浙大概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件_第八章假設檢驗

1、第八章、假設檢驗第八章、假設檢驗第一節(jié)：假設檢驗第一節(jié)：假設檢驗第二節(jié)：正態(tài)總體均值的假設檢驗第二節(jié)：正態(tài)總體均值的假設檢驗第三節(jié)：正態(tài)總體方差的假設檢驗第三節(jié)：正態(tài)總體方差的假設檢驗第一節(jié)第一節(jié) 假設檢驗假設檢驗基本概念基本概念基本思想基本思想基本步驟基本步驟兩類錯誤兩類錯誤假設檢驗假設檢驗參數(shù)假設檢驗參數(shù)假設檢驗非參數(shù)假設檢驗非參數(shù)假設檢驗這類問題稱作假設檢驗問題這類問題稱作假設檢驗問題 .總體分布已總體分布已知，檢驗關知，檢驗關于未知參數(shù)于未知參數(shù)的某個假設的某個假設總體分布未知時的假設檢驗問題總體分布未知時的假設檢驗問題 在本節(jié)中，我們將討論不同于參數(shù)估計的另一在本節(jié)中，我們將討論不同

2、于參數(shù)估計的另一類重要的統(tǒng)計推斷問題類重要的統(tǒng)計推斷問題. 這就是這就是根據(jù)樣本的信息檢驗根據(jù)樣本的信息檢驗關于總體的某個假設是否正確關于總體的某個假設是否正確.一、一、基本概念基本概念 假設檢驗原理假設檢驗原理 假設檢驗所以可行，其理論背景為實際推斷原理，假設檢驗所以可行，其理論背景為實際推斷原理，即即“小概率原理小概率原理”小概率事件在一次試驗中幾乎是不可能發(fā)生的小概率事件在一次試驗中幾乎是不可能發(fā)生的二、二、基本原理基本原理例例 通宣理肺丸的丸重服從正態(tài)分布。若標準差通宣理肺丸的丸重服從正態(tài)分布。若標準差 2 mg，規(guī)定標準丸重，規(guī)定標準丸重38 mg。從一批中隨機抽。從一批中隨機抽取取

3、 100 丸，樣本均數(shù)丸，樣本均數(shù)37.5 mg，該批藥丸是否合，該批藥丸是否合格格 。前提是正態(tài)分布且前提是正態(tài)分布且2已知已知記記0=38猜想猜想0,稱備擇假設或?qū)α⒓僭O稱備擇假設或?qū)α⒓僭O,記為記為H1反設反設=0,稱零假設稱零假設,原假設或無效假設原假設或無效假設,記為記為H0 在在H0假定下，選擇適當統(tǒng)計量，判斷是否出現(xiàn)小概假定下，選擇適當統(tǒng)計量，判斷是否出現(xiàn)小概率事件。出現(xiàn)則拒絕率事件。出現(xiàn)則拒絕H0，接受，接受H1，沒有出現(xiàn)則只能，沒有出現(xiàn)則只能接受接受H0這種根據(jù)樣本提供的信息對假設進行檢驗這種根據(jù)樣本提供的信息對假設進行檢驗,做出拒做出拒絕或接受這一假設的決策絕或接受這一假設

4、的決策,稱為參數(shù)的假設檢驗稱為參數(shù)的假設檢驗 在在H0假定下假定下,選擇統(tǒng)計量選擇統(tǒng)計量0Xzn37.5382.52100z 雙側界值查雙尾概率雙側界值查雙尾概率0.01P1.96 ，即觀測值落在拒絕域內(nèi)，即觀測值落在拒絕域內(nèi) 所以所以拒絕原假設拒絕原假設。而樣本均值為而樣本均值為 154.90.056xU故故U統(tǒng)計量的觀測值為統(tǒng)計量的觀測值為 14.9x H0： 0；H1： 0 H0： 0；H1： 0 或或 0XPun0XPun 單單 邊邊 檢檢 驗驗 拒絕域為拒絕域為 Uu 拒絕域為拒絕域為 Uu2 2、方差未知、方差未知問題問題：總體：總體XN（ ， 2），）， 2未知未知 假設假設 H

5、0： = 0；H1： 0 構造構造T統(tǒng)計量統(tǒng)計量 0XTSn (1)t n由由 02(1)XPtnSnt t檢驗檢驗 雙邊檢驗雙邊檢驗 如果統(tǒng)計量的觀測值如果統(tǒng)計量的觀測值 02(1)xTtnSn則則拒絕原假設拒絕原假設；否則接受原假設；否則接受原假設 確定拒絕域確定拒絕域 2(1)Ttn例例2 化工廠用自動包裝機包裝化肥，每包重量服從正態(tài)化工廠用自動包裝機包裝化肥，每包重量服從正態(tài)分布，額定重量為分布，額定重量為100公斤。某日開工后，為了確定包公斤。某日開工后，為了確定包裝機這天的工作是否正常，隨機裝機這天的工作是否正常，隨機抽取抽取9袋化肥，稱得平袋化肥，稱得平均重量為均重量為99.97

6、8，均方差為，均方差為1.212，能否認為這天的包，能否認為這天的包裝機工作正常？（裝機工作正常？（ =0.1）解解 由題意可知：化肥重量由題意可知：化肥重量XN（ ， 2），）， 0=100 方差未知，要求對均值進行檢驗，采用方差未知，要求對均值進行檢驗，采用T檢驗法。檢驗法。假設假設 H0： =100； H1： 100構造構造T統(tǒng)計量統(tǒng)計量，得，得T的的0.1雙側分位數(shù)雙側分位數(shù)為為 86. 1)8(05. 0t解解 因為因為0.05451.86 ，即觀測值落在接受域內(nèi)，即觀測值落在接受域內(nèi) 所以接受原假設，即可認為這天的包裝機工作正常。所以接受原假設，即可認為這天的包裝機工作正常。而樣本

7、均值、均方差為而樣本均值、均方差為 99.978 1000.05451.2129xTSn故故T統(tǒng)計量的觀測值為統(tǒng)計量的觀測值為 99.978,1.212xS例例2 化工廠用自動包裝機包裝化肥，每包重量服從正態(tài)化工廠用自動包裝機包裝化肥，每包重量服從正態(tài)分布，額定重量為分布，額定重量為100公斤。某日開工后，為了確定包公斤。某日開工后，為了確定包裝機這天的工作是否正常，隨機裝機這天的工作是否正常，隨機抽取抽取9袋化肥，稱得平袋化肥，稱得平均重量為均重量為99.978，均方差為，均方差為1.212，能否認為這天的包，能否認為這天的包裝機工作正常？（裝機工作正常？（ =0.1）H0： 0；H1： 0

8、 H0： 0；H1： 0 或或 0(1)XPtnSn0(1)XPtnSn 單邊檢驗單邊檢驗 拒絕域為拒絕域為 (1)Ttn 拒絕域為拒絕域為 (1)Ttn例例3 某種電子元件的壽命某種電子元件的壽命 X（以小時計）服從正態(tài)（以小時計）服從正態(tài)分布，分布， 均未知?，F(xiàn)測得均未知?，F(xiàn)測得16只元件的壽命如下：只元件的壽命如下： 159 280 101 212 224 379 179 264 222 362 168 250 149 260 485 170問是否有理由認為元件的平均壽命大于問是否有理由認為元件的平均壽命大于225（小時（小時）？）？2, 001:2 2 5 ,:2 2 5 .HH0.0

9、500.66851.7531.xtsn0H0(1)xttnsn0.05(15)1.7531.t241.5,98.7259xs解：解： 按題意需檢驗按題意需檢驗取取 。由表。由表8.1知檢驗問題的拒絕域為知檢驗問題的拒絕域為現(xiàn)在現(xiàn)在n=16, 又算得又算得即得即得t不落在拒絕域，故接受不落在拒絕域，故接受 ，即認為元件的平均，即認為元件的平均壽命不大于壽命不大于225小時。小時。22120,1XYXYUNnn故對給定的檢驗水平故對給定的檢驗水平 得得H0的拒絕域：的拒絕域：,22212XYXYunnU 雙側檢驗雙側檢驗U檢驗法檢驗法 二、兩個正態(tài)總體的均值檢驗二、兩個正態(tài)總體的均值檢驗 22,X

10、Y 已知已知 ，檢驗，檢驗H0： XY1、方差已知方差已知，檢驗均值相等，檢驗均值相等 問題：問題：2,XXXN2,YYYN212,.nY YY112,.nXXX設設 是是X的一個樣本，的一個樣本，是是Y的一個樣本，的一個樣本，則當則當H0由成立時由成立時解解 假設：假設：01:,:XYXYHH0.02522121.5 1.60.491.960.2 120.2 8xyunn因為：因為：所以所以接受接受H0假設假設，即認為，即認為 A、B兩法的平均產(chǎn)量兩法的平均產(chǎn)量無顯著差異無顯著差異。例例4 據(jù)以往資料，已知某品種小麥每據(jù)以往資料，已知某品種小麥每4平方米產(chǎn)量（千克）的平方米產(chǎn)量（千克）的 方

11、差為方差為 。今在一塊地上用。今在一塊地上用A，B 兩法試驗，兩法試驗，A 法設法設12個樣本點，得平均產(chǎn)量個樣本點，得平均產(chǎn)量 ；B 法設法設8個樣本個樣本 點，得平均產(chǎn)量點，得平均產(chǎn)量 ，試比較，試比較A、B兩法的平均產(chǎn)量兩法的平均產(chǎn)量 是否有顯著差異。是否有顯著差異。20.21.5x 1.6y 0.052、方差未知方差未知，但兩個總體的，但兩個總體的方差相等方差相等，檢驗均值相等，檢驗均值相等 問題：問題：2,XXXN2,YYYN212,.nY YY112,.nXXX設設 是是X的一個樣本，的一個樣本，是是Y的一個樣本，的一個樣本， 未知未知 ，但知，但知 ，檢驗，檢驗H0： 22,XY

12、XY22XY1222121212()211112XYXYXYTt nnSnSnnnnn1222121212211112XYXYTt nnSnSnnnnn對給定的檢驗水平對給定的檢驗水平 得得H0的拒絕域：的拒絕域：,T 雙側檢驗雙側檢驗若若 H0 成立，則成立，則21222121212211112XYXYTtnnSnSnnnnn解解 假設：假設：01:,:XYXYHH1500.8,1077.8xy2222151.3 ,47.0XYss0.025221500.8 1077.88.452.10118151.3947.0911181010t 因因 所以所以拒絕拒絕H0假設假設，兩種燈泡的，兩種燈泡的

13、平均壽命有顯著差異平均壽命有顯著差異。例例5 有兩種燈泡，一種用有兩種燈泡，一種用 A 型燈絲，另一種用型燈絲，另一種用 B 型燈絲。隨機型燈絲。隨機 抽取兩種燈泡各抽取兩種燈泡各10 只做試驗，測得它們的壽命（小時）為：只做試驗，測得它們的壽命（小時）為：A 型：型：1293 1380 1614 1497 1340 1643 1466 1677 1387 1711B 型：型：1061 1065 1092 1017 1021 1138 1143 1094 1028 1119 設兩種燈泡的壽命均服從正態(tài)分布且方差相等，試檢驗兩種設兩種燈泡的壽命均服從正態(tài)分布且方差相等，試檢驗兩種 燈泡的平均壽命

14、之間是否存在顯著差異？燈泡的平均壽命之間是否存在顯著差異？0.05 例例6 在平爐進行一項試驗以確定改變操作方法的在平爐進行一項試驗以確定改變操作方法的 建議是否會增加鋼的得率，試驗是在同一只平爐上建議是否會增加鋼的得率，試驗是在同一只平爐上進行的。每煉一爐鋼時除操作方法外，其它條件都進行的。每煉一爐鋼時除操作方法外，其它條件都盡可能做到相同。先用標準方法煉一爐，然后用建盡可能做到相同。先用標準方法煉一爐，然后用建議的新方法煉一爐，以后交替進行，各煉了議的新方法煉一爐，以后交替進行，各煉了10爐，爐，其得率分別為其得率分別為 標準方法標準方法 78.1 72.4 76.2 74.3 77.4

15、78.4 76.0 75.5 76.7 77.3 新方法新方法 79.1 81.0 77.3 79.1 80.0 79.1 79.1 77.3 80.2 82.10.0521(,)N 22(,)N212, 設這兩個樣本相互獨立，且分別來自正態(tài)總設這兩個樣本相互獨立，且分別來自正態(tài)總體體 和和 , 均未均未知。問建議的新操作方法能否提高得率？知。問建議的新操作方法能否提高得率？（?。ㄈ?）21122210,76.23,3.325,10,79.43,2.225.nxsnys012112:0,:0.HH 解：需要檢驗假設解：需要檢驗假設分別求出標準方法和新方法的樣本均值和樣本方差分別求出標準方法和新

16、方法的樣本均值和樣本方差如下：如下：0H0.05(18)1.7341,111010wxytts 222120.05(101)(101)2.775,(18)1.7341,10102wssst又，又， 故拒絕域為故拒絕域為現(xiàn)在由于樣本觀察值現(xiàn)在由于樣本觀察值t-4.295-1.7341,所以拒絕所以拒絕 ，即認為建議的新操作方法較原來的方法為優(yōu)。即認為建議的新操作方法較原來的方法為優(yōu)。第三節(jié)第三節(jié) 正態(tài)總體方差的假設檢驗正態(tài)總體方差的假設檢驗單個正態(tài)總體單個正態(tài)總體的方差檢驗的方差檢驗兩個正態(tài)總體兩個正態(tài)總體的方差檢驗的方差檢驗一、單個正態(tài)總體均值未知的方差檢驗一、單個正態(tài)總體均值未知的方差檢驗

17、問題問題：設總體：設總體XN（ ， 2），）， 未知未知 構造構造 2統(tǒng)計量統(tǒng)計量 2220(1)nS21()n由由 2222122(1),(1)22PnPn如果統(tǒng)計量的觀測值如果統(tǒng)計量的觀測值 222(1)n則則拒絕原假設拒絕原假設；否則接受原假設；否則接受原假設 確定臨界值確定臨界值 22122(1),(1)nn22220010:;:;HH或或 2212(1)n 2 2檢驗檢驗 假設假設 1、雙邊檢驗、雙邊檢驗 例例1 某煉鐵廠的鐵水含碳量某煉鐵廠的鐵水含碳量X在正常情況下服從正態(tài)在正常情況下服從正態(tài)分布，現(xiàn)對工藝進行了某些改進，從中抽取分布，現(xiàn)對工藝進行了某些改進，從中抽取5爐鐵水爐鐵水

18、測得含碳量如下：測得含碳量如下：4.421，4.052，4.357，4.287，4.683，據(jù)此是否可判斷新工藝煉出的鐵水含碳量的，據(jù)此是否可判斷新工藝煉出的鐵水含碳量的方差仍為方差仍為0.1082（ =0.05）？）？解解 這是一個均值未知，正態(tài)總體的方差檢驗，這是一個均值未知，正態(tài)總體的方差檢驗， 用用 2檢驗法檢驗法由由 =0.05，得臨界值，得臨界值 假設假設 222201:0.108 ;:0.108 ;HH220.9750.025(4)0.048,(4)11.14例例1 某煉鐵廠的鐵水含碳量某煉鐵廠的鐵水含碳量X在正常情況下服從正態(tài)在正常情況下服從正態(tài)分布，現(xiàn)對工藝進行了某些改進，從

19、中抽取分布，現(xiàn)對工藝進行了某些改進，從中抽取5爐鐵水爐鐵水測得含碳量如下：測得含碳量如下：4.421，4.052，4.357，4.287，4.683，據(jù)此是否可判斷新工藝煉出的鐵水含碳量的，據(jù)此是否可判斷新工藝煉出的鐵水含碳量的方差仍為方差仍為0.1082（ =0.05）？）？解解 2統(tǒng)計量的觀測值為統(tǒng)計量的觀測值為17.8543 因為因為 17.854311.14所以拒絕原假設所以拒絕原假設 即可判斷新工藝煉出的鐵水含碳量的方差不是即可判斷新工藝煉出的鐵水含碳量的方差不是0.1082問題問題：設總體：設總體XN（ ， 2），）， 未知未知 構造構造 2統(tǒng)計量統(tǒng)計量 2220(1)nS由第六章

20、由第六章 定理知定理知 2 2檢驗檢驗 假設假設 2、單邊檢驗、單邊檢驗 20212020:;:HH)1()1(222nSn另，當假設另，當假設 成立時，有成立時，有0H22202) 1() 1(SnSn) 1(2222SnP使得可找到臨界值從而對給定的) 1() 1(:2222202SnPSnP從而有如果統(tǒng)計量的觀測值如果統(tǒng)計量的觀測值 則則拒絕原假設拒絕原假設；否則接受原假設；否則接受原假設 ”“) 1(2202小概率事件更是一個即事件Sn) 1() 1(:22202nSnP確定臨界值從而可由) 1() 1(22022nSn 2 2檢驗檢驗 例例2 機器包裝食鹽，假設每袋鹽的凈重服從正態(tài)分

21、機器包裝食鹽，假設每袋鹽的凈重服從正態(tài)分布，規(guī)定每袋標準重量為布，規(guī)定每袋標準重量為500克，標準差不能超過克，標準差不能超過10克。某天開工后，為檢查其機器工作是否正常，從裝克。某天開工后，為檢查其機器工作是否正常，從裝好的食鹽中隨機抽取好的食鹽中隨機抽取9袋，測其凈重為袋，測其凈重為497，507，510，475，484，488，524，491，515問這天包裝機工作是否正常問這天包裝機工作是否正常(=0.05)?10:,10:)2(500:,500:) 1 (212010HHHH由題知要檢驗假設由題知要檢驗假設),(,:2N則為每一袋鹽的重量設解500:,500:) 1 (10HH由于方

22、差未知，故采用由于方差未知，故采用 t檢驗法，構造統(tǒng)計量檢驗法，構造統(tǒng)計量0XTSn (1)t n03.16,499sx由樣本算得從而得統(tǒng)計量從而得統(tǒng)計量T的樣本觀測值為的樣本觀測值為187.0|9/03.16500499|t306. 2)8()1(025. 02tntt分布表可查得另由因因0.18715.5,小概率事件發(fā)生，故拒絕原假設，小概率事件發(fā)生，故拒絕原假設，認為每袋食鹽的凈重標準差超過認為每袋食鹽的凈重標準差超過10克，所以該克，所以該天包裝機工作不夠正常。天包裝機工作不夠正常。 未知未知 ，檢驗假設，檢驗假設H0： 22XY,XY2,XXXN若假設若假設H0成立，則成立，則212

23、21,1XYSFF nnS二、兩個正態(tài)總體的方差檢驗二、兩個正態(tài)總體的方差檢驗 問題：問題：2,YYYN由第六章由第六章 定理知定理知2212221,1XXYYSFF nnSF檢驗檢驗 1 1、均值未知的方差、均值未知的方差雙邊雙邊檢驗檢驗對給定的檢驗水平對給定的檢驗水平,使得和存在臨界值,21CC21CFCFP對給定的檢驗水平對給定的檢驗水平 得得H0的拒絕域：的拒絕域：,12212121,11,1FFnnFFnn及及F 雙側檢驗雙側檢驗21CFCFP2,221CFPCFP為了計算的方便取)1, 1(;)1, 1(212122121nnFCnnFC由分位數(shù)定義得) 1, 1(1) 1, 1(

24、1222121nnFnnF其中其中：例例3 測得兩批電子器材的樣本的電阻為：測得兩批電子器材的樣本的電阻為：（單位：（單位： ）第一批：第一批：0.140 0.138 0.143 0.142 0.144 0.137第二批：第二批：0.135 0.140 0.142 0.136 0.138 0.140設這兩批器材的電阻均服從正態(tài)分布，試檢驗設這兩批器材的電阻均服從正態(tài)分布，試檢驗H0：2212 (0.05)解解 這是一個兩正態(tài)總體的方差檢驗問題，用這是一個兩正態(tài)總體的方差檢驗問題，用F檢驗法檢驗法 由樣本觀測數(shù)據(jù)得由樣本觀測數(shù)據(jù)得 假設假設 2222012112:; :HH2222120.002

25、8 ;0.0027SS1.108F 所以所以 1 0.0250.025(5,5)0.13993;(5,5)7.14638FF而而 所以，接受原假設，即可認為兩批電子器材的方差相等所以，接受原假設，即可認為兩批電子器材的方差相等 例例4 對甲、乙兩種玉米進行評比試驗，得如下產(chǎn)量資料：對甲、乙兩種玉米進行評比試驗，得如下產(chǎn)量資料： 甲：甲：951 966 1008 1082 983 乙：乙：730 864 742 774 990 問這兩種玉米的產(chǎn)量差異有沒有顯著差異？問這兩種玉米的產(chǎn)量差異有沒有顯著差異？0.05解解 （1）先對方差作檢驗：先對方差作檢驗：10121112:,:HH 所以可認為甲、乙兩種玉米的方差沒有顯著差異即可認為所以可認為甲、乙兩種玉米的方差沒有顯著差異即可認為1211784;5 .26532221ss由樣本得23.02221ssF而而 60.923.010.0因因 60. 9)4 , 4(10. 0)4 , 4(025. 0975. 0FF解解：（：（2）再對均值作檢驗）再對均值作檢驗：20122112:,:HH因為已假設方差相等，故用因為已假設方差相等，故用 T 檢驗。檢驗。 0.025229988203.312.306851.54 108.641185