二重積分的概念與性質(zhì)教案

1、7.1二重積分的基本概念(教案)主講人：孫杰華教學(xué)目的：理解二重積分的概念、性質(zhì)教學(xué)重難點：二重積分的概念、二重積分的幾何意義.教學(xué)方法：講授為主教學(xué)內(nèi)容：一、二重積分的概念1.曲頂柱體的體積設(shè)有一空間立體C,它的底是xoy面上的有界區(qū)域D,它的側(cè)面是以D的邊界曲線為準(zhǔn)線,而母線平行于z軸的柱面,它的頂是曲面z=f(x.y),稱這種立體為曲頂柱體.與求曲邊梯形的面積的方法類似，我們可以這樣來求曲頂柱體的體積V:(1)用任意一組曲線網(wǎng)將區(qū)域D分成n個小區(qū)域A叫，Ao2,1*,gn,以這些小區(qū)域的邊界曲線為準(zhǔn)線，作母線平行于z軸的柱面，這些柱面將原來的曲頂柱體G分劃成n個小曲頂柱體AC1,iQ2,

2、，&Cn.(假設(shè)叫所對應(yīng)的小曲頂柱體為AQi,這里啊既代表第i個小區(qū)域，又表示它的面積值，nGi既代表第i個小曲頂柱體，又代表它的體積值.)，從而V=£ACi.id圖7.1(2)由于f(x,y)連續(xù)，對于同一個小區(qū)域來說，函數(shù)值的變化不大.因此，可以將小曲頂柱體近似地看作小平頂柱體，于是,.一f(i,i)二i,(-(i,i).(3)整個曲頂柱體的體積近似值為nV八f(i,i)二i.i1(4)為得到v的精確值，只需讓這n個小區(qū)域越來越小，即讓每個小區(qū)域向某點收縮.為此，我們引入?yún)^(qū)域直徑的概念：一個閉區(qū)域的直徑是指區(qū)域上任意兩點距離的最大者所謂讓區(qū)域向一點收縮性地變小，意指讓區(qū)域

3、的直徑趨向于零.設(shè)n個小區(qū)域直徑中的最大者為九，則nV=limjf(i,i)：二i,(i,i).：二i.2 .二重積分的定義設(shè)f(x,y層閉區(qū)域D上的有界函數(shù)，將區(qū)域D分成個小區(qū)域；：二1,2H,',其中，Atii既表示第i個小區(qū)域，也表示它的面積，九i表示它的直徑.mmmax7/&,)三也叼，作乘積f(J)仃i(i=1,2|,n),n作和式2“,2)%,i1n若極限ljmZf(l產(chǎn)i戶存在，則稱此極限值為函數(shù)f(x,y)在區(qū)域D上的二重積分，記作fff(x,y)d。.即Dnf(x,y)d。=Um£f產(chǎn)i)%D'QT其中：f(x,y)稱之為被積函數(shù)，f(x,y

4、)d。稱之為被積表達(dá)式，d。稱之為面積元素，x,y稱之為積分變量，D稱之為積分區(qū)域3 .對二重積分定義的說明:n極限lim£f(。，、心巧的存在與區(qū)域D的劃分及點(匕,)的選取無關(guān)。)0(2)仃中的面積元素da象征著積分和式中的Aoi .圖7.2由于二重積分的定義中對區(qū)域D的劃分是任意的，若用一組平行于坐標(biāo)軸的直線來劃分區(qū)域D,那么除了靠近邊界曲線的一些小區(qū)域之外，絕大多數(shù)的小區(qū)域都是矩形，因此，可以將d。記作dxdy(并稱dxdy為直角坐標(biāo)系下的面積元素),二重積分也可表示成為fx,ydxdy.D(3)二重積分的存在定理若f(x,y取閉區(qū)域D上連續(xù)，則f(x,y)在D上的二重積分存

5、在.注在以后的討論中，我們總假定在閉區(qū)域上的二重積分存在.若f(x,y戶0,二重積分表示以f(x,y)為曲頂，以D為底的曲頂柱體的體積.練習(xí)：利用二重積分的幾何意義求Hja2-x2-y2d。,其中D:x2+y2Wa2。D二、二重積分的性質(zhì)二重積分與定積分有相類似的性質(zhì)性質(zhì)1(線性性)二fx,y-gx,yd；-：fx,yd-Tugx,yd,DDD其中：a,P是常數(shù).性質(zhì)2(對區(qū)域的可加性)若區(qū)域D分為兩個部分區(qū)域D1,D2,則口f(x,y)db=Hf(x,y)d。十Hf(x,y)d。DDiD2性質(zhì)3若在D上，f(x,y)三1,a為區(qū)域D的面積,則二-1de-=d二.DD幾何意義：高為1的平頂柱體的體積在數(shù)值上等于柱體的底面積.練習(xí)：求55dxdy。x2y*性質(zhì)4若在D上，f(x,y戶中(x,y),則有不等式fx,yde一x,yd-DD特別地,由于一f(x,y)Mf(x,yf(x,y),有JJf(x,y)d。一川f(x,y)|d。.DD練習(xí)：P119,1性質(zhì)5(估值不等式)設(shè)M與m分別是f(x,y)在閉區(qū)域D上最大值和最小值，。是M的面積，則me一fx,yd；：-M二.D練習(xí)：P119,3性質(zhì)6(二重積分的中值定理)設(shè)函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域