微積分12-微分方程-1

1、微積分理論微分方程及其應(yīng)用微分方程及其應(yīng)用微積分理論 馮國臣2022-3-22例例 1 1 一一曲曲線線通通過過點點(1,2),且且在在該該曲曲線線上上任任一一點點),(yxM處處的的切切線線的的斜斜率率為為x2,求求這這曲曲線線的的方方程程.解解)(xyy 設(shè)所求曲線為設(shè)所求曲線為xdxdy2 xdxy22,1 yx時時其中其中,2Cxy 即即, 1 C求求得得.12 xy所求曲線方程為所求曲線方程為一、問題的提出一、問題的提出微積分理論 馮國臣2022-3-22例例 2 2 列列車車在在平平直直的的線線路路上上以以 2 20 0 米米/ /秒秒的的速速度度行行駛駛, ,當當制制動動時時列列

2、車車獲獲得得加加速速度度4 . 0 米米/ /秒秒2 2, ,問問開開始始制制動動后后多多少少時時間間列列車車才才能能停停住?。恳砸约凹傲辛熊囓囋谠谶@這段段時時間間內(nèi)內(nèi)行行駛駛了了多多少少路路程程？解解)(,tssst 米米秒鐘行駛秒鐘行駛設(shè)制動后設(shè)制動后4 . 022 dtsd,20, 0,0 dtdsvst時時14 . 0Ctdtdsv 2122 . 0CtCts 微積分理論 馮國臣2022-3-22代入條件后知代入條件后知0,2021 CC,202 . 02tts ,204 . 0 tdtdsv故故),(504 . 020秒秒 t列列車車在在這這段段時時間間內(nèi)內(nèi)行行駛駛了了).(5005

3、020502 . 02米米 s開始制動到列車完全停住共需開始制動到列車完全停住共需微積分理論 馮國臣2022-3-22微分方程微分方程: :凡含有未知函數(shù)的導數(shù)或微分的方程叫微分方程凡含有未知函數(shù)的導數(shù)或微分的方程叫微分方程. .例例,xyy , 0)(2 xdxdtxt,32xeyyy , yxxz 實質(zhì)實質(zhì): : 聯(lián)系自變量聯(lián)系自變量, ,未知函數(shù)以及未知函數(shù)的未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些導數(shù)某些導數(shù)( (或微分或微分) )之間的關(guān)系式之間的關(guān)系式. .二、微分方程的定義二、微分方程的定義微積分理論 馮國臣2022-3-22微分方程的階微分方程的階: : 微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最微分方程

4、中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導數(shù)的階數(shù)稱之高階導數(shù)的階數(shù)稱之. .分類分類1 1: : 常微分方程常微分方程, , 偏常微分方程偏常微分方程. ., 0),( yyxF一階微分方程一階微分方程);,(yxfy 高階高階( (n) )微分方程微分方程, 0),()( nyyyxF).,()1()( nnyyyxfy分類分類2:2:微積分理論 馮國臣2022-3-22分類分類3 3: : 線性與非線性微分方程線性與非線性微分方程. .),()(xQyxPy ; 02)(2 xyyyx分類分類4 4: : 單個微分方程與微分方程組單個微分方程與微分方程組. . ,2,23zydxdzzydxdy微積分理

5、論 馮國臣2022-3-22微分方程的解微分方程的解: :代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù)稱之代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù)稱之. . ,)(階導數(shù)階導數(shù)上有上有在區(qū)間在區(qū)間設(shè)設(shè)nIxy . 0)(,),(),(,()( xxxxFn微分方程的解的分類：微分方程的解的分類：三、主要問題三、主要問題-求方程的解求方程的解(1)(1)通解通解: : 微分方程的解中含有任意常數(shù)微分方程的解中含有任意常數(shù), ,且任且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同. .微積分理論 馮國臣2022-3-22(2)(2)特解特解: : 確定了通解中任意常數(shù)以后的解確定了通解中任

6、意常數(shù)以后的解. ., yy 例例;xcey 通解通解, 0 yy;cossin21xcxcy 通解通解解的圖象解的圖象: : 微分方程的積分曲線微分方程的積分曲線. .通解的圖象通解的圖象: : 積分曲線族積分曲線族. .初始條件初始條件: : 用來確定任意常數(shù)的條件用來確定任意常數(shù)的條件. .微積分理論 馮國臣2022-3-22過定點的積分曲線過定點的積分曲線; 00),(yyyxfyxx一階一階:二階二階: 0000,),(yyyyyyxfyxxxx過定點且在定點的切線的斜率為定值的積分曲線過定點且在定點的切線的斜率為定值的積分曲線.初值問題初值問題: : 求微分方程滿足初始條件的解的問

7、題求微分方程滿足初始條件的解的問題. .微積分理論 馮國臣2022-3-22例例 3 3 驗證驗證:函數(shù)函數(shù)ktCktCxsincos21 是微分是微分方程方程0222 xkdtxd的解的解. 并求滿足初始條件并求滿足初始條件0,00 ttdtdxAx的特解的特解.解解,cossin21ktkCktkCdtdx ,sincos221222ktCkktCkdtxd ,22的表達式代入原方程的表達式代入原方程和和將將xdtxd微積分理論 馮國臣2022-3-22. 0)sincos()sincos(212212 ktCktCkktCktCk.sincos21是原方程的解是原方程的解故故ktCktC

8、x , 0,00 ttdtdxAx. 0,21 CAC所求特解為所求特解為.cosktAx 補充補充: :微分方程的初等解法微分方程的初等解法: : 初等積分法初等積分法. .求解微分方程求解微分方程求積分求積分(通解可用初等函數(shù)或積分表示出來通解可用初等函數(shù)或積分表示出來)微積分理論 馮國臣2022-3-22微分方程微分方程; 微分方程的階微分方程的階; 微分方程的解微分方程的解;通解通解; 初始條件初始條件; 特解特解; 初值問題初值問題; 積分曲線積分曲線;四、小結(jié)四、小結(jié)微積分理論 馮國臣2022-3-22思考題思考題 函函數(shù)數(shù)xey23 是是微微分分方方程程04 yy的的什什么么解解

9、?微積分理論 馮國臣2022-3-22思考題解答思考題解答,62xey ,122xey yy4, 0341222 xxeexey23 中不含任意常數(shù)中不含任意常數(shù),故為微分方程的故為微分方程的特特解解.微積分理論 馮國臣2022-3-22一、可分離變量的微分方程一、可分離變量的微分方程dxxfdyyg)()( 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程. .5422yxdxdy 例如例如,2254dxxdyy 解法解法設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(yg和和)(xf是是連連續(xù)續(xù)的的, dxxfdyyg)()(設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(yG和和)(xF是是依依次次為為)(yg和和)(xf的的原原函函數(shù)數(shù),CxFyG )()

10、(為微分方程的解為微分方程的解.分離變量法分離變量法微積分理論 馮國臣2022-3-22例例1 1 求解微分方程求解微分方程.2的通解的通解xydxdy 解解分離變量分離變量,2xdxydy 兩端積分兩端積分,2 xdxydy12lnCxy .2為所求通解為所求通解xcey 二、典型例題二、典型例題微積分理論 馮國臣2022-3-22.0)()(2通解通解求方程求方程例例 xdyxygydxxyf,xyu 令令,ydxxdydu 則則, 0)()( xydxduxugydxuf, 0)()()( duugdxxuuguf, 0)()()( duugufuugxdx.)()()(|lnCduug

11、ufuugx 通解為通解為解解微積分理論 馮國臣2022-3-22例例 3 3 衰衰變變問問題題:衰衰變變速速度度與與未未衰衰變變原原子子含含量量M成成正正比比,已已知知00MMt ,求求衰衰變變過過程程中中鈾鈾含含量量)(tM隨隨時時間間t變變化化的的規(guī)規(guī)律律.解解,dtdM衰變速度衰變速度由題設(shè)條件由題設(shè)條件)0(衰變系數(shù)衰變系數(shù) MdtdMdtMdM , dtMdM00MMt 代代入入,lnlnctM ,tceM 即即00ceM 得得,C teMM 0衰變規(guī)律衰變規(guī)律微積分理論 馮國臣2022-3-22例例 4 有高為有高為1米的半球形容器米的半球形容器, 水從它的底部小水從它的底部小孔

12、流出孔流出, 小孔橫截面積為小孔橫截面積為1平方厘米平方厘米(如圖如圖). 開始開始時容器內(nèi)盛滿了水時容器內(nèi)盛滿了水, 求水從小孔流出過程中容器求水從小孔流出過程中容器里水面的高度里水面的高度h(水面與孔口中心間的距離水面與孔口中心間的距離)隨時隨時間間t的變化規(guī)律的變化規(guī)律.解解 由力學知識得由力學知識得,水從孔口流水從孔口流出的流量為出的流量為,262. 0ghSdtdVQ 流量系數(shù)流量系數(shù)孔口截面面積孔口截面面積重力加速度重力加速度微積分理論 馮國臣2022-3-22cm100horhdhh )1(,262. 0dtghdV 設(shè)在微小的時間間隔設(shè)在微小的時間間隔,ttt 水面的高度由水面

13、的高度由h降至降至 ,hh ,2dhrdV 則則,200)100(100222hhhr )2(,)200(2dhhhdV 比較比較(1)和和(2)得得:dhhh)200(2 ,262. 0dtgh 1 S,cm2微積分理論 馮國臣2022-3-22dhhh)200(2 ,262. 0dtgh 即為未知函數(shù)的微分方程即為未知函數(shù)的微分方程.可分離變量可分離變量,)200(262. 03dhhhgdt ,)523400(262. 053Chhgt ,100|0 th,101514262. 05 gC).310107(265. 45335hhgt 所求規(guī)律為所求規(guī)律為微積分理論 馮國臣2022-3-

14、22解解例例5 5 某車間體積為某車間體積為12000立方米立方米, 開始時空氣中開始時空氣中含有含有 的的 , 為了降低車間內(nèi)空氣中為了降低車間內(nèi)空氣中 的含量的含量, 用一臺風量為每秒用一臺風量為每秒2000立方米的鼓風機立方米的鼓風機通入含通入含 的的 的新鮮空氣的新鮮空氣, 同時以同樣的同時以同樣的風量將混合均勻的空氣排出風量將混合均勻的空氣排出, 問鼓風機開動問鼓風機開動6分分鐘后鐘后, 車間內(nèi)車間內(nèi) 的百分比降低到多少的百分比降低到多少?2CO%1 . 02CO2CO2CO%03. 0設(shè)鼓風機開動后設(shè)鼓風機開動后 時刻時刻 的含量為的含量為2CO)%(txt,dttt 在在 內(nèi)內(nèi),

15、2CO的通入量的通入量2CO的排出量的排出量,03. 02000 dt),(2000txdt 微積分理論 馮國臣2022-3-222CO的通入量的通入量2CO的排出量的排出量2CO的改變量的改變量 03. 0200012000 dtdx),(2000txdt ),03. 0(61 xdtdx,03. 061tCex , 1 . 0|0 tx,07. 0 C,07. 003. 061tex ,056. 007. 003. 0|16 ext6分鐘后分鐘后, 車間內(nèi)車間內(nèi) 的百分比降低到的百分比降低到%.056. 02CO微積分理論 馮國臣2022-3-22分離變量法步驟分離變量法步驟:1.分離變量

16、分離變量;2.兩端積分兩端積分-隱式通解隱式通解.三、小結(jié)三、小結(jié)微積分理論 馮國臣2022-3-22思考題思考題求解微分方程求解微分方程.2cos2cosyxyxdxdy 微積分理論 馮國臣2022-3-22思考題解答思考題解答, 02cos2cos yxyxdxdy, 02sin2sin2 yxdxdy,2sin2sin2 dxxydy2cot2csclnyy ,2cos2Cx 為所求解為所求解.微積分理論 馮國臣2022-3-22一、齊次方程一、齊次方程)(xyfdxdy 形如形如的微分方程稱為的微分方程稱為齊次方程齊次方程. .2.解法解法,xyu 作變量代換作變量代換,xuy 即即代

17、入原式代入原式,dxduxudxdy ),(ufdxduxu .)(xuufdxdu 即即可分離變量的方程可分離變量的方程1.1.定義定義微積分理論 馮國臣2022-3-22,0)(時時當當 uuf,ln)(1xCuufdu 得得,)(uCex 即即 ）（uufduu)()( ,代入代入將將xyu ,)(xyCex 得通解得通解,0u 當當, 0)(00 uuf使使,0是新方程的解是新方程的解則則uu ,代回原方程代回原方程.0 xuy 得齊次方程的解得齊次方程的解微積分理論 馮國臣2022-3-22例例 1 1 求解微分方程求解微分方程. 0cos)cos( dyxyxdxxyyx，令令xy

18、u ，則則udxxdudy , 0)(cos)cos( xduudxuxdxuuxx,cosxdxudu ,lnsinCxu .lnsinCxxy 微分方程的解為微分方程的解為解解微積分理論 馮國臣2022-3-222222yxyxxyydxdy ,1222 xyxyxyxy,xyu 令令,udxxdudy 則則,1222uuuuuxu .2222xyydyyxyxdx 例例 2 2 求解微分方程求解微分方程解解微積分理論 馮國臣2022-3-22,lnlnln21)2ln(23)1ln(Cxuuu .)2(123Cxuuu 微分方程的解為微分方程的解為.)2()(32xyCyxy ,1122

19、)121(21xdxduuuuu 微積分理論 馮國臣2022-3-22可化為齊次的方程可化為齊次的方程的微分方程的微分方程形如形如)(111cybxacbyaxfdxdy 為齊次方程為齊次方程. .,01時時當當 cc，令令kYyhXx ,（其中（其中h和和k是待定的常數(shù)）是待定的常數(shù)）dYdydXdx ,否則為非齊次方程否則為非齊次方程. .)(11111ckbhaYbXacbkahbYaXfdXdY 2.解法解法1.1.定義定義微積分理論 馮國臣2022-3-22 , 0, 0111ckbhacbkah, 0)1(11 baba有唯一一組解有唯一一組解.)(11YbXabYaXfdXdY

20、得通解代回得通解代回 ，kyYhxX, 0)2( 未必有解未必有解, 上述方法不能用上述方法不能用.,01時時當當 b.1中必至少有一個為零中必至少有一個為零與與ba微積分理論 馮國臣2022-3-22,11 bbaa令令),)(1cbyaxcbyaxfdxdy 方程可化為方程可化為,byaxz 令令，則則dxdybadxdz ).()(11czczfadxdzb , 0 b若若可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程., 0, 01 ab若若),(1adxdzbdxdy )()(11cczfadxdzb 可分離變量的微分方程可分離變量的微分方程.,01時時當當 b,byaxz 令令可分離變量

21、可分離變量.微積分理論 馮國臣2022-3-22.314的通解的通解求求例例 yxyxdxdy解解, 021111 , 0301khkh方程組方程組, 2, 1 kh. 2, 1 YyXx令令,YXYXdXdY 代入原方程得代入原方程得，令令XYu 微積分理論 馮國臣2022-3-22,11uudXduXu 分離變量法得分離變量法得,)12(22cuuX ,222CXXYY 即即代回，代回，將將2, 1 yYxX得原方程的通解得原方程的通解,)1()2)(1(2)2(22Cxyxy .622122Cyxyxyx 或或方程變?yōu)榉匠套優(yōu)槲⒎e分理論 馮國臣2022-3-22利用變量代換求微分方程的解

22、利用變量代換求微分方程的解.)(52的通解的通解求求例例yxdxdy 解解,uyx 令令1 dxdudxdy代入原方程代入原方程21udxdy ,arctanCxu 解得解得得得代回代回, yxu ,)arctan(Cxyx 原方程的通解為原方程的通解為.)tan(xCxy 微積分理論 馮國臣2022-3-22小結(jié)小結(jié)齊次方程齊次方程).(xydxdy 齊次方程的解法齊次方程的解法.xyu 令令可化為齊次方程的方程可化為齊次方程的方程.,kYyhXx 令令微積分理論 馮國臣2022-3-22思考題思考題方程方程 )()()(2022xxydttyttyx 是否為齊次方程是否為齊次方程?微積分理

23、論 馮國臣2022-3-22思考題解答思考題解答方程兩邊同時對方程兩邊同時對 求導求導:x,222yxyyxy ,22yyxyx ,12xyxyy 原方程原方程是是齊次方程齊次方程.微積分理論 馮國臣2022-3-22)()(xQyxPdxdy 一階線性微分方程一階線性微分方程的標準形式的標準形式:, 0)( xQ當當上方程稱為上方程稱為齊次的齊次的.上方程稱為上方程稱為非齊次的非齊次的., 0)( xQ當當三、線性方程三、線性方程例如例如,2xydxdy ,sin2ttxdtdx , 32 xyyy, 1cos yy線性的線性的;非線性的非線性的.微積分理論 馮國臣2022-3-22. 0)

24、( yxPdxdy,)(dxxPydy ,)( dxxPydy,ln)(lnCdxxPy 齊次方程的通解為齊次方程的通解為.)( dxxPCey1. 線性齊次方程線性齊次方程一階線性微分方程的一階線性微分方程的解法解法(使用分離變量法使用分離變量法)微積分理論 馮國臣2022-3-222. 線性非齊次方程線性非齊次方程).()(xQyxPdxdy 討論討論,)()(dxxPyxQydy 兩邊積分兩邊積分,)()(ln dxxPdxyxQy),()(xvdxyxQ為為設(shè)設(shè) ,)()(ln dxxPxvy.)()( dxxPxveey即即非齊次方程通解形式非齊次方程通解形式與齊次方程通解相比與齊次

25、方程通解相比:)(xuC 微積分理論 馮國臣2022-3-22常數(shù)變易法常數(shù)變易法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法把齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法. .實質(zhì)實質(zhì): : 未知函數(shù)的變量代換未知函數(shù)的變量代換.),()(xyxu原未知函數(shù)原未知函數(shù)新未知函數(shù)新未知函數(shù)作變換作變換 dxxPexuy)()(,)()()()()( dxxPdxxPexPxuexuy微積分理論 馮國臣2022-3-22代代入入原原方方程程得得和和將將yy ,)()()(CdxexQxudxxP ),()()(xQexudxxP 積分得積分得一階線性非齊次微分方程的通解為一階線性非齊次微分方程的通解為

26、: dxxPdxxPeCdxexQy)()()(dxexQeCedxxPdxxPdxxP )()()()(對應(yīng)齊次對應(yīng)齊次方程通解方程通解非齊次方程特解非齊次方程特解微積分理論 馮國臣2022-3-22.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy ,1)(xxP ,sin)(xxxQ Cdxexxeydxxdxx11sin Cdxexxexxlnlnsin Cxdxxsin1 .cos1Cxx 解解例例1 1微積分理論 馮國臣2022-3-22例例2 2 如圖所示，平行與如圖所示，平行與 軸的動直線被曲軸的動直線被曲 線線 與與 截下的線段截下的線段PQ之之長數(shù)值上等于陰影部分的面積長數(shù)值上等

27、于陰影部分的面積, 求曲線求曲線 .y)(xfy )0(3 xxy)(xf,)()(230yxdxxfx xyxydx03,兩邊求導得兩邊求導得,32xyy 解解解此微分方程解此微分方程xyoxPQ3xy )(xfy 微積分理論 馮國臣2022-3-22 dxexCeydxdx23, 6632 xxCex, 0|0 xy由由, 6 C得得所求曲線為所求曲線為).222(32 xxeyx23xyy 微積分理論 馮國臣2022-3-22伯努利伯努利(Bernoulli)方程的標準形式方程的標準形式nyxQyxPdxdy)()( )1 , 0( n方程為方程為線性微分方程線性微分方程. 方程為方程為非線性微分方程非線性微分方程.伯努利方程伯努利方程時時，當當1 , 0 n時時，當當1 , 0 n解法解法: : 需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程需經(jīng)過變量代換化為線性微分方程.微積分理論 馮國臣2022-3-22,1 nyz 令令，則則dxdyyndxdzn )1(),()(1xQyxPdxdyynn ),()1()()1(xQnzxPndxdz 求出通解后，將求出通解后，將 代入即得代入即得nyz 1，得，得兩端除以兩端除以ny代入上式代入上式.