切線的性質(zhì)和判定

1、關(guān)于切線的性質(zhì)和判定現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第一頁，共29頁.Ol特點(diǎn)：特點(diǎn)：.O叫做直線和圓叫做直線和圓相離相離。直線和圓沒有公共點(diǎn)，直線和圓沒有公共點(diǎn)，l特點(diǎn)：特點(diǎn)：直線和圓有唯一的公共點(diǎn)，直線和圓有唯一的公共點(diǎn)，叫做直線和圓叫做直線和圓相切相切。這時(shí)的直線叫這時(shí)的直線叫切線切線， 唯一的公共點(diǎn)叫唯一的公共點(diǎn)叫切點(diǎn)切點(diǎn)。.Ol特點(diǎn)：特點(diǎn)：直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，直線和圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，叫直線和圓叫直線和圓相交相交，這時(shí)的直線叫做圓的這時(shí)的直線叫做圓的割線割線。復(fù)習(xí)：直線與圓的位置關(guān)系復(fù)習(xí)：直線與圓的位置關(guān)系 一、用公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來區(qū)分一、用公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來區(qū)分.A.A.B切點(diǎn)現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二頁，共29頁ldr

2、l2、直線和圓相切d rd = rd = rOl3、直線和圓相交d rd rd r現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第三頁，共29頁 下雨天轉(zhuǎn)動(dòng)雨傘時(shí)飛出的水，以及在砂輪上打磨工件下雨天轉(zhuǎn)動(dòng)雨傘時(shí)飛出的水，以及在砂輪上打磨工件飛出的火星，均沿著圓的切線的方向飛出飛出的火星，均沿著圓的切線的方向飛出 1 當(dāng)你在下雨天快速轉(zhuǎn)動(dòng)雨傘時(shí)水飛出當(dāng)你在下雨天快速轉(zhuǎn)動(dòng)雨傘時(shí)水飛出的方向是什么方向？的方向是什么方向？2 2 砂輪打磨零件飛出火星的方向是什么砂輪打磨零件飛出火星的方向是什么方向？方向？情景導(dǎo)入現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第四頁，共29頁現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第五頁，共29頁經(jīng)過半徑的外端且垂于這條半徑經(jīng)過半徑的外端且垂于這條半徑的直線是圓的切

3、線。的直線是圓的切線。 條件：條件：(1)經(jīng)過半徑的外端；經(jīng)過半徑的外端；圓的切線判定定理：圓的切線判定定理：(2)垂直于過該點(diǎn)半徑；垂直于過該點(diǎn)半徑； OAllOA，且，且l 經(jīng)過經(jīng)過O上上 的的A A點(diǎn)點(diǎn)直線直線l是是O的切線的切線符號語言表達(dá)符號語言表達(dá)現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第六頁，共29頁說明：說明：在此定理中，題設(shè)是在此定理中，題設(shè)是“經(jīng)過半徑的外端經(jīng)過半徑的外端”和和“垂直于這垂直于這條半徑條半徑”，結(jié)論為，結(jié)論為“直線是圓的切線直線是圓的切線”，兩個(gè)條件缺一不可，兩個(gè)條件缺一不可，否則就不是圓的切線，否則就不是圓的切線，下面兩個(gè)反例說明只滿足其中一個(gè)條件的直線不是圓的切下面兩個(gè)反例說明只滿

4、足其中一個(gè)條件的直線不是圓的切線：線：定理辨析現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第七頁，共29頁現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第八頁，共29頁1 1、如何判定一條直線是已知圓的切線？、如何判定一條直線是已知圓的切線？(1)(1)與圓與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線是圓的切線；的直線是圓的切線；(2)(2)到圓心的到圓心的距離等于半徑距離等于半徑的直線是圓的的直線是圓的切線；切線；(3)(3)過半徑外端點(diǎn)且和半徑垂直的過半徑外端點(diǎn)且和半徑垂直的直線直線是圓的切線；是圓的切線；(d=r)(d=r)歸納：歸納：現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第九頁，共29頁OCBA這種證明方法簡記為：這種證明方法簡記為：“證切線，連半徑，證垂證切線，連半徑，證垂直直”

5、注意：注意：使用此方法時(shí)必使用此方法時(shí)必須已知直線與圓有一公須已知直線與圓有一公共點(diǎn)。共點(diǎn)?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十頁，共29頁練習(xí)練習(xí)1、如圖、如圖4，AB是是O的直徑，的直徑，ABC=45，AC=AB，AC是是O的切線嗎？為什么？的切線嗎？為什么？ BACO解：解：AB=AC ACB=ABC=450 BAC=900 即即ABAC AB是是 O的直徑的直徑 AC是是 O的切線的切線變式練習(xí)現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十一頁，共29頁練習(xí)練習(xí)2、如圖、如圖:線段線段AB經(jīng)過圓心經(jīng)過圓心O，交，交 O于于點(diǎn)點(diǎn)A、C，BAD=B = 30，邊，邊BD交圓交圓于點(diǎn)于點(diǎn)D。BD是是 O的切線嗎？為什么？的切線嗎？為什么？

6、AOBCD解：解：BD是是 O的切線的切線連接連接OD OD=OA ODA=BAD=B=300 BOD=600 ODB=900 即：即： ODDB BD是是 O的切線的切線變式練習(xí)現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十二頁，共29頁證明：連結(jié)證明：連結(jié)OPOP。 OB=OAOB=OA， BP=PCBP=PC， OPACOPAC。 又又 PEACPEAC， PEOPPEOP。 PEPE為為0 0的切線。的切線。變式練習(xí)現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十三頁，共29頁證明：過證明：過O O作作OEACOEAC于于E E。 AOAO平分平分BACBAC，ODABODAB OE OEODOD OD OD是是O O的半徑的半徑 ACAC是是O

7、 O的切線。的切線?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十四頁，共29頁例例1 1與例與例2 2的證法有何不同的證法有何不同? ? (1) (1)如果已知直線經(jīng)過圓上一點(diǎn)如果已知直線經(jīng)過圓上一點(diǎn), ,則連結(jié)這點(diǎn)和圓則連結(jié)這點(diǎn)和圓心心, ,得到輔助半徑得到輔助半徑, ,再證所作半徑與這直線垂直。簡再證所作半徑與這直線垂直。簡記為：記為：連半徑連半徑, ,證垂直證垂直。 (2)(2)如果已知條件中不知直線與圓是否有公共點(diǎn)如果已知條件中不知直線與圓是否有公共點(diǎn), ,則則過圓心作直線的垂線段為輔助線過圓心作直線的垂線段為輔助線, ,再證垂線段長等于半再證垂線段長等于半徑長。簡記為：徑長。簡記為：作垂直作垂直, ,證半徑證半

8、徑?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十五頁，共29頁直線直線L是是 O的切線，的切線，A是切是切點(diǎn)。點(diǎn)。 LOA于于A點(diǎn)點(diǎn)簡記為：簡記為：“知切線，連半徑，得垂直知切線，連半徑，得垂直”現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十六頁，共29頁探索切線性質(zhì)探索切線性質(zhì)假設(shè)假設(shè)ABAB與與CDCD不垂直不垂直, ,過點(diǎn)過點(diǎn)O O作一條直徑垂直于作一條直徑垂直于CD,CD,垂足為垂足為M,M,則則OMOA,OMOA,即圓心到直線即圓心到直線CDCD的距離的距離小于小于O O的半徑的半徑, ,因此因此,CD,CD與與O O相相交交. .這與已知條件這與已知條件“直線與直線與O O相相切切”相矛盾相矛盾. .CDBOA所以所以ABAB與與CDCD

9、垂直垂直. .M現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十七頁，共29頁例例3如圖，如圖，AB是是 O的直徑的直徑, C為為 O上一點(diǎn)，上一點(diǎn)，AD和和過點(diǎn)過點(diǎn)C的切線互相垂直，垂足為的切線互相垂直，垂足為D. 求證：求證：AC平分平分DABAODCB證明：連接證明：連接OCCD 是是 O的切線，的切線，OCCD.又又ADCD , OC/AD.ACO CAD .又又OC=OD, CAO ACO CAD CAO ,故故AC平分平分DAB現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十八頁，共29頁1， 如圖：如圖：AC是是 O的切線，的切線，B=600。求。求CAD=?BACODAOCB 2，如圖：以，如圖：以O(shè)為圓心的同心圓，大為圓心的同心圓，大圓的

10、弦圓的弦AB是小圓的切線，是小圓的切線，C是切點(diǎn)，求是切點(diǎn)，求證：證：C是是AB的中點(diǎn)。的中點(diǎn)?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第十九頁，共29頁 已知如圖，已知如圖，ABC為等腰三角形，為等腰三角形，O是底邊是底邊BC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)， O與腰與腰AB相切于點(diǎn)相切于點(diǎn)D。AC與與 O相切嗎？為什么相切嗎？為什么?E解：解：AC與與 O相切相切 連接連接OD,作作OEAC OEC=900 AB是是 O的切線的切線ODAB, ODB=900=OEC AB=AC B=C O是是BC的中點(diǎn)的中點(diǎn)OB=OC OBD OCE OD=OE AC與與 O相切相切現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十頁，共29頁1. 1. 判定切線的方法有哪些？判定

11、切線的方法有哪些？直線直線l 與圓有唯一公共點(diǎn)與圓有唯一公共點(diǎn)與圓心的距離等于圓的半徑與圓心的距離等于圓的半徑經(jīng)過半徑外端且垂直這條半徑經(jīng)過半徑外端且垂直這條半徑l是圓的切線是圓的切線2. 2. 常用的添輔助線方法？常用的添輔助線方法？ 直線與圓的公共點(diǎn)已知時(shí)，作出過公共點(diǎn)的半徑，直線與圓的公共點(diǎn)已知時(shí)，作出過公共點(diǎn)的半徑，再證半徑垂直于該直線。（再證半徑垂直于該直線。（連半徑，證垂直連半徑，證垂直） 直線與圓的公共點(diǎn)不確定時(shí)，過圓心作直線的垂線直線與圓的公共點(diǎn)不確定時(shí)，過圓心作直線的垂線段，再證明這條垂線段等于圓的半徑。（段，再證明這條垂線段等于圓的半徑。（作垂直，證半徑作垂直，證半徑）l是

12、圓的切線是圓的切線l是圓的切線是圓的切線3. 3. 圓的切線性質(zhì)定理：圓的切線垂直于圓的半徑。圓的切線性質(zhì)定理：圓的切線垂直于圓的半徑。輔助線作法：連接圓心與切點(diǎn)可得半徑與切線垂直。即輔助線作法：連接圓心與切點(diǎn)可得半徑與切線垂直。即“連連半徑，得垂直半徑，得垂直”?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十一頁，共29頁1.切線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn)切線和圓只有一個(gè)公共點(diǎn).2.切線和圓心的距離等于半徑切線和圓心的距離等于半徑.3.切線垂直于過切點(diǎn)的半徑切線垂直于過切點(diǎn)的半徑.4.經(jīng)過圓心垂直于切線的直線必過切點(diǎn)經(jīng)過圓心垂直于切線的直線必過切點(diǎn).5.經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必過圓心經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必過圓心.切線的性

13、質(zhì)、可歸納為切線的性質(zhì)、可歸納為:已知直線滿足已知直線滿足a.過過圓心圓心,b.過切點(diǎn)過切點(diǎn),c.垂直于切線垂直于切線中任意兩個(gè)中任意兩個(gè),便得到第三個(gè)便得到第三個(gè)結(jié)論結(jié)論.總結(jié)：總結(jié)：現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十二頁，共29頁 已知直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABBC，以腰DC的中點(diǎn) E 為圓心的圓與 AB 相切，梯形的上底 AD 與底 BC 是方程 x 210 x + 16 = 0 的兩根，求 E 的半徑 r .F解解：連接EFx 210 x + 16 = 0(X-2)(X-8)=0X1=2 X2=8BC=8 AD=2AB是 O的切線EFABABBCEF/BC/ADE是DC的中點(diǎn) EF是梯形A

14、BCD的中位線EF= (AD+BC)=521現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十三頁，共29頁切線的性質(zhì)定理的應(yīng)用切線的性質(zhì)定理的應(yīng)用例例. .已知已知RtRtABCABC的斜邊的斜邊AB=8cm,AB=8cm,直角邊直角邊AC=4cm.AC=4cm.以點(diǎn)以點(diǎn)C C為圓心作圓為圓心作圓, ,當(dāng)半徑為多長當(dāng)半徑為多長時(shí)時(shí),AB,AB與與C C相切相切解解:(1):(1)過點(diǎn)過點(diǎn)C C作作CDABCDAB于于D.D.AB=8cm,AC=4cm.AB=8cm,AC=4cm.A=60A=60因此因此, ,當(dāng)半徑長為當(dāng)半徑長為 cmcm時(shí)時(shí),AB,AB與與C C相切相切. .32BACB=30B=30D 練一練練一練現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十四頁，共29頁鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第二十五頁，共29頁2、矩形的兩邊長分別為、矩形的兩邊長分別為2.5和和5，若以較長，若以較長一邊為直徑作半圓，則矩形的各邊與半圓一邊為直徑作半圓，則矩形的各邊與半圓相切的線段最多有（相切的線段最多有（ ）A、0條