三角函數(shù)圖像與性質(zhì)課件

1、精品教學(xué)課件設(shè)計(jì)| Excellent teaching planX軸上的點(diǎn)x重合;由于y cosx cos( x) sin萬(x) sin(x )，所以余弦函數(shù)y cosx ，R與函數(shù) y sin(x ) , x R 2是同一個(gè)函數(shù)；這樣，余弦函數(shù)的圖象可由：正弦曲線向左平移_個(gè)單位得到，即:自變量x02322sinx01010函數(shù)值y12101(2)y sin x 1 , x 0,2 .函數(shù)y sin xy cosx函數(shù)y sin xy cosx定義域x Rx R值域1,11,14.正弦、余弦函數(shù)的定義域、值域1.3.2三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)1 .利用單位圓中正弦線作正弦函數(shù)圖象作法：(幾何

2、作法)(1)在直角坐標(biāo)系的 X軸上任取一點(diǎn) 。1,以O(shè)i為圓心作單位圓，從。O1與x軸的 交點(diǎn)A起，把O。1分成12等份，過 。1上各點(diǎn)作x軸的垂線，可得對(duì)應(yīng)于0, , ,L ,2等角的正弦線；6 3 2(2)把X軸上0 2這一段分成12等份，把角X的正弦線向右平行移動(dòng)，使正弦線的起點(diǎn)與(3)用光滑曲線把這些正弦線的終點(diǎn)連結(jié)起來，就得到正弦函數(shù)y sinx, x 0,2 的圖象。因?yàn)榻K邊相同的角的函數(shù)值相同，所以，函數(shù)y sinx, x 2 k ,2( k 1) ( k Z)且 k 0 的圖象與函數(shù)y sinx, x 0,2 的圖象向左、y sinx, x 0,2 的圖象的形狀完全相同，只是位

3、置不同，于是只要將函數(shù)右平移，就可得到函數(shù) y sinx, x R的圖象。2 .余弦函數(shù)的圖象5 .正切函數(shù)y tan x的定義域是什么?6 .正切函數(shù)是不是周期函數(shù)?Q tan xtanx x R,且x k ,k z , 27 .作 y tanx,是 y tan是不是正切函數(shù)的最小正周期？下面作出正切函數(shù)圖象來判斷。n11-,的圖象2 2的一個(gè)周期。說明：(1)正切函數(shù)的最小正周期不能比 小，正切函數(shù)的最小正周期是(2)根據(jù)正切函數(shù)的周期性，把上述圖象向左、右擴(kuò)展，得到正切函數(shù)tan x xR,且 x 2圖象，稱正切曲線(3)由圖象可以看出，正切曲線是由被相互平行的直線所隔開的無窮多支曲線組

4、成的。(1)定義域：x | x(2)值域：R時(shí)，tan x 2觀察：當(dāng)x從小于2精品教學(xué)課件設(shè)計(jì)| Excellent teaching plan當(dāng)x從大于k k z，x k時(shí)，tan x。22(3)周期性：T ;(4)奇偶性：由tan x tan x知，正切函數(shù)是奇函數(shù)；(5)單調(diào)性：在開區(qū)間 _ k _ k k z內(nèi)，函數(shù)單調(diào)遞增。2 2例1 :求下列函數(shù)的定義域：(1) y cos(x ) ；(2) y gin x(3) y，25 x2 lgsin x例2:求使下列函數(shù)取得最大值的自變量x的集合，并說出最大值是什么？(1) y cosx 1 , x R;(2) y sin 2x, x R

5、.例3:求下列函數(shù)的值域:(1) y1sin2 x 1(2) ysin xsin x 2例4：求函數(shù) y sin x cosx的值域。例5：求函數(shù)y J3cosx sin x的值域。例6:求函數(shù)y 3 4sin x 4cos?x的最大值和最小值，并寫出函數(shù)取最值時(shí)對(duì)應(yīng)的x的值。例7：求函數(shù) y sin x cosx sin x cosx的值域。例8：如圖，有一快以點(diǎn)。為圓心的半圓形空地，要在這塊空地上劃出一個(gè)內(nèi)接矩形ABCD辟為綠地，使其一邊 AD落在半圓的直徑上，另兩點(diǎn) B、C落在半圓的圓周上，已知 半圓的半徑長(zhǎng)為a,如何選擇關(guān)于點(diǎn) O對(duì)稱的點(diǎn)A、D的位置，可以使矩形 ABCD的 面積最大？

6、31例9：已知函數(shù)y a bcos3x (b 0)的最大值為 一，最小值為 一，求函數(shù)y 4a sin3 bx的最大值和最小值。22例10：已知函數(shù)y 2asin2x acos2x a b的定義域是0,值域是5,1,求常數(shù)a,b .(2) y tan 3x 一 6例11：求下列函數(shù)的周期：(1) y 3tan x 一例12：求函數(shù)y tan 3x 一 的定義域、值域，指出它的周期性、奇偶性、單調(diào)性，并說明它的圖象可以由正切曲 3線如何變換得到。例13：用圖象求函數(shù) y , tanx , 3的定義域。例 14. 'tanx 0”是 x 0”的 條件。例15.與函數(shù)y tan 2x 一 的

7、圖象不相交的一條直線是()4Ax - B x C x -Dx 2248例16.函數(shù)y J1tan x的定義域是().例 17.函數(shù) y tan1例2回出函數(shù)y sin 2x , x R, y sin -x, x R的函數(shù)簡(jiǎn)圖。 x tan x 1 x k 一，k Z 的值域是（）.2例18.函數(shù)y tanx cot x的奇偶性是（），周期是（）.1.3.3函數(shù)y Asin（ x ）的圖象1. y Asin x型函數(shù)的圖象一般地，函數(shù)y Asinx, x R（A 0, A 1）的圖象可看作把正弦曲線上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（ A 1時(shí)）或縮短（A 1時(shí)）到原來的A倍（橫坐標(biāo)不變的情況下） 而得到，因

8、此，y Asinx, x R的值域是A, A,最大值為A, 最小值為 A .2. y sin x型函數(shù)的圖象一般地，函數(shù)y sin x, x R （0,1）的圖象可以看作把正弦曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短（1時(shí)）或1伸長(zhǎng)（01時(shí)）到原來的 次數(shù)f ,稱為振動(dòng)的頻率。x 稱為相位，x 0時(shí)的相位稱為初相。T 25.圖象的變換一般地，函數(shù)y Asin（ x ）, x R的圖象（其中 A 0,0）的圖象，可看作由下面的方法得到：把正弦曲線上所有點(diǎn)向左（當(dāng)0時(shí)）或向右（當(dāng) 0時(shí)）平行移動(dòng)| |個(gè)單位長(zhǎng)度；1 ，、再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短（當(dāng)1時(shí)）或伸長(zhǎng)（當(dāng)01時(shí)）到原來的一倍（縱坐標(biāo)不變）；再把所得各點(diǎn)的縱

9、坐標(biāo)伸長(zhǎng)（當(dāng) A 1時(shí)）或縮短（當(dāng)0 A 1時(shí)）到原來的A倍（橫坐標(biāo)不變）。 即先作相位變換，再作周期變換，再作振幅變換。1 -例1回出函數(shù)y 2sinx, x R, y -sin x, x R,的簡(jiǎn)圖。倍（縱坐標(biāo)不變的情況下）而得到的。3. y sin（ x ）型的函數(shù)圖象一般地，函數(shù)y sin（x ）（0）, x R的圖象，可看作把正弦曲線上所有點(diǎn)向左（0時(shí)）或向右（0時(shí)）平行移動(dòng)| |個(gè)單位而得到。4. A,的物理意義當(dāng)y Asin（ x ） , x 0,）（其中A 0,0）表示一個(gè)振動(dòng)量時(shí)，A表示這個(gè)量振動(dòng)時(shí)離開平衡位置的2最大距離，通常稱為這個(gè)振動(dòng)的振幅，往復(fù)振動(dòng)一次需要的時(shí)間 T

10、稱為這個(gè)振動(dòng)的周期，單位時(shí)間內(nèi)往復(fù)振動(dòng)的例3 畫出函數(shù) y sin(x ) , x R, y sin(x ), x R 的簡(jiǎn)圖。34例4畫出函數(shù)y 3sin(2x )的簡(jiǎn)圖。31 .根據(jù)函數(shù)圖象求解析式例1 ：已知函數(shù)y Asin( x1.3.4函數(shù)y Asin( x )的解析式)(A 0,0) 一個(gè)周期內(nèi)的函數(shù)圖象，如下圖所示，求函數(shù)的一個(gè)解析式。2.由已知條件求解析式例2：已知函數(shù)y Acos( x)(A0,0, 0)的最小值是 5,圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)相差一，且圖象經(jīng)過點(diǎn)4(0, J，求這個(gè)函數(shù)的解析式。例3：已知函數(shù)y Asin( x0 ,0 , | |)的最大值為2，

11、2 ,最小值為 J2 ,周期為3且圖象過點(diǎn)(0, ),求這個(gè)函數(shù)的解析式。4精品教學(xué)課件設(shè)計(jì)| Excellent teaching plan2t212例1解:(1) x3R,x R；(2) sinx 0, . x 2k ,2k(k Z)；(3)25 x2 0例2解:sin x 02kx 2k x 5,)U0,(k Z)(1)使函數(shù)ycosx 1x R取得最大值的x的集合，就是使函數(shù) ycosx, x R取得最大值的x的集合x|x 2k ,k Z,所以，函數(shù) y cosx 1, xR的最大值是112.(2)令Z 2x ,那么xR必須并且只需z且使函數(shù)yR取得最大值的 z的集合是z| z - 2

12、k ,k2Z,由 2x z - 2k 2即：使函數(shù)y sin2x, x R取得最大值的x的集合是x|xZ,函數(shù)的最大值是1.例 3 解：(1)0.2sin x2 1 sin x 12,1所以,值域?yàn)?叫 y 1.例4解:例5解:例6解:(2)sin x1 sinx 1,11、一,所以，值域?yàn)閥 | 1 y .33sin xcosx、2sin(xsin(x4,2sin( x函數(shù)sin x cosx 的值域是J2?J2.3 3 cosx sin x 2(32sin(x ) 1 , 24y 3 4sinsinx,則1-t 一，即 x2例7解：令sin x一 1-cosx sin 22sin( x )

13、x)2,2sin(x所以，函數(shù),22x 4cos x 4sin x 4sin1 t 1, . y 4(t -)22,52k或x 2k62k ( k Z )時(shí),cosx t,貝U sin x cosxymax4(sin x1 t 1),3)2)2Z)時(shí)，yminJ3cosx sinx 的值域?yàn)?,2.2,精品教學(xué)課件設(shè)計(jì)| Excellent teaching plan3tan 3x 的圖象。3又: t sin x cosx72sin(x ), 42 t ,2,1 時(shí)，Ymin1,當(dāng)t亞時(shí)，ymax 2詆2收2所以，函數(shù) y sin xcosxsin x cosx 的值域?yàn)?,2 22.例8解：

14、設(shè) AOB ，則ABa sin , OA a cos , S asin22acos a 2sin cos當(dāng)sin2取得最大值1時(shí),S取得最大值a2,此時(shí),一，OA4答：A、D應(yīng)該選在離。點(diǎn)之a(chǎn)處，才能使矩形 ABCD的面積最大,最大面積為例9解：ya bcos3x ( b0)當(dāng) cos3x1 時(shí)，ymax當(dāng) cos3x 1 時(shí)，ymin12,由得sin 3x2sin 3x ,所以，當(dāng) sin3x1時(shí),ymax2 ,當(dāng) sin3x 1 時(shí)，ymin2 .例10解:2y 2asin xacos2xa(1cos2x) a cos2x2a 2a cos2x bx 0,-, 2x 0,cos2x 1 ,

15、0,則當(dāng) cos2x1時(shí)函數(shù)取得最大值1,當(dāng) cos2x1時(shí)函數(shù)取得最小值5 ,4a b 1解得:3 a2 ,b 50時(shí),則當(dāng)cos2x1時(shí)函數(shù)取得最大值cos2x1時(shí)函數(shù)取得最小值5,4a解得:所以,例 11 (1)答:。（2）例12解：由3x所求定義域?yàn)閗18 318答:一 。y Atan 30,0的周期T一得x2k 5x |x R,且x ,k z318值域?yàn)镽,周期T 一,是非奇非偶函數(shù)，在區(qū)間3z上是增函數(shù)。將 y tanx圖象向右平移一個(gè)單位，得到y(tǒng) tan3x 一的圖象；再將31八tan x 的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊槐叮v坐標(biāo)不變），就得到函數(shù)y33精品教學(xué)課件設(shè)計(jì)| E

16、xcellent teaching plan例13解：由tanx 串 0得tanx J3,利用圖象知，所求定義域?yàn)閗 -,k - k Z ,亦可利用單位32圓求解。x02322sin x010102sin x020201- -sin x2020120例1解：先畫出它們?cè)?,2 上的圖象，再向左右擴(kuò)展,例18奇函數(shù)一2346由圖可知，對(duì)于同一個(gè) x, y 2sinx, x 0,2 的圖象上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)等于y sin x , x 0,2 的圖象上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)的2倍，因此，y 2sinx,x R的圖象可以看作正弦曲線上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍（橫坐標(biāo)不變的情況下）而得到的。-sin x, x

17、R的圖象的情況也類似：縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?（橫坐標(biāo)不變情況下）22x042342x02322sin2x01010例2解：先畫出它們?cè)谝粋€(gè)周期內(nèi)的圖象，再向左、右擴(kuò)展,x02341-x2023221 sin-x01010例3解：由函數(shù)圖象的平移知:y精品教學(xué)課件設(shè)計(jì)| Excellent teaching plansin(x 一), x3R的圖象可看作y sin x , xR的圖象向左平移 一個(gè)單位得到;3sin(x ), x4R的圖象可看作y sin x , xR的圖象向右平移 一個(gè)單位得到?？傻脠D象如下:4,先畫出它在長(zhǎng)度為一個(gè)周期內(nèi)x6123712562x 3023223sin(2 x -)

18、03030例4解:函數(shù)的周期為T函數(shù)y 3sin(2 x )的圖象可看作由下面的方法得到的: 32的閉區(qū)間上的簡(jiǎn)圖，再左右拓展即可，先用五點(diǎn)法畫圖:sin(x )的圖象上；再把圖象上所點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮 3y sin x圖象上所有點(diǎn)向左平移一個(gè)單位，得到3，一，1 r ，短到原來的L,得到y(tǒng) sin(2x 2的圖象。問題：以上步驟能否變換次序？一)的圖象；再把圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的3倍，得到y(tǒng) 3sin(2 x -)33- y 3sin(2 x )3sin 2(x 一),所以，函數(shù) y 3sin(2 x )的圖象還可看作由下面的方法得到的: 63y sin x圖象上所點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的1,得到函數(shù)y sin 2x的圖象；再把函數(shù) y sin2x圖象 2上所有點(diǎn)向左平移 一個(gè)單位，得到函數(shù) y sin 2(x6-)的圖象；再把函