《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》習(xí)題及答案--第四章

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí)題及答案第四章 1一個(gè)袋子中裝有四個(gè)球，它們上面分別標(biāo)有數(shù)字1,2,2,3，今從袋中任取一球后不放回，再?gòu)拇腥稳∫磺?，以分別表示第一次，第二次取出的球上的標(biāo)號(hào)，求的分布列.解 的分布列為YX其中 余者類推。 2將一枚硬幣連擲三次，以表示在三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，以表示三次中出現(xiàn)正面次數(shù)與出現(xiàn)反面次數(shù)之差的絕對(duì)值，試寫出的分布列及邊緣分布列。 解 一枚硬幣連擲三次相當(dāng)于三重貝努里試驗(yàn)，故 ，于是的分布列和邊緣分布為YX 其中 ， ， 余者類推。 3設(shè)的概率密度為 又（1）；（2）。求xx+y=3422y 解 （1） ； （2） . 4設(shè)的概率密度為 求

2、（1）系數(shù)；（2）落在圓內(nèi)的概率. 解 （1） ， . （2）設(shè)，所求概率為 . 5已知隨機(jī)變量和的聯(lián)合概率密度為 求和的聯(lián)合分布函數(shù). 解1 設(shè)的分布函數(shù)為，則 解2 由聯(lián)合密度可見，獨(dú)立，邊緣密度分別為 邊緣分布函數(shù)分別為，則 設(shè)的分布函數(shù)為，則yx10D 6設(shè)二維隨機(jī)變量在區(qū)域，內(nèi)服從均勻分布，求邊緣概率密度。 解 的概率密度為 關(guān)于和的密度為 x+y=11yx0x=y 7設(shè)的概率密度為 求邊緣密度和概率 解 . 8一電子儀器由兩個(gè)部件組成，以和分別表示兩個(gè)部件的壽命（單位：千小時(shí)）已知的聯(lián)合分布函數(shù)為： （1）問(wèn)是否獨(dú)立？為什么？ （2）求兩個(gè)部件的壽命都超過(guò)100小時(shí)的概率. 解 （

3、1）先求邊緣分布函數(shù)： 因?yàn)?，所以?dú)立. （2） . 9設(shè)的概率密度為 間是否獨(dú)立？ 解 邊緣密度為 因?yàn)?，所以獨(dú)立. 10設(shè)的概率密度為y=x1yx0 問(wèn)是否獨(dú)立. 解 邊緣密度 yx0因?yàn)?，所以不?dú)立。 11設(shè)的概率密度為 試證明與不獨(dú)立，但與是相互獨(dú)立的。 證 先求的聯(lián)合分布函數(shù) 關(guān)于的邊緣分布函數(shù)為關(guān)于的邊緣分布函數(shù)為 因?yàn)?，所以不?dú)立. 再證與獨(dú)立：設(shè)的聯(lián)合分布函數(shù)為，則 關(guān)于的邊緣分布函數(shù)分別為 因?yàn)椋耘c獨(dú)立. 證2 利用隨機(jī)向量的變換（參見王梓坤概率基礎(chǔ)及其應(yīng)用83頁(yè)） 設(shè) . 函數(shù)的反函數(shù)為的反函數(shù)為 ，；于是的概率密度函數(shù)為 關(guān)于的邊緣密度為 關(guān)于的邊緣密度為因?yàn)?，所?/p>

4、獨(dú)立. 12設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，下表列出了二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律及關(guān)于和關(guān)于的邊緣分布律中的部分?jǐn)?shù)值，試將其余值填入表中空白處. 1 解 設(shè)由聯(lián)合分布和邊緣分布的關(guān)系知 由獨(dú)立性 ，即 ，故， ， ， 所以 ， 所以的分布為 1 13已知隨機(jī)變量和的概率分布為 ， 而且 （1）求和的聯(lián)合分布； （2）問(wèn)和是否獨(dú)立？為什么？ 解 （1）知，再由聯(lián)合分布和邊緣分布的關(guān)系知的分布為 1 （2）因，所以不獨(dú)立. 14設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且都服從上的均勻分布，求方程有實(shí)根的概率. 解 設(shè)方程有實(shí)根，則 發(fā)生yxbb即 ， .yx當(dāng)時(shí)，圖形如下： 15已知隨機(jī)變量和的聯(lián)合分布為 試求：（1）的概率分布

5、；（2）的概率分布 解 （1）的分布為 （2）的分布為 16設(shè)與為獨(dú)立同分布的離散型隨機(jī)變量，其概率分布列為，求的分布列. 解 設(shè)，的分布為 17設(shè)是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們都服從參數(shù)為的二項(xiàng)分布，證明服從參數(shù)為的二項(xiàng)分布. 證 故服從參數(shù)為的二項(xiàng)分布. 注：此處用到一個(gè)組合公式： 此公式的正確性可直觀地說(shuō)明如下：從個(gè)不同的元素中取個(gè)共有種不同的取法。從另一個(gè)角度看，把個(gè)元素分布兩部分，一部分有個(gè)，另一部分有個(gè)，從第一部分中取個(gè)再配上從第二部分中取個(gè)，不同的取法共，讓從變到，總的取法是，這兩種取法應(yīng)相等. 18設(shè)相互獨(dú)立，其概率密度分別為 求的概率密度. 解1 設(shè)，由卷積分式，的概率密度為 1

6、0zyD不等式確定平面域如圖. 當(dāng) 時(shí)， 當(dāng) 時(shí)， 當(dāng) 時(shí)，綜上所述 解2 變量代換法： ，注意到當(dāng)時(shí)=1，有 因 所以，當(dāng) 時(shí)， 當(dāng) 時(shí)， 當(dāng) 時(shí)，.綜上所述 解3 分布函數(shù)法：設(shè)的分布函數(shù)為，則yx+y=110xx+y=0 的概率密度為L(zhǎng)2L1LXY 19設(shè)部件的壽命，的壽命，按下圖聯(lián)結(jié)構(gòu)成系統(tǒng)，即當(dāng)部件損壞時(shí)，部件立即開始工作，求系統(tǒng)的壽命的概率密度. 解 的密度為 的密度為 設(shè)的密度為，則 ozyx 當(dāng) 時(shí)， 當(dāng) 時(shí)， , 當(dāng) 時(shí) 綜相所述的密度為 . . 20設(shè)的概率密度為 求的概率密度. 解1 利用的密度公式：，取得 其中oyzyy 不等式確定平面域如圖 當(dāng) 或 時(shí) ， 當(dāng) 時(shí)，

7、即 解2 設(shè)的分布函數(shù)為，密度為，則 xyx-y=0x-y=zx-y=1 于是 21設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為 ，求 的概率密度. 解 設(shè)的分布函數(shù)為，則 故 ， 故 22設(shè)隨機(jī)變量與獨(dú)立，試求的概率密度 解1 由卷積公式 其中 不等式確定平面區(qū)域：xy0 當(dāng)時(shí) 解2 用變量代換： .因?yàn)樗援?dāng)時(shí) . 23設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為 求的分布函數(shù).x+2y=z z00xyx+2y=0 解 24設(shè)二維隨機(jī)變量在矩形上服從均勻分布，試求邊長(zhǎng)為和的矩形面積的概率密度. 解1 設(shè)矩形的面積為，則，又設(shè)的分布函數(shù)為，則 其中 oSxy=S, 0S2xy 于是 10Syx2 解2 利用乘積的密度公式 當(dāng) 或時(shí)當(dāng) 時(shí)綜上所述 25設(shè)和為兩個(gè)隨機(jī)變量，且求 解 26設(shè)是相互獨(dú)立且服從同一分布的兩個(gè)隨機(jī)變量，已知的分布律為，又設(shè)，試寫出二維隨機(jī)變量的分布律及邊緣分布列并求 解 的可能值為1,2,3，的可能值為1,2,3. 依此類推可求出的分布列及邊緣分布列如下： 1231231 . 27假設(shè)一電路裝有三個(gè)同種電器元件，其工作狀態(tài)相互獨(dú)立，且無(wú)故障工作時(shí)間都服從參數(shù)為的指數(shù)分布. 當(dāng)三個(gè)元件都無(wú)故障時(shí)，電路正常工作，否則整個(gè)電路不能正常工作，試求電路正常工作的時(shí)間的概率分布. 解 設(shè)的分布函數(shù)為，第件元件的壽命為，其分布函數(shù)為. 則 即 28設(shè)隨機(jī)變量獨(dú)立同分