（精心整理）角的平分線的性質(zhì)

1、角的平分線的性質(zhì)一. 基礎(chǔ)知識(shí)1角的平分線的性質(zhì)(1)內(nèi)容角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等(2)書寫格式如圖所示，點(diǎn)P在AOB的角平分線上，PDOA，PEOB，PDPE.2角的平分線的判定(1)內(nèi)容角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上(2)書寫格式如圖所示，PDOA，PEOB，PDPE，點(diǎn)P在AOB的角平分線上3運(yùn)用角的平分線的性質(zhì)解決實(shí)際問題運(yùn)用角的平分線的性質(zhì)的前提條件是已知角的平分線以及角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離在運(yùn)用角的平分線的性質(zhì)解決實(shí)際問題時(shí)，題目中常常出現(xiàn)求到某個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)的位置，只要作出角的平分線即可運(yùn)用角平分線的性質(zhì)解決實(shí)際問題時(shí)，一定要把實(shí)際問題中

2、道路、河流等抽象成數(shù)學(xué)圖形直線，并且要求的點(diǎn)是到兩線的距離相等，常常確定兩線夾角的平分線上的點(diǎn)，這個(gè)過程就是建立數(shù)學(xué)模型的過程，這是在解決實(shí)際問題中常用的方法4運(yùn)用角的平分線的判定解決實(shí)際問題在實(shí)際問題中，如果出現(xiàn)了某個(gè)地點(diǎn)到某些線的距離相等，常先把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即建立數(shù)學(xué)模型(角的平分線)然后根據(jù)已知某點(diǎn)到角兩邊的距離相等，則常常聯(lián)想到用角的平分線的判定得到角的平分線來解決問題解技巧 巧用角的平分線的性質(zhì)和判定解決問題能根據(jù)已知條件聯(lián)想到角的平分線的性質(zhì)或判定是解決問題的關(guān)鍵找到解決問題的切入點(diǎn)就是已知條件中有點(diǎn)到直線的距離相等或要找到到兩條直線的距離相等的點(diǎn)5綜合運(yùn)用角的平分線的

3、性質(zhì)和判定解決實(shí)際問題角的平分線的性質(zhì)和判定的關(guān)系如下：對(duì)于角的平分線的性質(zhì)和判定，一方面要正確理解和明確其條件和結(jié)論，“性質(zhì)”和“判定”恰好是條件和結(jié)論的互換，在應(yīng)用時(shí)不要混淆，性質(zhì)是證兩條線段相等的依據(jù)，判定是證明兩角相等的依據(jù)析規(guī)律 構(gòu)造角的平分線的模型證明線段相等當(dāng)有角平分線時(shí)，常過角平分線上的點(diǎn)向角的兩邊作垂線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得線段相等同樣，欲證明某射線為角平分線時(shí)，只需過其上一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，再證線段相等即可6運(yùn)用角的平分線的性質(zhì)和判定解決探究型問題在實(shí)際問題中，確定位置(如建貨物中轉(zhuǎn)站、建集市、建水庫等)的問題，常常用到角的平分線的性質(zhì)來解決尤其是涉及作圖探究的題目，性質(zhì)

4、“角的內(nèi)部到角兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上”的應(yīng)用是尋找角的平分線的一種比較簡(jiǎn)單的方法三角形有三條角平分線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)，并且交點(diǎn)到該三角形三邊的距離都相等，其實(shí)只要作出其中兩條角平分線的交點(diǎn)，第三條角平分線一定過此交點(diǎn)三角形兩個(gè)外角的平分線也交于一點(diǎn)，這點(diǎn)到該三角形三邊所在的直線距離相等三角形外角平分線共有三條，所以到三角形三邊所在直線距離相等的點(diǎn)共有4個(gè) 【例6】 如下圖所示，三條公路l1，l2，l3兩兩相交于A，B，C三點(diǎn)，現(xiàn)計(jì)劃修建一個(gè)商品超市，要求這個(gè)超市到三條公路的距離相等，可供選擇的地方有多少處？你能在圖中找出來嗎？解：三角形的三條角平分線的交點(diǎn)到該三角形三條邊的距離

5、相等；ACB，ABC的外角平分線交于一點(diǎn)，利用角的平分線的性質(zhì)和判定定理，可以得到此點(diǎn)也在CAB的平分線上，且到公路l1，l2，l3的距離相等；同理還有BAC，BCA的外角平分線的交點(diǎn)；BAC，CBA的外角平分線的交點(diǎn)，因此滿足條件的點(diǎn)共有4個(gè)作法：(1)如右圖所示，作出ABC兩內(nèi)角BAC，ABC的平分線的交點(diǎn)O1.(2)分別作出ACB，ABC的外角平分線的交點(diǎn)O2，BAC，BCA的外角平分線的交點(diǎn)O3，BAC，CBA的外角平分線的交點(diǎn)O4；故滿足條件的修建點(diǎn)有四處，即點(diǎn)O1，O2，O3，O4處課堂練習(xí)一、填空題 1已知：ABC中，B=90°， A、C的平分線交于點(diǎn)O，則AOC的度數(shù)

6、為 .2角平分線上的點(diǎn)到_距離相等；到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)都在_3AOB的平分線上一點(diǎn)M ，M到 OA的距離為1.5 cm，則M到OB的距離為_.4如圖，AOB=60°，CDOA于D，CEOB于E，且CD=CE，則DOC=_.5如圖，在ABC中，C=90°，AD是角平分線，DEAB于E，且DE=3 cm，BD=5 cm，則BC=_cm.6如圖，CD為RtABC斜邊上的高，BAC的平分線分別交CD、CB于點(diǎn)E、F，F(xiàn)GAB，垂足為G，則CF_FG，CE_CF.7如圖，已知AB、CD相交于點(diǎn)E，AEC及AED的平分線所在的直線為PQ與MN，則直線MN與PQ的關(guān)系是_.8三角

7、形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到_相等9點(diǎn)O是ABC內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)O到三邊的距離相等，A=60°，則BOC的度數(shù)為_10在ABC中，C=90°，AD平分BAC交BC于D，若BC=32且BDCD=97，則D到AB的距離為. 二、選擇題 11三角形中到三邊距離相等的點(diǎn)是（）A、三條邊的垂直平分線的交點(diǎn) B、三條高的交點(diǎn)C、三條中線的交點(diǎn) D、三條角平分線的交點(diǎn)12如圖，12，PDOA，PEOB，垂足分別為D，E，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A、PDPE B、ODOE C、DPOEPO D、PDOD13如圖，直線l1，l2，l3表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到

8、三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有（）A、1處 B、2處 C、3處D、4處14如圖，ABC中，C90°，ACBC，AD平分CAB交BC于D，DEAB于E，且AB6，則DEB的周長(zhǎng)為（）A、4 B、6 C、10 D、不能確定 第12題 第13題 第14題 15如圖，MPNP，MQ為MNP的角平分線，MTMP，連接TQ，則下列結(jié)論中不正確的是（）A、TQPQB、MQTMQPC、QTN90°D、NQTMQT 第15題 16如圖在ABC中，ACB=90°，BE平分ABC，DEAB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于( ) A2 cm B3 cm C4 cm D

9、5 cm 17如圖，已知AB=AC，AE=AF，BE與CF交于點(diǎn)D，則對(duì)于下列結(jié)論：ABEACF；BDFCDE；D在BAC的平分線上其中正確的是（ ）A B C和 D18如圖，AB=AD，CB=CD，AC、BD相交于點(diǎn)O，則下列結(jié)論正確的是（ ） AOA=OC B點(diǎn)O到AB、CD的距離相等 CBDA=BDC D點(diǎn)O到CB、CD的距離相等 19ABC中，C=90°，點(diǎn)O為ABC三條角平分線的交點(diǎn)，ODBC于D，OEAC于E，OFAB于F，且AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，則點(diǎn)O到三邊AB、AC、BC的距離為（ ） A2cm，2cm，2cm； B 3cm，3cm，3cm； C

10、 4cm，4cm，4cm； D 2cm，3cm，5cm 20兩個(gè)三角形有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，正確說法是（ ）A兩個(gè)三角形全等 B如果還有一角相等，兩三角形就全等C兩個(gè)三角形一定不全等 D如果一對(duì)等角的角平分線相等，兩三角形全等三、解答與證明 21 如圖，已知ABC中，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，求證：D到AB、AC的距離相等. 22 如圖，已知BEAC于E，CFAB于F，BE、CF相交于點(diǎn)D，若BD=CD求證：AD平分BAC.23 如圖，已知BE平分ABC，CE平分ACD，且交BE于E求證：AE平分FAC.24 如圖，已知AB=AC，AD=AE，DB與CE相交于O. (1)若DBAC于D，CEAB

11、于E，試判斷OE與OD的大小關(guān)系.并證明你的結(jié)論. (2)若沒有第（1）中的條件，是否有這樣的結(jié)論?試說明理由.25如圖，B=C=90°M是BC的中點(diǎn)，DM平分ADC，求證：AM平分DAB.重點(diǎn)題型講解1.如圖已知在ABC中，A、B的角平分線交于點(diǎn)O，過O作OPBC于P，OQAC于Q，ORAB于R，AB=7，BC=8，AC=9（1）求BP、CQ、AR的長(zhǎng)（2）若BO的延長(zhǎng)線交AC于E，CO的延長(zhǎng)線交AB于F，若A=60，求證：OE=OF2.如圖AE、BD是ABM的高AE、BD交于點(diǎn)C，且AE=BE，BD平分ABM（1）求證：BC=2AD；（2）求證：AB=AE+CE；（3）求證：DE

12、平分MDB3.如圖，點(diǎn)M（2，2），將一個(gè)90°的角尺的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)M處，角尺的兩邊分別交x軸、y軸正半軸于A、B，AP平分OAB，交OM于點(diǎn)P，PNx軸于N，把角尺繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí)：（1）求證：OM平分AOB；（2）求OA+OB的值4.如圖，CA=CB，CD=CE，ACB=DCE=，AD、BE交于點(diǎn)H，連CH（1）求證：ACDBCE； （2）求證：CH平分AHE； （3）求CHE的度數(shù)（用含的式子表示）家庭作業(yè)1角平分線上的點(diǎn)到_距離相等；到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)都在_2、AOB的平分線上一點(diǎn)M ，M到 OA的距離為1.5 cm，則M到OB的距離為_.3、如圖，

13、AOB=60°，CDOA于D，CEOB于E，且CD=CE，則DOC=_.4、如圖，在ABC中，C=90°，AD是角平分線，DEAB于E，且DE=3 cm，BD=5 cm，則BC=_cm.5、 三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到_相等。6、 點(diǎn)O是ABC內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)O到三邊的距離相等，A=60°，則BOC的度數(shù)為_7、 在ABC中，C=90°，AD平分BAC交BC于D，若BC=32，且BDCD=97，則D到AB的距離為. 8、三角形中到三邊距離相等的點(diǎn)是（）A、三條邊的垂直平分線的交點(diǎn) B、三條高的交點(diǎn)C、三條中線的交點(diǎn) D、三條角平分線的交點(diǎn)9

14、、如圖，12，PDOA，PEOB，垂足分別為D，E，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A、PDPE B、ODOE C、DPOEPO D、PDOD10、如圖，直線l1，l2，l3表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有（）A、1處 B、2處 C、3處D、4處11、如圖，ABC中，C90°，ACBC，AD平分CAB交BC于D，DEAB于E，且AB6，則DEB的周長(zhǎng)為（）A、4 B、6 C、10 D、不能確定 第9題 第10題 第11題12、如圖，MPNP，MQ為MNP的角平分線，MTMP，連接TQ，則下列結(jié)論中不正確的是（）A、TQPQB、MQTMQ

15、PC、QTN90°D、NQTMQT 第12題 第13題 第14題13、如圖在ABC中，ACB=90°，BE平分ABC，DEAB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于( ) A2 cm B3 cm C4 cm D5 cm 14、如圖，已知AB=AC，AE=AF，BE與CF交于點(diǎn)D，則對(duì)于下列結(jié)論：ABEACF；BDFCDE；D在BAC的平分線上其中正確的是（ ）A B C和 D15、ABC中，C=90°，點(diǎn)O為ABC三條角平分線的交點(diǎn)，ODBC于D，OEAC于E，OFAB于F，且AB=10cm，BC=8cm，AC=6cm，則點(diǎn)O到三邊AB、AC、BC的距離為（ ）A2cm，2cm，2cm； B 3cm，3cm，3cm； C 4cm，4cm，4cm； D 2cm，3cm，5cm 16、在RtABC中，C90°，DE是AB的垂直平分線，且BADBAC13，求B的度數(shù) 17、已知：如圖ABC中，AB=AC，C=30°，ABAD，AD=4cm，求BC的長(zhǎng) 18、如圖1134，在ABC中C=900，AC=BC，AD平分交BC于點(diǎn)D，DEBE