數(shù)列求和7種方法(方法全-例子多)

1、數(shù)列求和的根本方法和技巧配以相應的練習一、總論：數(shù)列求和7種方法：利用等差、等比數(shù)列求和公式錯位相減法求和反序相加法求和分組相加法求和裂項消去法求和分段求和法合并法求和利用數(shù)列通項法求和二、等差數(shù)列求和的方法是逆序相加法，等比數(shù)列的求和方法是錯位相減 法，三、逆序相加法、錯位相減法是數(shù)列求和的二個根本方法。數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，又是學習高等數(shù)學的根底.在高考和各種數(shù)學競賽中都占有重要的地位數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外，大局部數(shù)列的求和都需要一定的技巧.下面，就幾個歷屆高考數(shù)學和數(shù)學競賽試題來談談數(shù)列求和的根本方法和技巧、利用常用求和公式求和利用以下常用求

2、和公式求和是數(shù)列求和的最根本最重要的方法2、等比數(shù)列求和公式：Snna1a1(1 qn)1 qn13、Snk-n(n1)k 12n.3r1 “25、Snk二 n(n1)k 12例1 1log3x1+23求XX xlog231、等差數(shù)列求和公式：S吟型晉d(q 1)a1 anq1 q(q1)4、Snnk2k 11n(n 1)(2 n 1)6nX的前n項和.解：由 log3 xlog 3 xlog 2 3log 3 2由等比數(shù)列求和公式得Snx x2x3利用常用公式例 2設 Sn= 1+2+3+ +n, n N*,求 f(n)解:由等差數(shù)列求和公式得 SnSnf(n) (n 32)Sn 1n 34

3、164Vn，即題1.等比數(shù)列x(1 xn)1 x2dSn(n 32)Sn 1n(n 1),2nn2 34n 642 50n= 8 時，f (n)max50的最大值.Sni(n1)( n 2)利用常用公式504"-1S n = 2 n1,貝U -,b =題 2 .假設 12+22+(n-1)2= an3+ bn2+ cn，那么 a=個一1)雄2/-3旳"+訊1 11解：原式=r'答案："一二、錯位相減法求和這種方法是在推導等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列an bn的前n項和，其中 an 、 bn 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列例 3求和：

4、Sn 1 3x 5x2 7x3(2n 1)xn 1 解：由題可知，(2n 1)xn1的通項是等差數(shù)列2n 1的通項與等比數(shù)列 xn 1的通項之積設 xSn 1x 3x2 5x3 7x4(2n 1)xn 設制錯位一得(1 x)Sn 1 2x 2x2 2x3 2x4n 12x (2nn1)x錯位相減再利用等比數(shù)列的求和公式得：(1 x)Sn 1n 11 x 2x(2n1 x1)xn2 46例4求數(shù)列一，一2 2解：由題可知,設Sn2Sn練習題答案:練習題答案:n 1S (2n 1)x(2nSn 2(1 x)算前n項的和.1)xn (1 x)2 ' '2n歹的通項是等差數(shù)列2n的通項

5、與等比數(shù)列4尹423f 的通項之積22222一得(12)Sn26尹_6_2422Sn2n尹2n盯2歹12 n 1n 22歹2n2門12 2nnn 12 21 ""，求數(shù)列 an°一2 一2心=滬2 一郭+ 1Sn = 一 1*21 352 JUs 2B這是推導等差數(shù)列的前設制錯位錯位相減的前項和Sn.的前n項和為、反序相加法求和n項和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列反序，再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(a1 an).例 5求證：C0 3Cn 5C；(2n 1)C： (n 1)2n證明：設 Sn C0 3Cn 5C2(2n 1)C：把式右邊倒轉(zhuǎn)過來得S

6、n (2n 1)C：(2n 1)C： 13cn反序又由Crm Cn m可得Sn (2n1)C0(2n 1)cn3C；1C：+得 2Sn(2n2)(C0 C1Cn 1 nCnn)2(n1) 2n反序相加Sn(n 1)2n例 6求sin21sin2 2 sin2 3sin2 88sin2 89的值1解:解：設 S sin21 sin2 2將式右邊反序得S sin2 89又因為 si nx+得22S (sin 1S= 44.5sin 2 88cos(90sin2 3sin 2 88 2 “sin 89sin2 3sin22x), sin2 x cos2 x2 2 2cos 1 ) (sin 2 co

7、s 2 )1、卄+/8 ?+/廠9，而110丿1先利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)對函數(shù)化簡，后證明左邊證明：=_；的值.sin212 2(sin 89 cos 89 ) = 89=右邊反序反序相加2利用第1小題已經(jīng)證明的結(jié)論可知,兩式相加得:£ 二 1練習、求值：1只F+12 '尸+戸'' +ltf+l3四、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，假設將這類數(shù)列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可a1 (_2 a例7求數(shù)列的前n項和：11,1a7,3n2 , -1 解：設 Sn (11)(a將其每一項拆開再重新組合得1Sn

8、 (1-a當a= 1時,Sn4)7)3n 2)1n 1a(3n1)n)(13n 2)1na1丄a例8求數(shù)列n(n+1)(2n+1)的前n項和.當a 1時,(3n1)n分組分組求和(3n 1)n(3n 1)n2解：設 akk(k 1)(2k 1)2k33k2nSn k(k 1)(2kk 11)n(2 k313k2k)將其每一項拆開再重新組合得n3Sn= 2kk 1k2=2(1323n3)3(122n2)(1 2n)n2(nn(n 1)(2 n 1)n(n21)分組分組求和2n(n 1) (n2)五、裂項法求和重新組合，使之能消去一些項，最終到達求和的目的.通項分解裂項如:1anf(n 1)f(n

9、)sin 1cos n cos(n 1)tan(n 1) tan n3an45anan7an8an例9求數(shù)列n(n 1)an(2n )2(2n 1)(2 n1)的n(n 1)(n2)2 n(n 1)n 21n(n 1) 2n2(n1) nn(n1)(An B)(A n C)解：設an那么Sn(n1C B( An2 ' .2.3 In 、n 1=(.2 -1)(3例10在數(shù)列an中,an解:an，那么 Sn 1(n 1)2n ' n1(n 1)2nAn的前n 1 n2n n 12 2數(shù)列b n的前n項和11111Sn 8(1-)(-；)(-)22 33 4n項和.裂項裂項求和&#

10、39;又bn(-n-，求數(shù)列bn的前n項的和.an an 1=)裂項裂項求和8n111cos1cos0 cos1cos1 cos2cos88cos89.2 .sin 1111cos0 cos1cos1 cos2cos88cos89sin 1tan(n 1) tan n)sn cos(n 1)111cos0 cos1cos1 cos2cos88cos891(tan 1tan 0 ) (tan 2tan1 )(tan 3tan 2 )例11求證:解：設S Stan 89 tan 88 sinn 1=8(1 "裂項裂項求和1 (tan 89sin 1tan 0 )=sin 1cot1 =啤

11、sin 1答案:22 3 «-1-2 J原等式成立1 1 1 +-h - +練習題1.lx4弘丁 珈帥十1)111 1+ + . +練習題2。*-儀+恥+習_六、分段求和法合并法求和針對一些特殊的數(shù)列，將某些項合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時，可將這 些項放在一起先求和，然后再求Sn.例 12 求 cos1 ° + cos2° + cos3° + + cos178° + cos179° 的值.解：設 Sn= cos1 ° + cos2° + cos3° + + cos178°

12、 + cos179° cosn cos(180 n )找特殊性質(zhì)項- Sn= cos1 ° + cos179 °+ cos2° + cos178 °+ cos3° + cos177°+ + cos89° + cos91 °+ cos90°合并求和=0解：設S2002= a-ia2 a3a2002由a11, a23, a32, an2 an 1an可得a41, a53, a(6 2,a7髭 a83,a92,a101, a113, a122,a6k11, a6k 23, a6k3 2,a6k 41

13、, a6k 53,a6k 62a6k 1 a6k 2a6k 3a6k 4a6k 5a6k 60找特殊性質(zhì)項S2002 = a1a2a3a2002合并求和=(a1a 2a3a6)(a7a8a12)6k 1a6k 2a6k 6 )1993a1994a1998 )a1999a20ooa2001a2002=a1999a2000a2001a2002=a6k 1a6k 2a6k 3a6k 4=5在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，假設a5a69,求 log 3 a1log3 a2log 3 a10 的值.解：設Snlog 3 a1log 3 a2log 3 a10由等比數(shù)列的性質(zhì)m n p1 qa manapaq

14、找特殊性質(zhì)項例 14和對數(shù)的運算性質(zhì)loga M loga N log a M N 得Sn(log 3 a1log 3 a1o) (log 3 a2log 3 a9)(log 3 a5 log 3 a6)合并求和=(log 3 a1 a10)(log 3 a2 a9)(log 3 a5 a6)=log 3 9log 3 9log3 9練習、求和:g = _ 1) + (# _ 2)4-3(-總)練習題1 設 =+(T)£"1),那么鳥=答案：2 一 "'.練習題 2 .假設 Sn =1-2+3-4+(-1)n-1 n，那么 S17+S33 + S 50 等

15、于 ()A.1B.-1C.0D .2< _ m (聞為彳勵解：對前n項和要分奇偶分別解決，即：Sn=L ?答案：A練習題 31002-99 2+98 2-97 2+ +22-12 的值是A.5000B.5050C.10100D.20220解：并項求和，每兩項合并，原式=(100+99)+(98+97)+ +(2+1)=5050.答案：B七、利用數(shù)列的通項求和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進行分析，找出數(shù)列的通項及其特征，然后再利用數(shù)列的通項揭示的規(guī)律來 求數(shù)列的前n項和，是一個重要的方法.15求 1 111111111之和.n個1解：由于11111-9999!(10k1)k個 19k個 19二

16、1 11111111 1n個1=1(10191)1 2(10 1)9丄(103 1)91(10n 1)9=1(10110210310n)丄(1 111)99n個1找通項及特征分組求和=1 10(10n 1) n910 19=(10n 1 10 9n)例16數(shù)列an: an(n 1)(n,求(n1)(anan 1)的值3)n1解： (n 1)(anan 1)8(n1)-11 找通項及特征(n1)(n3)(n 2)(n4)8 -11 設制分組(n 2)(n4) (n 3)(n 4)11 11=4 (-)8(-)裂項n2n4n3n41 (n 1)(anan 1) 4(n 1n 1 n2宀)1 18 ( ) n 1 n 3 n 4分組、裂項求和,11、c14 ()834413提高練習：1.數(shù)列an中，Sn是其前n項和，并且Sn 14an2(n1