三大數(shù)學原理-容斥原理考前沖刺

1、三大數(shù)學原理容斥原理考前沖刺 容斥原理在計數(shù)時，為了使重疊部分不被重復計算，人們研究出一種新的計數(shù)方法，這種方法的基本思想是：先不考慮重疊的情況，把包含于某內(nèi)容中的所有對象的數(shù)目先計算出來，然后再把計數(shù)時重復計算的數(shù)目排斥出去，使得計算的結(jié)果既無遺漏又無重復，這種計數(shù)的方法稱為容斥原理。兩個集合的容斥原理用式子表示成：ABABAB(其中符號“”讀作“并”，相當于中文“和”或者“或”的意思；符號“”讀作“交”，相當于中文“且”的意思。)三個集合的容斥原理用式子表示為：ABCABCABBCACABC例1(第五屆“聰明小機靈”小學數(shù)學邀請賽(復賽)試題四年級)兒童會有成員567人，有兩個議案要投票表

2、決是否贊同。每個人各投一票，則結(jié)果為贊成第一議案的有345人，贊成第二議案的有234人，同時反對第一和第二議案的有123人。同時贊成第一和第二議案的有_人。(兩個議案每個人都必須投贊成票或反對票)例2某大學某班學生總數(shù)為32人，在第一次考試中有26人及格，在第二次考試中有24人及格，若兩次考試中，都沒有及格的有4人，那么兩次考試都及格的人數(shù)是( )。例3學校對100名學生進行調(diào)查，結(jié)果發(fā)現(xiàn)有58人喜歡上數(shù)學課，有38人喜歡上語文課，有52人喜歡上英語課，既喜歡上數(shù)學又喜歡上語文的有18人，既喜歡上英語又喜歡上語文的有16人，三門功課都喜歡的有12人，如果被調(diào)查學生都至少有1門喜歡的課，請問有多

3、少同學既喜歡上數(shù)學又喜歡上英語？有多少名同學只喜歡英語課？例4在一根長的木棍上有三種刻度線，第一種刻度線將木棍分成10等份，第二種將木棍分成12等份，第三種將木棍分成15等份。如果沿每條刻度線將木棍鋸斷，木棍總共被鋸成多少段？例550名同學面向老師站成一行。老師先讓大家從左至右按1，2，349，50依次報數(shù)；再讓報數(shù)是4的倍數(shù)的同學向后轉(zhuǎn)，接著又讓報數(shù)是6的倍數(shù)的同學向后轉(zhuǎn)。問：現(xiàn)在面向老師的同學還有多少名？例6有2000盞亮著的電燈，各有一個拉線開關(guān)控制著，現(xiàn)按其順序標號為1，2，32000，然后將編號為2的倍數(shù)的燈線拉一下，再將編號為3的倍數(shù)的燈線拉一下，最后將編號為5的倍數(shù)的燈線拉一下，

4、3次拉完后亮著的燈有多少盞？測試題1京華小學五年級學生采集標本。采集昆蟲標本的有人，采集植物標本的有人，兩種標本都采集的有人。全班學生共有人，沒有采集標本的有多少人？2某班有學生人，每人在暑假里都參加體育訓練隊，其中參加足球隊的有人，參加排球隊的有人，參加游泳隊的有人，足球、排球都參加的有人，足球、游泳都參加的有人，排球、游泳都參加的有人，問：三項都參加的有多少人？3有位旅客，其中有人既不懂英語又不懂日語，有人懂英語，人懂日語。既懂英語又懂日語的有多少人？4如圖所示，、分別是面積為，的三張不同形狀的紙片，它們重疊在一起，露在外面的總面積為。若與、與的公共部分的面積分別為，、這三張紙片的公共部分

5、為。求與公共部分的面積是多少？5一次期末考試，某班有15人數(shù)學得滿分，有12人語文得滿分，并且有4人語、數(shù)都是滿分，那么這個班至少有一門得滿分的同學有多少人？6甲、乙、丙三人澆花，甲澆了盆，乙澆了盆，丙澆了盆。已知共有花盆，則三人都澆了的花至少有多少盆？答案1【解析】采集昆蟲標本的有人，采集植物標本的有人，兩種標本都采集的有人，采集一種標本的有種，全班學生共有人，沒有采集標本的有人。2【解析】設(shè)三項都參加的有人，則，3【解析】有位旅客，其中有人既不懂英語又不懂日語，則至少懂一種語言的有人 。有人懂英語，人懂日語，則既懂英語又懂日語的有人。4【解析】設(shè)與公共部分的面積為，由包含與排除原理可得：先“包含”把圖形、的面積相加：，那么每兩個圖形的公共部分的面積都重復計算了次，因此要排除掉。再“排除”，這樣一來，三個圖形的公共部分被全部減掉，因此還要再補回。再“包含”，這就是三張紙片覆蓋的面積。根據(jù)上面的分析得：，解得：。5【解析】根據(jù)公式，至少有一門得滿分的同學有人。6【解析】甲澆了盆，乙澆了盆，那么甲、乙至少共同澆了盆，為了使三人都澆的盆