數(shù)分平面曲線的弧長與曲率

1、xoy0MA nMB 1M2M1 nM設(shè)設(shè)A、B是是曲曲線線弧弧上上的的兩兩個個端端點點，在在弧弧上上插插入入分分點點BMMMMMAnni ,110并依次連接相鄰分點得一內(nèi)接折線，當分點的數(shù)目并依次連接相鄰分點得一內(nèi)接折線，當分點的數(shù)目無限增加且每個小弧段都縮向一點時，無限增加且每個小弧段都縮向一點時，此折線的長此折線的長|11 niiiMM的極限存在，則稱此極限為的極限存在，則稱此極限為曲線弧曲線弧AB的弧長的弧長.平面曲線弧長的概念平面曲線弧長的概念并稱曲線 是可求長的，并稱極限 為曲線的弧長 1、參數(shù)方程情形、參數(shù)方程情形C)(txx )(tyy ,t)(tx)(ty,Cdttytxs)

2、()(22定理10.1 設(shè)沒有自交點的非閉平面曲線若是可求長的，且弧長為的參數(shù)方程為與在上連續(xù)可微，則ABDABADDBABADDB性質(zhì) 設(shè)是一條沒有自交點的非閉的是上一點，則和也是可求長的，并且的弧長等于的弧長與弧長的和 可求長的平面曲線.如果ABABDABADDBABADDBAB定義2 設(shè)是一條沒有自交點的閉的任取一點將分成兩段非閉曲線，如果和都是可求長的，則稱閉的平面曲線是可求長的，并把的弧長與弧長的和定義為的弧長 平面曲線.在ABDABDdttytxs)()(22注1 根據(jù)性質(zhì)，顯然定義2中是否可求點的選擇無關(guān)，并且當可求長時，其弧長也與注2 公式也可以直接推廣到有自交點的（非）閉的長

3、與點的選擇無關(guān).平面曲線的情形 C)(txx )(tyy ,t)(tx)(ty,)(tx)(tyC設(shè)平面曲線的參數(shù)方程為.若與在上連續(xù)可微，且與不同時為零，則稱為一條光滑曲線 定義3 C)(txx )(tyy ,tCdttytxs)()(22推論 設(shè)平面曲線為一光滑曲線，則是可求長的，且弧長為 的參數(shù)方程為若C)sin(ttax)cos1 (tay0a)cos1 ()(tatxtatysin)(dttadttytxs2022022)cos1 (2)()(adtta82sin220例1 求擺線一拱的弧長. 由公式得 解C)(xfy ,bax)(xf,badxxfsba)(12若曲線則當在上連續(xù)可

4、微時，此曲線為的方程為一光滑曲線，它的弧長公式為2、直角坐標情形、直角坐標情形2xxeey0 x0 ax2xxeey4122xxeey22)(1002aaaxxaeedxeedxxfs例2 求懸鏈線從到一段的弧長. 由公式得 解曲線弧為曲線弧為)( )( rr 其中其中)( 在在, 上具有連續(xù)導數(shù)上具有連續(xù)導數(shù). sin)(cos)(ryrx)( 22)()(dydxds ,)()(22 drr .)()(22 drrs 3、極坐標情形、極坐標情形弧長弧長)0()cos1 (aardadrrs022022)cos1 (22)()(ada82cos40例3 求心形線的周長. 解 由公式得dtty

5、txs)()(22t0P)(),(tytxPdyxtst)()()(22若將定理1中公式的上限改為變量，就得到曲線由端點到動點的弧長,即 由于被積函數(shù)連續(xù)，所以有 )()()(22tytxts 與 dttytxds)()(22稱為弧微分. dttytxds)()(22)(txx )(tyy ,tCPQQRCPQQR 考察由參數(shù)方程 給出的光滑曲線我們看到弧段與而其彎曲程度卻很不一樣.從點移動至時，切線轉(zhuǎn)比動點從移動至時切線轉(zhuǎn)過的角度要大得多.二 曲率曲線上各點處的彎曲程度是描述曲線局部性態(tài)的又一重要標志.的長度相差不多曲線過的角度這反映為當動點沿( ) t( ( ), ( )P x ty t(

6、)( )tttP( (), ()Q x tty ttPQsksPQ設(shè)表示曲線在點處切線的傾角，表示動點由沿曲線移至時切線傾角的增量.若之長為則稱為弧段的平均曲率 曲率的定義00limlimtsdKssds KCP如果存在有限極限 則稱此極限為曲線在點處的曲率 曲率計算公式 C( )( )arctan( )y ttx t( )( )arccot( )x tty t( )x t( )y tdttytxds)()(22由于假設(shè)為光滑曲線，故總有 或 又若與二階可導，則由弧微分可得 3222( )( )( )( )( )( )( )( )dtx t y tx t y tdss txtyt3222( )

7、( )( )( )( )( )x t y tx t y tKxtyt( )yf x322(1)yKy所以曲率計算公式為 若曲線由表示，則相應(yīng)的曲率公式為cosxatsinybt02t sinxat cosxat cosybt sinybt 3222( )( )( )( )( )( )x t y tx t y tKxtyt332222222222(sincos)()sin)ababKatbtabtb例4 求橢圓解 由于因此按公式得橢圓上任意點處的曲率為上曲率最大和最小的點.0ab0,t3,22tmax2aKbmin2bKaabR1KR當時，在（長軸端點）處曲率最大，而在（短軸端點）處曲率最小，且 若橢圓成為圓時，顯然有即在圓上各點處的曲率相同，其值為半徑的倒數(shù).容易知道，直線上處處曲率為零 CP0K P1KPP設(shè)曲線在其上一點處的曲率若過點作一個半徑為的圓，使它處有相同的切線，并在點近旁與曲線位于切線的同側(cè). 在點CP我們把這個圓在點處的曲率圓或密切圓. 稱為曲線CPP曲率圓的半徑和圓心稱為曲線在點處的曲率半徑和曲率中心.由曲率圓的定義與曲率圓既有相同可以知道，曲線在點的切線，又有相同的曲率和凸性. 平面曲線弧長的概念平面曲線弧長的概念 小結(jié)小結(jié)求弧長的公式求弧長的公式弧微分的概念弧微分的概念極坐標系下極坐標系下參數(shù)方程情形下參數(shù)方程情形下直角坐標系下直角坐標系下