(tài)向量的最優(yōu)估計。當(dāng)所有的 T 個觀測值都已處理，個觀測值都已處理，Kalman濾波基于信息集合濾波基于信息集合 YT ，產(chǎn)生當(dāng)前狀態(tài)向量和下，產(chǎn)生當(dāng)前狀態(tài)向量和下一時間期間狀態(tài)向量的最優(yōu)估計。這個估計包含了產(chǎn)生一時間期

25、間狀態(tài)向量的最優(yōu)估計。這個估計包含了產(chǎn)生未來狀態(tài)向量和未來觀測值的最優(yōu)預(yù)測所需的所有信息。未來狀態(tài)向量和未來觀測值的最優(yōu)預(yù)測所需的所有信息。 25 平滑（平滑（smoothing）( t =T-1 , T-2 , , 1 ) (11.2.10) (11.2.11)其中：其中：aT|T , PT|T 是平滑的初值，由是平滑的初值，由Kalman濾波最后的迭代濾波最后的迭代得到。得到。 還可以計算得到還可以計算得到 yt 的平滑估計和協(xié)方差矩陣的平滑估計和協(xié)方差矩陣)(| 11| 1|tt tTtttt tt tTtcTPTPaaaat tttttTtttt tt tTt|1| 1| 1| 11|

26、 1|)(PTPPPPTPPPtTttTtdZyatTtttZPZS26 如果量測方程如果量測方程(11.1.1)的擾動項和初始狀態(tài)向量服從多的擾動項和初始狀態(tài)向量服從多元正態(tài)分布，則元正態(tài)分布，則 yt 關(guān)于關(guān)于 Yt-1 的條件分布也是正態(tài)的。且這個的條件分布也是正態(tài)的。且這個條件分布的均值和協(xié)方差矩陣可以直接由條件分布的均值和協(xié)方差矩陣可以直接由Kalman濾波給定。濾波給定。 以信息集以信息集 Yt-1 為條件，為條件， t 服從具有均值服從具有均值 at t 1 和協(xié)方差和協(xié)方差矩陣矩陣 Pt t 1 的正態(tài)分布。如果量測方程被寫為的正態(tài)分布。如果量測方程被寫為 (11.2.12)可

27、以直接看出可以直接看出 yt 的條件分布是正態(tài)的，的條件分布是正態(tài)的，yt 的條件均值記為或，的條件均值記為或， (11.2.13) ttttttttttudZZy)(11aattttttttEdZyy111)(a27 預(yù)測誤差向量預(yù)測誤差向量 (11.2.14) 誤差協(xié)方差矩陣由式誤差協(xié)方差矩陣由式(11.2.6)的的 Ft 給定，即給定，即 (11.2.15) 由后面由后面11.2.2節(jié)的論述可以知道條件均值節(jié)的論述可以知道條件均值 是是 yt 的最的最小均方誤差意義的最優(yōu)估計量小均方誤差意義的最優(yōu)估計量(MMSE)。因此，可以利用式。因此，可以利用式(11.2.13)，以及，以及Kalm

28、an濾波公式濾波公式(11.2.2)(11.2.6)，對，對 yt ， t（t = T+1 , T+2 , ）進行預(yù)測。）進行預(yù)測。,1ttttyyvTt,2, 1,1ttttttHZPZFTt,2, 11tty28Kalman濾波的導(dǎo)出依賴于擾動項和初始狀態(tài)向量服濾波的導(dǎo)出依賴于擾動項和初始狀態(tài)向量服從正態(tài)分布的假設(shè)。有了正態(tài)分布的假設(shè)，就能夠基于從正態(tài)分布的假設(shè)。有了正態(tài)分布的假設(shè)，就能夠基于信息集合信息集合 YT = yT , yT-1 , , y1 ，利用，利用Kalman濾波遞推濾波遞推地計算地計算 t 的分布。這些條件分布自身也都服從正態(tài)分布，的分布。這些條件分布自身也都服從正態(tài)分

29、布，因此也就由它們的均值和協(xié)方差矩陣完全確定，這就是因此也就由它們的均值和協(xié)方差矩陣完全確定，這就是Kalman濾波計算的估計量。為了說明濾波計算的估計量。為了說明 t 的條件均值的條件均值 是是 t 在最小均方誤差意義下的一個最優(yōu)估計量，下面首先在最小均方誤差意義下的一個最優(yōu)估計量，下面首先介紹均方誤差和最小均方估計的概念。介紹均方誤差和最小均方估計的概念。 29 設(shè)設(shè) z 是隨機向量，已知樣本集合是隨機向量，已知樣本集合 ZT = zT , zT-1 , , z1 ， 是基于是基于ZT的的z的任一估計量，則定義均方誤差（的任一估計量，則定義均方誤差（mean square error，MS

30、E）為）為 (11.2.16) 設(shè)設(shè) 是基于是基于 ZT 的的 z 的任一估計量，的任一估計量， 是其中使均方誤是其中使均方誤差達到最小的差達到最小的 z 的估計量，即的估計量，即 (11.2.17)則稱則稱 為為z的最小均方估計的最小均方估計(mininum mean square estimator，MMSE)。) () MSE(2zzz E) ()(22zzzzEEz z z z 30 Kalman濾波以信息集濾波以信息集 Yt 為條件，產(chǎn)生為條件，產(chǎn)生 t 的條件均的條件均值和方差值和方差 (11.2.18) (11.2.19)其中：數(shù)學(xué)期望算子下面的下標(biāo)其中：數(shù)學(xué)期望算子下面的下標(biāo)

31、t 表示是關(guān)于表示是關(guān)于 Yt 的條件的條件期望。期望。)()(tttttEEYa)()(ttttttttEEEP31 設(shè)設(shè) 是以信息集是以信息集 Yt 為條件的為條件的 t 的任一估計量，估計誤的任一估計量，估計誤差可以被分為兩個部分差可以被分為兩個部分 (11.2.20) 對式對式(11.2.20)兩端平方，并求期望值，經(jīng)過計算，由于兩端平方，并求期望值，經(jīng)過計算，由于混合乘積項為零，得到混合乘積項為零，得到 (11.2.21) 在式在式(11.2.21)等號右邊的第一項是等號右邊的第一項是 t 的條件方差，由于的條件方差，由于var( t Yt ) 0 ，且與估計量，且與估計量 無關(guān)，因

32、此要想使式無關(guān)，因此要想使式(11.2.21)達到最小，只需在第二項取達到最小，只需在第二項取 即可。也就是說，即可。也就是說， t 的最小均方估計的最小均方估計(MMSE)就是由就是由Kalman濾波所得到的條件濾波所得到的條件均值均值 at=E( t Yt )，并且是惟一的。，并且是惟一的。)()(ttttttttEEYY2)E()var()MSE(ttttttEYYt t )(tttEY 32 當(dāng)狀態(tài)空間模型的擾動項的分布不能滿足正態(tài)分布假定當(dāng)狀態(tài)空間模型的擾動項的分布不能滿足正態(tài)分布假定時，一般地，時，一般地，Kalman濾波所產(chǎn)生的估計量濾波所產(chǎn)生的估計量 at 不再是狀態(tài)向不再是狀

33、態(tài)向量量 t 的條件均值，換句話說，式的條件均值，換句話說，式(11.2.18)將不成立。但是如將不成立。但是如果限制估計量是觀測值的線性組合，即在所有線性估計范圍果限制估計量是觀測值的線性組合，即在所有線性估計范圍內(nèi)，內(nèi)，at 是具有最小均方誤差意義上的最優(yōu)估計量。此時稱是具有最小均方誤差意義上的最優(yōu)估計量。此時稱at 是基于信息集是基于信息集 Yt 的的 t 的最小均方線性估計量的最小均方線性估計量 (minimum mean square linear estimator，MMSLE)，估計誤差的協(xié)方，估計誤差的協(xié)方差矩陣是由差矩陣是由Kalman濾波給出的濾波給出的 Pt 矩陣。矩陣。

34、33 進一步地，上述關(guān)于狀態(tài)向量進一步地，上述關(guān)于狀態(tài)向量 t 的論述也可以類似的論述也可以類似地用來解釋地用來解釋 yt 基于信息集基于信息集 Yt1 的條件均值，用的條件均值，用 表示，表示，即即 (11.2.22) 在正態(tài)假定下，在正態(tài)假定下， 是是 yt 在最小均方誤差意義下的在最小均方誤差意義下的最優(yōu)估計量最優(yōu)估計量(MMSE)，并且在不滿足正態(tài)假定時，是，并且在不滿足正態(tài)假定時，是 yt 的最小均方線性估計量的最小均方線性估計量(MMSLE)。 ttttttdZy11a1tty1tty34 預(yù)測誤差預(yù)測誤差 (11.2.23)被稱為被稱為，因為它代表在，因為它代表在 Yt-1 的基

35、礎(chǔ)上新觀測值的基礎(chǔ)上新觀測值 yt 所帶來的信息。從更新方程所帶來的信息。從更新方程(11.2.4)中可以看出，新息中可以看出，新息 vt 對修對修正狀態(tài)向量的估計量起到了關(guān)鍵的作用。正狀態(tài)向量的估計量起到了關(guān)鍵的作用。 在正態(tài)假定下，根據(jù)在正態(tài)假定下，根據(jù) 是最小均方誤差意義下的最優(yōu)估是最小均方誤差意義下的最優(yōu)估計量，可以推斷計量，可以推斷 vt 的均值是零向量。進一步地，從式的均值是零向量。進一步地，從式(11.2.23)容易看出容易看出 (11.2.24)其中：其中：Ft 由式由式(11.2.6)給定。在不同的時間區(qū)間，新息給定。在不同的時間區(qū)間，新息 vt 是不相是不相關(guān)的，即關(guān)的，即

36、, (11.2.25) ,)(11tttttttttuZyyvaTt,2, 1ttFv)var(0)(stEvvTstst,2, 1,1tty35 當(dāng)量測方程和轉(zhuǎn)移方程的擾動項是相關(guān)的時候，需要修改當(dāng)量測方程和轉(zhuǎn)移方程的擾動項是相關(guān)的時候，需要修改Kalman濾波。考慮具有量測方程和轉(zhuǎn)移方程的狀態(tài)空間形式濾波?？紤]具有量測方程和轉(zhuǎn)移方程的狀態(tài)空間形式 (11.2.26) (11.2.27) 假設(shè)假設(shè)(11.2.28)其中其中 Gt 是已知的是已知的 g k 矩陣。量測方程和狀態(tài)方程的擾動項的矩陣。量測方程和狀態(tài)方程的擾動項的協(xié)方差矩陣用協(xié)方差矩陣用 表示表示 tttttudZy,1tttttt

37、RcTTt,2, 1ststEtst,)(0GuttttttQGGHuvar36 注意當(dāng)量測方程和轉(zhuǎn)移方程的干擾項在同時點相關(guān)，注意當(dāng)量測方程和轉(zhuǎn)移方程的干擾項在同時點相關(guān)，在不同時點不相關(guān)時，在不同時點不相關(guān)時，Kalman濾波中的預(yù)測公式濾波中的預(yù)測公式(11.2.2)，(11.2.3)不變，更新方程進行如下修改：在不變，更新方程進行如下修改：在 (11.2.4)和式和式(11.2.5)中矩陣中矩陣 Pt t 1Zt 變?yōu)樽優(yōu)?Pt t 1Zt + Rt Gt ，式，式(11.2.6)變變?yōu)闉?(11.2.29)ttttttttttttHZRGGRZZPZF137 在許多實際應(yīng)用問題中，狀

38、態(tài)空間模型的系統(tǒng)矩陣在許多實際應(yīng)用問題中，狀態(tài)空間模型的系統(tǒng)矩陣 Zt ，dt ，Ht ，Tt ，ct ，Rt 和和 Qt 都是不依賴于時間變化的，這樣就都是不依賴于時間變化的，這樣就可以寫成不帶時間下標(biāo)的模型，稱為非時變模型。一般允許可以寫成不帶時間下標(biāo)的模型，稱為非時變模型。一般允許 ct 和和 dt 是依時間變化的，于是狀態(tài)空間模型的量測方程是依時間變化的，于是狀態(tài)空間模型的量測方程(11.1.1)和轉(zhuǎn)移方程和轉(zhuǎn)移方程(11.1.3)就可以寫為就可以寫為 (11.2.32) (11.2.33), (11.2.34) HuudZy)var(,tttttQRcT)var(,1ttttt0)(

39、stEuts,38 如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則轉(zhuǎn)移矩陣如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則轉(zhuǎn)移矩陣 T 的所有的特征根的的所有的特征根的模應(yīng)當(dāng)小于模應(yīng)當(dāng)小于1，即，即 (11.2.35)且如果初始協(xié)方差矩陣且如果初始協(xié)方差矩陣 P1 0 是非負定的，則是非負定的，則 (11.2.36) 獨立于獨立于 P1 0 ，Pt+1 t 呈指數(shù)地迅速收斂到呈指數(shù)地迅速收斂到 。,1)(Timi,2, 1PPttt1limPP39 (1) 僅當(dāng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣僅當(dāng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣 T , 方差矩陣方差矩陣 P 和和 Q 是非時變的且是非時變的且滿足某些穩(wěn)定性條件，初始條件的求解才是可能的。如果初始滿足某些穩(wěn)定性條件，初始條件的求解才是可

40、能的。如果初始條件的求解是可能的，可以利用關(guān)系式：條件的求解是可能的，可以利用關(guān)系式： 在更復(fù)雜的模型中給出求協(xié)方差矩陣初始條件在更復(fù)雜的模型中給出求協(xié)方差矩陣初始條件 P0 的一種的一種方法方法 (11.2.37)式中式中Vec( ) 算子是把矩陣?yán)?，即表示矩陣的列是一列接著一算子是把矩陣?yán)?，即表示矩陣的列是一列接著一列而形成一個向量，而運算符列而形成一個向量，而運算符 表示克羅內(nèi)克積表示克羅內(nèi)克積(kronecker product) ，I 為單位矩陣。為單位矩陣。cTI10）（aRRQTTPP001)(Vec)(Vec1RRQTTIP40 (2) 如果初始條件的求解是不可能的，狀態(tài)將

41、按擴如果初始條件的求解是不可能的，狀態(tài)將按擴散先驗處理。當(dāng)利用擴散先驗時，采用散先驗處理。當(dāng)利用擴散先驗時，采用Koopman，Shephard和和Doornik (1998) 提出的方法將設(shè)置提出的方法將設(shè)置 0 = 0 和和 P0 = I ，這里，這里 為一個任意的大數(shù)。如設(shè)為一個任意的大數(shù)。如設(shè) = 106，然后，然后通過乘以殘差協(xié)方差矩陣的最大的對角線元素調(diào)整通過乘以殘差協(xié)方差矩陣的最大的對角線元素調(diào)整 P。41 在在11.2節(jié)討論利用節(jié)討論利用Kalman濾波遞推公式求狀態(tài)向量的濾波遞推公式求狀態(tài)向量的估計量時，假定狀態(tài)空間模型的系統(tǒng)矩陣估計量時，假定狀態(tài)空間模型的系統(tǒng)矩陣 Zt ,

42、 Ht , Tt , Rt 和和 Qt 是已知的。但實際上是已知的。但實際上。例。例如，在例如，在例11.1的一階移動平均模型的一階移動平均模型MA(1)中中 = ( , 2)，在例在例11.2的二階自回歸模型的二階自回歸模型AR(2)中中 = ( 1, 2, 2)。本。本節(jié)對于狀態(tài)空間模型的量測方程節(jié)對于狀態(tài)空間模型的量測方程(11.1.1)和狀態(tài)方程和狀態(tài)方程(11.1.3)中含有未知參數(shù)的情況，介紹超參數(shù)的估計方法。中含有未知參數(shù)的情況，介紹超參數(shù)的估計方法。42 在許多問題中，特別在關(guān)于正態(tài)分布的各種估計問題中，在許多問題中，特別在關(guān)于正態(tài)分布的各種估計問題中，極大似然法是最常用的方法

43、，這主要表現(xiàn)在極大似然估計量極大似然法是最常用的方法，這主要表現(xiàn)在極大似然估計量常具有某些優(yōu)良的性質(zhì)。這里采用極大似然法估計未知的超常具有某些優(yōu)良的性質(zhì)。這里采用極大似然法估計未知的超參數(shù)。參數(shù)。 極大似然法的原理通常用于觀測值極大似然法的原理通常用于觀測值 y1 , y2 , , yT 相互獨相互獨立且具有同樣分布的情形，此時它們的聯(lián)合概率函數(shù)被給定立且具有同樣分布的情形，此時它們的聯(lián)合概率函數(shù)被給定為為 (11.3.1)其中：其中：P(yt) 是第是第 t 個觀測值的概率密度函數(shù)。個觀測值的概率密度函數(shù)。 L( y ; )是樣本是樣本y1 , y2 , , yT 的聯(lián)合概率密度函數(shù)。一旦得

44、到樣本觀測值，的聯(lián)合概率密度函數(shù)。一旦得到樣本觀測值，L( y ; ) 就可以被解釋為似然函數(shù)，并且可以通過關(guān)于就可以被解釋為似然函數(shù)，并且可以通過關(guān)于 求求偏導(dǎo)數(shù)，使函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)，使函數(shù)L( y ; ) 達到最大來求出達到最大來求出 的極大似然估計。的極大似然估計。 TttPL1)();(yy43 然而，經(jīng)濟時間序列的一個重要特征是經(jīng)濟變量間是不獨然而，經(jīng)濟時間序列的一個重要特征是經(jīng)濟變量間是不獨立的，因此不能用式立的，因此不能用式(11.3.1)，而是利用條件概率密度函數(shù)代替，而是利用條件概率密度函數(shù)代替聯(lián)合概率密度函數(shù)將似然函數(shù)表示為聯(lián)合概率密度函數(shù)將似然函數(shù)表示為 (11.3.2)其中：

45、其中：P(yt Yt-1) 表示表示 yt 以直到時刻以直到時刻 t-1 的信息集合為條件的條的信息集合為條件的條件分布，即件分布，即 Yt-1=yt-1, yt-2 , , y1，P( yt Yt-1)=P(yt y1, , yt-1)。TtttPL11)();(Yyy44 在總體正態(tài)的假定之下，可以將式在總體正態(tài)的假定之下，可以將式(11.3.2)的對數(shù)似然函的對數(shù)似然函數(shù)直接寫為數(shù)直接寫為 (11.3.3)其中其中 (11.3.4) 由前面由前面11.2.2節(jié)的論述可以知道條件均值節(jié)的論述可以知道條件均值 是是 yt 的最的最小均方誤差意義的最優(yōu)估計量小均方誤差意義的最優(yōu)估計量(MMSE

46、)，所以，所以 k 1 向量向量 vt 可可以作為一個預(yù)測誤差向量來解釋。因此以作為一個預(yù)測誤差向量來解釋。因此(11.3.3)式有時也稱為式有時也稱為似然函數(shù)形式的預(yù)測誤差分解。似然函數(shù)形式的預(yù)測誤差分解。tTtttTttTkLvFvFy11121ln212ln2);(ln1ttttyyvTt,2, 11tty45 極大似然估計量的計算方法有許多種，有解析方法，也極大似然估計量的計算方法有許多種，有解析方法，也有數(shù)值解法。設(shè)有數(shù)值解法。設(shè) = ( 1, 2, , n ) 是待求的未知參數(shù)向量，是待求的未知參數(shù)向量，首先求極大似然估計的迭代公式。為求極大似然估計，需要首先求極大似然估計的迭代公

47、式。為求極大似然估計，需要求解求解 設(shè)設(shè) 是超參數(shù)向量的精確值，采用是超參數(shù)向量的精確值，采用Taylor展開式，取一展開式，取一次 近 似 ， 并 設(shè)次 近 似 ， 并 設(shè) 表 示 參 數(shù) 空 間 上 的 任 意 一 點 ， 則 可 將表 示 參 數(shù) 空 間 上 的 任 意 一 點 ， 則 可 將 lnL(y; )/ 表示成表示成 0);(lnyL )(lnlnln2LLL46令其為令其為0，可得，可得 于是得到于是得到其中：其中：l = 1, 2, ，從某個初始設(shè)定的參數(shù)值從某個初始設(shè)定的參數(shù)值 (0) 出發(fā)，進行迭出發(fā)，進行迭代過程：代過程： (1) , (2) , (3) , 。 12

48、lnlnLL)()(lnln12)()1(llLLll47 求求 (l) ( l = 1, 2, ) ，它的收斂值，它的收斂值 為所求的極大似然估計。式中對數(shù)似然函數(shù)的為所求的極大似然估計。式中對數(shù)似然函數(shù)的 ，而對數(shù)似然函數(shù)的，而對數(shù)似然函數(shù)的。計算海塞。計算海塞(Hessian)矩陣的逆矩陣，計算量是很大的。計算方法有多種，矩陣的逆矩陣，計算量是很大的。計算方法有多種，近似的方法可節(jié)省時間但缺少嚴(yán)密性，而嚴(yán)密的方法又有計近似的方法可節(jié)省時間但缺少嚴(yán)密性，而嚴(yán)密的方法又有計算時間長的缺點。算時間長的缺點。 limll48被定義為：被定義為： )1()1()()1()(2)(log)(log)

49、(logiiiiiissLsLL而而則由下式計算：則由下式計算： 這里這里 logL 是似然函數(shù)，是似然函數(shù)，s 充分接近充分接近 0 ，上述公式可達到任意，上述公式可達到任意精度。雙側(cè)導(dǎo)數(shù)更加精確，但它要對似然函數(shù)進行的計算量精度。雙側(cè)導(dǎo)數(shù)更加精確，但它要對似然函數(shù)進行的計算量大概是單側(cè)導(dǎo)數(shù)的兩倍，運行時間上也是如此。大概是單側(cè)導(dǎo)數(shù)的兩倍，運行時間上也是如此。 )1()()1()()(log)(log)(logiiiiisLsLL49 EViews可以處理大量的單方程和多方程狀態(tài)空間模型，提供了指定系可以處理大量的單方程和多方程狀態(tài)空間模型，提供了指定系統(tǒng)方程、協(xié)方差矩陣和初始條件控制的詳細

50、方法。統(tǒng)方程、協(xié)方差矩陣和初始條件控制的詳細方法。 在定義和估計一個狀態(tài)空間模型時，第一步是創(chuàng)建一個狀態(tài)空間對象。在定義和估計一個狀態(tài)空間模型時，第一步是創(chuàng)建一個狀態(tài)空間對象。從主菜單中選擇從主菜單中選擇Objects/New Object/Sspace，或在命令窗口鍵入命令，或在命令窗口鍵入命令sspace。EViews將創(chuàng)建一個狀態(tài)空間對象，并打開一個空的狀態(tài)空間說明窗口。將創(chuàng)建一個狀態(tài)空間對象，并打開一個空的狀態(tài)空間說明窗口。 50 有兩種方法定義一個狀態(tài)空間模型，最簡單的方法就有兩種方法定義一個狀態(tài)空間模型，最簡單的方法就是利用是利用EViews中的中的“自動指定自動指定”功能引導(dǎo)狀態(tài)

51、空間模型的功能引導(dǎo)狀態(tài)空間模型的標(biāo)準(zhǔn)形式。這種方式只需在狀態(tài)空間過程標(biāo)準(zhǔn)形式。這種方式只需在狀態(tài)空間過程Procs中選擇中選擇Define State Space功能功能 ，就可以彈出定義對話框，指導(dǎo)創(chuàng)，就可以彈出定義對話框，指導(dǎo)創(chuàng)建一個狀態(tài)空間的過程。這一方式的詳細介紹見建一個狀態(tài)空間的過程。這一方式的詳細介紹見“自動定自動定義義”一節(jié)。一節(jié)。 描述狀態(tài)空間模型的更一般方法是使用關(guān)鍵字和文本描述狀態(tài)空間模型的更一般方法是使用關(guān)鍵字和文本來描述量測方程、狀態(tài)方程、誤差結(jié)構(gòu)、初始條件和待估來描述量測方程、狀態(tài)方程、誤差結(jié)構(gòu)、初始條件和待估參數(shù)的初值。下面來介紹描述狀態(tài)空間對象的一般語法。參數(shù)的初

52、值。下面來介紹描述狀態(tài)空間對象的一般語法。 51 作為缺省，如果一個方程通過關(guān)鍵字作為缺省，如果一個方程通過關(guān)鍵字“”來明確定義，或來明確定義，或沒有用關(guān)鍵字，沒有用關(guān)鍵字，EViews將把其作為量測方程處理。要注意以下幾點：將把其作為量測方程處理。要注意以下幾點： （1）量測方程的因變量可以包含表達式。）量測方程的因變量可以包含表達式。 （2），包括出現(xiàn)，包括出現(xiàn)在右端表達式的所有變量。在量測方程中任何滯后量測變量都被看作多在右端表達式的所有變量。在量測方程中任何滯后量測變量都被看作多步向前預(yù)測的預(yù)測值看待。步向前預(yù)測的預(yù)測值看待。 （3）。狀態(tài)向量的非線性。狀態(tài)向量的非線性或存在超前或滯后

53、狀態(tài)變量將導(dǎo)致錯誤的信息?；虼嬖诔盎驕鬆顟B(tài)變量將導(dǎo)致錯誤的信息。 （4）量測方程中可以包含外生變量和未知參數(shù)，也可以是這些元素）量測方程中可以包含外生變量和未知參數(shù)，也可以是這些元素的非線性形式。的非線性形式。 量測方程可以包含誤差或誤差方差指定的選項，如果方程中不包含量測方程可以包含誤差或誤差方差指定的選項，如果方程中不包含誤差或誤差方差，方程是確定性的。狀態(tài)空間模型中誤差指定的詳細內(nèi)誤差或誤差方差，方程是確定性的。狀態(tài)空間模型中誤差指定的詳細內(nèi)容參看后面的容參看后面的“誤差和方差誤差和方差”。 52 下面是有效的量測方程的定義（注：下面量測方程中的下面是有效的量測方程的定義（注：下面量

54、測方程中的sv1, sv2, sv3, sv4是狀態(tài)向量）是狀態(tài)向量） signal y =sv1+sv2*x1+sv3*x2+sv4*y(-1)+var=exp(c(1) log(p)= sv1 + c(1) + c(3)*x + sv2*y z = c(1) + sv1+sv2*x1+sv3*x2 + var=exp(c(2) 下面是不正確的方程的指定：下面是不正確的方程的指定： signal y=sv1*sv2*x1+var=exp(c(1) log(p)=c(1)+c(3)*x+sv1(-1) z = sv1+sv2*x1+ c(3)* z(1)+c(1)+var=exp(c(2) 因

55、為它們至少違背了上面描述條件中的一個條件（其順序是：狀態(tài)向因為它們至少違背了上面描述條件中的一個條件（其順序是：狀態(tài)向量的非線性、狀態(tài)向量的滯后、量測向量的超前）。量的非線性、狀態(tài)向量的滯后、量測向量的超前）。53 狀態(tài)方程的定義必須包含關(guān)鍵字狀態(tài)方程的定義必須包含關(guān)鍵字“”，后面跟隨一個有效的狀，后面跟隨一個有效的狀態(tài)方程。必須注意以下幾點：態(tài)方程。必須注意以下幾點： (1) 。因。因為為EViews對狀態(tài)方程不能自動建立工作文件序列。對狀態(tài)方程不能自動建立工作文件序列。 (2) ，或因變量的超前和滯后變量。，或因變量的超前和滯后變量。 (3) 每一個狀態(tài)方程每一個狀態(tài)方程。如果在狀態(tài)方。如

56、果在狀態(tài)方程中存在狀態(tài)變量的非線性關(guān)系、同期、超前或多期滯后將產(chǎn)生錯誤信息。程中存在狀態(tài)變量的非線性關(guān)系、同期、超前或多期滯后將產(chǎn)生錯誤信息。需要強調(diào)的是，在狀態(tài)方程中一期滯后約束條件不是限定的，因為更高階的需要強調(diào)的是，在狀態(tài)方程中一期滯后約束條件不是限定的，因為更高階的滯后被當(dāng)作新的狀態(tài)變量。關(guān)于這種情況的例子在后面的滯后被當(dāng)作新的狀態(tài)變量。關(guān)于這種情況的例子在后面的AR(2)模型中提供。模型中提供。 (4) 狀態(tài)方程中可以包含外生變量和未知參數(shù)，可以是它們的非線性形式。狀態(tài)方程中可以包含外生變量和未知參數(shù)，可以是它們的非線性形式。 在狀態(tài)方程中還包含誤差或誤差方差指定選項。如果在方程中不

57、包含誤在狀態(tài)方程中還包含誤差或誤差方差指定選項。如果在方程中不包含誤差或誤差方差，狀態(tài)方程被假定為確定的。關(guān)于狀態(tài)空間模型誤差結(jié)構(gòu)指定差或誤差方差，狀態(tài)方程被假定為確定的。關(guān)于狀態(tài)空間模型誤差結(jié)構(gòu)指定的詳細介紹參看后面的的詳細介紹參看后面的“誤差和方差誤差和方差”。54 下面兩個狀態(tài)方程定義了一個服從下面兩個狀態(tài)方程定義了一個服從AR(2)過程的不可觀測誤差過程的不可觀測誤差: : state sv1=c(2)*sv1(-1)+c(3)*sv2(-1)+var=exp(c(5) state sv2=sv1(-1) 第一個關(guān)于第一個關(guān)于sv1的方程，根據(jù)的方程，根據(jù)AR(1)的系數(shù)的系數(shù)c(2)

58、，和，和AR(2)的系數(shù)的系數(shù)c(3)，確，確定定AR(2)模型的參數(shù)。誤差方差的指定在方框中給出。模型的參數(shù)。誤差方差的指定在方框中給出。sv2的狀態(tài)方程定義為的狀態(tài)方程定義為變量變量sv1的一步滯后，所以的一步滯后，所以sv2(-1)表示表示sv1的兩步滯后。的兩步滯后。 下面是不正確的狀態(tài)方程：下面是不正確的狀態(tài)方程： state exp(sv1)=sv1(-1)+var=exp(c(3) state sv2=log(sv2(-1)+var=exp(c(3) state sv3=c(1)+c(2)*sv3(-2)+var=exp(c(3) 因為它們至少違背了上面描述條件中的一個條件（其次

59、序是：狀態(tài)方程因為它們至少違背了上面描述條件中的一個條件（其次序是：狀態(tài)方程因變量是表示式，狀態(tài)變量是非線性的，出現(xiàn)狀態(tài)變量的多期滯后）。因變量是表示式，狀態(tài)變量是非線性的，出現(xiàn)狀態(tài)變量的多期滯后）。 55 在誤差項的處理中，狀態(tài)空間對象方程的指定在某種程度上是唯一在誤差項的處理中，狀態(tài)空間對象方程的指定在某種程度上是唯一的。的。EViews總是把一個隱含的誤差項加到一個方程或系統(tǒng)對象的各個方總是把一個隱含的誤差項加到一個方程或系統(tǒng)對象的各個方程中去。但如不特殊指定，狀態(tài)空間量測或狀態(tài)方程中不能包含誤差項。程中去。但如不特殊指定，狀態(tài)空間量測或狀態(tài)方程中不能包含誤差項。誤差項必須被加到（在方括

60、號中）指定方程的后面。誤差項必須被加到（在方括號中）指定方程的后面。 把一個誤差項加到狀態(tài)空間方程中最簡單的方法是指定誤差項的方把一個誤差項加到狀態(tài)空間方程中最簡單的方法是指定誤差項的方差。即加一個誤差表達式到已存在的方程中去。差。即加一個誤差表達式到已存在的方程中去。 signal y=c(1)+sv1+sv2+var=1 state sv1=sv1(-1)+var=exp(c(2) state sv2=c(3)+c(4)*sv2(-1)+var=exp(c(2)*x) 指定的方差可以是已知常數(shù)值，也可以是包含待估計未知參數(shù)的表指定的方差可以是已知常數(shù)值，也可以是包含待估計未知參數(shù)的表達式。