數列求和常用的五種方法

1、數列求和常用的五種方法一、利用常用求和公式求和利用以下常用求和公式求和是數列求和的最根本最重要的方法1、等差數列求和公式:n(a1 an)Sn2nan(n 1)d22、等比數列求和公式:na1印(1 qn)(q 1)3、Snk n( n 1)k 124、nk2k 11護 1)(2n1)5、Snk3k 11尹n 1)1.log3 xlog 2 31，求xx2x3解：由log 3 xlog2 3log3 xlog 3 2Snx x2=x(1 x1 x12n12a a.q1 q(q 1)的前n項和.由等比數列求和公式得12n二、錯位相減法求和這種方法是在推導等比數列的前 n項和公式時所用的方法，這種

2、 方法主要用于求數列an bn的前n項和，其中 an 、 bn 分別是 等差數列和等比數列.例 2.求和：Sn 1 3x 5x2 7x3(2n 1)xn 1解：由題可知，(2n 1)xn1的通項是等差數列2n - 1的通項與等比 數列xn1的通項之積當 X 1時，Sn 13 5>IZ設xSn 1X3x2 5x3 7x4(2n 1)xn設制錯位一得(1X)Sn 1 2X2x22x3 2x42x1(2n 1)xn錯位相減再利用等的求和公(11x)Sn 1 2x 1(2n1)xa0, abnSn1，數列an lga,(2n 1)xn 11)xn (1 x)2(2nan是首項為a.(nN)，求數

3、列bn(1 x)公比也為a的等比數列,的前n項和Sn。解析:a,SaSnn ua ,bnn(a 2a2,23(a 2an a3alga33a4n nan na)lg a1)lg a-得：(1 a)Sn/ 2(a ana na1)lgaSna lg a2 1(1 n na)a(1 a)點評：設數列an的等比數列，數列bn是等差數列，那么數列1 2n 1 n72n 12anbn的前n項和Sn求解，均可用錯位相減法。三、反序相加法求和這是推導等差數列的前n項和公式時所用的方法，就是將一個數 列倒過來排列反序，再把它與原數列相加，就可以得到n個(ai務).f(-)f(n 1)nn的值;2數列an滿足：

4、an1f(0) f()2 f()nn列an是例4.函數f(x)對任意x R，都有f(x) f (1 x)f(- 1) f(1)，數n等差數列嗎？請給與證明。3bn44a-1S-3216nTn b,2 b22bn2試比擬Tn與Sn的大小。解：1令x 1,可得f(1)丄，2242anf(0)f(-)f(-)nn,n1上n 2anf(1)f()f ()nn1n 12 anf(0)f(1)f()f()nnn 1an43bn -,Tn16(11 1.2影n2332Sn1 n 1111f() f (- -)f() f(1 -)-nnnn 2n 1f() f (1)n2 1f (-) f (1)f(0)nn

5、f(1)f(0)1(n 1)21 1112)16(1-)n1 223(n 1) n16n四、分組法求和有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，假設將這類數 列適當拆開，可分為幾個等差、 再將其合并即可 例5.求數列的前n項和：1等比或常見的數列，然后分別求和,求和例6.A解：設 Sn(1 1) (- 4)a111,4,-2aa1(27)a7, ,4 3n 2， a1(h 3n 2)a將其每一項拆開再重新組合得1 1Sn (1-2a a當a= 1時,1)(14aSn3n 2)分組Sn = 2=(3n1)n2分組1n a1丄a求數列n(n+1)(2n+1)的前當a 1時，Sn>1/(3n

6、 1)n2n項和.解：設 ak k(k 1)(2k 1) 2k3 3k2 knn3Sn k(k 1)( 2k 1) =(2kk 1k 1將其每一項拆開再重新組合得nnn32k 3 kkk 1k 1k 1分組23k k)(3n1)n2=2(13 23n3) 3(1222n2) (1 2n)2 2=n (n 1) n(n 1)(2n 1)2n(n22H = n(n 1) (n22)五、裂項法求和這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用.裂項法的實質是將數列中的每項通項分解，然后重新組合，使之能消去一些項, 最終到達求和的目的.通項分解裂項如：1f(n 1) f(n)2si n1cos n cos(n 1)tan(n 1)tann3a1 1 n(n 1) n4an(2n)2(2n 1)(2 n 1)1 12(2n 112n 1)5_ 1 n(n1)( n 2)(n 1)(n(6) ann 2n(n 1)12n2(n1) n n(n 1)12n1n 2n 1缶那么S例7.求數列解：設a的前n項和._n 1裂項裂項求和=C.2 d) (.3. 2)n) * n