大學(xué)物理 吳百詩主編10-1

1、上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出 簡諧振動：簡諧振動：物體運動時，離開平衡位置的位物體運動時，離開平衡位置的位移移( (或角位移或角位移) )按余弦按余弦( (或正弦或正弦) )規(guī)律隨時間變化。規(guī)律隨時間變化。上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出連接在一起的一個忽略了質(zhì)量的彈簧和連接在一起的一個忽略了質(zhì)量的彈簧和一個不發(fā)生形變的物體系統(tǒng)。一個不發(fā)生形變的物體系統(tǒng)。彈簧振子：彈簧振子：xOFFxOxO上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出回復(fù)力：回復(fù)力：作簡諧運動的質(zhì)點所受的

2、沿位移方向的合作簡諧運動的質(zhì)點所受的沿位移方向的合 外力外力, , 該力與位移成正比且反向。該力與位移成正比且反向。 簡諧振動的動力學(xué)特征簡諧振動的動力學(xué)特征: : 據(jù)牛頓第二定律，得據(jù)牛頓第二定律，得運動學(xué)特征運動學(xué)特征位移位移 之解可寫為之解可寫為xkxF, xmkmFa令令2kmxtxa222dd或或0i()etxA0cos()xAt上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出用旋轉(zhuǎn)矢量圖畫簡諧運動的用旋轉(zhuǎn)矢量圖畫簡諧運動的 圖圖tx 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出簡諧振動的運動學(xué)特征簡諧振動的運動學(xué)特征: :

3、 物體的加速度與位移成正比而方向相反，物物體的加速度與位移成正比而方向相反，物體的位移按余弦規(guī)律變化。體的位移按余弦規(guī)律變化。速度速度加速度加速度)sin(dd0tAtxv)cos(dd0222tAtxa上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出 簡諧振動中質(zhì)點位移、速度、加速度與時間的關(guān)系簡諧振動中質(zhì)點位移、速度、加速度與時間的關(guān)系: :42xtvtta上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出 常量常量 和和 的確定的確定A0根據(jù)初始條件：根據(jù)初始條件： 時，時， , , ，得得0 x=x0v v0t0000sin,cos

4、AvAx2020)(vxA000arctanvx存在兩個值，可根據(jù)存在兩個值，可根據(jù)0在在到到之間，之間，通常通常00sinvA進(jìn)行取舍。進(jìn)行取舍。上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出 1.1.振幅振幅: : 物體離開平衡位置的最大位移的絕對值。物體離開平衡位置的最大位移的絕對值。由初始條件確定由初始條件確定 2 2 周期和頻率周期和頻率 周期：周期：物體作一次完全物體作一次完全振振動所經(jīng)歷的時間。動所經(jīng)歷的時間。頻率：頻率：單位時間內(nèi)物體所作完全單位時間內(nèi)物體所作完全振振動的次數(shù)。動的次數(shù)。2020)(vxA00cos()cos ()xAtATt2T1

5、2T上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出角頻率角頻率: : 物體在物體在 秒內(nèi)所作的完全秒內(nèi)所作的完全振振動的次數(shù)。動的次數(shù)。2利用上述關(guān)系式，得諧振動表達(dá)式：利用上述關(guān)系式，得諧振動表達(dá)式：22T對于彈簧振子，因有對于彈簧振子，因有mk，得，得2,2mkTkm02cosxAtT0cos(2)xAt上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出3.3.相位和初相相位和初相相位相位 ：決定簡諧運動狀態(tài)的物理量。決定簡諧運動狀態(tài)的物理量。)(0t初相位初相位 ：t =0 時的相位。時的相位。0 相位概念可用于比較兩個諧振動之間在

6、振動相位概念可用于比較兩個諧振動之間在振動步調(diào)上的差異。步調(diào)上的差異。 設(shè)有兩個同頻率的諧振動，表達(dá)式分別為設(shè)有兩個同頻率的諧振動，表達(dá)式分別為)cos(1011tAx)cos(2022tAx上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出A/2xto二者的二者的相位差相位差為為20102010()()tt2010t 2010t 20cosA10cosA上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出xto b. b.當(dāng)當(dāng) 時時, ,稱兩個振動為稱兩個振動為反相反相；(21)kxto a. a.當(dāng)當(dāng) 時時, ,稱兩個振動為稱兩個振動為同相

7、同相；2 k討論：討論：上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出 d. d.當(dāng)當(dāng) 時時, ,稱第二個振稱第二個振動動落后落后第一個振第一個振動動 。0 xtoxto c. c.當(dāng)當(dāng) 時時, ,稱第二個振動稱第二個振動超前超前第一個振動第一個振動 ；0上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出 相位可以用來比較不同物理量變化的步調(diào)相位可以用來比較不同物理量變化的步調(diào)。對于簡諧振動的位移、速度和加速度，存在對于簡諧振動的位移、速度和加速度，存在: 速度的相位比位移的相位超前速度的相位比位移的相位超前 ，加速度的相，加速度的相位比

8、位移的相位超前位比位移的相位超前 。 2)cos(0tAxm0m0sin()cos( 2)vvtvt m0m0cos()cos()aatat 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出 旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量: :一長度等于振幅一長度等于振幅A的矢量的矢量 在紙平面在紙平面A 可直觀地領(lǐng)會簡諧振可直觀地領(lǐng)會簡諧振動表達(dá)式中各個物理量的動表達(dá)式中各個物理量的意義。意義。 內(nèi)繞內(nèi)繞O點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，其角速度與諧振動的點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，其角速度與諧振動的角頻率相等，這個矢量稱為旋轉(zhuǎn)矢量。角頻率相等，這個矢量稱為旋轉(zhuǎn)矢量。上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁

9、 下頁下頁 返回返回 退出退出振動相位振動相位逆時針方向逆時針方向 M 點在點在 x 軸上投影軸上投影( (P點點) )的運動的運動規(guī)律：規(guī)律： 的長度的長度Ar 旋轉(zhuǎn)的角度速旋轉(zhuǎn)的角度速Ar旋轉(zhuǎn)的方向旋轉(zhuǎn)的方向Ar與參考方向與參考方向x的夾角的夾角ArxOM P xA0t振幅振幅A振動圓頻率振動圓頻率0cos()xAt上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出速度、加速度的旋轉(zhuǎn)矢量表示法：速度、加速度的旋轉(zhuǎn)矢量表示法：M 點點: :M0vAOx0vxOA 沿沿x 軸的投軸的投影為簡諧運動的速度、影為簡諧運動的速度、加速度表達(dá)式。加速度表達(dá)式。v,avAxxa

10、a0txvmvA2maA上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出兩個同頻率的簡諧運動：兩個同頻率的簡諧運動：相位之差為相位之差為采用旋轉(zhuǎn)矢量直觀表示為采用旋轉(zhuǎn)矢量直觀表示為xO1A1Df22A)cos(111tAx)cos(222tAx.)()(1212tt上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出例例題題10-110-1 一物體沿一物體沿x軸作簡諧振動，振幅軸作簡諧振動，振幅A=0.12 m, ,周期周期T=2 s。當(dāng)。當(dāng)t=0時時, ,物體的位移物體的位移x=0.06 m, ,且向且向x軸正軸正向運動。求向運動。求:(1

11、):(1)簡諧振動表達(dá)式簡諧振動表達(dá)式;(2);(2)t =T/4時物體的時物體的位置、速度和加速度位置、速度和加速度;(3);(3)物體從物體從x =- -0.06 m向向x軸負(fù)方軸負(fù)方向運動，第一次回到平衡位置所需時間。向運動，第一次回到平衡位置所需時間。解解: : (1)(1)取平衡位置為坐標(biāo)原點取平衡位置為坐標(biāo)原點, ,諧振動方程寫為諧振動方程寫為初始條件初始條件：t = 0 s, , x0=0.06 m,可得可得)cos(0tAx其中其中A=0.12 m, ,T=2 s, , 12 sT00.12cos0.0603 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回

12、退出退出0 12cos(t 3) mx.-=據(jù)初始條件據(jù)初始條件 xO0f若用旋轉(zhuǎn)矢量法求解若用旋轉(zhuǎn)矢量法求解0，根據(jù)初始條件可畫出振幅的初始位置，如下圖所示。振幅的初始位置，如下圖所示。A00sin0vA 得0 3 從而可得從而可得0 3 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出(2) (2) 由由(1)(1)求得的簡諧振動表達(dá)式得求得的簡諧振動表達(dá)式得在在t=T/4=0.5 s時，從前面所列的表達(dá)式可得時，從前面所列的表達(dá)式可得1d0.12sin( 3) m sdxvtt 22d0.12 cos( 3) m sdvatt 110.12 sin( 0.5)

13、m s0.18m s3v0.12cos( 0.5)m0.104m3x 2220.12 cos( 0.5)m s1.03m s3a上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出( (3) 3) 當(dāng)當(dāng)x=- -0.06 m時，該時刻設(shè)為時，該時刻設(shè)為t1 1, ,得得因該時刻速度為負(fù)，應(yīng)舍去因該時刻速度為負(fù)，應(yīng)舍去 ，43s11t設(shè)物體在設(shè)物體在t2 2時刻第一次回到平衡位置，相位是時刻第一次回到平衡位置，相位是32s83. 12t11cos()32t 124,333t 1233t 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出因此從因此

14、從x=- -0.06 m處第一次回到平衡位置的時間：處第一次回到平衡位置的時間：另解：從另解：從t1 1時刻到時刻到t2 2時刻所對應(yīng)的相差為時刻所對應(yīng)的相差為210.83sttt 3252360.83st 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出1. 1. 單擺單擺一根不會伸長的細(xì)線，上端固定，下端懸掛一個一根不會伸長的細(xì)線，上端固定，下端懸掛一個很小重物，重物略加移動就可以在豎直平面內(nèi)來回擺動。很小重物，重物略加移動就可以在豎直平面內(nèi)來回擺動。上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出單擺受力分析如右圖所示，單擺受力分析

15、如右圖所示，sinmgFCol根據(jù)牛頓第二運動定律可得根據(jù)牛頓第二運動定律可得5oq很小時（小于很小時（小于），可?。?，可取22dsindmgmlt222ddgtl 其中其中2gl上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出單擺在擺角很小時，在平衡位置附近作單擺在擺角很小時，在平衡位置附近作角諧振動角諧振動，周期，周期的表達(dá)式可寫為的表達(dá)式可寫為q轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角22gTlm0cos(t)=+qqf由初始條件求得。由初始條件求得。角振幅角振幅和初相和初相0m上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出 根據(jù)上述周期的級數(shù)公式，可以將周期計

16、算到根據(jù)上述周期的級數(shù)公式，可以將周期計算到所要求的任何精度。所要求的任何精度。當(dāng)當(dāng)q不是很小，物體不再作諧振動，而不是很小，物體不再作諧振動，而T單擺周期單擺周期的關(guān)系為的關(guān)系為m與角振幅與角振幅0T很小時單擺的周期。很小時單擺的周期。m為為224mm022211 31sinsin222 42TT上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出o2. 2. 復(fù)擺復(fù)擺一個可繞固定軸擺動的剛體稱為復(fù)擺一個可繞固定軸擺動的剛體稱為復(fù)擺( (物理擺物理擺) )。 剛體的質(zhì)心為剛體的質(zhì)心為C, , 對過對過O 點的轉(zhuǎn)點的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為軸的轉(zhuǎn)動慣量為J, , O、C 兩點間

17、距兩點間距離的距離為離的距離為h。據(jù)轉(zhuǎn)動定律，得據(jù)轉(zhuǎn)動定律，得gmhC角度較小時角度較小時若若sindd22mghtJmghtJ22dd令令Jmgh20dd222t22JTmgh上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出例題例題10-210-2 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m的平底船，其平均水平截面積為的平底船，其平均水平截面積為S，吃水深度為，吃水深度為h，如不計水的阻力，求此船在豎直方，如不計水的阻力，求此船在豎直方向的振動周期。向的振動周期。解：解： 船靜止時浮力與重力平衡，船靜止時浮力與重力平衡，mghSg OyPPy 船在任一位置時，以水面為坐標(biāo)原點船在任一位置

18、時，以水面為坐標(biāo)原點, ,豎豎直向下的坐標(biāo)軸為直向下的坐標(biāo)軸為y軸，船的位移用軸，船的位移用y表示。表示。上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出船的位移船的位移為為y時船所受合力為時船所受合力為船在豎直方向作簡諧振動，其角頻率和周期為船在豎直方向作簡諧振動，其角頻率和周期為因因得得,mSh()FhySgmgy Sg Sgm22mTgS2hTg上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出動能動能勢能勢能以水平彈簧振子為例討論簡諧振動系統(tǒng)的能量。以水平彈簧振子為例討論簡諧振動系統(tǒng)的能量。系統(tǒng)總的系統(tǒng)總的機械能：機械能：22220

19、11sin ()22KEmvmAt222011cos ()22PEkxkAtKPEEE222220011sin ()cos ()22KPEEEmAtkAt上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出簡諧振動的機械能守恒。簡諧振動的機械能守恒。能量能量平均值平均值上述結(jié)果對任一諧振系統(tǒng)均成立。上述結(jié)果對任一諧振系統(tǒng)均成立?？紤]到考慮到，系統(tǒng)總能量為，系統(tǒng)總能量為2km212EkA，表明，表明222200111sin ()d24KTEmAttkAT22200111cos ()d24PTEkAttkAT2KPEEE上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下

20、頁 返回返回 退出退出諧振子的動能、勢能和總能量隨時間的變化曲線諧振子的動能、勢能和總能量隨時間的變化曲線:pEkEEOtOtx221kAE tAxcos上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出步驟：步驟：一階微分方程，再根據(jù)初始條件，即可求出振動一階微分方程，再根據(jù)初始條件，即可求出振動從給定系統(tǒng)的能量關(guān)系式出發(fā)，得到振動的從給定系統(tǒng)的能量關(guān)系式出發(fā)，得到振動的方程。方程。上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出例題例題10-3 在橫截面為在橫截面為S的的U形管中有適量液體，形管中有適量液體，液體總長度為液體總長度為l，

21、質(zhì)量為，質(zhì)量為，密度為，密度為，求液面上下，求液面上下m起伏的振動頻率（忽略液體與管壁間的摩擦）起伏的振動頻率（忽略液體與管壁間的摩擦）。解：解：選如圖所示坐標(biāo)系，兩液面相齊時的平衡位置選如圖所示坐標(biāo)系，兩液面相齊時的平衡位置為勢能零點為勢能零點。系統(tǒng)的勢能為系統(tǒng)的勢能為2pEy Sg液體的動能為液體的動能為2k1d2dyEmt由能量守恒得由能量守恒得221d2d常量yEmy Sgt上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出對時間求導(dǎo)，并整理可得對時間求導(dǎo)，并整理可得22d20dySgytm液體作簡諧振動，其角頻率及周期分別為液體作簡諧振動，其角頻率及周期分別

22、為2 Sgm222mTSg又因為又因為mlS22lTg上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出 解：解：設(shè)棒長為設(shè)棒長為2 2R, , 質(zhì)量為質(zhì)量為m，在，在lABOO且不計且不計 例題例題10-10-4 4 一勻質(zhì)細(xì)桿一勻質(zhì)細(xì)桿AB的兩端的兩端, , 用長度都為用長度都為l棒扭動時棒扭動時, , 其質(zhì)心沿其質(zhì)心沿上下運動。上下運動。oo因扭動角度因扭動角度很小，可近似認(rèn)為細(xì)棒很小，可近似認(rèn)為細(xì)棒在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。 扭動角度為扭動角度為時時,質(zhì)量的質(zhì)量的細(xì)繩懸掛起來細(xì)繩懸掛起來, , 當(dāng)棒以微小角度繞中心軸當(dāng)棒以微小角度繞中心軸oo細(xì)棒在水平面

23、內(nèi)轉(zhuǎn)動角度為細(xì)棒在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動角度為，則有則有l(wèi)RpcEmgh2k1d2dEJt扭動時，求證其運動周期為：扭動時，求證其運動周期為：。23lTg上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出 hc是棒的質(zhì)心相對棒平衡時質(zhì)心位置的高度是棒的質(zhì)心相對棒平衡時質(zhì)心位置的高度, , 有有系統(tǒng)機械能守恒系統(tǒng)機械能守恒將上式兩端對時間求導(dǎo)，并利用關(guān)系將上式兩端對時間求導(dǎo)，并利用關(guān)系常量常量221 1d(1 cos )2 3dKPEEmRmgltlRsin0dddddd31222tlRlRmglttmR2223ddlgt223lTgc(1 cos )hl22(2 ) /12/3JmRmRlABOO上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出上頁上頁 下頁下頁 返回返回 退出退出例題例題10-510-5 勁度系數(shù)為勁度系數(shù)為k、原長為、原長為l、質(zhì)量為、質(zhì)量為m的均勻的均勻彈簧，一端固定，另一端系一質(zhì)量為彈簧，一端固定，另一端系一質(zhì)量為M