期末理數(shù)（教師）

1、黃岡中學(xué)2012年春季高二年級(jí)期末數(shù)學(xué)試題（理）一選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為 （ ） A B C D或【解析】由 ，故選A 2設(shè)集合A=，集合B=，則 ( )A B C D【解析】A=，B=，故選B3 ，則( )A B C D【解析】，故選4對(duì)于函數(shù)，“的圖象關(guān)于軸對(duì)稱”是“是奇函數(shù)”的 ( )A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D即不充分也不必要條件【解析】若是奇函數(shù)，則的圖象關(guān)于軸對(duì)稱；反之不成立，比如偶函數(shù)，滿足的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，但不一定是奇函數(shù)，故選B5如圖，ABCD是邊

2、長為l的正方形，O為AD的中點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為O且通過點(diǎn)C，則陰影部分的面積為 ( )A BC D【解析】以O(shè)為原點(diǎn)建系，拋物線方程為，故選C6如圖，為的直徑，弦，交于點(diǎn)，若，則 ( )A B C D【解析】連結(jié)，則，又，從而，所以，故選D7若直線和函數(shù)的圖像恒過同一個(gè)定點(diǎn)，則的最小值為（ ）A10B8 C4D2【解析】過定點(diǎn)又點(diǎn)在直線上，（當(dāng)時(shí)取等）, 故選C8函數(shù)在定義域R內(nèi)可導(dǎo)，若，且當(dāng)時(shí)， 設(shè)則的大小順序?yàn)椋?）A B C D【解析】由題意知函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，單調(diào)遞增，,故選C9定義域?yàn)镽的偶函數(shù)滿足對(duì)R，有，且當(dāng) 時(shí)，若函數(shù)在上至少有三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（ ）A B C D【解析】由

3、恒成立可知圖像以為對(duì)稱軸，周期，作出的圖像，的圖像與的圖像至少有三個(gè)交點(diǎn)，即有且，解得，故選B10已知函數(shù)的定義域?yàn)?，部分?duì)應(yīng)值如下表的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示下列關(guān)于函數(shù)的命題： 函數(shù)是周期函數(shù)； 函數(shù)在是減函數(shù)； 如果當(dāng)時(shí)，的最大值是2，那么的最大值為4； 當(dāng)時(shí)，函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)其中真命題的個(gè)數(shù)是 ( ) A4個(gè) B3個(gè) C2個(gè) D1個(gè)【解析】畫出原函數(shù)的大致圖象，得：為假命題，-1，0與4，5上單調(diào)性相反，但原函數(shù)圖象不一定對(duì)稱為真命題因?yàn)樵?，2上導(dǎo)函數(shù)為負(fù)，故原函數(shù)遞減；為假命題，當(dāng)t=5時(shí)，也滿足x-1，t時(shí)，的最大值是2；為假命題，可能有有2個(gè)或3個(gè)或4個(gè)零點(diǎn)故選D二填空題（本大題共5

4、小題，每小題5分，共25分）11已知命題“R”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_【答案】【解析】“R，”的否定“R，”為真命題，解得12若直線與曲線 （為參數(shù)）沒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_【答案】或【解析】曲線的普通方程是，圓心到直線 的距離，令，得或13已知函數(shù)在R上滿足，則曲線在點(diǎn)處的切線方程是 【答案】【解析】由， 得， 即得，故所求的切線為14設(shè)，若，則的最大值為 【答案】【解析】由柯西不等式，知15已知，若(a，t,n為正實(shí)數(shù), ），通過歸納推理，可推測(cè)a，t的值，則 （結(jié)果用n表示）【答案】【解析】通過歸納推理，三解答題（本大題共6小題，共75分， 解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演

5、算步驟）16（本小題滿分12分）已知命題：函數(shù)的定義域?yàn)镽，命題:函數(shù)在上是減函數(shù)，若“”為真命題，“”為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍【解答】命題：或，； 命題： ，；由題意知命題有且只有一個(gè)是真命題，當(dāng)為真，為假時(shí)， ，當(dāng)為假，為真時(shí)，綜上可得，17（本小題滿分12分）已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且 （）求函數(shù)的解析式； （）如果對(duì)R，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍【解答】（I）函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， 故 (II)由可得：，令，當(dāng)1時(shí)， ；當(dāng)時(shí)，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍為18（本小題滿分12分）已知在處取得極值（）求實(shí)數(shù)的值；（）若關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍【解答】（

6、），當(dāng)時(shí)，取得極值，解得，檢驗(yàn)符合題意（）令則 當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，要使在區(qū)間上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，只需19（本小題滿分12分）一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩橋墩相距米，余下工程只需要建兩端橋墩之間的橋面和橋墩，經(jīng)預(yù)測(cè)，一個(gè)橋墩的工程費(fèi)用為256萬元，距離為米的相鄰橋墩之間的橋面工程費(fèi)用為萬元假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點(diǎn)，且不考慮其他因素，記余下工程的費(fèi)用為萬元（）試寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（）當(dāng)=640米時(shí)，需新建多少個(gè)橋墩才能使最??？【解答】（）設(shè)需要新建個(gè)橋墩，所以（）方法一：由（）知，令，得，所以=64當(dāng)0<<64時(shí)，<0，在區(qū)間（0，64

7、）內(nèi)為減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，>0，在區(qū)間（64，640）內(nèi)為增函數(shù)，所以在=64處取得最小值，此時(shí)，故需新建9個(gè)橋墩才能使最小方法二： （當(dāng)且僅當(dāng)即取等）20（本小題滿分13分）已知直三棱柱的三視圖如圖所示，且是的中點(diǎn)（）求證：平面；（）求二面角的余弦值；（）試問線段上是否存在點(diǎn)，使與成角？若存在，確定點(diǎn)位置，若不存在，說明理由 【解答】（）證明：根據(jù)三視圖知：三棱柱是直三棱柱，連結(jié)， 交于點(diǎn)，連結(jié)由 是直三棱柱，得四邊形為矩形，為的中點(diǎn)又為中點(diǎn)，為中位線， ， 因?yàn)?平面，平面， 所以 平面 （）由是直三棱柱，且，故兩兩垂直如圖建立空間直角坐標(biāo)系 ，則所以 ， 設(shè)平面的法向量為，則有所以 取，

8、得 易知平面的法向量為 由二面角是銳角，得 ，即二面角的余弦值為（）假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)因?yàn)樵诰€段上，故可設(shè)，其中所以 ， 因?yàn)榕c成角，所以 即，解得，舍去， 所以當(dāng)點(diǎn)為線段中點(diǎn)時(shí)，與成角 21（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，（）（）證明：；（）當(dāng)時(shí)，比較與的大小，并說明理由；（）證明：（）【解答】（）證明：設(shè)，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處取得唯一極小值，因?yàn)?，所以?duì)任意實(shí)數(shù)均有 即，所以（）當(dāng)時(shí)，用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：當(dāng)時(shí)，由（1）知；假設(shè)當(dāng)（）時(shí)，對(duì)任意均有，令，因?yàn)閷?duì)任意的正實(shí)數(shù)， 由歸納假設(shè)知，即在上為增函數(shù)，亦即，因?yàn)椋詮亩鴮?duì)任意，有,即對(duì)任意，有，這就是說，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，也有由,知，當(dāng)時(shí)，都有（）證明1：先證對(duì)任意正整數(shù)，由（）知，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意正整數(shù)，都有令，得所以再證對(duì)任意正整數(shù)，要證明上式，只需證明對(duì)任意正整數(shù)，不等式成立即要證明對(duì)任意正整數(shù)，不等式（*）成立方法1（數(shù)學(xué)歸納法）：當(dāng)時(shí)，成立，所以不等式（*）成立假設(shè)當(dāng)（）時(shí)，不等式