例談構(gòu)造平行六面體解立體幾何題

1、例談構(gòu)造平行六面體解立體幾何題立體幾何題的題設(shè)中若有“垂直”（包括線線垂直、線面垂直及面面垂直）可以試著構(gòu)造長(zhǎng)方體來(lái)求解，若沒(méi)有“垂直”也可嘗試構(gòu)造平行六面體來(lái)求解.本文以普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)選修 2-1 A版（人民教育出版社，2007年第2版）（下簡(jiǎn)稱(chēng)教科書(shū)）中 的題目及幾道高考題來(lái)談?wù)勥@種解題方法.題1 （教科書(shū)第106頁(yè)例2）如圖1,甲站在水庫(kù)底面上的點(diǎn) A處，乙站在水壩斜面上的點(diǎn)B處.從A,B到直線l （庫(kù)底與水壩的交線）的距離AC和BD分別為a和b , CD的長(zhǎng)為圖2解可在如圖2所示的平行六面體中求解：因?yàn)镃DAC,AC/AD ,所以CD AD 又 CD BD,所以 CD

2、面 ADB,得 AA AB,所以 AB2 d2 c2 .2,22,2a b c d在 ABD中，由余弦te理可求得 cos A DB ,此即所求二面角的2ab余弦值.題2 （教科書(shū)第107頁(yè)練習(xí)第2題）如圖3, 60的二面角棱上有 A, B兩點(diǎn)，直線AC, BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于 AB.已知AB 4, AC 6,BD 8 ,求 CD 的長(zhǎng).圖3圖4解 可在如圖 4所示的平行六面體中求解：在 ACE中，AC 6,AE BD 6, CAE 60 ,由余弦定理可求得 CE2 52.可證BA 面ACE ,所以有DE CE ,在 CDE中可求得CD 2 J17 .題3 （教科書(shū)第

3、113頁(yè)第12題）一條線段夾在一個(gè)直二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，它與兩個(gè)半平面所成的角都是 30 ,求這條線段與這個(gè)二面角的棱所成角的大小解 可在如圖5所示的長(zhǎng)方體中求解：ADB DAE 30，可不妨設(shè) AD 2,得 DE CB AB 1,AE BD J3, BE CD J2 ,所以在 Rt ACD 中可求得ADC 45，即夾在直二面角 A BE D的線段AD與棱BE所成角的大小是45.圖5題4 已知兩平行平面，的距離為2 J3，點(diǎn)A, B ，點(diǎn)C, D ，且AB 3,CD 2,異面直線 AB,CD成60角，求四面體 ABCD的體積.解 可在如圖6所示的平行六面體中求解:圖6在圖 6 所示的平行六面

4、體中， A CD 60 或120,1 3AC AB 3,Sacd 2 3sin ACD q3,所以2 2VaBCD Va BCD 13 3 2,33.3 2題5（2012 安徽文 15）若四面體ABCD的三組對(duì)棱分別相等，即AB CD, AC BD,AD BC ,則下列命題正確的是 （寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào) ）。四面體ABCD每組對(duì)棱相互垂直四面體ABCD每個(gè)面的面積相等從四面體 ABCD每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和大于90。而小于180。連接四面體ABCD每組對(duì)棱中點(diǎn)的線段相互垂直平分從四面體 ABCD每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱可作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)解 .如圖7,可把四面體 ABCD放置在如

5、圖所示的平行六面體中，由該四面體的三組對(duì)棱分別相等，可得該平行六面體是長(zhǎng)方體（在圖7,由AD BC可得圖7中的平行六面體左面的平行四邊形的對(duì)角線相等，所以它是矩形.同理得該平行六面體的表面均是矩形，所以該平行六面體是長(zhǎng)方體 ）.錯(cuò)誤：因?yàn)殚L(zhǎng)方體不一定是正方體.正確：可證ABC CDA BAD DCB .錯(cuò)誤：可得從四面體ABCD每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和為180° ,比如BAC CAD BAD ABD BDA BAD 180 .錯(cuò)誤：如圖8,易證順次 連接四面體 ABCD的棱AB, BC,CD,DA的中點(diǎn)E,F,G,H得到的四邊形是菱形.正確： 比如，從四面體 ABCD的頂點(diǎn)A

6、出發(fā)的三條棱可組成 BCD.圖7圖8題6 （2012 大綱全國(guó)理 16）三棱柱ABC ABC1中，底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都相等,BAA1CAA1 60 ,則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為 .解法1 啦.如圖9,作A。 面ABC于。，由 BAACAA 60可彳導(dǎo)AO是6BAC的平分線 設(shè)直線AO BC O ,則點(diǎn)。是BC的中點(diǎn).由 cos A1AO cos O ABcos AAB ,得1、3cos A1AO cos30 cos60 ,cos A1AO可不妨設(shè)AB AA 2«,得AO 2,A。 22, AD 3.可如圖1建立空間直角坐標(biāo)系 O xyz,得 A(0,3,0), B( 6,

7、0,0), 0(73,0,0), O(0,0,0), O (0,1,0),人(0,1,2點(diǎn))，uur再由AAuur uuuuBB1CC1(0, 2,2揚(yáng)，得 B( V3, 2,272),01(73, 2,272),所以u(píng)uur _ uuuu _AB1 (、,3, 5,2,2),BC1 (2.3, 2,2 % 2)設(shè)異面直線AB1與BC1所成角的大小為，則解法2,66uuur uuuu.AB1 BC1AB1BC1cos_12_ g6 2.66ABC.如圖10,可把三棱柱A1BC1補(bǔ)成平行六面體 ABCD AB1c1D1.圖10作A1O 面ABC于O ,由 BAA CAA 60可彳導(dǎo)AO是 BAC

8、的平分線.設(shè) 直線AO BC O ,則點(diǎn)O是BC的中點(diǎn).由BC AO得BC AA ,所以BC CC1. 可不妨設(shè)BC CC1 1,得AD1 BC1 2.菱形AABB1的邊長(zhǎng)為1, BAA 60 ,所以AB J3 ;菱形ABCD的邊長(zhǎng)為1, BAD 2 BAC 120 ,所以 B1D1 BD 73.在等月ABD1 中，B1A B1D1 73, AD1 V2 , 易求得cos BAD,亞，所以異6面直線AB1與BC1所成角的余弦值為6題 7 如圖 11 所示，在三棱錐 A-BCD 中，AB= AC= BD= CD = 3, AD=BC=2,點(diǎn) M,N分別為AD, BC的中點(diǎn)，則異面直線 AN, C

9、M所成的角的余弦值是 圖11解 7.所有的四面體（即三棱錐）都可以放置在平行六面體中，且四面體的四個(gè)頂點(diǎn)是平 8行六面體的八個(gè)頂點(diǎn)中的四個(gè) .進(jìn)一步，還可得：對(duì)棱長(zhǎng)相等的四面體都可以放置在長(zhǎng)方體中，且四面體的四個(gè)頂點(diǎn)是長(zhǎng)方體的八個(gè)頂點(diǎn)中的四個(gè)所以本題也可利用長(zhǎng)方體建立坐標(biāo)系簡(jiǎn)潔求解可把三棱錐 A-BCD放置在如圖12所示的長(zhǎng)方體中.圖12如圖12所示，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別是x,y,z,由勾股定理得22c2xy322c2yz222c2zx3解得 X 7, y z 2 .可如圖12所示建立空間直角坐標(biāo)系 C xyz來(lái)求解.得C（0,0,0）, BG/2,0J2）,D（V2J7，0），A（0，V

10、7，J2）， 所 以M紅，百包,N立,0,立，再得AN 22223, 7半,CM 藍(lán)，7 t得 cos AN,CM的余弦值是7.8AN CMAN CM圖137 -八-,所以異面直線 AN, CM所成的角8題8(2010年同濟(jì)大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試題)如圖13所示，在四面體ABCD中，AB a, CD b,異面直線 AB,CD的距離為d ,夾角為(1)若一，AB 面BCD ,求四面體 ABCD的體積;2(2)若一，求證：四面體 ABCD的體積為定值；2求四面體ABCD的體積.解 我們先解第(3)問(wèn)：如圖14所示，將四面體ABCD補(bǔ)成一個(gè)平行六面體ABBD ACCD,得DCA ,上下兩底面 AB ,A

11、C的距離為d ,所以1d abd sin-abd sin 6V 平行六面體 ABB D A CCD2 absin21VA BCD-V平行六面體ABB D ACC D6圖14由第(3)問(wèn)的結(jié)論，立得頭兩問(wèn)的解法：1 1 (1) VA BCD abd ； (2) VA BCD - abd (7E值).66題 9 求證：若四面體 ABCD 的六條棱長(zhǎng)滿(mǎn)足AD BC a, BD AC b,AB c,CD d,則可把該四面體放置在如圖 15所示的直平行六面體 ACBD A CB D中:可解得結(jié)論（2）中關(guān)于x, y,z的結(jié)論成立SSll 1213 Z ,其xyx 產(chǎn)2 2b222c d ,y2 2a2

12、2b2 c2 d212222-2b 2a c d ,z2（2）在圖15的直平行六面體ACBDACBD 中，設(shè) ADx,AC y, AA z.由勾股定理，可得x2 z222a , y2.2z b .如圖16所示，在平行四邊形ACBD中，可得c2d2 2x2 2y2.圖15證明（1）略.1-9999S - r(cd b a )(cd b a )(2)對(duì)棱 AD 和 BC, BD 和 AC,AB和CD之間的距離分別為r a圖161又平行四邊形 ACBD的面積是S -cd sin AOD ,在 AOD中由余弦定理可求2a2 b2得cos AOD ,所以可得結(jié)論（2）中關(guān)于S的結(jié)論也成立.cd因?yàn)閷?duì)棱A

13、D和BC的距離就是如圖16所示的直平行六面體 AC BD ACBD中左、 右兩個(gè)側(cè)面的距離，也即平行四邊形AC BD的對(duì)邊AD ,C B的距離，所以對(duì)棱 AD和BC的距離是l S .i x S 同理可得BD和AC, AB和CD之間的距離分別為l2 -13 z. 2,3y證畢.題10 求證：若四面體 ABCD有兩組對(duì)棱互相垂直（則可證得其三組對(duì)棱均互相垂直 ）, 且 BC a, AC b,AB c,AD d,則（1）可把該四面體放置在如圖17所示的所有棱長(zhǎng)均相等的平行六面體 ACBD ACBD 中：li(2) BD ,a2對(duì)棱 AD2Sh-r,l2ad圖172 a< Ic2 db2 d2,

14、CD和 BC , BD 和2Shd2,l3ca22ShAB 和 CD 之間的距離分d2 la2,S s(s a)(s b)(s c),sa b c l16S2 (a2 b2 c2)(a2 b22, a8aSc2)證明略.(2)由平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于各邊的平方和，可得222,2,22進(jìn)而可得欲證結(jié)論成立.(3)設(shè)ABC的垂心為點(diǎn)如圖18所示，分別以邊c CD a d b BDH.BC和BC上的高所在的直線為 x軸和y軸建立平面直角坐標(biāo)系xOy .圖18可設(shè) A(0, X0), B(y0,O),C(Z0,O)，得 z y0a,Xo2Zo2 2 b ,Xo2 V。解得2Sxo ，y。a.222b c ao ,Z02a.22b c2a得直線又直線a)(sAC:BHb)(s c),s4Sy b2 c2 a2 x2aAC,所以直線BH :b2 c24sb22 c2a可得H222222、。(a b c )(a b c ),8aS進(jìn)而可彳#垂心 H到頂點(diǎn)A的距離為la2,2,222,22、16S(abc )(abc )8as如圖19所示，設(shè)