工程力學第十三章

1、13- -1 工程中的彎曲變形問題工程中的彎曲變形問題13- -2 梁的撓曲線近似微分方程梁的撓曲線近似微分方程13- -3 用積分法求彎曲變形用積分法求彎曲變形13- -6 簡單靜不定梁簡單靜不定梁13- -5 梁的剛度校核梁的剛度校核 13- -4 用疊加法求彎曲變形用疊加法求彎曲變形第十三章第十三章 彎曲變形彎曲變形13.1 13.1 工程中的彎曲變形問題工程中的彎曲變形問題 13.2 13.2 梁的撓曲線近似微分方程梁的撓曲線近似微分方程 )(1xfw )(2xfxywddtantantanddxywzEIM12/32)1 ()(1wwx 1)1 (2wzEIxMw)( 13.3 13

2、.3 用積分法求梁的彎曲變形用積分法求梁的彎曲變形zEIxMw)( CxxMwEIEId)(zDCxxxxMwEI d)d)(zDCxxxxMwEI d)d)(z0 x0|0 xw0|0 x0 x0|0 xwlx 0|lxwCxxMEId)(zDCxxxxMwEI d)d)(z021|xaxww021|xaxBBw)()(lxFxM)()(lxFxMwEI ClxFCxlxFwEIEI2)(21d)(DCxlxFDxCxlxFwEI32)(61d)(21ClxFCxlxFwEIEI2)(21d)(DCxlxFDxCxlxFwEI32)(61d)(210 x0A0Aw0212CFl0613DFl

3、221FlC361FlD EIFlEIlxF22)(22EIFlEIxFlEIlxFw626)(323EIFlEIlxF22)(22EIFlEIxFlEIlxFw626)(323EIFlB22EIFlwB33lFbFAlFaFB11xlFbM )0(1ax )(222axFxlFbM)(2lxa12112CxlFbEI1113116DxCxlFbEIw222222)(22CaxFxlFbEI22232322)(66DxCaxFxlFbEIwaxax21|21axaxww21|21021 DD)(62221bllFbCC01x0Awlx 0Bw得：)3(622211lbxlFbEI122311)

4、(6xlbxlFbwEI2222212)(3)3(6axbllbxlFbEI32222222)()(6axblxlbxlFbwEIlx 2EIlalFabB6)( ba EIblFbwl48)43(22213.4 13.4 用疊加法求梁的彎曲變形用疊加法求梁的彎曲變形2/2qlM 解：解：CMCqCwwwEIMl162CMwEIql38454CqwEIqlEIMlEIql38417163845424AMAqAAMEIMl3AqEIql243EIqlEIMlEIql24532433CCBlwwtan2CBCCtanCCBlww2EIqlEIlq1288)2(44CwEIqlEIlq486)2(3

5、3CEIqllEIqlEIqlwB3847248128434EIqlCB483解：解：EIqlCCC48321EIqlwwwCCC128421答案：思考題（限思考題（限2分鐘）分鐘）求梁跨中撓度和轉(zhuǎn)角求梁跨中撓度和轉(zhuǎn)角，ABl / 2ql / 2Cq/2q/2q/2=+考察兩梁變形中點撓度EIqlEIlqwB7685384)2/( 544中點轉(zhuǎn)角EIqllEIqB384)2(24)2/(33一一 梁的剛度條件梁的剛度條件 對于產(chǎn)生彎曲變形的桿件，在滿足強度條件的同時，為保證其正常工作還需對彎曲位移加以限制，即還應(yīng)滿足剛度條件(stiffness condition)：式中l(wèi)為跨長， 為許可的撓

6、度與跨長之比(簡稱許可撓跨比)，為許可轉(zhuǎn)角。上列剛度條件常稱為梁的剛度條件。lwlwlwmaxmax13.5 13.5 梁的剛度校核梁的剛度校核例例13-6 橋式起重機大梁最大載荷橋式起重機大梁最大載荷F=20kN，梁體為，梁體為32a工字工字鋼，鋼，E=210GPa， 。規(guī)定。規(guī)定 。校核大梁的剛。校核大梁的剛度。（課后度。（課后13-5題）題）ml76. 8 500lw Fl解：查表得梁最大撓度位于跨中，絕對值EIFlwMAX483 EIFllwMAX4828921011100102104876. 820000002. 05001001372. 0剛度滿足 二二 提高梁剛度的措施提高梁剛度

7、的措施(1) 增大梁的抗彎剛度EI 由于不同牌號的鋼材彈性模量E大致相同(E210 GPa)，故從增大梁的抗彎剛度來說采用高強度鋼并無明顯好處。為增大鋼梁的抗彎剛度，鋼梁的橫截面均采用使截面面積盡可能分布在距中性軸較遠的形狀，以增大截面對于中性軸的慣性矩Iz，例如工字形截面和箱形截面。 跨長為l 的簡支梁受集度為q的滿布均布荷載時，最大彎矩和最大撓度均出現(xiàn)在跨中，它們分別為22max125. 08qlqlMEIqlEIqlw44max0130. 03845(2) 調(diào)整跨長和改變結(jié)構(gòu)的體系 如果將兩個鉸支座各內(nèi)移一個距離a而成為如圖a所示的外伸梁，且a=0.207l，則不僅最大彎矩減小為而且跨中

8、撓度減小為22max0214. 02qlqaMMMMBACEIqlEIalqaEIalqwwC4224max616000. 01622238425(a)EIqlEIql44013. 03845對比而此時外伸端D和E的撓度也僅為)(207000. 02)2(224)2(84234EIqlaEIalqaaEIalqEIqawwED 所謂改變結(jié)構(gòu)的體系來提高梁的剛度在這里指增加梁的支座使靜定梁成為超靜定梁，例如在懸臂梁的自由端增加一個可動支座，又如在簡支梁的跨中增加一個可動支座。13-6 13-6 簡單靜不定梁簡單靜不定梁一一 基本概念基本概念超靜定梁：梁的約束力個數(shù)多于獨立平衡方程數(shù)。多余約束：多

9、余的維持梁變形必須的約束。超靜定次數(shù)：等于多余約束或多余約束力的數(shù)目。二二 求解方法求解方法1.解除多余約束，選取靜定基，列靜力平衡方程。2.比較變形，列變形協(xié)調(diào)條件。3.由物理關(guān)系建立補充方程。4.綜合三類方程求解約束力。靜定基：將超靜定結(jié)構(gòu)變成靜定結(jié)構(gòu)時的相當系統(tǒng)。 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA求梁的約束力，梁的抗彎剛度為EI。 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA1）判定超靜定次數(shù)，選取靜定基）判定超靜定次數(shù)，選取靜定基 在梁的在梁的A和和B處共有處共有3個未知力，個未知力，獨立平衡方程數(shù)

10、等于獨立平衡方程數(shù)等于2，所以是一，所以是一次超靜定問題。選取靜定基如圖次超靜定問題。選取靜定基如圖(b)(b)所示。在去掉約束處用一未知所示。在去掉約束處用一未知力力 代替，如圖代替，如圖(c)(c)所示。所示。ByF2）進行變形比較，列協(xié)調(diào)條件）進行變形比較，列協(xié)調(diào)條件將圖將圖(c)(c)等效如圖等效如圖(d)(d)所示。所示。(d)ABCFByABFC0)()( ByFBFBByyy三、例題三、例題例例13-713-7為了使靜定基的變形與原超靜定為了使靜定基的變形與原超靜定梁相同，梁相同，B處撓度必須是處撓度必須是0 0，即為，即為變形協(xié)調(diào)條件變形協(xié)調(diào)條件 2a(d)(c)(b)(a)

11、aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA(d)ABCFByABFC 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA3）由物理關(guān)系列力補充方程）由物理關(guān)系列力補充方程 查表可得，查表可得，EIFaaaEIaFyFB314)29(6)2()(32 EIaFyByFBBy38)(303831433 EIaFEIFaBy所以所以FFBy47 4）由整體平衡條件求其他約束力）由整體平衡條件求其他約束力 FFFaMAyA43,2例例13-8 房屋建筑中的某一等截面梁簡化成均布載荷作用下的房屋建筑中的某一等截面梁簡化成均布載荷作用下的雙跨梁，試做梁的剪力圖和彎矩圖。（