拉壓桿的變形與疊加原理

1、1當(dāng)桿件承受軸向載荷時，其軸向和橫向尺寸均發(fā)生變化。桿件沿軸線方向的變形稱為軸向變形；垂直于軸線方向的變形稱為橫向變形。FF2集裝箱運載橋集裝箱運載橋DABCP軸向 拉桿下面我們將所圈區(qū)域放大3FFR2FR1CAB30 P剛度問題拉壓靜不定問題4 E 工程上使用的大多工程上使用的大多數(shù)材料，其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)數(shù)材料，其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的初始階段都是線彈系的初始階段都是線彈性的，亦即當(dāng)應(yīng)力低于性的，亦即當(dāng)應(yīng)力低于材料的比例極限時，應(yīng)材料的比例極限時，應(yīng)力與應(yīng)變成正比，這就力與應(yīng)變成正比，這就是胡克定律，可以寫成是胡克定律，可以寫成 pe1o oabFFp()5NFFAA ll 由由E EAlFlN 得得p

2、() ll + lb + bb FF胡克定律EA拉壓剛度（抗拉剛度）6 2 1EG 三個彈性常數(shù)之間的關(guān)系：E 試驗表明試驗表明bb 橫向正應(yīng)變橫向正應(yīng)變EAbFEbbN p() 為為泊松泊松(Poisson)比比ll + lb + bb FF7EAlFlN 只適用于計算在長度l內(nèi)FN及EA均為常值的情況，即在l長度內(nèi)變形是均勻。 211N1 11211:FFlF lABNFFlEAEA l1l2ABF1CF2N2 22 2222:FlF lBCNFlEAEA l1l2ABF1CF28 211N1 1N2 22 212ACFFlFlFlF llllEAEAEAEA 如果變形是分段均勻的，則總變

3、形按右式分段求和：N1ni iiiiFllE A 2221112222N111N21EAlFEAlFFEAlFEAlFlllAC l1l2ABF1CF2l1l2ABF1CF29 如果變形是非均勻的，例如考慮自重的豎桿、變截面桿等，軸力N(x)或截面積A(x)是x的函數(shù)。則總變形按右式積分求和： lllxEAdxxFdxxdll)()(N lABlABF10ABCF1ABCF2l1l2ABF1CF2EAlFlAC11 EAllFlAC212 由此可見，幾個載荷同時作用時產(chǎn)生的總效果，等于各個載荷單獨作用時產(chǎn)生的效果的總和。此原理稱為疊加原理。（線性范圍） 2121 1ACACFllF lllEA

4、EA = = 2112 2FFlF lEAEA ACl11例1 如圖螺栓內(nèi)徑為d=10.1mm,擰緊后在計算長度l=80mm內(nèi)產(chǎn)生的總伸長量為 l=0.03mm。螺栓材料的彈性模量E=210GPa，泊松比 =0.3 。試計算螺栓內(nèi)的應(yīng)力、螺栓的預(yù)緊力和螺栓的橫向變形。解：擰緊后螺栓內(nèi)的軸向正應(yīng)變?yōu)?.030.00037580ll 96210 100.00037578.8 10 Pa78.8MPaE 63278.8 10(10.1 10 ) /46310N6.31kNFA 0.3 0.0003750.0001125 0.0001125 10.1mm0.00114mmdd 12l1l2ABFCF

5、例 2 如 圖 所 示 圓 截 面 桿 ， 已 知 F = 4 k N ，l1=l2=100mm，E=200GPa，為保證桿件正常工作，要求其軸向總伸長量不超過0.10mm，即許用變形l=0.10mm。試求截面直徑d。解：分析。這是一個剛度設(shè)計問題，需要通過計解：分析。這是一個剛度設(shè)計問題，需要通過計算變形來確定桿的直徑。因此首先需要計算桿的算變形來確定桿的直徑。因此首先需要計算桿的變形與其直徑之間的關(guān)系。變形與其直徑之間的關(guān)系。13l1l2ABFCFF=4kN，l1=l2=100mm，E=200GPa， l=0.10mm。1、計算軸力、計算軸力N1N22FFFF 2、計算軸向變形、計算軸向變

6、形N1 1N2 212122284F lF lFlFlllEAE dEAE d總伸長：總伸長：112212FllllE d 3、剛度設(shè)計要求：、剛度設(shè)計要求： l l 31128.7 10 mFldEl 取取d=8.7mm14例3 如圖所示渦輪葉片，當(dāng)渦輪等速旋轉(zhuǎn)時承受離心力作用。葉片橫截面面積為A，彈性模量為E，單位體積的質(zhì)量為，渦輪的角速度為，試計算葉片上的正應(yīng)力與軸向變形。解：1、葉片的外力 22dFadmAdA d 2、葉片的內(nèi)力與應(yīng)力（截面法 Fx=0） 02222N0( )2RxAFxAdRx 222N0( )( )2FxxRxA xdxR0n nFN(x)R0R1 d xnndF

7、15xdxR0n n3、葉片的變形微段dx的變形 NxFxdlx dxdxdxEEA 葉片的總變形 0000111101N2222323000112326RRRRRRRRRRxFxldlx dxdxdxEEARxdxRR RREE FN(x) 222N0( )( )2FxxRxA 16解：1、葉片的外力 22dFadmAdA d 2、dF單獨作用效果n-n截面上的正應(yīng)力：2NdFdFddAA 葉片的變形： 2211RddFRdlEAE 3、所有離心力作用效果的總和n-n的正應(yīng)力： 00222202RRxxddRx 葉片的總變形： 001122213230011236RRRRRdldlRR RR

8、EE R0 d R1xnndF17桁架是由二力桿鉸接，外力作用在節(jié)點的結(jié)構(gòu)模型。其變形通常用節(jié)點的位移來表示。例4圖示桁架，桿材料為鋼，E200GPa， 橫截面積A1200mm2， A2250mm2，桿長l12m。試求P10kN時，節(jié)點A的位移。CAB30 P18解：1求軸力2計算變形N1220kNsin30PFP （拉伸）N2N1cos301.7317.3kNFFP （壓縮）由節(jié)點A的平衡條件可得桿、桿的軸力分別為33N1 113120 102 101mm200 10200F llEA （伸長）33N2 223217.3 101.73 100.6mm200 10250FllEA（縮短）CAB

9、30 PFN1FN2PA30 19 3求A點位移。 變形后的A點是分別以C點和B點為圓心，以CD和BE為半徑所作圓弧的交點A。 由于變形很小，上述弧線可近似地用切線代替，于是過D點和E點，分別作CD和BE的垂線，其交點A即可視為A的新位置。1lAD（伸長）2lAE （縮短）DCAB30 PEAA20 因此，A點的水平位移和垂直位移為：DAEFG20.6mmAxAEl 12sin30tan3010.63.04mm0.50.577AyllAFFG 應(yīng)該強(qiáng)調(diào)指出，在小變形條件下，通?？砂唇Y(jié)構(gòu)原有幾何形狀和尺寸計算支反力和內(nèi)力，也可采用以切線代圓弧的方法確定位移。利用小變形概念，可以使許多問題的分析計

10、算大為簡化。21 構(gòu)件因變形而貯存的能量，叫做應(yīng)變能或變形能，用V 表示。 對于由零開始地緩慢加載，由能量守恒定律可知，貯存在構(gòu)件內(nèi)的應(yīng)變能V ，在數(shù)值上等于外力所作的功W ，即，W= V 。 利用應(yīng)變能的概念，可以作出構(gòu)件或結(jié)構(gòu)的變形或位移計算，從而解決構(gòu)件或結(jié)構(gòu)的剛度或靜不定等問題，這種方法就稱為應(yīng)變能法或能量法。ABF122條件：載荷從0開始緩慢的增加。W等于P- l曲線下的面積。當(dāng)p時，有 ddWPl 10dlWPl 12WP l23EAlFEAPllN 對于在長度l內(nèi)、N=P及EA均為常值的情況，即均勻拉伸：利用以上兩式以及能量守恒定律有：2N11222FlWP lN lVEA 從上

11、式可以看出， V 恒為正。12WP l24 圖a所示桁架，桿材料為鋼質(zhì)，E200GPa橫截面積A1200mm2， A2250mm2， 桿長l12m。 試用能量法求P10kN時，節(jié)點A的垂直位移。解：1求軸力。由節(jié)點A的平衡條件可得桿、桿的軸力分別為CAB30 PN1220kNsin30FPP （拉伸）N2N1cos301.7317.3kNFFP （壓縮）FN1FN2PA30 252應(yīng)變能計算。22N1 1N2 21222FlFlEAEA CAB30 PV 22N2 1N1 112cos 3022FlFlEAEA 2233969620 10217.3 1023 /22 200 10200 102

12、 200 10250 1015.18N m 263位移計算。設(shè)節(jié)點A的鉛垂位移為 ，由于 與P同向，則外力所作的功為W=P /2，由能量守恒定律可得/2WPV 322 15.18m0.00304m3.04mm10 10VP 為正，說明 與P同向的假設(shè)是正確的。由于V 恒為正，因此當(dāng)只有一個外載荷P作功時， 必與P同向。！這里介紹的能量法只能求載荷方向的位移。從而有：CAB30 P27 dxdzdyyxz 22dxdzdydVdxdydz 2dVvdxdydz v 為單位體積內(nèi)的應(yīng)變能，稱為應(yīng)變能密度。p時，有E ,代入上式得:Ev22 單向受力，p22 VzyxVv dVdxdydzE28 d

13、xdzdyyxz 2dxdzdydV 22vG p時，有G ，代入上式得:剪切應(yīng)變能密度：2dVvdxdydz22 VzyxVv dVdxdydzG剪切應(yīng)變能： ，p p29FDdh剛桿剛套橡皮管(a)rF (b) 圖(a)所示精密儀器底板隔振器，由圓截面鋼桿、圓環(huán)截面橡皮管和鋼套組成，且相互之間牢固連接，設(shè)鋼桿和鋼套可視為剛體，橡皮管的切變模量為G，試求鋼桿的位移。解：1應(yīng)力分析。由于鋼桿和鋼套與橡皮管牢固連接，因此，當(dāng)F作用時，橡皮管內(nèi)外壁相當(dāng)于受到一對剪力的作用，因此，可以假設(shè)橡皮管處于純剪切狀態(tài)，且設(shè)切應(yīng)力沿高度方向均勻分布。取一同軸圓柱面，其應(yīng)力分布如圖(b)，由力的平衡可得020zFrhF 得2Frh 302應(yīng)變能計算。22vG 剪切應(yīng)變能密度剪切應(yīng)變能 2/220/2022/22220/2021lnln84hDVdhDdVv dVrd drdxGFFd drdxD