大學(xué)物理 吳百詩(shī)主編10-1

1、上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出 簡(jiǎn)諧振動(dòng)：簡(jiǎn)諧振動(dòng)：物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，離開(kāi)平衡位置的位物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，離開(kāi)平衡位置的位移移( (或角位移或角位移) )按余弦按余弦( (或正弦或正弦) )規(guī)律隨時(shí)間變化。規(guī)律隨時(shí)間變化。上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出連接在一起的一個(gè)忽略了質(zhì)量的彈簧和連接在一起的一個(gè)忽略了質(zhì)量的彈簧和一個(gè)不發(fā)生形變的物體系統(tǒng)。一個(gè)不發(fā)生形變的物體系統(tǒng)。彈簧振子：彈簧振子：xOFFxOxO上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出回復(fù)力：回復(fù)力：作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)所受的

2、沿位移方向的合作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)所受的沿位移方向的合 外力外力, , 該力與位移成正比且反向。該力與位移成正比且反向。 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征: : 據(jù)牛頓第二定律，得據(jù)牛頓第二定律，得運(yùn)動(dòng)學(xué)特征運(yùn)動(dòng)學(xué)特征位移位移 之解可寫(xiě)為之解可寫(xiě)為xkxF, xmkmFa令令2kmxtxa222dd或或0i()etxA0cos()xAt上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出用旋轉(zhuǎn)矢量圖畫(huà)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的用旋轉(zhuǎn)矢量圖畫(huà)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的 圖圖tx 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征: :

3、 物體的加速度與位移成正比而方向相反，物物體的加速度與位移成正比而方向相反，物體的位移按余弦規(guī)律變化。體的位移按余弦規(guī)律變化。速度速度加速度加速度)sin(dd0tAtxv)cos(dd0222tAtxa上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出 簡(jiǎn)諧振動(dòng)中質(zhì)點(diǎn)位移、速度、加速度與時(shí)間的關(guān)系簡(jiǎn)諧振動(dòng)中質(zhì)點(diǎn)位移、速度、加速度與時(shí)間的關(guān)系: :42xtvtta上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出 常量常量 和和 的確定的確定A0根據(jù)初始條件：根據(jù)初始條件： 時(shí)，時(shí)， , , ，得得0 x=x0v v0t0000sin,cos

4、AvAx2020)(vxA000arctanvx存在兩個(gè)值，可根據(jù)存在兩個(gè)值，可根據(jù)0在在到到之間，之間，通常通常00sinvA進(jìn)行取舍。進(jìn)行取舍。上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出 1.1.振幅振幅: : 物體離開(kāi)平衡位置的最大位移的絕對(duì)值。物體離開(kāi)平衡位置的最大位移的絕對(duì)值。由初始條件確定由初始條件確定 2 2 周期和頻率周期和頻率 周期：周期：物體作一次完全物體作一次完全振振動(dòng)所經(jīng)歷的時(shí)間。動(dòng)所經(jīng)歷的時(shí)間。頻率：頻率：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)物體所作完全單位時(shí)間內(nèi)物體所作完全振振動(dòng)的次數(shù)。動(dòng)的次數(shù)。2020)(vxA00cos()cos ()xAtATt2T1

5、2T上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出角頻率角頻率: : 物體在物體在 秒內(nèi)所作的完全秒內(nèi)所作的完全振振動(dòng)的次數(shù)。動(dòng)的次數(shù)。2利用上述關(guān)系式，得諧振動(dòng)表達(dá)式：利用上述關(guān)系式，得諧振動(dòng)表達(dá)式：22T對(duì)于彈簧振子，因有對(duì)于彈簧振子，因有mk，得，得2,2mkTkm02cosxAtT0cos(2)xAt上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出3.3.相位和初相相位和初相相位相位 ：決定簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量。決定簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量。)(0t初相位初相位 ：t =0 時(shí)的相位。時(shí)的相位。0 相位概念可用于比較兩個(gè)諧振動(dòng)之間在

6、振動(dòng)相位概念可用于比較兩個(gè)諧振動(dòng)之間在振動(dòng)步調(diào)上的差異。步調(diào)上的差異。 設(shè)有兩個(gè)同頻率的諧振動(dòng)，表達(dá)式分別為設(shè)有兩個(gè)同頻率的諧振動(dòng)，表達(dá)式分別為)cos(1011tAx)cos(2022tAx上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出A/2xto二者的二者的相位差相位差為為20102010()()tt2010t 2010t 20cosA10cosA上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出xto b. b.當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), ,稱兩個(gè)振動(dòng)為稱兩個(gè)振動(dòng)為反相反相；(21)kxto a. a.當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), ,稱兩個(gè)振動(dòng)為稱兩個(gè)振動(dòng)為同相

7、同相；2 k討論：討論：上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出 d. d.當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), ,稱第二個(gè)振稱第二個(gè)振動(dòng)動(dòng)落后落后第一個(gè)振第一個(gè)振動(dòng)動(dòng) 。0 xtoxto c. c.當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), ,稱第二個(gè)振動(dòng)稱第二個(gè)振動(dòng)超前超前第一個(gè)振動(dòng)第一個(gè)振動(dòng) ；0上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出 相位可以用來(lái)比較不同物理量變化的步調(diào)相位可以用來(lái)比較不同物理量變化的步調(diào)。對(duì)于簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位移、速度和加速度，存在對(duì)于簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位移、速度和加速度，存在: 速度的相位比位移的相位超前速度的相位比位移的相位超前 ，加速度的相，加速度的相位比

8、位移的相位超前位比位移的相位超前 。 2)cos(0tAxm0m0sin()cos( 2)vvtvt m0m0cos()cos()aatat 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出 旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量: :一長(zhǎng)度等于振幅一長(zhǎng)度等于振幅A的矢量的矢量 在紙平面在紙平面A 可直觀地領(lǐng)會(huì)簡(jiǎn)諧振可直觀地領(lǐng)會(huì)簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式中各個(gè)物理量的動(dòng)表達(dá)式中各個(gè)物理量的意義。意義。 內(nèi)繞內(nèi)繞O點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，其角速度與諧振動(dòng)的點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，其角速度與諧振動(dòng)的角頻率相等，這個(gè)矢量稱為旋轉(zhuǎn)矢量。角頻率相等，這個(gè)矢量稱為旋轉(zhuǎn)矢量。上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè)

9、 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出振動(dòng)相位振動(dòng)相位逆時(shí)針?lè)较蚰鏁r(shí)針?lè)较?M 點(diǎn)在點(diǎn)在 x 軸上投影軸上投影( (P點(diǎn)點(diǎn)) )的運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律：規(guī)律： 的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度Ar 旋轉(zhuǎn)的角度速旋轉(zhuǎn)的角度速Ar旋轉(zhuǎn)的方向旋轉(zhuǎn)的方向Ar與參考方向與參考方向x的夾角的夾角ArxOM P xA0t振幅振幅A振動(dòng)圓頻率振動(dòng)圓頻率0cos()xAt上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出速度、加速度的旋轉(zhuǎn)矢量表示法：速度、加速度的旋轉(zhuǎn)矢量表示法：M 點(diǎn)點(diǎn): :M0vAOx0vxOA 沿沿x 軸的投軸的投影為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的速度、影為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的速度、加速度表達(dá)式。加速度表達(dá)式。v,avAxxa

10、a0txvmvA2maA上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出兩個(gè)同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)：兩個(gè)同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)：相位之差為相位之差為采用旋轉(zhuǎn)矢量直觀表示為采用旋轉(zhuǎn)矢量直觀表示為xO1A1Df22A)cos(111tAx)cos(222tAx.)()(1212tt上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出例例題題10-110-1 一物體沿一物體沿x軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅A=0.12 m, ,周期周期T=2 s。當(dāng)。當(dāng)t=0時(shí)時(shí), ,物體的位移物體的位移x=0.06 m, ,且向且向x軸正軸正向運(yùn)動(dòng)。求向運(yùn)動(dòng)。求:(1

11、):(1)簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式;(2);(2)t =T/4時(shí)物體的時(shí)物體的位置、速度和加速度位置、速度和加速度;(3);(3)物體從物體從x =- -0.06 m向向x軸負(fù)方軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，第一次回到平衡位置所需時(shí)間。向運(yùn)動(dòng)，第一次回到平衡位置所需時(shí)間。解解: : (1)(1)取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn), ,諧振動(dòng)方程寫(xiě)為諧振動(dòng)方程寫(xiě)為初始條件初始條件：t = 0 s, , x0=0.06 m,可得可得)cos(0tAx其中其中A=0.12 m, ,T=2 s, , 12 sT00.12cos0.0603 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回

12、退出退出0 12cos(t 3) mx.-=據(jù)初始條件據(jù)初始條件 xO0f若用旋轉(zhuǎn)矢量法求解若用旋轉(zhuǎn)矢量法求解0，根據(jù)初始條件可畫(huà)出振幅的初始位置，如下圖所示。振幅的初始位置，如下圖所示。A00sin0vA 得0 3 從而可得從而可得0 3 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出(2) (2) 由由(1)(1)求得的簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式得求得的簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式得在在t=T/4=0.5 s時(shí)，從前面所列的表達(dá)式可得時(shí)，從前面所列的表達(dá)式可得1d0.12sin( 3) m sdxvtt 22d0.12 cos( 3) m sdvatt 110.12 sin( 0.5)

13、m s0.18m s3v0.12cos( 0.5)m0.104m3x 2220.12 cos( 0.5)m s1.03m s3a上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出( (3) 3) 當(dāng)當(dāng)x=- -0.06 m時(shí)，該時(shí)刻設(shè)為時(shí)，該時(shí)刻設(shè)為t1 1, ,得得因該時(shí)刻速度為負(fù)，應(yīng)舍去因該時(shí)刻速度為負(fù)，應(yīng)舍去 ，43s11t設(shè)物體在設(shè)物體在t2 2時(shí)刻第一次回到平衡位置，相位是時(shí)刻第一次回到平衡位置，相位是32s83. 12t11cos()32t 124,333t 1233t 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出因此從因此

14、從x=- -0.06 m處第一次回到平衡位置的時(shí)間：處第一次回到平衡位置的時(shí)間：另解：從另解：從t1 1時(shí)刻到時(shí)刻到t2 2時(shí)刻所對(duì)應(yīng)的相差為時(shí)刻所對(duì)應(yīng)的相差為210.83sttt 3252360.83st 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出1. 1. 單擺單擺一根不會(huì)伸長(zhǎng)的細(xì)線，上端固定，下端懸掛一個(gè)一根不會(huì)伸長(zhǎng)的細(xì)線，上端固定，下端懸掛一個(gè)很小重物，重物略加移動(dòng)就可以在豎直平面內(nèi)來(lái)回?cái)[動(dòng)。很小重物，重物略加移動(dòng)就可以在豎直平面內(nèi)來(lái)回?cái)[動(dòng)。上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出單擺受力分析如右圖所示，單擺受力分析

15、如右圖所示，sinmgFCol根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律可得根據(jù)牛頓第二運(yùn)動(dòng)定律可得5oq很小時(shí)（小于很小時(shí)（小于），可?。扇?2dsindmgmlt222ddgtl 其中其中2gl上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出單擺在擺角很小時(shí)，在平衡位置附近作單擺在擺角很小時(shí)，在平衡位置附近作角諧振動(dòng)角諧振動(dòng)，周期，周期的表達(dá)式可寫(xiě)為的表達(dá)式可寫(xiě)為q轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角22gTlm0cos(t)=+qqf由初始條件求得。由初始條件求得。角振幅角振幅和初相和初相0m上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出 根據(jù)上述周期的級(jí)數(shù)公式，可以將周期計(jì)

16、算到根據(jù)上述周期的級(jí)數(shù)公式，可以將周期計(jì)算到所要求的任何精度。所要求的任何精度。當(dāng)當(dāng)q不是很小，物體不再作諧振動(dòng)，而不是很小，物體不再作諧振動(dòng)，而T單擺周期單擺周期的關(guān)系為的關(guān)系為m與角振幅與角振幅0T很小時(shí)單擺的周期。很小時(shí)單擺的周期。m為為224mm022211 31sinsin222 42TT上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出o2. 2. 復(fù)擺復(fù)擺一個(gè)可繞固定軸擺動(dòng)的剛體稱為復(fù)擺一個(gè)可繞固定軸擺動(dòng)的剛體稱為復(fù)擺( (物理擺物理擺) )。 剛體的質(zhì)心為剛體的質(zhì)心為C, , 對(duì)過(guò)對(duì)過(guò)O 點(diǎn)的轉(zhuǎn)點(diǎn)的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J, , O、C 兩點(diǎn)間

17、距兩點(diǎn)間距離的距離為離的距離為h。據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律，得據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律，得gmhC角度較小時(shí)角度較小時(shí)若若sindd22mghtJmghtJ22dd令令Jmgh20dd222t22JTmgh上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出例題例題10-210-2 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m的平底船，其平均水平截面積為的平底船，其平均水平截面積為S，吃水深度為，吃水深度為h，如不計(jì)水的阻力，求此船在豎直方，如不計(jì)水的阻力，求此船在豎直方向的振動(dòng)周期。向的振動(dòng)周期。解：解： 船靜止時(shí)浮力與重力平衡，船靜止時(shí)浮力與重力平衡，mghSg OyPPy 船在任一位置時(shí)，以水面為坐標(biāo)原點(diǎn)船在任一位置

18、時(shí)，以水面為坐標(biāo)原點(diǎn), ,豎豎直向下的坐標(biāo)軸為直向下的坐標(biāo)軸為y軸，船的位移用軸，船的位移用y表示。表示。上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出船的位移船的位移為為y時(shí)船所受合力為時(shí)船所受合力為船在豎直方向作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其角頻率和周期為船在豎直方向作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其角頻率和周期為因因得得,mSh()FhySgmgy Sg Sgm22mTgS2hTg上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出動(dòng)能動(dòng)能勢(shì)能勢(shì)能以水平彈簧振子為例討論簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)的能量。以水平彈簧振子為例討論簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)的能量。系統(tǒng)總的系統(tǒng)總的機(jī)械能：機(jī)械能：22220

19、11sin ()22KEmvmAt222011cos ()22PEkxkAtKPEEE222220011sin ()cos ()22KPEEEmAtkAt上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出簡(jiǎn)諧振動(dòng)的機(jī)械能守恒。簡(jiǎn)諧振動(dòng)的機(jī)械能守恒。能量能量平均值平均值上述結(jié)果對(duì)任一諧振系統(tǒng)均成立。上述結(jié)果對(duì)任一諧振系統(tǒng)均成立。考慮到考慮到，系統(tǒng)總能量為，系統(tǒng)總能量為2km212EkA，表明，表明222200111sin ()d24KTEmAttkAT22200111cos ()d24PTEkAttkAT2KPEEE上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下

20、頁(yè) 返回返回 退出退出諧振子的動(dòng)能、勢(shì)能和總能量隨時(shí)間的變化曲線諧振子的動(dòng)能、勢(shì)能和總能量隨時(shí)間的變化曲線:pEkEEOtOtx221kAE tAxcos上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出步驟：步驟：一階微分方程，再根據(jù)初始條件，即可求出振動(dòng)一階微分方程，再根據(jù)初始條件，即可求出振動(dòng)從給定系統(tǒng)的能量關(guān)系式出發(fā)，得到振動(dòng)的從給定系統(tǒng)的能量關(guān)系式出發(fā)，得到振動(dòng)的方程。方程。上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出例題例題10-3 在橫截面為在橫截面為S的的U形管中有適量液體，形管中有適量液體，液體總長(zhǎng)度為液體總長(zhǎng)度為l，

21、質(zhì)量為，質(zhì)量為，密度為，密度為，求液面上下，求液面上下m起伏的振動(dòng)頻率（忽略液體與管壁間的摩擦）起伏的振動(dòng)頻率（忽略液體與管壁間的摩擦）。解：解：選如圖所示坐標(biāo)系，兩液面相齊時(shí)的平衡位置選如圖所示坐標(biāo)系，兩液面相齊時(shí)的平衡位置為勢(shì)能零點(diǎn)為勢(shì)能零點(diǎn)。系統(tǒng)的勢(shì)能為系統(tǒng)的勢(shì)能為2pEy Sg液體的動(dòng)能為液體的動(dòng)能為2k1d2dyEmt由能量守恒得由能量守恒得221d2d常量yEmy Sgt上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并整理可得對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并整理可得22d20dySgytm液體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其角頻率及周期分別為液體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其角頻率及周期分別

22、為2 Sgm222mTSg又因?yàn)橛忠驗(yàn)閙lS22lTg上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出 解：解：設(shè)棒長(zhǎng)為設(shè)棒長(zhǎng)為2 2R, , 質(zhì)量為質(zhì)量為m，在，在lABOO且不計(jì)且不計(jì) 例題例題10-10-4 4 一勻質(zhì)細(xì)桿一勻質(zhì)細(xì)桿AB的兩端的兩端, , 用長(zhǎng)度都為用長(zhǎng)度都為l棒扭動(dòng)時(shí)棒扭動(dòng)時(shí), , 其質(zhì)心沿其質(zhì)心沿上下運(yùn)動(dòng)。上下運(yùn)動(dòng)。oo因扭動(dòng)角度因扭動(dòng)角度很小，可近似認(rèn)為細(xì)棒很小，可近似認(rèn)為細(xì)棒在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。 扭動(dòng)角度為扭動(dòng)角度為時(shí)時(shí),質(zhì)量的質(zhì)量的細(xì)繩懸掛起來(lái)細(xì)繩懸掛起來(lái), , 當(dāng)棒以微小角度繞中心軸當(dāng)棒以微小角度繞中心軸oo細(xì)棒在水平面

23、內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)角度為細(xì)棒在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)角度為，則有則有l(wèi)RpcEmgh2k1d2dEJt扭動(dòng)時(shí)，求證其運(yùn)動(dòng)周期為：扭動(dòng)時(shí)，求證其運(yùn)動(dòng)周期為：。23lTg上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出 hc是棒的質(zhì)心相對(duì)棒平衡時(shí)質(zhì)心位置的高度是棒的質(zhì)心相對(duì)棒平衡時(shí)質(zhì)心位置的高度, , 有有系統(tǒng)機(jī)械能守恒系統(tǒng)機(jī)械能守恒將上式兩端對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并利用關(guān)系將上式兩端對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并利用關(guān)系常量常量221 1d(1 cos )2 3dKPEEmRmgltlRsin0dddddd31222tlRlRmglttmR2223ddlgt223lTgc(1 cos )hl22(2 ) /12/3JmRmRlABOO上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 退出退出例題例題10-510-5 勁度系數(shù)為勁度系數(shù)為k、原長(zhǎng)為、原長(zhǎng)為l、質(zhì)量為、質(zhì)量為m的均勻的均勻彈簧，一端固定，另一端系一質(zhì)量為彈簧，一端固定，另一端系一質(zhì)量為M