《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》習題及答案--第四章

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題及答案第四章 1一個袋子中裝有四個球，它們上面分別標有數(shù)字1,2,2,3，今從袋中任取一球后不放回，再從袋中任取一球，以分別表示第一次，第二次取出的球上的標號，求的分布列.解 的分布列為YX其中 余者類推。 2將一枚硬幣連擲三次，以表示在三次中出現(xiàn)正面的次數(shù)，以表示三次中出現(xiàn)正面次數(shù)與出現(xiàn)反面次數(shù)之差的絕對值，試寫出的分布列及邊緣分布列。 解 一枚硬幣連擲三次相當于三重貝努里試驗，故 ，于是的分布列和邊緣分布為YX 其中 ， ， 余者類推。 3設的概率密度為 又（1）；（2）。求xx+y=3422y 解 （1） ； （2） . 4設的概率密度為 求

2、（1）系數(shù)；（2）落在圓內的概率. 解 （1） ， . （2）設，所求概率為 . 5已知隨機變量和的聯(lián)合概率密度為 求和的聯(lián)合分布函數(shù). 解1 設的分布函數(shù)為，則 解2 由聯(lián)合密度可見，獨立，邊緣密度分別為 邊緣分布函數(shù)分別為，則 設的分布函數(shù)為，則yx10D 6設二維隨機變量在區(qū)域，內服從均勻分布，求邊緣概率密度。 解 的概率密度為 關于和的密度為 x+y=11yx0x=y 7設的概率密度為 求邊緣密度和概率 解 . 8一電子儀器由兩個部件組成，以和分別表示兩個部件的壽命（單位：千小時）已知的聯(lián)合分布函數(shù)為： （1）問是否獨立？為什么？ （2）求兩個部件的壽命都超過100小時的概率. 解 （

3、1）先求邊緣分布函數(shù)： 因為，所以獨立. （2） . 9設的概率密度為 間是否獨立？ 解 邊緣密度為 因為 ，所以獨立. 10設的概率密度為y=x1yx0 問是否獨立. 解 邊緣密度 yx0因為，所以不獨立。 11設的概率密度為 試證明與不獨立，但與是相互獨立的。 證 先求的聯(lián)合分布函數(shù) 關于的邊緣分布函數(shù)為關于的邊緣分布函數(shù)為 因為，所以不獨立. 再證與獨立：設的聯(lián)合分布函數(shù)為，則 關于的邊緣分布函數(shù)分別為 因為，所以與獨立. 證2 利用隨機向量的變換（參見王梓坤概率基礎及其應用83頁） 設 . 函數(shù)的反函數(shù)為的反函數(shù)為 ，；于是的概率密度函數(shù)為 關于的邊緣密度為 關于的邊緣密度為因為，所以

4、獨立. 12設隨機變量與相互獨立，下表列出了二維隨機變量的聯(lián)合分布律及關于和關于的邊緣分布律中的部分數(shù)值，試將其余值填入表中空白處. 1 解 設由聯(lián)合分布和邊緣分布的關系知 由獨立性 ，即 ，故， ， ， 所以 ， 所以的分布為 1 13已知隨機變量和的概率分布為 ， 而且 （1）求和的聯(lián)合分布； （2）問和是否獨立？為什么？ 解 （1）知，再由聯(lián)合分布和邊緣分布的關系知的分布為 1 （2）因，所以不獨立. 14設隨機變量相互獨立，且都服從上的均勻分布，求方程有實根的概率. 解 設方程有實根，則 發(fā)生yxbb即 ， .yx當時，圖形如下： 15已知隨機變量和的聯(lián)合分布為 試求：（1）的概率分布

5、；（2）的概率分布 解 （1）的分布為 （2）的分布為 16設與為獨立同分布的離散型隨機變量，其概率分布列為，求的分布列. 解 設，的分布為 17設是相互獨立的隨機變量，它們都服從參數(shù)為的二項分布，證明服從參數(shù)為的二項分布. 證 故服從參數(shù)為的二項分布. 注：此處用到一個組合公式： 此公式的正確性可直觀地說明如下：從個不同的元素中取個共有種不同的取法。從另一個角度看，把個元素分布兩部分，一部分有個，另一部分有個，從第一部分中取個再配上從第二部分中取個，不同的取法共，讓從變到，總的取法是，這兩種取法應相等. 18設相互獨立，其概率密度分別為 求的概率密度. 解1 設，由卷積分式，的概率密度為 1

6、0zyD不等式確定平面域如圖. 當 時， 當 時， 當 時，綜上所述 解2 變量代換法： ，注意到當時=1，有 因 所以，當 時， 當 時， 當 時，.綜上所述 解3 分布函數(shù)法：設的分布函數(shù)為，則yx+y=110xx+y=0 的概率密度為L2L1LXY 19設部件的壽命，的壽命，按下圖聯(lián)結構成系統(tǒng)，即當部件損壞時，部件立即開始工作，求系統(tǒng)的壽命的概率密度. 解 的密度為 的密度為 設的密度為，則 ozyx 當 時， 當 時， , 當 時 綜相所述的密度為 . . 20設的概率密度為 求的概率密度. 解1 利用的密度公式：，取得 其中oyzyy 不等式確定平面域如圖 當 或 時 ， 當 時，

7、即 解2 設的分布函數(shù)為，密度為，則 xyx-y=0x-y=zx-y=1 于是 21設隨機變量的概率密度為 ，求 的概率密度. 解 設的分布函數(shù)為，則 故 ， 故 22設隨機變量與獨立，試求的概率密度 解1 由卷積公式 其中 不等式確定平面區(qū)域：xy0 當時 解2 用變量代換： .因為所以當時 . 23設隨機變量的概率密度為 求的分布函數(shù).x+2y=z z00xyx+2y=0 解 24設二維隨機變量在矩形上服從均勻分布，試求邊長為和的矩形面積的概率密度. 解1 設矩形的面積為，則，又設的分布函數(shù)為，則 其中 oSxy=S, 0S2xy 于是 10Syx2 解2 利用乘積的密度公式 當 或時當 時綜上所述 25設和為兩個隨機變量，且求 解 26設是相互獨立且服從同一分布的兩個隨機變量，已知的分布律為，又設，試寫出二維隨機變量的分布律及邊緣分布列并求 解 的可能值為1,2,3，的可能值為1,2,3. 依此類推可求出的分布列及邊緣分布列如下： 1231231 . 27假設一電路裝有三個同種電器元件，其工作狀態(tài)相互獨立，且無故障工作時間都服從參數(shù)為的指數(shù)分布. 當三個元件都無故障時，電路正常工作，否則整個電路不能正常工作，試求電路正常工作的時間的概率分布. 解 設的分布函數(shù)為，第件元件的壽命為，其分布函數(shù)為. 則 即 28設隨機變量獨立同分