三大數(shù)學(xué)原理-容斥原理考前沖刺

1、三大數(shù)學(xué)原理容斥原理考前沖刺 容斥原理在計(jì)數(shù)時(shí)，為了使重疊部分不被重復(fù)計(jì)算，人們研究出一種新的計(jì)數(shù)方法，這種方法的基本思想是：先不考慮重疊的情況，把包含于某內(nèi)容中的所有對(duì)象的數(shù)目先計(jì)算出來(lái)，然后再把計(jì)數(shù)時(shí)重復(fù)計(jì)算的數(shù)目排斥出去，使得計(jì)算的結(jié)果既無(wú)遺漏又無(wú)重復(fù)，這種計(jì)數(shù)的方法稱為容斥原理。兩個(gè)集合的容斥原理用式子表示成：ABABAB(其中符號(hào)“”讀作“并”，相當(dāng)于中文“和”或者“或”的意思；符號(hào)“”讀作“交”，相當(dāng)于中文“且”的意思。)三個(gè)集合的容斥原理用式子表示為：ABCABCABBCACABC例1(第五屆“聰明小機(jī)靈”小學(xué)數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽(復(fù)賽)試題四年級(jí))兒童會(huì)有成員567人，有兩個(gè)議案要投票表

2、決是否贊同。每個(gè)人各投一票，則結(jié)果為贊成第一議案的有345人，贊成第二議案的有234人，同時(shí)反對(duì)第一和第二議案的有123人。同時(shí)贊成第一和第二議案的有_人。(兩個(gè)議案每個(gè)人都必須投贊成票或反對(duì)票)例2某大學(xué)某班學(xué)生總數(shù)為32人，在第一次考試中有26人及格，在第二次考試中有24人及格，若兩次考試中，都沒(méi)有及格的有4人，那么兩次考試都及格的人數(shù)是( )。例3學(xué)校對(duì)100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果發(fā)現(xiàn)有58人喜歡上數(shù)學(xué)課，有38人喜歡上語(yǔ)文課，有52人喜歡上英語(yǔ)課，既喜歡上數(shù)學(xué)又喜歡上語(yǔ)文的有18人，既喜歡上英語(yǔ)又喜歡上語(yǔ)文的有16人，三門功課都喜歡的有12人，如果被調(diào)查學(xué)生都至少有1門喜歡的課，請(qǐng)問(wèn)有多

3、少同學(xué)既喜歡上數(shù)學(xué)又喜歡上英語(yǔ)？有多少名同學(xué)只喜歡英語(yǔ)課？例4在一根長(zhǎng)的木棍上有三種刻度線，第一種刻度線將木棍分成10等份，第二種將木棍分成12等份，第三種將木棍分成15等份。如果沿每條刻度線將木棍鋸斷，木棍總共被鋸成多少段？例550名同學(xué)面向老師站成一行。老師先讓大家從左至右按1，2，349，50依次報(bào)數(shù)；再讓報(bào)數(shù)是4的倍數(shù)的同學(xué)向后轉(zhuǎn)，接著又讓報(bào)數(shù)是6的倍數(shù)的同學(xué)向后轉(zhuǎn)。問(wèn)：現(xiàn)在面向老師的同學(xué)還有多少名？例6有2000盞亮著的電燈，各有一個(gè)拉線開關(guān)控制著，現(xiàn)按其順序標(biāo)號(hào)為1，2，32000，然后將編號(hào)為2的倍數(shù)的燈線拉一下，再將編號(hào)為3的倍數(shù)的燈線拉一下，最后將編號(hào)為5的倍數(shù)的燈線拉一下，

4、3次拉完后亮著的燈有多少盞？測(cè)試題1京華小學(xué)五年級(jí)學(xué)生采集標(biāo)本。采集昆蟲標(biāo)本的有人，采集植物標(biāo)本的有人，兩種標(biāo)本都采集的有人。全班學(xué)生共有人，沒(méi)有采集標(biāo)本的有多少人？2某班有學(xué)生人，每人在暑假里都參加體育訓(xùn)練隊(duì)，其中參加足球隊(duì)的有人，參加排球隊(duì)的有人，參加游泳隊(duì)的有人，足球、排球都參加的有人，足球、游泳都參加的有人，排球、游泳都參加的有人，問(wèn)：三項(xiàng)都參加的有多少人？3有位旅客，其中有人既不懂英語(yǔ)又不懂日語(yǔ)，有人懂英語(yǔ)，人懂日語(yǔ)。既懂英語(yǔ)又懂日語(yǔ)的有多少人？4如圖所示，、分別是面積為，的三張不同形狀的紙片，它們重疊在一起，露在外面的總面積為。若與、與的公共部分的面積分別為，、這三張紙片的公共部分

5、為。求與公共部分的面積是多少？5一次期末考試，某班有15人數(shù)學(xué)得滿分，有12人語(yǔ)文得滿分，并且有4人語(yǔ)、數(shù)都是滿分，那么這個(gè)班至少有一門得滿分的同學(xué)有多少人？6甲、乙、丙三人澆花，甲澆了盆，乙澆了盆，丙澆了盆。已知共有花盆，則三人都澆了的花至少有多少盆？答案1【解析】采集昆蟲標(biāo)本的有人，采集植物標(biāo)本的有人，兩種標(biāo)本都采集的有人，采集一種標(biāo)本的有種，全班學(xué)生共有人，沒(méi)有采集標(biāo)本的有人。2【解析】設(shè)三項(xiàng)都參加的有人，則，3【解析】有位旅客，其中有人既不懂英語(yǔ)又不懂日語(yǔ)，則至少懂一種語(yǔ)言的有人 。有人懂英語(yǔ)，人懂日語(yǔ)，則既懂英語(yǔ)又懂日語(yǔ)的有人。4【解析】設(shè)與公共部分的面積為，由包含與排除原理可得：先“包含”把圖形、的面積相加：，那么每?jī)蓚€(gè)圖形的公共部分的面積都重復(fù)計(jì)算了次，因此要排除掉。再“排除”，這樣一來(lái)，三個(gè)圖形的公共部分被全部減掉，因此還要再補(bǔ)回。再“包含”，這就是三張紙片覆蓋的面積。根據(jù)上面的分析得：，解得：。5【解析】根據(jù)公式，至少有一門得滿分的同學(xué)有人。6【解析】甲澆了盆，乙澆了盆，那么甲、乙至少共同澆了盆，為了使三人都澆的盆