線性代數(shù)課件修改ch2改12

1、第二章第二章 線性方程組理論線性方程組理論主要內(nèi)容主要內(nèi)容矩陣的初等變換與初等方陣；矩陣的初等變換與初等方陣；矩陣的秩；矩陣的秩；分塊矩陣的初等變換；分塊矩陣的初等變換；n維向量空間；維向量空間；線性方程組理論（消元法與解的結(jié)構(gòu)）。線性方程組理論（消元法與解的結(jié)構(gòu)）。例如例如, ,mnmmjnjjiiniinaaaaaaaaaaaaA2122111211 第第 i i 行行 第第 j j 行行 2.1 2.1 矩陣的初等變換與矩陣的秩矩陣的初等變換與矩陣的秩 2.1.1 2.1.1矩陣的初等變換矩陣的初等變換ijrr定義定義2.1.1 下面三種變換稱為矩陣的初等行變換下面三種變換稱為矩陣的初等

2、行變換(1)對(duì)調(diào)矩陣的兩行對(duì)調(diào)矩陣的兩行(對(duì)調(diào)對(duì)調(diào)i , j兩行兩行,記作記作 ) mnmminiijnjjnrraaaaaaaaaaaaAji21212111211第第 i i 行行 第第 j j 行行 例如例如, ,mnmminiinaaaaaaaaaA212111211 mnmminiinkraaakakakaaaaAi212111211 第第 i i 行行 第第 i i 行行 (2) (2) 把矩陣的某一行中的所有元素乘以非零數(shù)把矩陣的某一行中的所有元素乘以非零數(shù)k k ( (用數(shù)用數(shù) k k 乘以乘以 i i 行行, ,記作記作irk 或或ikr) ) (3) (3) 把某一行中的所

3、有元素把某一行中的所有元素 k k 倍加到另一行對(duì)應(yīng)元素上倍加到另一行對(duì)應(yīng)元素上去（第去（第 j j 行行 k k 倍加到第倍加到第 i i 行行, ,記作記作jikrr ）. . 例如例如, ,mnmmjnjjiiniinaaaaaaaaaaaaA2122111211 第第 i i 行行 第第 j j 行行 , , mnmmjnjjjninjijinkrraaaaaakaakaakaaaaaAji2121221111211 第第 i i 行行 第第 j j 行行 矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換換. . 顯然初等變換是可逆的顯然初等變換是可逆

4、的, ,例如例如, ,矩陣矩陣 A A 經(jīng)過變換經(jīng)過變換jikrr 后后, ,再通過變換再通過變換jikrr 便復(fù)原了便復(fù)原了. . 例如例如 3102157210101324400102 ;00007600005000000AB 都是階梯形矩陣都是階梯形矩陣. . 而而 7210100162 ;00605310215013244000000000001CD 都不是階梯形矩陣都不是階梯形矩陣. . 定理定理 2.2.1.11.1 每一個(gè)矩陣都可以經(jīng)過初每一個(gè)矩陣都可以經(jīng)過初等行變換化為階梯形矩陣等行變換化為階梯形矩陣. . 例例 用用初等行變換化矩陣初等行變換化矩陣 7621053420412

5、10A 為階梯形矩陣為階梯形矩陣 解解ArrrrrrKA 0000035000412103500035000412107621053420412102313122 例如例如, , 000000910000002310702001;100000010000021BA 都為規(guī)范的階梯形矩陣都為規(guī)范的階梯形矩陣. . 主元或特異元主元或特異元主列或特異列主列或特異列則稱矩陣則稱矩陣A為規(guī)范的階梯形矩陣或簡化的階梯形矩陣為規(guī)范的階梯形矩陣或簡化的階梯形矩陣(行最簡的階梯形矩陣行最簡的階梯形矩陣)。定義定義2.1.3 如果階梯形矩陣如果階梯形矩陣A滿足滿足:(1) 每個(gè)非零行的左起第一個(gè)非零元素均為每個(gè)

6、非零行的左起第一個(gè)非零元素均為1,(2) 每個(gè)非零行左起第一個(gè)非零元所在的列只有一個(gè)非零元每個(gè)非零行左起第一個(gè)非零元所在的列只有一個(gè)非零元.而而1260000100 ;00001100207013200000059000000CD 都不為規(guī)范的階梯形矩陣都不為規(guī)范的階梯形矩陣. . 解解 21215012140121402435000530126700000170120530001500000rrrAAR 定義定義 如如果一個(gè)矩陣的左上角為單位矩陣果一個(gè)矩陣的左上角為單位矩陣, ,其它其它位置的元素都是零位置的元素都是零, ,則稱這個(gè)矩陣為則稱這個(gè)矩陣為擬單位陣或擬單位陣或標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)形矩陣準(zhǔn)形矩陣

7、. . 用分塊矩陣的表示方法用分塊矩陣的表示方法, ,形如形如: : ,rr pnnmm pns rs ps nEOEEEOEOOO 的矩陣都是標(biāo)準(zhǔn)形矩陣的矩陣都是標(biāo)準(zhǔn)形矩陣. . 例例 利用初等變換將利用初等變換將前前例中的矩陣?yán)械木仃嚮癁闃?biāo)準(zhǔn)形矩陣化為標(biāo)準(zhǔn)形矩陣. . 解解 AccccccccccrIOOOEA 25351720000000010000010000053001051702010000053100051702102515134221矩陣的等價(jià)矩陣的等價(jià)（相抵）（相抵） 定義定義 2.12.1。5 5 如果矩陣如果矩陣 A A 經(jīng)過有限次初等經(jīng)過有限次初等變換后變?yōu)榫仃囎儞Q后

8、變?yōu)榫仃?B (B (即即BA ),),則稱矩陣則稱矩陣A A 與矩陣與矩陣 B B 等價(jià)等價(jià)( (或相抵或相抵).). 定理 矩陣的等價(jià)具有:自反性,對(duì)稱性,傳遞性.即即 110111101()1,E i j 第第 i i 行行 第第 j j 行行 (1)交換交換n階單位陣階單位陣E的的i, j 兩行兩行(列列),得到得到n階初等矩陣階初等矩陣, ( , )ijijE i jRC (2) (2) 將將 n n 階單位陣階單位陣 E E 某行某行( (列列) )乘以非零數(shù)乘以非零數(shù) k,k, 得得到到 n n 階初等陣階初等陣 ( )( )1111k ik iRCkE i k 第第 i i 行

9、行 (3) (3) 將將 n n 階單位陣階單位陣 E E 的第的第 j j 行行( (列列) )乘以非零數(shù)乘以非零數(shù)k k 加到第加到第 i i 行上去行上去, , 得到得到 n n 階初等陣階初等陣 ( )( )111()1, ( )ik jjk iE i j kkRC第第 i i 行行 第第 j j 行行 初等方陣的性質(zhì)初等方陣的性質(zhì): : 性質(zhì)性質(zhì) 1 1 三種初等方陣的行列式分別為三種初等方陣的行列式分別為 ( , )1;( ( ).(0);( , ( )1E i jE i kk kE i j k 性質(zhì)性質(zhì) 2 2 初等方陣都是可逆矩陣初等方陣都是可逆矩陣, ,且且 111( ( ,

10、 )( , );1( ( ( )( ( )(0);( ( , ( )( , ().E i jE i jE i kE ikkE i j kE i jk 引引理理 2.1.12.1.1 設(shè)設(shè) A A 為為nm階階矩陣，則矩陣，則 對(duì)矩陣對(duì)矩陣 A A作一次相應(yīng)的初等行變換相當(dāng)于作一次相應(yīng)的初等行變換相當(dāng)于 A A左乘左乘一個(gè)一個(gè) m m 階初等方陣階初等方陣。 引引理理 2.1.22.1.2 設(shè)設(shè) A A 為為nm階階矩陣，則矩陣，則 對(duì)矩陣對(duì)矩陣 A A 作一次相應(yīng)的初等列變換作一次相應(yīng)的初等列變換; ;相當(dāng)于相當(dāng)于 A A 右右乘一個(gè)乘一個(gè) n n 階初等方陣階初等方陣。 初等行變換與初等方陣

11、的關(guān)系初等行變換與初等方陣的關(guān)系:例如例如, ,設(shè)設(shè)mnmmjnjjiiniinaaaaaaaaaaaaA2122111211 則則 11121121212( , )ijnjjjnrriiinmmmnaaaaaaAE i j Aaaaaaa 111211212( ( )inkriiinmmmnaaaAkakakaE i kAaaa 1112111221212( , ( )ijnijijinjnrkrjjjnmmmnaaaakaakaakaAE i j kAaaaaaa 選選例例 設(shè)設(shè) A A 是是 n n 階可逆矩陣，將階可逆矩陣，將 A A 的第的第 i i行與第行與第 j j 對(duì)換后得到的

12、矩陣記為對(duì)換后得到的矩陣記為 B .B . (1)(1)證明證明 B B 是可逆矩陣是可逆矩陣 （2 2）求）求1AB 解解 1111111(1)0,0,2( , )A( , )A( , )( , ):( , )( , )ijijrrrrAABBABABBE i jBE i jA E i jA E i jABA A E i jE i j 可逆。（ ）因此 引理引理 2.12.1. .3 3 對(duì)任何對(duì)任何nm階矩陣階矩陣 A,A,則則 (1)(1)存在存在 m m 階初等方陣階初等方陣sRRR,21使得使得ARRRs21為階梯形矩陣為階梯形矩陣AK( (或規(guī)范的階梯或規(guī)范的階梯形矩陣形矩陣AR)

13、 ); ; 推論推論任意矩陣任意矩陣A A， 存在， 存在m m階初等方陣階初等方陣sRRR21及及 n n 階初等方陣階初等方陣tCCC,21使得使得 ARRRs21nmrtOOOECCC21 為標(biāo)準(zhǔn)形矩陣為標(biāo)準(zhǔn)形矩陣. . 定理定理 2.1.32.1.3 對(duì)任何對(duì)任何nm階矩陣階矩陣 A,A,存在存在 m m 階可逆階可逆陣陣 P P 與與 n n 階可逆陣階可逆陣 Q,Q,使得使得 PAQPAQ 為標(biāo)準(zhǔn)形矩陣為標(biāo)準(zhǔn)形矩陣, ,即即 rEOPAOOO 其中其中r=r(A)r=r(A) 推論推論 3 3 對(duì)任何對(duì)任何 n n 階矩陣階矩陣 A,A, A A 可逆的充要條件為可逆的充要條件為

14、A A為初等方陣之積為初等方陣之積. .即即, , 存在存在 n n 階初等方陣階初等方陣tPPP,21使得使得 tPPPA21 10011011201111112121221rrrrrA 12112(1,2(1)(2( )(2,1( 1)(1,2(1)(2( )(2,1( 1)EEEAEAEEE 例例 將可將可逆矩陣逆矩陣 1111A表示成初等方陣之積表示成初等方陣之積. . 解解 將將 A A 化為單位陣化為單位陣 E E 并記錄所用的初等行變換并記錄所用的初等行變換: : 11112(2,1( 1)(2( )(1,2(1)(2,1(1)(2(2)(1,2( 1)101011110201A

15、EEEEEE因而因而 定義定義2.12.1. .7 7 在矩陣在矩陣nmijaA)(中中, ,任取任取k k行行k k 列列, ,位于這位于這 k k 行行 k k 列交叉位置的元素按原矩陣列交叉位置的元素按原矩陣 A A 中中的相對(duì)位置排成的的相對(duì)位置排成的k k階行列式稱為矩陣階行列式稱為矩陣A A的一個(gè)的一個(gè)k k 階子式階子式. . 例如例如, ,54924987632664210131A中中, , 取取 1,3, 1,3,行行, ,取取 2, 52, 5 列列, ,得得 A A 的一個(gè)的一個(gè) 2 2 階階 子式子式: :9613N 2.1.2 矩陣的秩矩陣的秩209例如例如, ,54

16、924987632664210131A中中, , 取取 1,3,4 1,3,4 行行, ,取取 2,4, 52,4, 5 列列, , 得得 A A 的一個(gè)的一個(gè) 3 3 階子式階子式 542986103N 定義定義 2.12.1. .8 8 在矩陣在矩陣nmijaA)(中中, ,有一個(gè)有一個(gè) r r階子式不為零階子式不為零, ,而而A A中所有的中所有的 r+1r+1 階子式階子式( (如果如果存在的話存在的話) )都為零都為零, ,則稱則稱 r r 為矩陣為矩陣A A的秩的秩, ,記為記為r r( (A A) )或或 rank(rank(A A) ). . 規(guī)定零矩陣規(guī)定零矩陣O O的秩的秩

17、 0)(Or 顯然顯然, , 矩陣矩陣A A的秩的秩 r r( (A A) )為為A A中非零子式的最高中非零子式的最高階數(shù)階數(shù). . 例如例如, ,184303201123A中中, , 二階子式二階子式02023, ,所有的所有的 3 3 階子式階子式: : 184032112,183030113,143020123,843320123 都為零都為零, ,所以所以 r r(A)=2.(A)=2. 例如例如, ,963852741A 二階子式二階子式035241, ,所有的所有的 3 3 階子式只有一個(gè)階子式只有一個(gè)0A, ,所以所以 r r(A)=2.(A)=2. 定義定義 在矩陣在矩陣nm

18、ijaA)(中中, ,任取任取 s s行行 t t列列, ,位于這位于這 s s行行t t 列交叉位置的元素按原矩陣列交叉位置的元素按原矩陣 A A 中的相對(duì)位置排成的中的相對(duì)位置排成的ts階矩階矩陣稱為陣稱為 A A 的一個(gè)的一個(gè)ts階子矩陣階子矩陣, ,或子陣或子陣. . 矩陣秩數(shù)的性質(zhì)矩陣秩數(shù)的性質(zhì): : 命題命題 矩陣的秩數(shù)具有如下性質(zhì)矩陣的秩數(shù)具有如下性質(zhì): : (1)(1) 一個(gè)矩陣的秩數(shù)是唯一的一個(gè)矩陣的秩數(shù)是唯一的; ; (2)(2) 若矩陣若矩陣nmijaA)(, ,則則;,min)(0nmAr ; 00)(AAr且 (3)(3) 若矩陣若矩陣nmijaA)(中有一個(gè)中有一個(gè)

19、 r r 階子式不為零階子式不為零, , 則則rAr)(; ; 若矩陣若矩陣nmijaA)(中所有中所有 s s 階子式都為零階子式都為零, , 則則sAr)(. . (4)(4) 若若 B B 是是 A A 的一個(gè)子陣的一個(gè)子陣, ,則則)()(ArBr; ; (5)(5) );()(ArArT (6)(6) 階梯形矩陣的秩等于它的非零行數(shù)階梯形矩陣的秩等于它的非零行數(shù) (7)(7) 0,0; 0, )()(kkArkAr (8) (8) 若矩陣若矩陣nmijaA)(, , 則則);(),(min)()()(BrArABrnBrAr 定義定義 2 2. .1 1. .9 9 若矩若矩陣陣nm

20、ijaA)(, , 如果如果r r( (A A) )= =m,m,則稱則稱 A A 為行滿秩陣；為行滿秩陣； 如果如果r r( (A A) )=n,=n, 則稱則稱 A A 為列滿秩陣；為列滿秩陣； 如果如果r r( (A A) )= =m=n,m=n,則稱則稱 A A 為滿秩陣；為滿秩陣； 例如例如 （1 1）57424631A為行滿秩陣，為行滿秩陣， （2 2）940361543232121B, ,由子式由子式, 020940361121 因此因此 r r(A)=(A)=3,3,A A 為列滿秩陣為列滿秩陣. . （3 3）931462011C，0C 顯然，顯然，r r(C)=(C)=3

21、3，A A 為滿秩陣為滿秩陣. . 定理定理 2.1.42.1.4 矩陣的初等變換不改變矩陣的秩矩陣的初等變換不改變矩陣的秩. . 注注 定理及命題的定理及命題的(6)(6)給給出了求矩陣的秩數(shù)的一種出了求矩陣的秩數(shù)的一種方法方法_初等初等( (行行) )變換法變換法: :將矩陣將矩陣 A A 用初等行變換化為用初等行變換化為階梯形陣階梯形陣AK, ,則則AK的非零行數(shù)為的非零行數(shù)為 A A 的秩數(shù)的秩數(shù). . 11221021512031311041( )Ar A選例 求的秩數(shù)314121122111221021510215120313021511104100222rrrrA r(A)=3r

22、(A)=33211221021510000000222rr3411221021510022200000rr 例例 求求矩陣矩陣 A A 的秩的秩, ,其中其中 330116310110321150311110A 000000000000100011105031330116310110321150311110行A 故故 r r(A)=(A)=3 3 選例選例 求矩陣求矩陣 12104246251294732721A 的秩的秩 解解 由由 1210408421300104300000A 知知 r(A)=3.r(A)=3. 由矩陣的秩的定義可推得：由矩陣的秩的定義可推得： (1)(1)n n 階方陣

23、階方陣 A A 的秩數(shù)的秩數(shù) ( )nr AnAE; ; (2)(2)nm階矩陣階矩陣 A A為列滿秩為列滿秩 ( )nEr AnAO; ; (3)(3)nm階矩陣階矩陣 A A為行滿秩為行滿秩 ( )mr AmAEO 由矩陣的初等變換不改變矩陣的秩可知由矩陣的初等變換不改變矩陣的秩可知: : n n 階方陣階方陣 A A 的秩的秩( )0r AnA. . 故故A A可逆可逆 ( )nr AnAE 推論推論 5 5 設(shè)設(shè)A A 為為nm階矩陣階矩陣, ,P P為為 m m 階可逆陣階可逆陣, , Q Q為為 n n 階可逆陣階可逆陣, ,則則 r(A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ)r(

24、A)=r(PA)=r(AQ)=r(PAQ) 例例 求矩陣求矩陣 A A 的秩的秩, ,其中其中 1561275124524200192356330000411114000A 作業(yè)作業(yè)B164頁頁1(1),2,3,4,5,7,8,9,10,11(1),(5),例例 設(shè)設(shè) A A 為為nm階矩陣階矩陣, ,證明證明:r(A)=1:r(A)=1 充要充要條件為存在條件為存在1m階矩陣階矩陣0及及1n階矩陣階矩陣0使得使得 TA. . 證證 必要性必要性 由由 r(A)=1r(A)=1, ,存在存在 m m 階可逆陣階可逆陣 P P 與與 n n階可逆陣階可逆陣 Q,Q,使得使得 0010010000

25、000011nmOOOEPAQ 即即 11001001QPA 顯顯然然, , 0, ,0 , ,且且TA. . 令令 11001,001QPT 充分性充分性 設(shè)設(shè)TA, ,其中其中1m階矩陣階矩陣0及及1n階矩陣階矩陣0, ,由由 1)(, 1)(rr, ,則有則有: : 00121maaa( (行變換行變換) ) 0012121nTnTbbbbbb ( (列變換列變換) ) 即存在即存在 m m 階可逆陣階可逆陣 P P 與與 n n 階可逆陣階可逆陣 Q,Q,使得使得 001,001QPT 1)(,0000000001ArQPPAQT 補(bǔ)充定理補(bǔ)充定理( (滿秩分解定理滿秩分解定理) )

26、設(shè)設(shè) A A 為為nm階矩陣階矩陣,0r(A)minm,n,0r(A)minm,n,則則 r(A)=rr(A)=r 充要充要條件為存在條件為存在rm階列滿秩矩陣階列滿秩矩陣 B B 及及nr階階行滿秩矩陣行滿秩矩陣 C C 使得使得 BCA 證證 必要性必要性 由于由于 r(A)=r,r(A)=r,故有故有 OOOEAr( (初等變換初等變換) ) 即存在可逆矩陣即存在可逆矩陣 P,Q ,P,Q ,使得使得 11QOEOEPAOEOEOOOEPAQrrrrr 令令 11,QOECOEPBrr 則則 r(B)=r, r(C)=r r(B)=r, r(C)=r 且且 A=BC. A=BC. 充分性

27、顯然成立。充分性顯然成立。 2 2. .1.41.4 求逆矩陣的初等變換法求逆矩陣的初等變換法 由推論由推論 3, A3, A 可逆充要條件為可逆充要條件為 A A 是初等方是初等方陣之積陣之積, , 即存在即存在 n n 階初等方陣階初等方陣tPPP21使得使得 tPPPA21 故故 APPPAAEEPPPPPPAttttt)()(111111111111211. . 因而有因而有 )()()(1111111AEEAPPPEAAtt 這給出了求逆矩陣的初等變換法這給出了求逆矩陣的初等變換法: : )()(1AEEAr 例例 設(shè)設(shè)112213324A 用初等行變換法用初等行變換法, ,判斷判斷

28、 A A 是否可逆是否可逆? ?如如果果 A A 可逆可逆, ,求求1A 解解 構(gòu)造矩陣構(gòu)造矩陣 100112010213011111100112010213001324)(21rrEA 2011001210101110012011001221101110011221100431200111112322123321332)1(223rrrrrrrrrrrrr所以矩陣所以矩陣 A A 可逆可逆, ,且且2011211111A 類似地，用初等行變換法類似地，用初等行變換法, ,可以求矩陣方程可以求矩陣方程 AX=B AX=B，其中其中 A A 可逆可逆 方法為：方法為： )()(1BAEBAr 例

29、例 用初等用初等行變換法行變換法, ,求矩陣方程求矩陣方程 AX=BAX=B，其中，其中 009358,121233515BA 解解 631005201041001001219323358515)(BA 故故 635241X 例例 求矩陣方程求矩陣方程 233141111012112X 解解 053301723023111411123101223111231113101241112)(13122122rrrrrrBA 1210031103035011121003110302311112100172302311112100172302311131323232rrrrrrr 12100131101

30、02340011210013110103501121331rrr 故故 121311234X 作業(yè)作業(yè)P 16714(3)(4), (2)(2)用某一可逆矩陣左邊用某一可逆矩陣左邊( (右邊右邊) )乘分塊矩陣的乘分塊矩陣的某一行某一行( (列列)()( 可逆矩陣可逆矩陣 P P 左邊乘分塊矩陣的第左邊乘分塊矩陣的第i i 行行, ,記作記作iPR ); ); (1)(1) jiKRR ); ); 2.2分塊矩陣的初等變換分塊矩陣的初等變換( (介紹介紹) ) 下面三種變換稱為分塊矩陣的初等行下面三種變換稱為分塊矩陣的初等行( (列列) )變換變換 (1)(1) 對(duì)調(diào)分塊矩陣的兩行對(duì)調(diào)分塊矩陣

31、的兩行( (列列)()(對(duì)調(diào)對(duì)調(diào) i i , , j j 兩兩 行行, , 記作記作jiRR );); 例如例如, , 分塊單位陣分塊單位陣nmEEE實(shí)施一次分實(shí)施一次分 塊陣的初等變換可得三類分塊初等矩陣塊陣的初等變換可得三類分塊初等矩陣: : (1)(1) OEEOEmnRR21或或 OEEOEnmCC21; ; (2)(2) nPREOOPE1或或POOEEmPR2; ; (3)(3) nmKRREOKEE21或或nmKRREKOEE12. . 分塊矩陣的初等變換的性質(zhì)分塊矩陣的初等變換的性質(zhì): : (1)(1) 對(duì)分塊陣進(jìn)行初等變換不改變分塊陣的秩對(duì)分塊陣進(jìn)行初等變換不改變分塊陣的秩.

32、 . (2)(2) 對(duì)分塊方陣進(jìn)行第三類初等變換不改變分塊方對(duì)分塊方陣進(jìn)行第三類初等變換不改變分塊方陣的行列式陣的行列式; ; (3)(3) 如果如果 A,BA,B 為方陣為方陣, ,且且 1111BDEOCAOEEOBDOECAR 那么那么 11111BDCABDCA 利用這些性質(zhì)利用這些性質(zhì), ,可以解決數(shù)學(xué)中的許多問題可以解決數(shù)學(xué)中的許多問題. . 選例選例 1 1 試證行列式的乘法公式試證行列式的乘法公式: : BAAB 其中其中A,BA,B都是都是 n 階方陣階方陣. . BABEOABEABOOEABOEEABOEEOABABnARRnBCCnCCnnABRRnn21121221

33、選例選例 1 1 試證行列式的乘法公式試證行列式的乘法公式: : BAAB 其中其中A,BA,B都是都是 n 階方陣階方陣. . 例例2.2.32.2.3 設(shè)設(shè)A A是是nm階矩陣階矩陣,B,B是是mn階階矩陣矩陣, ,證明證明 .BAEABEnm 證證 令令nmEBAEM, ,則則 BAEBAEOAEEBAEMnnmBRRnm12 ABEEOAABEEBAEMmnmBCCnm21 于是于是.BAEABEnm 選例選例 3 3 證明證明: :當(dāng)當(dāng)0,nm時(shí)時(shí), ,有有 .BAEABEnnmm 證證 事實(shí)上事實(shí)上 .11nmBAEBAEABEABEnnmmmm 例例 2.2.62.2.6 設(shè)設(shè)

34、A A 為可逆矩陣，為可逆矩陣， naaa21, ,證明證明: : .)1 (1AAATT 證證 .)1 (111111AAAAAEAAEAATTTTnT 例例 2.2.42.2.4( (行行列式的第一降階定理列式的第一降階定理) ) 設(shè)設(shè) A A 是是n 階可逆陣階可逆陣,B,B 是是m階方陣階方陣, ,試證試證 CDABABDCA1 CDABACDABOCABDCARDAR11112例例 2 22 2.5.5 設(shè)設(shè) A A，B B 是是n階階方方陣陣, , , ,試證試證 BABABB AA BABB-ABOBABBABABB1221CCAAAARR選例選例 4 4 設(shè)設(shè) A A 是是n階可逆陣階可逆陣,B,B 是是m階可逆陣階可逆陣, , 試證試證 (1) (1) 111BOOABOOA; ; (2)(2) 11111BDABOABDOA; ; (3)(3) OABOOBAO111; ; (4) (4) 11111CBAABOOBAC . . 1111)()(1)(211121211