通信原理新講稿第3章--隨機(jī)過程

1、13.1 隨機(jī)過程基本概念3.2 平穩(wěn)隨機(jī)過程3.3 高斯隨機(jī)過程3.4 平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)3.5 窄帶隨機(jī)過程3.6 正弦波加窄帶高斯噪聲3.7 高斯白噪聲和帶限白噪聲 第第3章章 隨機(jī)過程隨機(jī)過程23.1 隨機(jī)過程基本概念隨機(jī)過程基本概念一、隨機(jī)過程一、隨機(jī)過程(t)的定義：的定義：l隨機(jī)樣本函數(shù)的總體；l不同時(shí)刻隨機(jī)變量的集合。33.1 隨機(jī)過程基本概念隨機(jī)過程基本概念二、隨機(jī)過程的分布函數(shù)l隨機(jī)過程 (t)的一維分布函數(shù)：l隨機(jī)過程 (t)的一維概率密度函數(shù)：)(),(11111xtPtxF1111111),(),(xtxFtxf43.1 隨機(jī)過程基本概念隨機(jī)過程基本概念l隨機(jī)過

2、程 (t)的二維分布函數(shù)：l隨機(jī)過程 (t)的二維概率密度函數(shù)：221121212)(,)() ,;,(xtxtPttxxF2121212221212),;,(),;,(xxttxxFttxxf53.1 隨機(jī)過程基本概念隨機(jī)過程基本概念隨機(jī)過程 (t)的任意n維分布函數(shù)：隨機(jī)過程 (t)的任意n維概率密度函數(shù)：nnnnnxtxtxtPtttxxxF)(,)(,)(),;,(22112121n21n21n21nnn21n21nx)tx()tx(xxttxxFttxxf，；，；，63.1 隨機(jī)過程基本概念隨機(jī)過程基本概念三、 隨機(jī)過程的數(shù)字特征1、均值a (t )();()(1tadxtxfxtE

3、73.1 隨機(jī)過程基本概念隨機(jī)過程基本概念三、 隨機(jī)過程的數(shù)字特征2、方差2)()()(tatEtD )()()(2)(2222222tatEtatEtatEtattatE均方值均值平方83.1 隨機(jī)過程基本概念隨機(jī)過程基本概念三、 隨機(jī)過程的數(shù)字特征3、相關(guān)函數(shù)4、協(xié)方差函數(shù)2121212212121),;,()()(),(dxdxttxxfxxttEttR 21212122211221121),;,()()( )()()()(),(dxdxttxxftaxtaxtattatEttB 93.2 平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程一、定義、性質(zhì)與特點(diǎn)：若一個(gè)隨機(jī)過程(t)的任意有限維分布函數(shù)與時(shí)間起點(diǎn)無

4、關(guān)，也就是說，對(duì)于任意的正整數(shù)n和所有實(shí)數(shù)，有),(),(21212121nnnnnntttxxxftttxxxf；則稱該隨機(jī)過程是在嚴(yán)格意義下的平穩(wěn)隨機(jī)過程，簡(jiǎn)稱嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程。103.2 平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程性質(zhì)：該定義表明，平穩(wěn)隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性不隨時(shí)間的推移而改變，即它的一維分布函數(shù)與時(shí)間t無關(guān)：而二維分布函數(shù)只與時(shí)間間隔 = t2 t1有關(guān)：)(),(11111xftxf);,(),;,(21221212xxfttxxf113.2 平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程數(shù)字特征：特點(diǎn)：（1）其均值與t無關(guān)，為常數(shù)a； （2）自相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間間隔有關(guān)。具有以上兩個(gè)特點(diǎn)稱為廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程廣義平

5、穩(wěn)隨機(jī)過程。adxxfxtE1111)()()();,()()(),(21212211121RdxdxxxfxxttEttR 123.2 平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程二、各態(tài)歷經(jīng)性：設(shè)：x(t)是平穩(wěn)過程(t)的任意一次實(shí)現(xiàn)（樣本），若2/2/2/2/)()(1lim)()()()(1lim)()(ETTTTTTdttxtxTtxtxRdttxTtxt即：過程的數(shù)字特征（統(tǒng)計(jì)平均）完全可由隨機(jī)過程中的任一實(shí)現(xiàn)的時(shí)間平均值來代替。133.2 平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程例例3-1 設(shè)一個(gè)隨機(jī)相位的正弦波為 其中，A和c均為常數(shù)；是在(0, 2)內(nèi)均勻分布的隨機(jī)變量。試討論(t)是否具有各態(tài)歷經(jīng)性。解：(

6、1)先求(t)的統(tǒng)計(jì)平均值：數(shù)學(xué)期望)cos()(tAtc2021)cos()()(dtAtEtac143.2 平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程自相關(guān)函數(shù)20)sinsincos(cos2dttAcc0sinsincoscos22020dtdtAcc2)(cos)(cos2)cos()cos()()(),(12122212121ttttEAtAtAEttEttRcccc153.2 平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程 可見， (t)的數(shù)學(xué)期望為常數(shù)，而自相關(guān)函數(shù)與t 無關(guān)，只與時(shí)間間隔 有關(guān)，所以(t)是廣義平穩(wěn)過程。(2) 求(t)的時(shí)間平均值20122122212)(cos2)(cos2dttAttAcccA

7、cos22163.2 平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程220)cos(1limTTcTdttATa22)(cos)cos(1lim)(TTccTdttAtATR22222)22cos(cos2limTTTTcccTdttdtTAcAcos22173.2 平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程比較統(tǒng)計(jì)平均與時(shí)間平均，可見：結(jié)論：隨機(jī)相位余弦波是各態(tài)歷經(jīng)的。)()(,RRaa183.2 平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程三、自相關(guān)函數(shù)：平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)具有以下特點(diǎn)：l (t)的平均功率l 的偶函數(shù)l R()的上界，即最大值。l (t)的直流功率l (t)的交流功率)()( RR)0()(RR22a)()(tER2)()0

8、( RR)()0(2tER193.2 平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程四、功率譜密度：定義：TfFmi lfPTT2)(E)()( fFT203.2 平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程l功率譜密度的計(jì)算：維納-辛欽關(guān)系自相關(guān)函數(shù)與其功率譜密度是一對(duì)傅里葉變換。記為deRPj)()(dePRj)(21)(推論213.2 平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程l對(duì)功率譜密度進(jìn)行積分，可得平穩(wěn)過程的總功率：l各態(tài)歷經(jīng)過程的任一樣本函數(shù)的功率譜密度等于過程的功率譜密度。l功率譜密度P ( f )具有非負(fù)性和實(shí)偶性，即有dffPR)()0(0)(fP)()(fPfP223.2 平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程例例3-2求隨機(jī)相位余弦波(t)

9、= Acos(ct + )的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度。解：在例3-1中，已經(jīng)求出(t)的相關(guān)函數(shù)為由維納-辛欽關(guān)系，以及得到cAcos2)(R2)()(cosccc)()(2)(2ccAP233.3 高斯（正態(tài)）隨機(jī)過程高斯（正態(tài)）隨機(jī)過程一、定義若任意n維概率密度函數(shù)可表示為njnkkkkjjjjknnnnnaxaxBBBtttxxxf112/1212/2121)(21exp.)2(1),.,.,(；則稱該隨機(jī)過程為高斯（正態(tài)）隨機(jī)過程。式中243.3 高斯（正態(tài)）隨機(jī)過程高斯（正態(tài)）隨機(jī)過程B為歸一化協(xié)方差矩陣的行列式，即 其中22)(),(kkkkkatEtEa11121221112nnn

10、nbbbbbbB kjkkjjjkatatEb)()(253.3 高斯（正態(tài)）隨機(jī)過程高斯（正態(tài)）隨機(jī)過程二、重要性質(zhì)1、 n維概率密度函數(shù)由數(shù)字特征確定；2、廣義平穩(wěn)的高斯過程也是嚴(yán)平穩(wěn)的；3、若不同時(shí)刻的取值是不相關(guān)的，則也是互相獨(dú)立的；4、高斯過程經(jīng)過線性變換后生成的過程仍是高斯過程。也可以說，若線性系統(tǒng)的輸入為高斯過程，則系統(tǒng)輸出也是高斯過程。263.3 高斯（正態(tài)）隨機(jī)過程高斯（正態(tài)）隨機(jī)過程三、高斯隨機(jī)變量高斯過程在任一時(shí)刻上是一個(gè)高斯隨機(jī)變量，其一維概率密度函數(shù)為221()( )exp22xaf x273.3 高斯（正態(tài)）隨機(jī)過程高斯（正態(tài)）隨機(jī)過程性質(zhì)：lf (x)對(duì)稱于直線

11、x = al la表示分布中心， 稱為標(biāo)準(zhǔn)偏差，表示集中程度，圖形將隨著 的減小而變高和變窄。當(dāng)a = 0和 = 1時(shí)，稱為標(biāo)準(zhǔn)化的正態(tài)分布。aadxxfdxxf21)()(283.3 高斯（正態(tài)）隨機(jī)過程高斯（正態(tài)）隨機(jī)過程計(jì)算：正態(tài)分布函數(shù)令 得221()( )()exp22xzaF xPxdz2/ )(azt2() /2( )22121122xatF xedtxaerf293.3 高斯（正態(tài)）隨機(jī)過程高斯（正態(tài)）隨機(jī)過程用互補(bǔ)誤差函數(shù)erfc(x)表示正態(tài)分布函數(shù)：當(dāng)x 2時(shí)，22( )1( )txerfc xerf xedt 2211)(axerfcxF21( )xerfc xex30

12、3.3 高斯（正態(tài)）隨機(jī)過程高斯（正態(tài)）隨機(jī)過程用Q函數(shù)表示正態(tài)分布函數(shù)：Q函數(shù)定義：Q函數(shù)和erfc函數(shù)的關(guān)系：Q函數(shù)和分布函數(shù)F(x)的關(guān)系：2/21( )2txQ xedt221)(xerfcxQ)2(2)(xQxerfcaxQaxerfcxF12211)(313.4 平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)1、輸出過程o(t)的均值 由于設(shè)輸入過程是平穩(wěn)的 ，則有可見輸出過程的均值是常數(shù)。dtEhdthEtEii)()()()()(0atEtEii)()()0()()(0HadhatE323.4 平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)2、輸出過程o(t) 的自相關(guān)函數(shù)

13、：根據(jù)輸入過程的平穩(wěn)性，有于是ddttEhhdthdthEttEttRiiii)()()()()()()()()()(),(11111010110 )()()(11iiiRttE)()()()(),(0110RddRhhttRi 333.4 平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)3、輸出過程o(t) 的功率譜密度令 = + - ，代入上式，得到即deRfPj)()(00deddRhhji)()()( 0)()()()(deRdehdehfPjijj)()()()()()(20fPfHfPfHfHfPii343.4 平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)輸出過程o(t)的概率

14、分布如果線性系統(tǒng)的輸入過程是高斯型的，則系統(tǒng)的輸出過程也是高斯型的。 353.5 窄帶隨機(jī)過程窄帶隨機(jī)過程 定義：若隨機(jī)過程(t)的譜密度集中在中心頻率fc附近相對(duì)窄的頻帶范圍f 內(nèi)，即滿足f fc的條件，且 fc 遠(yuǎn)離零頻率，則稱該(t)為窄帶隨機(jī)過程。功率譜密度圖 363.5 窄帶隨機(jī)過程窄帶隨機(jī)過程波形：窄帶隨機(jī)過程的表示：0)(,)(cos)()(tatttatcttttcsccsin)(cos)(373.5 窄帶隨機(jī)過程窄帶隨機(jī)過程式中 (t)的同相分量 (t)的正交分量 (t)的統(tǒng)計(jì)特性由a (t)和 (t)或c(t)和s(t)的統(tǒng)計(jì)特性確定。若(t)的統(tǒng)計(jì)特性已知，則a (t)和

15、 (t)或c(t)和s(t)的統(tǒng)計(jì)特性也隨之確定。 )(cos)()(ttatc)(sin)()(ttats383.5 窄帶隨機(jī)過程窄帶隨機(jī)過程3.5.1 c(t)和s(t)的統(tǒng)計(jì)特性l數(shù)學(xué)期望：對(duì)(t)求數(shù)學(xué)期望得到 因?yàn)?t)平穩(wěn)且均值為零，故對(duì)于任意的時(shí)間t，都有E(t) = 0 ，所以ttEttEtcsccsin)(cos)()(E0)(0)(tEtEsc，393.5 窄帶隨機(jī)過程窄帶隨機(jī)過程l(t)的自相關(guān)函數(shù)： 因?yàn)?t)是平穩(wěn)的，故有 這就要求上式的右端與時(shí)間t無關(guān)，而僅與有關(guān)。因此，若令 t = 0，上式仍應(yīng)成立，)()(),(ttEttR)(sinsin),()(cossin

16、),()(sincos),()(coscos),(ttttRttttRttttRttttRccsccsccccsccc)(),(RttR403.5 窄帶隨機(jī)過程窄帶隨機(jī)過程它變?yōu)橐蚺c時(shí)間t無關(guān)，以下二式自然成立所以，上式變?yōu)閏csccttRttRRsin),(cos),()(ccsccRRRsin)(cos)()()(),()(),(cscsccRttRRttR413.5 窄帶隨機(jī)過程窄帶隨機(jī)過程再令 t = /2c，同理可以求得由以上分析可知，若窄帶過程(t)是平穩(wěn)的，則c(t)和s(t)也必然是平穩(wěn)的。l進(jìn)一步分析，下兩式應(yīng)同時(shí)成立，csccsRRRsin)(cos)()(ccsccRRR

17、sin)(cos)()(csccsRRRsin)(cos)()(423.5 窄帶隨機(jī)過程窄帶隨機(jī)過程故有同相分量c(t) 和正交分量s(t)具有相同的自相關(guān)函數(shù)。根據(jù)互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)有代入上式，得到 ，表明Rsc()是 的奇函數(shù)，所以 。因此，同一時(shí)刻的同相和正交分量是互相正交的。)()(scRR)()(sccsRR)()(sccsRR)()(scscRR0)0(scR433.5 窄帶隨機(jī)過程窄帶隨機(jī)過程將 代入 得即結(jié)論：(t) 、 c(t)和s(t)具有相同的平均功率或方差。 0)0(csRcsccsRRRsin)(cos)()(ccsccRRRsin)(cos)()()0()0()0

18、(scRRR222sc443.5 窄帶隨機(jī)過程窄帶隨機(jī)過程l根據(jù)平穩(wěn)性，過程的特性與變量t無關(guān)，故由式 得到因?yàn)?t)是高斯過程，所以， c(t1)， s(t2)一定是高斯隨機(jī)變量，從而c(t) 、 s(t)也是高斯過程。tttttcsccsin)(cos)()()()(,0111ttttc時(shí))()(,2222ttttsc時(shí)453.5 窄帶隨機(jī)過程窄帶隨機(jī)過程l根據(jù) 可知， c(t) 與s(t)在 = 0處互不相關(guān)，又由于它們是高斯型的，因此c(t) 與s(t)也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。l結(jié)論結(jié)論：一個(gè)均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過程(t) ，它的同相分量c(t)和正交分量s(t)同樣是平穩(wěn)高斯過程，而且均值

19、為零，方差也相同。此外，在同一時(shí)刻上得到的c和s是互不相關(guān)的或統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。0)0(csR463.5 窄帶隨機(jī)過程窄帶隨機(jī)過程3.5.2 a(t)和(t)的統(tǒng)計(jì)特性l聯(lián)合概率密度函數(shù) f (a , )根據(jù)概率論知識(shí)有由可以求得),()(),(),(,afafscscsincosaasc),()(,ascscscaaaaacossinsincos2exp21)()(),(2222scscscfff473.5 窄帶隨機(jī)過程窄帶隨機(jī)過程于是有式中 a 0, = (0 2)2)sin()cos(exp2),(),(222aaafaafsc2222exp2aa483.5 窄帶隨機(jī)過程窄帶隨機(jī)過程la的一維

20、概率密度函數(shù)可見， a服從瑞利(Rayleigh)分布。202222exp2),()(daadafaf02exp222aaa493.5 窄帶隨機(jī)過程窄帶隨機(jī)過程l的一維概率密度函數(shù)可見， 服從均勻分布。20212exp21),()(02220daaadaaff503.5 窄帶隨機(jī)過程窄帶隨機(jī)過程l結(jié)論一個(gè)均值為零，方差為2的窄帶平穩(wěn)高斯過程(t)，其包絡(luò)a(t)的一維分布是瑞利分布，相位(t)的一維分布是均勻分布，并且就一維分布而言， a(t)與(t)是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的 ，即有 )()(),(fafaf513.6 正弦波加窄帶高斯噪聲正弦波加窄帶高斯噪聲l正弦波加窄帶高斯噪聲的表示式式中)()cos

21、()(tntAtrc)(cos)(sin)(cos)(sin)(sincos)(costttzttzttzttnAttnAccScccscc)(cos)(tnAtzcc)(sin)(tnAtzss523.6 正弦波加窄帶高斯噪聲正弦波加窄帶高斯噪聲l正弦波加窄帶高斯噪聲的包絡(luò)和相位表示式包絡(luò)：相位：l包絡(luò)的概率密度函數(shù) f (z)由0,)()()(22ztztztzsc)20(,)()()(1tztztgtcs222sincosnscscAzEAzE533.6 正弦波加窄帶高斯噪聲正弦波加窄帶高斯噪聲根據(jù)zc，zs與z，之間的隨機(jī)變量關(guān)系，求得在給定相位 的條件下的z與的聯(lián)合概率密度函數(shù)222

22、2)sin()cos(21exp21)/,(AzAzzzfscnnsc)/,()/,(sczzfzf)()(z,zzsc,)/,(sczzfz)cos(221exp22222AzAzznn543.6 正弦波加窄帶高斯噪聲正弦波加窄帶高斯噪聲然后求給定條件下的邊際分布， 即由于故有式中I0(x) 第一類零階修正貝塞爾函數(shù)dAzAzzdzfzfnnn)cos(exp2exp2)/,()/(220222220)(cosexp21020 xIdx20220)cos(exp21nnAzIdAz553.6 正弦波加窄帶高斯噪聲正弦波加窄帶高斯噪聲因此由上式可見，f (, z)與無關(guān)，故稱為廣義瑞利分布，又稱萊斯（Rice）分布。202222)(21exp)/(nnnAzIAzzzf0)(21exp)(202222zAzIAzzzfnnn563.6 正弦波加窄帶高斯噪聲正弦波加窄帶高斯噪聲l 討論l 當(dāng)信號(hào)很小時(shí)，即A 0時(shí)，上式中(Az/n2)很小，I0 (Az/n2) 1，上式的萊斯分布退化為瑞利分布。l 當(dāng)(Az/n2)很大時(shí)，有這時(shí)上式近似為高斯分布，即xexIx2)(0222)(exp21)(nnAzzf5