（精心整理）二次根式的概念與性質(zhì)

1、二次根式的概念與性質(zhì)編稿：莊永春審稿：邵劍英責(zé)編：張楊一、目標(biāo)認(rèn)知1.學(xué)習(xí)目標(biāo)：理解二次根式的概念，了解被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)的理由；理解并掌握下列結(jié)論：，并利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡(jiǎn)2.重點(diǎn)：；，及其運(yùn)用3.難點(diǎn)：利用，解決具體問(wèn)題.二、知識(shí)要點(diǎn)梳理知識(shí)點(diǎn)一：二次根式的概念一般地，我們把形如(a0)的式子叫做二次根式，“”稱為二次根號(hào)要點(diǎn)詮釋：二次根式的兩個(gè)要素：根指數(shù)為2；被開方數(shù)為非負(fù)數(shù).知識(shí)點(diǎn)二：二次根式的性質(zhì)1.；2.；3.；4. 積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：；5. 商的算術(shù)平方根的性質(zhì)：.要點(diǎn)詮釋：二次根式 (a0)的值是非負(fù)數(shù)，其性質(zhì)可以正用亦可逆用，正用時(shí)去掉根號(hào)起到化簡(jiǎn)的作用；逆用時(shí)可以把一

2、個(gè)非負(fù)數(shù)寫成完全平方的形式，有利于在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行因式分解.知識(shí)點(diǎn)三：代數(shù)式形如5，a，a+b，ab，x3，這些式子，用基本的運(yùn)算符號(hào)(基本運(yùn)算包括加、減、乘、除、乘方、開方)把數(shù)和表示數(shù)的字母連接起來(lái)的式子，我們稱這樣的式子為代數(shù)式(algebraic expression).三、規(guī)律方法指導(dǎo)1.如何判斷一個(gè)式子是否是二次根式？(1)必須含有二次根號(hào)，即根指數(shù)為2；(2)被開方數(shù)可以是數(shù)也可以是代數(shù)式但必須是非負(fù)的，否則在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)意義.2.如何確定二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？要使二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義必須滿足被開方數(shù)為非負(fù)數(shù).要確定被開方數(shù)中所含字母的取值范圍，可根據(jù)題意列出不等式，

3、通過(guò)解不等式確定字母的取值范圍.當(dāng)二次根式作為分母時(shí)要注意分母不能為零.經(jīng)典例題透析類型一：二次根式的概念1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、(x0)、(x0，y0)思路點(diǎn)撥：二次根式應(yīng)滿足兩個(gè)條件：第一，有二次根號(hào)“”；第二，被開方數(shù)是正數(shù)或0解：二次根式有：、(x0)、(x0，y0)；不是二次根式的有：、2、當(dāng)x是多少時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？思路點(diǎn)撥：由二次根式的定義可知，被開方數(shù)一定要大于或等于0，所以3x-10，才能有意義解：由3x-10，得：x當(dāng)x時(shí)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義總結(jié)升華：要使二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須滿足被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)舉一反三【變式1】x 是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)

4、，下列各式實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？(1)； (2)；解：(1)由0，解得：x取任意實(shí)數(shù) 當(dāng)x取任意實(shí)數(shù)時(shí)，二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)都有意義.(2)由x-10，且x-10，解得：x1 當(dāng)x1時(shí)，二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)都有意義.【變式2】當(dāng)x是多少時(shí)，+在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？思路點(diǎn)撥：要使+在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義， 必須同時(shí)滿足中的2x+30和中的x+10解：依題意，得 由得：x- 由得：x-1 當(dāng)x-且x-1時(shí)，+在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義類型二：二次根式的性質(zhì)3、計(jì)算：(1) (2) (3) (4) (5)(b0)(6)思路點(diǎn)撥：我們可以直接利用(a0)的結(jié)論解題解：(1) (2)=；(3)；(4)=；(5)；(6)舉

5、一反三【變式1】計(jì)算：(1)；(2)；(3)； (4).思路點(diǎn)撥：(1)因?yàn)閤0，所以x+10； (2)a20； (3)a2+2a+1=(a+1)20；(4)4x2-12x+9=(2x)2-2·2x·3+32=(2x-3)20 所以上面的4題都可以運(yùn)用的重要結(jié)論解題解：(1)因?yàn)閤0，所以x+10；(2)a20，；(3)a2+2a+1=(a+1)2 又(a+1)20，a2+2a+10，=a2+2a+1；(4)4x2-12x+9=(2x)2-2·2x·3+32=(2x-3)2 又(2x-3)20 4x2-12x+90，=4x2-12x+9.4、化簡(jiǎn):(1)

6、； (2)； (3)； (4).思路點(diǎn)撥：因?yàn)?1)9=32，(2)(-4)2=42，(3)25=52，(4)(-3)2=32，所以都可運(yùn)用去化簡(jiǎn)解：(1)=3； (2)=4；(3)=5；(4)=3.5、填空：當(dāng)a0時(shí)，=_；當(dāng)a0時(shí)，=_，并根據(jù)這一性質(zhì)回答下列問(wèn)題(1)若=a，則a可以是什么數(shù)？(2)若=-a，則a可以是什么數(shù)？(3)a，則a可以是什么數(shù)？思路點(diǎn)撥：=a(a0)，要填第一個(gè)空格可以根據(jù)這個(gè)結(jié)論，第二空格就不行，應(yīng)變形，使“( )2”中的數(shù)是正數(shù)，因?yàn)?，?dāng)a0時(shí)，=，那么-a0(1)根據(jù)結(jié)論求條件；(2)根據(jù)第二個(gè)填空的分析，逆向思想；(3)根據(jù)(1)、(2)可知，而要大于a

7、，只有什么時(shí)候才能保證呢？解：(1)因?yàn)?，所以a0；(2)因?yàn)?，所以a0；(3)因?yàn)楫?dāng)a0時(shí)，要使，即使aa所以a不存在；當(dāng)a0時(shí)， 要使，即使-aa，即a0；綜上，a0.類型三：二次根式性質(zhì)的應(yīng)用6、當(dāng)x=-4時(shí)，求二次根式的值.思路點(diǎn)撥：二次根式也是一種代數(shù)式，求二次根式的值和求其他代數(shù)式的值方法相同.解：將x=-4代入二次根式，得=.7、(1)已知y=+5，求的值(2)若+=0，求的值解：(1)由可得，(2) 8、在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式：(1)x2-5； (2)x3-2x； 解:(1)原式 . (2)原式. 學(xué)習(xí)成果測(cè)評(píng)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)一、選擇題1.下列式子中，不是二次根式的是( )A B C D

8、2.已知一個(gè)正方形的面積是5，那么它的邊長(zhǎng)是( )A5 B C D以上皆不對(duì)3.(福建省福州市)若代數(shù)式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍為( ) Ax0 Bx0 Cx 0 Dx0且x 14的值是( ) A0 B C4 D以上都不對(duì)5a0時(shí)，、，比較它們的結(jié)果，下面四個(gè)選項(xiàng)中正確的是( )A BC D6.(遼寧省大連市) 如圖，數(shù)軸上點(diǎn)N表示的數(shù)可能是() ABC D二、填空題1.若，則 x = _.2.若有意義，則的取值范圍是_.3-=_4.=_. 5.=_. 6.若，則_.7.若，則_；若，則_.8.化簡(jiǎn)：=_.9. 計(jì)算：(1)=_； (2)=_； (3) =_。10.(內(nèi)蒙古鄂爾多斯市

9、)如圖，在數(shù)軸上，A、B兩點(diǎn)之間表示整數(shù)的點(diǎn)有_個(gè)三、解答題1. 求下列二次根式中字母a的取值范圍：(1)， (2)； (3).2.某工廠要制作一批體積為1m3的產(chǎn)品包裝盒，其高為0.2m，按設(shè)計(jì)需要，底面應(yīng)做成正方形，試問(wèn)底面邊長(zhǎng)應(yīng)是多少？能力提升一、選擇題1.使式子有意義的未知數(shù)x有( )個(gè)A0 B1 C2 D無(wú)數(shù)2.(山西省臨汾市) 若，則與3的大小關(guān)系是( ) A B C D3.下列計(jì)算正確的是( ) A B C D4.(福建省廈門市) 下列四個(gè)結(jié)論中，正確的是( ) A. B. C. D. 二、填空題1.若，則_.2若是一個(gè)正整數(shù)，則正整數(shù)m的最小值是_3.已知實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如

10、圖所示，則_. 三、解答題1.當(dāng)x是多少時(shí)，+x2在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？2.若+有意義，求的值.3.(北京市海淀區(qū)) 已知實(shí)數(shù)x，y滿足，求代數(shù)式的值.4.已知，求x+y的值.綜合探究1.(福建省南安市) 觀察分析下列數(shù)據(jù)，尋找規(guī)律：0，3，2，3，那么第10個(gè)數(shù)據(jù)應(yīng)是_.2.(江蘇省蘇州市)等式中的括號(hào)應(yīng)填入_.3先化簡(jiǎn)再求值：當(dāng)a=9時(shí)，求a+的值，甲乙兩人的解答如下： 甲的解答為：原式=a+=a+(1-a)=1； 乙的解答為：原式=a+=a+(a-1)=2a-1=17兩種解答中，_的解答是錯(cuò)誤的，錯(cuò)誤的原因是_4. 若時(shí)，試化簡(jiǎn).5在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式:(1)； (2).答案與解析基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)一、1.D2.B 3.D 4.C5.A 6.B二、1.162.3.-0.024.5.2-x 6.7.8.9.(1)；(2)6；(3)-6 10.4三、1.解：(1) 由a+1 0 ， 得 a -1字母a的取值范圍是大于或等于-1的實(shí)數(shù)。(2) 0，得1-2a0，即a字母a的取值范圍是小于的實(shí)數(shù)。(3) 因?yàn)闊o(wú)論a取何值，都有，所以a取值