數(shù)值分析與計算方法第五章非線性方程求根

1、 本章內(nèi)容 5.1 5.1 迭代法迭代法 5.2 Newton5.2 Newton迭代法迭代法 5.3 5.3 弦截法弦截法 5.4 5.4 代數(shù)方程求根代數(shù)方程求根第第5 5章章 科學(xué)技術(shù)、工程計算和生產(chǎn)過程中的許多問題常規(guī)歸結(jié)為求解高次代數(shù)方程或超越方程。例如 310 xx10 xxe （高次代數(shù)方程） （超越方程） 這類方程的求解比較困難，在實際問題中，只需要獲得滿足一定精度的近似解就可以了，所以研究適用的求近似解的數(shù)值方法具有重要的現(xiàn)實意義。 問題的提出問題的提出5.1.1 5.1.1 簡單迭代法簡單迭代法1 1、幾個基本概念、幾個基本概念 （5.1）(1)(1)方程方程(1)(1)的

2、解常稱為方程的的解常稱為方程的(2)(2)若若f(x)f(x)不不是是x x的線性函數(shù)的線性函數(shù), , 則稱則稱(5.1)(5.1)為為(3)(3)特別地，若特別地，若f(x)f(x)是是n n次多項式，則稱次多項式，則稱(5.1)(5.1)為為(4)(4)若若f(x)f(x)是超越函數(shù)，則稱是超越函數(shù)，則稱(5.1)(5.1)為為0)(xf;0)(,)()()(*xgxgxxxfm且。，0)(,1,1,00)(*)(*)(xfmjxfmj.0)()()()( : 0)(*xf，xgxx；xg，xgxxf則必有滿足顯然若連續(xù)其中不動點方程改寫成等價形式將方程,2,1,0,)(10*nxgx：，

3、xxnn作迭代的初始近似值取反復(fù)校正這個初始值，直到滿足預(yù)先給定的精度要求為止反復(fù)校正這個初始值，直到滿足預(yù)先給定的精度要求為止. .)(;)(;)(,lim,1*迭代格式迭代序列迭代函數(shù)的不動點也稱為方程的根則即收斂若序列nnnnnnxgxxxgxgxxxxx這類迭代法稱為這類迭代法稱為簡單迭代法簡單迭代法，或稱，或稱不動點迭代法不動點迭代法、Picard迭代迭代. 2 2、迭代序列的收斂性、迭代序列的收斂性大范圍收斂大范圍收斂 ；，xx，baxnn稱該迭代為大范圍收斂則均有若*0lim,局部收斂局部收斂 ；，xx，xUxnn稱該迭代為局部收斂則有若*0lim),(例例5.1 5.1 解.2

4、,101)(3內(nèi)的根在試求方程xxxf324717951. 1 )8(.3247180. 13247180. 1103247600. 153247180. 193249394. 143247182. 183258838. 133247195. 173308610. 123247259. 163572088. 11:5 . 11,11090313x精確解位有效近似解可得迭代序列如下取作迭代將方程改寫成xxxnxn，x，xxxxnnnn思考：思考： ？，xx結(jié)果如何構(gòu)造迭代取13問題：如何構(gòu)造迭代函數(shù)，可以保證迭代既如何構(gòu)造迭代函數(shù)，可以保證迭代既 收斂，斂速還快？誤差如何估計？收斂，斂速還快？誤

5、差如何估計？一個好的迭代法需要考慮：| 迭代函數(shù)的構(gòu)造；迭代函數(shù)的構(gòu)造；| 收斂性、斂速；收斂性、斂速；| 誤差估計。誤差估計。 )(xgy xy 0 x1x2x*xxyo 收斂的情形)(xgy xy 0 x1x2x3x4xyxo*x收斂的情形xyo*x0 x1x2xxy )(xgy 發(fā)散的情形Th5.1（壓縮映象原理）（壓縮映象原理）(與與th5.4合并合并)；yxLygxg，bay，x，L、；baxg，bax、，baxg| )()(|,102,)(,1:,)(有對常數(shù)有且滿足上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)在若- LipschitzLipschitz條件條件1 1、大范圍收斂性、大范圍收斂性；xgxxx

6、x、；xxLLxx、；xxLLxx、；xx，bax、；xbaxgx、nnnnnnnnnn)(lim51413lim,2,)( 1:*11*01*0*且有迭代格式均收斂上有唯一解在方程則有- 誤差事先估計誤差事先估計 - 誤差事后估計誤差事后估計 - 漸進(jìn)誤差估計漸進(jìn)誤差估計 ,1)(baxLxg；yxLyxgygxg，baxLxg)(| )()(|,1)(則有注注：定理定理5.15.1中的中的LipschitzLipschitz條件由于難以驗證，常用條件：條件由于難以驗證，常用條件：事實上，若事實上，若來替代；來替代；證明 存在性：存在性：；，；xx，gLipschitz；babaxg，xgx

7、xb；axb，bgaag至少有一根由介值定理連續(xù)連續(xù)條件由則令或則或若)()(0)()(,)()()()()(* 唯一性：唯一性： ；xxxxLxgxgxx，xx，xgba，xx矛盾則且的不動點均是反設(shè)*2*1*2*1*2*1*2*1*2*1*2*1)()()(,)(01)(1)()(1)(。x，Lxgx，LxgLLxg：唯一根嚴(yán)格單調(diào)遞增或證；xx，L；xxLxxLxgxgxxnnnnnn*0*1*1*lim10)()(可得由;111)()(011*1*1*11*1*01111xxLLxxLxxxxxxLxxxxxxxxxx；xxLxxLxgxgxxnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn

8、;11111*nnnnnxxLLxxLxx，由上式.,)(lim;,2,1,0, )(;, )()()(*1*1得證的連續(xù)性及由兩邊取極限之間與介于xgx，ngxxxxxxxxgxgxgxxnnnnnnnnnnn .)( , ,1)(, ,)(1*0*發(fā)散迭代則且上不動點為在設(shè)nnxgxxbaxbaxxgxbaxg .,;,;,;)()(, ,*0*1*1*0*1*21*0*0*10發(fā)散或者或者依次下去則序列不在有根區(qū)間內(nèi)若則若xxxxxxbaxbaxxxxxxxbaxxxxgxgxxbaxnnnTh5.2證明2 2、發(fā)散條件、發(fā)散條件.1)()2(; 1)() 1 (;2,1, 01333x

9、xgxxgxx性上討論以下迭代的斂散在方程.,1 . 5; 1431231) 1(31)(; 2,13,2)2(, ) 1 ()(,2,1;)(,0) 1(31)(,1)() 1 (3323233323該迭代收斂由則嚴(yán)格單調(diào)遞增Thxxgggxgxxgxxgxxg.,2 . 5;13)(2,1,1)()2(23該迭代發(fā)散由Thxxg，xxxg例5.2解3 3、局部收斂性、局部收斂性。，xg；，xg，xUx，xxgx發(fā)散局部收斂則具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)內(nèi)的某個鄰域且在有根設(shè)方程1)()2(1)() 1 (),()(*., 2 . 5),(,1)(),(1)()2(.,),(1 . 5),()(;)()

10、()()(),(1)(,),(,1)(,)() 1 (*迭代發(fā)散由的某個由連續(xù)性同理迭代收斂內(nèi)在由從而足夠小的由連續(xù)性且連續(xù)由于ThxUxxg，xUx，xgxU，ThxUxgxxxxgxgxgxxgxUx，LxgxUxxgxgTh5.3 證明 ！xg來替代常用)( 0注注: :。，xexx50105 . 0要求精度附近的一個根在求方程。xxnxnxn：，x；，eg，exg，exg，hxnnnxx56714. 05671407. 0185670673. 0125648629. 065671477. 0175672772. 0115711721. 055671354. 0165669072. 01

11、05600646. 045671571. 0155675596. 095797031. 035671188. 0145664094. 085452392. 025671863. 0135684380. 076065306. 015 . 016 . 0)5 . 0()()(6 . 0,5 . 01 . 05 . 0*05 . 00取結(jié)果如下取局部收斂又連續(xù)內(nèi)即得所求根位于搜索一次以步長過例5.3 解 )(2)618. 1(1101,lim0,2,1,0lim1*法如稱為平方收斂時如快速弦截法稱為超線性收斂時稱為線性收斂時且特別階收斂速度階收斂的或稱其具有是則稱及若記設(shè)Newton；，pp；，p；

12、，c，p。ppxcee，cRp，nxxe，xxnpnnnnnnnTh5.5。xgmeexxxx，mxgx，xUx；x，gm，jx，gxxgmxgxxgxgxg：xUxxgmmmnnnmnnnnnmjnn)(!1lim)(lim)(),(0)(1,2,10)()()2()2()( , 0)( )(,1)() 1 (),()(*)(1*11*0*)(*)(*1*且有階收斂的是迭代則階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，具有線性收斂則迭代格式連續(xù)，內(nèi)滿足的某個鄰域在若.)(!1)(limlim;)(!)()10(,)(!)()(! ) 1()()(!1)()()(, )()2( ),( )( )( , ,3 . 51 . 5

13、, 1)( ,),()() 1 (*)(*11*)(*)(1*)1(*1*1111*xgmxxxxeexxmexgxxxmexgxxmxgxxxgxgxgxTaylorxxgx，TaylornxggxxxeexxgxxThxgxUxgmmnnnmnnnmnnmmnnmmnmnnnnnnnnnnnnn展式處的展開成將展式由則且有局部收斂到根及由且內(nèi)連續(xù)在xx證明 .,)(lim;,2,1,0*031xxxaxannnn充分接近假設(shè)并求,4 . 5; 023)(,)4(; 0)(,)3(;0)(,33)()3()(6,3)()3()2(;3)3()() 1 (*2232ax，Thaagaxagax

14、ag，axaxxgaxxxgaxxxgaxaaaaaaag 且度該迭代具有三階收斂速由得取再求導(dǎo)得取再求導(dǎo)得取兩邊求導(dǎo)得例5.4證明,3)3()(,)(23*1axaxxxgaxxgxnn其中的三階方法是求證明.41)(!31lim)(lim3131aageexaxannnnnn 本節(jié)內(nèi)容提要本節(jié)內(nèi)容提要|NewtonNewton法法 基本思想、算法、幾何意義、局部收斂性 以及收斂速度、修正Newton公式、大范圍 收斂的充分條件等 1 1、方法概述、方法概述 迭代法在求方程的根時，迭代法在求方程的根時，迭代函數(shù)的構(gòu)造迭代函數(shù)的構(gòu)造將會影響到迭將會影響到迭代序列的斂散性及收斂速度的快慢，構(gòu)造迭

15、代函數(shù)的常用方法代序列的斂散性及收斂速度的快慢，構(gòu)造迭代函數(shù)的常用方法之一是用一個之一是用一個近似方程近似方程來替代原方程，如：用來替代原方程，如：用線性線性方程方程代替代替非線性非線性方程；方程；NewtonNewton法正是基于這一點，將非線性法正是基于這一點，將非線性方程線性化方程線性化。基本思想：基本思想：.,13. 5)()(, 013. 50)()(0)()()(0)(*0100010000000*0*xxxxfxfxxxfxxxfxfxxxfxfxfTaylorxxxfx更接近方程的精確解解，它有可能比初始值為原方程的近似我們暫認(rèn)為）是原方程的近似方程由于（為則可得該近似方程的解

16、若）（方程略去二階部分，得近似：展式的初始近似值，則由是的根，是設(shè)線性方程線性方程基本思想：基本思想：)()()( .15. 52 , 1 , 0,)()(,Taylor)()(0)(111121xfxfxxNewtonnxfxfxxxxfxfxxTaylorxfxnnnnn其迭代函數(shù)為迭代公式上式稱為）（得展開處也如此進(jìn)行下去，在展式，進(jìn)而得到：的處作為此不妨再在。，并計算法求用2axNewton例例1： 解：解：已有十位有效數(shù)字。的準(zhǔn)確值相比，與；，時，取當(dāng)，得迭代公式，的根，由是方程332102122414213562. 1414215686. 1416666667. 15 . 12,2

17、,1,0)(2120)( xxxxxanxaxxaxxxNewtonaxxfaxnnnnnn特點：具有較快的收斂速度，但對初值要求較高， 要求 充分接近 。*x0 x2 2、算法算法。，轉(zhuǎn)到，停機；，輸出若；，計算；，輸入2543)()(2110101100101000stepxxstepxxxstepffxxstepxffxffstepxstep3 3、幾何解釋幾何解釋 切線近似替代曲線切線近似替代曲線 ，xfxfxx，y，xxfyxxxfxfy)()(0)()()(0000000得令處的切線方程在線是曲)(xfy xyo*x0 x1x2x即是以切線與X軸的交點近似替代曲線與X軸的交點，因而

18、又稱切線法。 最著名、最有 效的方法之一5.5.2 5.5.2 局部收斂性以及收斂速度局部收斂性以及收斂速度 一般來說，一般來說，NewtonNewton法產(chǎn)生的序列不總是收斂的，易知，法產(chǎn)生的序列不總是收斂的，易知，當(dāng)當(dāng) 時，切線趨于水平，與時，切線趨于水平，與X X軸在很遠(yuǎn)處相交，這時軸在很遠(yuǎn)處相交，這時序列常為發(fā)散情形，往往需要對序列常為發(fā)散情形，往往需要對 附加一些條件才能保附加一些條件才能保證收斂；而實際上，當(dāng)證收斂；而實際上，當(dāng) 充分接近充分接近 時，能保證時，能保證NewtonNewton法法的收斂，亦即具有局部收斂性。的收斂，亦即具有局部收斂性。 0)(nxf)(xf0 x*x

19、1 1、單根的情形、單根的情形結(jié)論結(jié)論1 1：且至少為二階收斂。法收斂，時，充分接近的單根，則當(dāng)是方程階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，有設(shè)Newtonxxxfxmxf*0*0)()2()(分析：分析：.)(, )()2(; 0)(1):,5 . 5*的某個鄰域內(nèi)連續(xù)即可在只要滿足由上節(jié)xxxxTh 證明：證明：內(nèi)連續(xù)。在，有，至少二階收斂；，的單根，有是；),()()(0)(),(),(0)()2(0)(0)(0)(0)()()()()()()()() 1 (*2xUxxxfxUxxUxfxxfxfxfxxfxfxfxxfxfxx 2 2、重根的情形重根的情形結(jié)論結(jié)論2 2：法為線性收斂。，則重數(shù)重根的是有足夠階

20、連續(xù)導(dǎo)數(shù)，若Newtonxfxxf)2(0)()(*證明：證明：。法為線性收斂，且有；則由連續(xù)；且又；且則重根的是mxgee，NewtonThxgxgxUxmxxxxmxxxxgxgxgxxgxxxxmxxxxxfxfxxgxxxxxxmxf，x，xxxxf，mxfxnnnxxxxmmm11)(!11lim41)()(, ),(011)()()()(1lim)()(lim)()()()()()()()()()()()()()()(0)()()()(0)(*1*1*=mmmm求重根的修正求重根的修正NewtonNewton公式公式目的加速目的加速 至少二階收斂；，由上述推導(dǎo)過程，若取事實上；，已

21、知：重數(shù)01)()()()()(,2,1,0)()(*1mmxgxxgxfxfmxxg，nxfxfmxxmnnnn。即可保證至少二階收斂具有足夠階連續(xù)導(dǎo)數(shù)只要，同解與至少二階收斂；又法用于求解的單根是即令的單根是重根的是事實上；，其中未知：重數(shù)，xgxfxfxfxfxfxxuxuxxgxuxfxuNewton，xux，xfxfxu，xfxfxmxf，xxfxfxuxuxuxxmnnnn)()()()()()()()()(0)(0)(0)(0)()()()(0)()()2(0)()()()()()(2*1 缺點：雖然斂速增加，但計算時每迭代一步需計算 三次函數(shù)值： ，計算量增大！ )(,)(,)

22、(nnnxfxfxf 的單根。是重根的是0)()()2(0)(*nnxfxfxmxfx注注：的單根。是，時，由連續(xù)性，充分接近故當(dāng)；，由于之間；、介于，；公式展開得：處按在及將0)()(0)(0)(0)(1,2,1,00)()()()(1)()()(!) 1()()(!) 1()()()()(!)()(!)()()()()(*2)(1)(*)(*)(*212)(1)(*1*2)(1*2)(*1)(*1)(*xfxfxffxxxfmjxfxxffxxmxfxfxxmfxxmfxfxfxxmfxxmfxfxfTaylorxxfxfmmmjmmmmmmmmmm證明：證明：例例2： 解：解： 內(nèi)的根。

23、在法求方程，試用設(shè)2,1088. 236. 34 . 0)(23Newtonxxxxf205106498. 16240408993. 12220329694. 115 . 10nnxnxnxNewton，得法，取直接用 200000001. 12200003408. 115 . 1)2(2 . 10*nnxnxnxx，得，取是二重根，用修正公式斂速有極大改善 3 3、大范圍收斂的充分條件、大范圍收斂的充分條件.,; )()(,)()( 0)()(,)4(;,)()3

24、(; ,0)()2(;0)()() 1 (:,)(*0000 xNewtonbaxabfbfbbafafaxfxfbaxbaxfbaxxfbfafbaxf一根法二階收斂到方程的唯，則或初值上不變號在且滿足條件上存在二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)在區(qū)間設(shè) Th5.6 一個根至少*x唯一根嚴(yán)格單調(diào)，凸，凹；0)(0)( xfxf ),(baxn保證的。迭代過程是大范圍收斂該時，法計算證明：利用),0(0 xaNewton例例3： 證明：證明：證明即可；，只需對，則令，考察區(qū)間，取，利用,),0(,0,)(21), 0(*MMMaMaTh。；，； MaMMaMMMaMMfMfMaffMx，xfMxxxfaaaMff)

25、(212)()(2)()()4(,02)()3(,02)()2(0)(41)()()() 1 (2222注：注：該題亦可直接證得大范圍收斂。該題亦可直接證得大范圍收斂。 。，；得，則記；兩式相除得；配方得：迭代：作令)()1 ()1 ()(1),0()()()(21)(21)(210)aqaqxaxqaxqxqaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxxaxaxxaxxaxxNewton，axxfnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn配方法5.2.3 Newton下山法下山法 在Newton迭代法中，若函數(shù)比較復(fù)雜，初值的選取較困難，可以改用迭代

26、公式以擴大初值的選取范圍，其中 為待定參數(shù)，稱為下山因子。下山因子的選取應(yīng)該使當(dāng) 或者 小于事先給定的誤差上限時停止, 1 , 0,)()(1nxfxfxxnnnnnnxfxf11nxfnnxx11nxx非線性方程組的一般形式為：式中 是未知量x1,x2 ,xn 的非線性實函數(shù)。, 0),( , 0),(, 0),(21212211nnnnxxxfxxxfxxxf), 2 , 1( 0),(21nixxxfni一般需要求（5.9）式在一定范圍內(nèi)的一組解：為便于敘述，僅以二元非線性方程組 為例來介紹其解法，式中 是實未知量 的非線性實函數(shù)。*(1,2,., )ix in12( ,)0( ,)0f

27、x yfx y( , )(1,2)if x y i , x y設(shè)式（5.10）中的 和 在其解的某個鄰域 內(nèi)具有關(guān)于 的二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且行列式 。 將 和 在 處按二元Taylor公式展開，并取其線性部分得: 1( , )f x y2( , )f x y1122(,)(,)0(,)(,)kkkkkkkkkf xyf xyxyJfxyfxyxy(,)(1,2,.)kkxyk 1( , )f x y2( , )f x y(,)kkxy, x y ,并以 分別代替上式的 ，得到關(guān)于 的線性方程組: 12( , )( , )0f x yfx y5.1211,kkxy, x y11,kkxy11111

28、22112(,)(,)()()(,)(,)(,)()()(,)kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkf xyf xyxxyyf xyxyfxyfxyxxyyfxyxy kkkkkkkkkkkkkkkkyyyyxfxxxyxfyxfyxfyyyyxfxxxyxfyxfyxf,222211115.111112211122(,)(,)1(,)(,)(,)(,)1(,)(,)kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkfxyfxyyxxfxyJfxyyfxyfxyxyyfxyJfxyx由式（5.11）和（5.12）的系數(shù)行列式 ，故解之得 （5.13）0kJ 00(,)xy*(,)xy 1122(,

29、), (,),.xyxy(,)kkxy11(,)kkxymax( ,)xy 11kkkxkkkkxxxcxxxcx11kkkykkkkyyycyyycy本節(jié)內(nèi)容提要本節(jié)內(nèi)容提要|割線法割線法( (弦截法弦截法) ) 方法概述、幾何意義、算法、收斂性 1 1、方法概述、方法概述 Newton Newton法雖然具有較快的收斂速度（二階），但每迭法雖然具有較快的收斂速度（二階），但每迭代一次均需計算代一次均需計算 及及 ，若函數(shù)較復(fù)雜，計算導(dǎo)數(shù)，若函數(shù)較復(fù)雜，計算導(dǎo)數(shù)值可能工作量很大；為此考慮用值可能工作量很大；為此考慮用差商差商： )(nxf)(nxf 來來替代導(dǎo)數(shù)替代導(dǎo)數(shù)，這一思想實際上體現(xiàn)了

30、以，這一思想實際上體現(xiàn)了以割線近似替代曲線割線近似替代曲線。 111)()(,nnnnnnxxxfxfxxf為初始近似值。，其中；，作迭代：；的新的近似值，得：軸的交點可作為方程與，則割線以它近似替代曲線，的方程為：的割線，的近似根，過是方程，設(shè)10111*1111111,2,1)()()()()()(0)()()()()()()(,()(,(0)(xxnxfxfxfxxxxxxfxfxfxxxxxfxABxfxxxxxfxfxfyABxfxBxfxAxfxxnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn稱（稱（雙點）雙點）割割線法線法或或線性插值法線性插值法線性方程線性方程 多步法多步法

31、若考慮用若考慮用差商差商：來來替代導(dǎo)數(shù)替代導(dǎo)數(shù)，則得：，則得： 000)()(,xxxfxfxxfnnn)()()(001nnnnnxfxfxfxxxx稱稱單點割線法單點割線法 )(xfy xyo0 x1x2x3x*x4x3 3、算法、算法。stepffffxxxxstep，failedMethodNLstepLxxxfstepLLxfffffxxxxstepLxffxffstepNxxstep365)(41)(30)()(21211021102122221010112110010，返到，；停機”，輸出失敗信息“若；停機；，輸出或若；，；，計算；，輸入注注：step6中的數(shù)據(jù)傳遞次序不能顛倒！

32、中的數(shù)據(jù)傳遞次序不能顛倒！4 4、割線法的收斂性與收斂速度、割線法的收斂性與收斂速度結(jié)論結(jié)論：局部收斂：局部收斂： ；充分靠近，*10 xxx 收斂階數(shù)：收斂階數(shù)： ；618. 1)51 (21p)11(11nnneceexxp滿足方程：事實上，注注：類似還可以從三個初始點出發(fā)，以過三點的拋物線：類似還可以從三個初始點出發(fā)，以過三點的拋物線 近似替代曲線，得拋物線法。近似替代曲線，得拋物線法。超線性收斂超線性收斂 位有效數(shù)字。精確到內(nèi)的一個實根，在用割線法求方程：52,109323xxx例例： 。計算結(jié)果如左：；，??；令5251. 16 . 14 . 193)(*1023xxxxxxxf541

33、041118. 352510. 161017173. 152511. 150140970. 052417. 14216464. 051069. 130692609. 052967. 12176. 16 . 11168. 24 . 10)(kkxfxk解：解：可見其收斂速度還是很快的本節(jié)內(nèi)容提要本節(jié)內(nèi)容提要|秦九韶算法秦九韶算法|代數(shù)方程的代數(shù)方程的NewtonNewton法法劈因子法劈因子法0121012312012110111)()()()(2) 1(12) 1()(axaxaxaxaaxaxaxaxaaxaxaxaxfnnnnnaxaxaxaxfnnnnnnnnnnnnnnn：改進(jìn)：方法次

34、加法；，次乘法直接計算需：，計算多項式：用于計算多項式用于計算多項式)(,010212111xPaxbbaxbbaxbaxababnnnnnnnnnnn令遞推便于編程上機便于實現(xiàn)次加法，次乘法只需遞推公式，bxPn，nnnkaxbbab：nkkknn)(71 . 51,1,011列表用于手算：,2,16432)(f0234677xxxxxxxx：例)2(94523001810460022161430217f+）思考：思考：若最終結(jié)果為零說明什么？若最終結(jié)果為零說明什么？+）)(00121010201000121xfbbbbbxbxbxbxbxxaaaaannnnnnnn說明非線性方程f7(x)=0有一個實根x*=2 0000011011100000111)(1 , 2, 1,16. 5)()()(,)()(xbxfannixbbababxbxbxpxfxpxxxfxfxpxfxxaxaxaxaxfiiinnnnnnnn則比較系數(shù)可得令，即：余項為則，商設(shè)為去除以