五年級長方體與正方體

1、一、長方體和正方體的認(rèn)識【知識點(diǎn)1】 要素立體圖形棱面頂點(diǎn)數(shù)量特征數(shù)量特征數(shù)量特征長方體12互相平行的棱長度相等6相對的面完全相同8同一個頂點(diǎn)引出的三條棱分別叫做長、寬、高特殊長方體12垂直于正方形面的棱長度相等6兩個面是正方形，其余四個面是完全相同的長方形8正方體12所有的棱長度都相等6所有面都是正方形且完全相同8一個長方體至少可以有兩個面是正方形，最多可以有6個面是正方形，但不會存在3個、4個、5個面是正方形！練習(xí)：判斷并改正： 長方體的六個面一定是長方形； ( ) 一個長方體(非正方體) 最多有四個面面積相等； ( ) 相交于一個頂點(diǎn)的三條棱相等的長方體一定是正方體。 ( ) 一個長方體

2、中，可能有4個面是正方形。（  ） 有兩個面是正方形的長方體一定是正方體。( ) 有兩個相對的面是正方形的長方體，另外四個面的面積是相等的。（ ）長方體（不包括正方體）除了相對的面相等，也可能有兩個相鄰的面相等。（ ） 一個長方體中最少有4條棱長度相等，最多有8條棱長度相等。（ ）把長方體放在桌面上，最多可以看到（ ）個面。最少可以看到（ ）個面?！局R點(diǎn)2】棱長和公式：長方體棱長和=（長+寬+高）×4 長+寬+高=棱長和÷4 正方體棱長和=棱長×12 棱長=棱長和÷12棱長和的變形：例如：有一個禮盒需要用彩帶捆扎，捆扎效果如圖，打結(jié)部分需要1

3、0厘米彩帶，一共需要多長的彩帶？3020cm20cm 分析：本題雖然并未直接提出求棱長和，但由于彩帶的捆扎是和棱相互平行的， 因此，在解決問題時首先確定每部分彩帶與那條棱平行，從而間接去求棱長和。 需要彩帶的長度=高×4+長×2+打結(jié)部分長度 20×4+30×2+10=150cm練習(xí)：（A） 一個長方體的棱長總和是 80厘米，其中長是 10厘米，寬是 7厘米，高是（ ）厘米。（B） 把兩個棱長 1厘米的正方體拼成一個長方體，這個長方體的棱長總和是（ ）厘米。（C） 至少需要（   ）厘米長的鐵絲，才能做一個底面周長是18厘米，高3厘米

4、的長方體框架。一個長方體長 12厘米寬 8厘米高 7厘米，把它切成一個盡可能大的正方體，這個正方體的棱長是（ ）。（D） 一只魚缸，棱長和為280cm，其中，底面周長為50cm，右面周長為40cm，前面周長為50cm，魚缸的長、寬、高各是多少？【知識點(diǎn)3】確定長方體中每個面的形狀以及長、寬、高分別是多少。根據(jù)習(xí)慣我們一般認(rèn)為在一個平面中水平方向的為長，垂直方向的為高。根據(jù)這一習(xí)慣我們我們只需找到需要的面并根據(jù)習(xí)慣確定長和寬即可。練習(xí)：一個長方體的長、寬、高分別是8、6、4米，它的前后的面的面積是（ ），左右的面的面積是（ ），上下的面的面積是（ ）?！局R點(diǎn)4】折疊可以組合成正方體: 經(jīng)過折疊

5、可以組合成長方體：練習(xí)：下列三個圖形中，能拼成正方體的是（ ）       【知識點(diǎn)5】長方體或正方體的切割組合對棱長的影響（1）切割將長方體橫向切割成兩個長方體后，棱長將比原來一個長方體時增加4條長和4條寬；（棱長增加的最長）將長方體豎向切割成兩個長方體后，棱長將比原來一個長方體時增加4條寬和4條高；（棱長增加的最短）將正方體沿?zé)o論沿那個方向切割成兩個長方體后，棱長將比原來增加8條棱。（2） 組合將兩個完全相同的長方體沿上下面組合后，棱長比原來兩個長方體時減少4條長和4條寬；（棱長減少的最多）將兩個完全相同的長方體沿前后面組合后，棱長比原來兩

6、個長方體時減少4條長和4條高；將兩個完全相同的長方體沿左右面組合后，棱長比原來兩個長方體時減少4條寬和4條高；（棱長減少的最少）將兩個完全相同的正方體沿上下面組合后，棱長比原來兩個正方體時減少8條棱；依次類推將三個完全相同的正方體沿上下面組合后，棱長比原來三個正方體時減少16條棱，四個組合減少24條棱，五個組合減少32條（公式：8×（N1）例如：將五個完全相同的正方體組合成一個長方體后，棱長和為140厘米，原來每個正方體的棱長和是多少？分析：五個正方體棱長共有12×5=60條； 將五個完全相同正方體組合后棱長比原來減少32條，還剩60-32=28條； 即這28條棱的長度和即

7、為新長方體的棱長和，所以正方體一條棱的長度為：140÷28=5cm； 所以一個正方體的棱長和為：5×12=60cm?！局R點(diǎn)6】小正方體拼大正方體的規(guī)律由于正方體，每條棱的長度相等，所以要用小的正方體拼出大的正方體每條棱上擺放的小正方的個數(shù)應(yīng)該是相等的，因此要拼出最小的正方體至少需要2×2×2=23=8個（也就是說每條棱上放2個小正方體），接著再往大了拼正方體，就是每條棱上放3個小正方體即3×3×3=33=27個，依次類推接下來是4×4×4=43=64個；5×5×5=53=125個小正方體拼大長

8、方體的規(guī)律規(guī)律同正方體，首先觀察大長方體各棱長分別是小正方體棱長的幾倍，如，長方體長是小正方體棱長的a倍，寬是小正方體棱長的b倍，高是小正方體棱長的c倍，則，大長方體就是由a×b×c個小正方體組成的。練習(xí)：（1）用棱長為1厘米的小正方體拼一個棱長為6厘米的大正方體需要（ ）個小正方體。（2）用棱長為3厘米的小正方體拼棱長為9厘米的大正方體需要（ ）個小正方體。 A、8個 B、27個 C、26個 D、64個（3） 用棱長為2厘米的小正方體拼一個稍大一些的正方體至少需要（ ）個小正方體。 A、4個 B、8個 C、16個 D、27個（4） 下列有一些數(shù)量的棱長為1厘米的小正方體，

9、哪些數(shù)量可以拼成較大的正方體。（ ） A、27個 B、4個 C、1個 D、8個 E、32個 F、125個 （5） 一個長方體的長寬高分別是18、12、9，如果用棱長為3的小正方拼一個這樣的長方體，一共需要（ ）塊這樣的小正方體。（6） 用（ ）個棱長為4cm的小正方體可以拼出一個長為16cm，寬和高均為8cm的長方體。（7）一個長方體的盒子里面長5分米，寬4分米，深3分米，放棱長為5厘米的正方體小木塊共可以放（ ）塊。2、 長方體和正方體的表面積【知識點(diǎn)1】 長方體表面積=（長×寬+長×高+寬×高）×2 =（a×b+a×c+b

10、5;c）×2正方體表面積=棱長×棱長×6=a×a×6=6a2兩個棱長和相等的長方體或一個長方體和一個正方體，表面積不一定相等！表面積相等的兩個長方體或一個長方體和一個正方體，棱長和也不一定相等！ 練習(xí)：（1） 一個正方體的棱長總和是48分米，它的棱長是（ ），表面積是（ ）。（2） 一個長方體長6厘米，寬4厘米，高3厘米。這個長方體上下兩個面的面積各是（   ）平方厘米，前后兩個面的面積各是（   ）平方厘米，左右兩個面的面積各是（   ）平方厘米，表面積是（  

11、）平方厘米。（3） 判斷題：長方體的表面積一定比正方體的表面積大。 ( ) （4） 把一個棱長為6米的正方體分成兩個大小、形狀相同的長方體，每個長方體的表面積是（     ）。（5）一個長方體側(cè)面積是360平方厘米，高是9厘米，長是寬的1.5倍，求它的表面積。【知識點(diǎn)2】長方體表面求法的變形：1 貼商標(biāo)類型：只求四周面積。2 游泳池類型：只求四周和底面。3 抽紙盒類型：六個面面積減去缺口面積。 4 占地面積問題：只求底面面積。練習(xí)：（1） 一個通風(fēng)管的橫截面是邊長是0.5米的正方形,長2.5米.如果用鐵皮做這樣的通風(fēng)管50只,需要多少平方米的鐵皮? （2

12、） 一個房間的長6米，寬3.5米，高3米，門窗面積是8平方米。現(xiàn)在要把這個房間的四壁和頂面粉刷水泥，粉刷水泥的面積是多少平方米？如果每平方米需要水泥4千克，一共要水泥多少千克？ （3） 一只魚缸，棱長和為280cm，其中，底面周長為50cm，右面周長為40cm，前面周長為50cm，這只魚缸的占地面積是多少平方厘米？（4） 一塊長方形鐵皮長60厘米，寬40厘米，如 圖， 從四個角上剪去邊長是10厘米的正方形，然后做成盒子，這個盒子的表面積是多少平方厘米？（6）一個無蓋正方體鐵桶內(nèi)外進(jìn)行涂漆，涂漆的是（ ）個面.【知識點(diǎn)3】棱長變化對表面積的影響：Ø 正方體正方體的棱長擴(kuò)大n倍，其棱長和

13、也擴(kuò)大n倍，表面積擴(kuò)大n2倍，體積擴(kuò)大n3倍。Ø 長方體長方體的長寬高同時擴(kuò)大n倍，其棱長和也擴(kuò)大n倍，表面積擴(kuò)大n2倍，體積擴(kuò)大n3倍。長方體的長擴(kuò)大a倍，寬擴(kuò)大b倍，高擴(kuò)大c倍，棱長和變化無規(guī)律，表面積變化也無規(guī)律，體積擴(kuò)大a×b×c倍。練習(xí)：（1）正方體的棱長縮小5倍，它的體積就縮?。?#160;      ）倍（2）一個長方體的長、寬、高都擴(kuò)大4倍，它的表面積就（ ）。（3）一個正方體的棱長為4厘米擴(kuò)大為2倍后，其棱長和為（ ）厘米，表面積為（ ）平方厘米比原來擴(kuò)大了（ ）。（4）一個長方體長擴(kuò)大2倍，高擴(kuò)

14、大4倍，體積擴(kuò)大（ ）倍。（5）大正方體的表面積是小正方體的4倍，那么大正方體的棱長是小正方體的（）；大正方體棱長之和是小正方體的（ ） A.2倍 B.4倍 C.6倍 D.8倍 【知識點(diǎn)4】n 立體圖形的切割：（切割會使表面積增加，因此存在表面積增加最多或最少的問題）Ø 長方體沿與原來長方體最大面平行的方向切割，其表面積比原來增加的最多。沿與原來長方體最小面平行的方向切割，其表面積比原來增加的最少。而且每切一刀增加兩個完全相同的面，切兩刀增加四個完全相同的面，依次類推。Ø 正方體無論沿那個面平行的方向切，都將增加兩個正方形的面，增加的面積均為2a2不存在增加最多最少的問題。

15、例如：兩盒磁帶有三種不同的包裝方式，你說哪一種最省包裝紙？ 要求最省包裝紙，即表面積最小，也就是表面積比原來單獨(dú)包裝時減少的表面積最多，根據(jù)規(guī)律應(yīng)該選擇第一種包裝方式。練習(xí)：（1）把一根長2米的方木（底面是正方形）鋸成三段，表面積增加5.76平方分米，原來這根方木的底面積是多少平方分米？（2）一根1.8m長的木材，鋸成三個完全相同的正方體后，表面積比原來增加多少平方厘米？（3）一個長方體長為1.5分米，寬為0.5分米，高位1分米，鋸三刀之后之后可以鋸成6個完全相同的正方體，每個正方體的表面積是多少？這時表面積之和比原來增加多少？（4）把一個長18厘米，寬12厘米，高6厘米的長方體木塊截成兩個表

16、面積相等的長方體，表面積最小的長方體的表面積是多少？表面積最大的長方體的表面積是多少？n 從一個長方體中切出一個最大的正方體問題應(yīng)該以長方體中最短的棱作為切出正方體的棱長，這樣的正方體將是能切出的最大正方體，否則切出的將不是正方體。分析：以最短的棱為正方體的棱長，即以高為2cm的棱為正方體的棱長，那么正方體的棱長和為：2×12=24cm。切去正方體后所剩部分的長為4-2=2cm，寬為3-2=1cm，高仍為2cm，因此所剩部分表面積為：（2×1+2×2+1×2）×2=16cm2。例如：在一個長是4厘米，寬為3厘米，高為2厘米的長方體中切出一個最大

17、的正方體，該正方體的棱長和是多少？剩余部分的表面積是多少？ 練習(xí)：是由棱長是2厘米的小正方體拼成的立體圖形，求這個立體圖形的表面積。如果拿掉帶陰影部分的2個小正方體，它的表面積是多少 ？ 【知識點(diǎn)7】單位換算長度單位：mm、cm、dm、m 相鄰兩個單位進(jìn)率為10面積單位：mm2、cm2、dm2、m2 相鄰兩個單位進(jìn)率為100體積單位：mm3、cm3、dm3、m3 相鄰兩個單位進(jìn)率為1000容積單位：ml、l 相鄰兩個單位進(jìn)率為1000特別的：1ml=cm3 1l=1dm3 不是同一類型的單位，數(shù)據(jù)不能比較大小，同一類型的單位中右邊的單位比左邊的單位大。大單位化小單位乘以進(jìn)率，小單位化大單位除以

18、進(jìn)率。高級單位進(jìn)率×高級單位的數(shù)低級單位低級單位的數(shù)÷進(jìn)率三、長方體和正方體的體積【知識點(diǎn)1】容積與體積基本概念體積是指所占空間的大??；容積是指所容納物體的體積；一個物體的容積一般都比它的體積小。當(dāng)容器壁厚度忽略不計(jì)時體積=容積；否則容積<體積。體積計(jì)算方法：長方體的體積=長×寬×高正方體的體積=棱長×棱長×棱長體積相等的兩個長方體或者一個長方體與一個正方體，表面積不一定相等，棱長和也不一定相等。體積相等的兩個正方體，表面積一定相等，棱長和也一定相等。體積相等的情況下正方體的表面積比長方體的?。槐砻娣e相等的情況下正方體的體積比長

19、方體的體積大。練習(xí)：（1） 判斷： 體積單位比面積單位大，面積單位比長度單位大 （       ） 正方體和長方體的體積都可以用底面積乘高來進(jìn)行計(jì)算（      ） 表面積相等的兩個長方體，它們的體積一定相等  （     ） 長方體的體積就是長方體的容積  （     ）（2）一個菜窖能容納6立方米白菜，這個菜窖的（    

20、）是 6立方米（3）將一個正方體鋼坯鍛造成長方體，正方體和長方體（         ） 體積相等，表面積不相等體積和表面積都不相等表面積相等，體積不相等（4）長方體的長為12厘米，高為8厘米，陰影部分的兩個面的面積和是200平方厘米，這個長方體的體積是多少立方厘米？（5）一個長方體的沙坑裝滿沙子，這個沙坑長3米，寬1.5米，深2米，每立方米沙子重1400千克，這個沙坑里共裝沙子多少噸？（6）一個長方體，其中三個面的面積分別是15平方厘米，20平方厘米，12平方厘米，這個長方體的體積是多少立方厘米？【知識點(diǎn)2】體積大

21、小的比較對于液體可以直接比較體積的大小，如果液體體積小于容器既可以裝得下，如果大于容器體積則裝不下。對于固體而言，在體積小于容器體積的前提下，還需要比較物體的長寬高于容器的長寬高，只有物體的長寬高都小于或等于容器的長寬高時才可以將物體裝入容器。例如：有一個長為8分米，高位5分米，體積為240平方分米的硬紙盒，有一件陶瓷長為7.4分米，高位4分米，寬為6.5分米，是否可以放入該容器？分析：單純計(jì)算容器和陶瓷的體積我們可以發(fā)現(xiàn)：陶瓷體積<硬紙盒體積。但這并不意味著瓷器就可以裝進(jìn)盒子。 我們還需要觀察陶瓷長寬高于容器長寬高的大小。 通過計(jì)算硬紙盒的長=8分米 寬=240÷（8

22、5;5）=6分米 高=5分米 陶瓷的長=7.4分米 寬=6.5分米 高=4分米 由此可以發(fā)現(xiàn)陶瓷的寬比盒子的寬大，所以即使在體積小于盒子的前提下，仍然是裝不進(jìn)去的。練習(xí)：（1） 有一個長方形玻璃魚缸長為5分米，寬為3分米，高為3分米里面裝有2.5分米高的水，現(xiàn)在需要將該該魚缸內(nèi)的水倒入一個棱長為3.5分米的正方體魚缸中，請問是否可以裝得下這么多水？如果裝得下正方體魚缸內(nèi)的水有多高？（2） 有一個長方體的硬紙盒，長為11分米，寬為15分米，高為6分米，現(xiàn)將一個長為12分米，寬為10分米，高為5分米長方體的禮品放入該盒子中，是否可以裝的進(jìn)去？【知識點(diǎn)4】砌墻類問題例如：養(yǎng)殖場需要砌一堵長為30米，

23、寬為24厘米，高位2.5米得墻，需要用長為30厘米，寬為15厘米，厚為5厘米的磚大約多少塊？分析：首先我們需要將墻的體積算出=3000厘米×24厘米×250厘米=18000000平方厘米 其次我們需要將每塊磚的體積算出=30厘米×15厘米×5厘米=2250立方厘米 我們只需要計(jì)算這堵墻的體積相當(dāng)于每塊磚體積的多少倍即為所需要磚的數(shù)量=18000000÷2250=8000（塊）練習(xí)：（1） 一段圍墻長為15米，寬為38厘米，高為2.2米，砌這樣的墻每平米大約需要385塊磚，修這段圍墻一共需要多少塊磚？（2） 一塊鋼材體積為2.7立方米，現(xiàn)在將其融

24、化后重新鑄成長為1米，底面積為225平方厘米的鋼錠，一共可以鑄多少塊？【知識點(diǎn)5】填土抬高地面類問題例如：如圖，已知A部分面積為25平方米，B部分面積為36平方米，A處比B處高2米，如果將A處推到與B處同樣高，B處大約可以被抬高多少米？A處大約下降多少米？分析：要使A、B兩處地面高度相等，就相當(dāng)于將A處部分體積分?jǐn)傊罙B兩處，但分?jǐn)偳昂驛部分體積并沒有改變只是占地面積由原來A處面積變?yōu)锳B兩處的面積。A部分體積=25×2=50立方米；分?jǐn)偟紸B兩處后體積不變?nèi)詾?0平方米=AB處面積和×B處抬高的高度，因此50=（25+36）×H解得H0.82米，所以B處可以被抬

25、高大約0.82米，A處大約下降20.82=1.18米。 A B練習(xí)：（1） 一支修路隊(duì)用90立方米的石子鋪一段路，路寬為10米，鋪3厘米厚，可以鋪多長？（2） 一個棱長是20分米的正方體玻璃容器裝滿水，然后把水倒入一個長25分米，寬16分米的長方體水箱內(nèi)，求這時水深多少分米？【知識點(diǎn)6】Ø 不規(guī)則物體體積計(jì)算方法不規(guī)則物體的體積由于無法確定其長、寬、高因此無法直接使用體積計(jì)算公式來計(jì)算其體積。一般不規(guī)則物體體積的測定方法采用排水法，也就是將物體放入盛滿水的容器中，其排開水的體積就等于該物體的體積。例如：一個長方體的水槽長18厘米，寬12厘米，高10厘米，里面水深6厘米，將一個不規(guī)則的土豆放入后，水面上升到8厘米處，這個土豆的體積是多少？分析：根據(jù)物體排開水的體積等于物體的體積，可知在放入土豆前后水面高度分別為6厘米和8厘米，可見土豆排開水的高度為2厘米，因此土豆的體積就等于這部分水的體積=18×12×（86）=432平方厘米。練習(xí)：（1）水面高度為1.5厘米，底面積為30平方分米 水面高度為5厘米 水面高度為6.5厘米求每顆大球的體積是多少？每顆小球的體積是多少？(2) 每粒玻璃球的體積是多少立方厘米？ 8