高中數(shù)學(xué)第二章數(shù)列2.3.2等比數(shù)列的前n項和課件新人教B版必修5

1、-1-2.3.2等比數(shù)列的前n項和目標(biāo)導(dǎo)航ZHISHISHULI知識梳理ZHONGNANJUJIAO重難聚焦SUITANGLIANXI隨堂演練DIANLITOUXI典例透析1.理解等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)過程.2.掌握等比數(shù)列的前n項和公式,并能用它解決有關(guān)等比數(shù)列問題.ZHISHISHULI知識梳理ZHONGNANJUJIAO重難聚焦SUITANGLIANXI隨堂演練DIANLITOUXI典例透析目標(biāo)導(dǎo)航1.等比數(shù)列的前n項和公式 名師點撥1.在求等比數(shù)列an的前n項和公式時,應(yīng)分q=1和q1兩種情況,假設(shè)題目中沒有指明,切不可忘記對q=1這一情形的討論.2.等比數(shù)列的通項公式及前n項和公

2、式共涉及五個量,即a1,an,q,n,Sn,通常其中三個量可求另外兩個量,這一方法簡稱為“知三求二.ZHISHISHULI知識梳理ZHONGNANJUJIAO重難聚焦SUITANGLIANXI隨堂演練DIANLITOUXI典例透析目標(biāo)導(dǎo)航【做一做1-1】 在等比數(shù)列an中,公比q=-2,S5=44,那么a1的值為()B.-4C.2D.-2解析:由題意,知q1,故有S5=44= .將q=-2代入解得a1=4.答案:A【做一做1-2】 假設(shè)等比數(shù)列an滿足a2+a4=20,a3+a5=40,那么公比q=;前n項和Sn=. 解析:根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì),得a3+a5=q(a2+a4),所以q=2.又a2

3、+a4=a1q+a1q3,故求得a1=2,所以Sn= =2n+1-2.答案:22n+1-2ZHISHISHULI知識梳理ZHONGNANJUJIAO重難聚焦SUITANGLIANXI隨堂演練DIANLITOUXI典例透析目標(biāo)導(dǎo)航2.等比數(shù)列前等比數(shù)列前n項和的常用性質(zhì)項和的常用性質(zhì)(1)在公比為在公比為q(q-1)的等比數(shù)列的等比數(shù)列an中中,假設(shè)假設(shè)Sn為其前為其前n項和項和,那么那么依次每依次每k項的和構(gòu)成等比數(shù)列項的和構(gòu)成等比數(shù)列,即即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,S4k-S3k,成成等比數(shù)列等比數(shù)列,其公比為其公比為qk .(2)在等比數(shù)列在等比數(shù)列an中中,假設(shè)項數(shù)為假設(shè)項數(shù)為

4、2n,公比為公比為q,奇數(shù)項之和為奇數(shù)項之和為S奇奇,偶數(shù)項之和為偶數(shù)項之和為S偶偶,那么那么 =q .(3)數(shù)列數(shù)列an是公比為是公比為q的等比數(shù)列的等比數(shù)列,那么那么Sm+n=Sn+qnSm .【做一做【做一做2】 等比數(shù)列等比數(shù)列an,Sn是其前是其前n項和項和,且且S3=7,S6=63,那么那么S9=. 答案答案:511ZHISHISHULI知識梳理ZHONGNANJUJIAO重難聚焦SUITANGLIANXI隨堂演練DIANLITOUXI典例透析目標(biāo)導(dǎo)航一二三一、錯位相減法的實質(zhì)及應(yīng)用剖析:(1)用錯位相減法求等比數(shù)列前n項和的實質(zhì)是把等式兩邊同乘公比q,得一新的等式,錯位相減求出S

5、n-qSn,這樣可以消去大量的“中間項,從而能求出Sn.當(dāng)q=1時, Sn=na1,當(dāng)q1時,Sn= .這是分段函數(shù)的形式,分段的界限是q=1.(2)對于形如xnyn的數(shù)列的和,其中數(shù)列xn為等差數(shù)列,數(shù)列yn為等比數(shù)列,可以用錯位相減法求和.錯位相減法實際上是把一個數(shù)列的求和問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的求和問題.(3)利用這種方法時,要注意對公比的分類討論.ZHISHISHULI知識梳理ZHONGNANJUJIAO重難聚焦SUITANGLIANXI隨堂演練DIANLITOUXI典例透析目標(biāo)導(dǎo)航一二三二、等比數(shù)列的前n項和公式的推導(dǎo)(首項為a1,公比q1)剖析:除了書上用到的錯位相減法之外,還有以下方

6、法可以求等比數(shù)列的前n項和.(1)等比性質(zhì)法ZHISHISHULI知識梳理ZHONGNANJUJIAO重難聚焦SUITANGLIANXI隨堂演練DIANLITOUXI典例透析目標(biāo)導(dǎo)航一二三(2)拆項法Sn=a1+a2+a3+an=a1+a1q+a1q2+a1qn-1=a1+q(a1+a1q+a1q2+a1qn-2)=a1+q(a1+a1q+a1q2+a1qn-2+a1qn-1-a1qn-1),Sn=a1+q(Sn-a1qn-1)=a1+q(Sn-an).ZHISHISHULI知識梳理ZHONGNANJUJIAO重難聚焦SUITANGLIANXI隨堂演練DIANLITOUXI典例透析目標(biāo)導(dǎo)航一二

7、三三、教材中的“?例2有別的解法嗎?將這個數(shù)列的前8項倒過來排,試一試.剖析:S8=27+26+25+2+1,S8=1+2+22+26+27= =28-1=255.此題說明在等比數(shù)列an中,假設(shè)為有限項,如a1,a2,an,那么an,an-1,a2,a1也是等比數(shù)列,其公比為原數(shù)列公比的倒數(shù).ZHISHISHULI知識梳理ZHONGNANJUJIAO重難聚焦SUITANGLIANXI隨堂演練DIANLITOUXI典例透析目標(biāo)導(dǎo)航題型一題型二題型三題型四題型五等比數(shù)列的前n項和公式的應(yīng)用【例1】 在等比數(shù)列an中,(1)a1=3,q=2,求a6,S6;(2)a1=-1,a4=64,求q和S4;分

8、析:在等比數(shù)列的前n項和公式中有五個根本量a1,an,q,n,Sn,只要任意三個,就可以求出其他兩個.ZHISHISHULI知識梳理ZHONGNANJUJIAO重難聚焦SUITANGLIANXI隨堂演練DIANLITOUXI典例透析目標(biāo)導(dǎo)航題型一題型二題型三題型四題型五反思在等比數(shù)列an中,首項a1與公比q是兩個最根本的元素;有關(guān)等比數(shù)列的問題,均可化成關(guān)于a1,q的方程或方程組來求解.解題過程中,要注意:(1)選擇適當(dāng)?shù)墓?(2)靈活運用等比數(shù)列的有關(guān)性質(zhì);(3)在使用等比數(shù)列前n項和公式時,要考慮q是否等于1.ZHISHISHULI知識梳理ZHONGNANJUJIAO重難聚焦SUITAN

9、GLIANXI隨堂演練DIANLITOUXI典例透析目標(biāo)導(dǎo)航題型一題型二題型三題型四題型五【變式訓(xùn)練1】 在等比數(shù)列an中,(1)假設(shè)Sn=189,q=2,an=96,求a1和n;(2)假設(shè)a1+a3=10,a4+a6= ,求a4和S5;(3)假設(shè)q=2,S4=1,求S8.ZHISHISHULI知識梳理ZHONGNANJUJIAO重難聚焦SUITANGLIANXI隨堂演練DIANLITOUXI典例透析目標(biāo)導(dǎo)航題型一題型二題型三題型四題型五ZHISHISHULI知識梳理ZHONGNANJUJIAO重難聚焦SUITANGLIANXI隨堂演練DIANLITOUXI典例透析目標(biāo)導(dǎo)航題型一題型二題型三題

10、型四題型五ZHISHISHULI知識梳理ZHONGNANJUJIAO重難聚焦SUITANGLIANXI隨堂演練DIANLITOUXI典例透析目標(biāo)導(dǎo)航題型一題型二題型四題型五題型三等比數(shù)列前n項和性質(zhì)的應(yīng)用【例2】 在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an中,假設(shè)S10=10,S20=30,求S30.分析:可以利用解方程組解決,也可以利用等比數(shù)列的前n項和的性質(zhì)來解決.ZHISHISHULI知識梳理ZHONGNANJUJIAO重難聚焦SUITANGLIANXI隨堂演練DIANLITOUXI典例透析目標(biāo)導(dǎo)航題型一題型二題型四題型五題型三方法二:由性質(zhì)Sm+n=Sn+qnSm,得S20=S10+q10S10,即

11、30=10+10q10,所以q10=2.所以S30=S20+q20S10=30+40=70.方法三:運用性質(zhì)Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,S4k-S3k,成等比數(shù)列.因為S10,S20-S10,S30-S20成等比數(shù)列,而S10=10,S20=30,所以(S20-S10)2=S10(S30-S20),即(30-10)2=10(S30-30).所以S30=70.反思由于等比數(shù)列中,無論是通項公式還是前n項和公式,均與q的假設(shè)干次冪有關(guān),所以在解決等比數(shù)列問題時,經(jīng)常出現(xiàn)高次方程,為到達(dá)降冪的目的,在解方程組時經(jīng)常利用兩式相除,到達(dá)整體消元的目的.ZHISHISHULI知識梳理ZHONGNA

12、NJUJIAO重難聚焦SUITANGLIANXI隨堂演練DIANLITOUXI典例透析目標(biāo)導(dǎo)航題型一題型二題型四題型五題型三【變式訓(xùn)練2】 一個等比數(shù)列的首項為1,項數(shù)是偶數(shù),其奇數(shù)項之和為85,偶數(shù)項之和為170,那么這個數(shù)列的公比q=,項數(shù)n=. 解析:方法一:設(shè)該等比數(shù)列的公比為q,項數(shù)為2n,那么有S偶=qS奇,22n-1=255,2n=8,故這個數(shù)列的公比為2,項數(shù)為8.ZHISHISHULI知識梳理ZHONGNANJUJIAO重難聚焦SUITANGLIANXI隨堂演練DIANLITOUXI典例透析目標(biāo)導(dǎo)航題型一題型二題型四題型五題型三方法二:設(shè)該等比數(shù)列的公比為q,項數(shù)為2n,那么

13、奇數(shù)項和偶數(shù)項也分別成等比數(shù)列,公比均為q2.q=2,n=4,這個數(shù)列的公比為2,項數(shù)為8.答案:28ZHISHISHULI知識梳理ZHONGNANJUJIAO重難聚焦SUITANGLIANXI隨堂演練DIANLITOUXI典例透析目標(biāo)導(dǎo)航題型一題型二題型三題型四題型五某些特殊數(shù)列的求和【例3】 (1)數(shù)列an的通項公式an=2n+n,求該數(shù)列的前n項和Sn;(2)數(shù)列an的通項公式an=n2n,求該數(shù)列的前n項和Sn.分析:(1)所給數(shù)列雖然不是等差數(shù)列或等比數(shù)列,但在求該數(shù)列的前n項和時可以把an看成一個等比數(shù)列和一個等差數(shù)列的和的形式,分別求和,再相加.(2)寫出數(shù)列的前n項和,注意其與

14、等比數(shù)列形式類似,考慮用推導(dǎo)等比數(shù)列求和公式的方法來求其前n項和.解:(1)Sn=a1+a2+a3+an=(2+1)+(22+2)+(23+3)+(2n+n)=(2+22+23+2n)+(1+2+3+n)ZHISHISHULI知識梳理ZHONGNANJUJIAO重難聚焦SUITANGLIANXI隨堂演練DIANLITOUXI典例透析目標(biāo)導(dǎo)航題型一題型二題型三題型四題型五(2)Sn=121+222+323+n2n,2Sn=122+223+(n-1)2n+n2n+1,-Sn=2+22+23+2n-n2n+1,Sn=n2n+1-(2+22+23+2n)=n2n+1-(2n+1-2)=(n-1)2n+

15、1+2.反思1.分組求和法適用于某些特殊數(shù)列的求和,這些特殊數(shù)列的通項可寫成幾個等比數(shù)列或等差數(shù)列的和的形式.2.錯位相減法適用于求一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的積組成的新數(shù)列的前n項和.ZHISHISHULI知識梳理ZHONGNANJUJIAO重難聚焦SUITANGLIANXI隨堂演練DIANLITOUXI典例透析目標(biāo)導(dǎo)航題型一題型二題型三題型四題型五【變式訓(xùn)練3】 Sn=1+a+a2+an,求Sn.ZHISHISHULI知識梳理ZHONGNANJUJIAO重難聚焦SUITANGLIANXI隨堂演練DIANLITOUXI典例透析目標(biāo)導(dǎo)航題型一題型二題型三題型四題型五等比數(shù)列前n項和的實際應(yīng)用【

16、例4】 為了保護某處珍貴文物古跡,政府決定建一堵大理石護墻,設(shè)計時,為了與周邊景觀協(xié)調(diào),對于同種規(guī)格的大理石用量須按下述法那么計算:第一層用全部大理石的一半多一塊,第二層用剩下的一半多一塊,依此類推,到第十層恰好將大理石用完.大理石有偶數(shù)塊,問共需大理石多少塊?每層各用大理石多少塊?分析:設(shè)共用大理石的塊數(shù),即可列出各層大理石的使用塊數(shù),通過觀察,此為一等比數(shù)列,通過等比數(shù)列求和,求出總塊數(shù),再求出每層用的塊數(shù).ZHISHISHULI知識梳理ZHONGNANJUJIAO重難聚焦SUITANGLIANXI隨堂演練DIANLITOUXI典例透析目標(biāo)導(dǎo)航題型一題型二題型三題型四題型五解:設(shè)共用大理石

17、x塊,x為偶數(shù),那么各層用大理石塊數(shù)分別為 答:共用去大理石2 046塊,各層分別為1 024,512,256,128,64,32,16,8,4,2塊.ZHISHISHULI知識梳理ZHONGNANJUJIAO重難聚焦SUITANGLIANXI隨堂演練DIANLITOUXI典例透析目標(biāo)導(dǎo)航題型一題型二題型三題型四題型五反思對于實際問題,可以采用設(shè)出未知量的方法使之具體化.通過對前幾項的探求,尋找其為等比數(shù)列的本質(zhì),再通過等比數(shù)列求和公式來求解.ZHISHISHULI知識梳理ZHONGNANJUJIAO重難聚焦SUITANGLIANXI隨堂演練DIANLITOUXI典例透析目標(biāo)導(dǎo)航題型一題型二題

18、型三題型四題型五【變式訓(xùn)練4】 從社會效益和經(jīng)濟效益出發(fā),某地投入資金進展生態(tài)環(huán)境建立,并以此開展旅游產(chǎn)業(yè),根據(jù)規(guī)劃,本年度投入800萬元,以后每年的投入將比上年減少 ,本年度當(dāng)?shù)芈糜螛I(yè)收入估計為400萬元,由于該項建立對旅游業(yè)的促進作用,預(yù)計今后旅游業(yè)收入每年會比上年增加 .設(shè)n年內(nèi)(本年度為第1年)總投入Sn萬元,旅游業(yè)總收入為Tn萬元,寫出Sn,Tn的表達(dá)式.分析:根據(jù)題意可知投入資金及收入資金分別成等比數(shù)列,列出投入資金和收入資金的通項公式,再利用等比數(shù)列的求和公式求解.ZHISHISHULI知識梳理ZHONGNANJUJIAO重難聚焦SUITANGLIANXI隨堂演練DIANLITO

19、UXI典例透析目標(biāo)導(dǎo)航題型一題型二題型三題型四題型五ZHISHISHULI知識梳理ZHONGNANJUJIAO重難聚焦SUITANGLIANXI隨堂演練DIANLITOUXI典例透析目標(biāo)導(dǎo)航題型四題型五題型一題型二題型三易錯辨析易錯點:無視對項數(shù)的分類討論而致誤【例5】 數(shù)列an滿足 試求其前n項和.錯解:Sn=a1+a2+a3+an=(a1+a3+a5+an-1)+(a2+a4+a6+an)錯因分析:這里數(shù)列的通項an是關(guān)于n的分段函數(shù),當(dāng)n為奇數(shù)或為偶數(shù)時對應(yīng)不同的法那么,因此求和時必須對項數(shù)n進展分類討論.ZHISHISHULI知識梳理ZHONGNANJUJIAO重難聚焦SUITANGL

20、IANXI隨堂演練DIANLITOUXI典例透析目標(biāo)導(dǎo)航題型四題型五題型一題型二題型三ZHISHISHULI知識梳理ZHONGNANJUJIAO重難聚焦SUITANGLIANXI隨堂演練DIANLITOUXI典例透析目標(biāo)導(dǎo)航1 2 3 4 51數(shù)列數(shù)列an滿足滿足3an+1+an=0,a2=- ,那么數(shù)列那么數(shù)列an的前的前10項和等于項和等于()A.-6(1-3-10)B. (1-310)C.3(1-3-10)D.3(1+3-10)答案:C ZHISHISHULI知識梳理ZHONGNANJUJIAO重難聚焦SUITANGLIANXI隨堂演練DIANLITOUXI典例透析目標(biāo)導(dǎo)航1 2 3 4 5ZHISHISH