數(shù)學(xué)分析：第12章數(shù)項(xiàng)級數(shù)

1、在初等數(shù)學(xué)中，我們知道：任意有限個(gè)實(shí)數(shù) UJ2,1 丄2 22123又如，1( 1)1 ( 1)從直觀上可知，其和為1.其和無意義；那么其和為：0；那么和為：1.其結(jié)果完全不同.,Un相加，其結(jié)果仍是一個(gè)實(shí)數(shù),.如+ 連接起來的表達(dá)式1第十二章 數(shù)項(xiàng)級數(shù)目的與要求：1.使學(xué)生掌握數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂性的定義和收斂級數(shù)的性質(zhì) ，掌握等比級數(shù) 與調(diào)和級數(shù)的斂散性；2.掌握判別正項(xiàng)級數(shù)斂散性的各種方法，包括比擬判別法，比式 判別法，根式判別法和積分判別法.重點(diǎn)與難點(diǎn)：本章重點(diǎn)是數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂性的定義，根本性質(zhì)和判別正項(xiàng)級數(shù)斂散性的 各種方法；難點(diǎn)那么是應(yīng)用柯西收斂準(zhǔn)那么判別級數(shù)的斂散性 第一節(jié)級數(shù)的收斂性級數(shù)

2、的概念在本章將討論無限多個(gè)實(shí)數(shù)相加所可能出現(xiàn)的情形及特征假設(shè)將其改寫為：(1 1) (1 1) (1 1)假設(shè)寫為：1 ( 1) 1 ( 1) 1問題：無限多個(gè)實(shí)數(shù)相加是否存在和；如果存在，和等于什么.1 級數(shù)的概念定義1給定一個(gè)數(shù)列Un，將它的各項(xiàng)依次用加號U1 U2 U3Un稱為數(shù)項(xiàng)級數(shù)或無窮級數(shù)簡稱級數(shù)，其中Un稱為級數(shù)1的通項(xiàng).級數(shù)1簡記為：Un ,或叫.n 12 級數(shù)的局部和nSn Uk U1 U2Un稱之為級數(shù) Un的第n個(gè)局部和，簡稱局部和k 1n 13 級數(shù)的收斂性定義2假設(shè)數(shù)項(xiàng)級數(shù)Un的局部和數(shù)列Sn收斂于S即lim Sn S，那么稱數(shù)項(xiàng)n 1n級數(shù) Un收斂，稱S為數(shù)項(xiàng)級數(shù)

3、Un的和，記作n 1n 1SUn=U1U2 U3n 1Unn 1aq aSn發(fā)散，那么稱數(shù)項(xiàng)級數(shù)Un發(fā)散.n 1試討論等比級數(shù)幾何級數(shù)aq aqaq，(a 0)113 4n(n 1)假設(shè)局部和數(shù)列例1n的收斂性.解：見P2.例2討論級數(shù)1 11 22 3的收斂性.解：見P2.二收斂級數(shù)的性質(zhì)1級數(shù)與數(shù)列的聯(lián)系由于級數(shù)Un的斂散性是由它的局部和數(shù)列&來確定的，因而也可以認(rèn)為數(shù)項(xiàng)級n 1數(shù) Un是數(shù)列Sn的另一表現(xiàn)形式.反之，對于任意的數(shù)列 an，總可視其為數(shù)項(xiàng)級數(shù)n 1(an an 1 )Un ai (a2 ai )(a3 a2)n 1(an an 1)有相同的的局部和數(shù)列，此時(shí)數(shù)列 a

4、n與級數(shù)a1 (a? aj 3 a?)斂散性，因此，有2 級數(shù)收斂的準(zhǔn)那么定理1級數(shù)收斂的Cauchy準(zhǔn)那么級數(shù)1收斂的充要條件是：任給正數(shù)，總存在正整數(shù)N，使得當(dāng)m N以及對任意的正整數(shù)p，都有u m 1 um 2um p注：級數(shù)1發(fā)散的充要條件是：存在某個(gè)0 0，對任何正整數(shù) N,總存在正整數(shù)mo( N), po，有Umo 1 U mo 2Umo po3 級數(shù)收斂的必要條件推論 必要條件 假設(shè)級數(shù)1收斂，那么lim Un 0.n注：此條件只是必要的，并非充分的，如下面的例3.例3討論調(diào)和級數(shù).1 111 2 3n的斂散性.1解：顯然，有 lim un lim -0，但當(dāng)令 p m時(shí)，有nn

5、 n 1111um 1 u m 2 um 3u2mm 1 m2 m32m11 11-2m 2m 2m2m 21因此，取o 1，對任何正整數(shù)N,只要m N和p m就有U mo 1 umo 2um) Po0 ，故調(diào)和級數(shù)發(fā)散例4應(yīng)用級數(shù)收斂的柯西準(zhǔn)那么證明級數(shù)$收斂.n證明：由于11故對m(m 1)0，取N(m 1)(m2)1T，使當(dāng)mUm 1 Um 2Um pUm 1 Um 21 112 2m 1)(m 2)(m p)211 1 1m p 1)(mp)m m p mN及對任何正整數(shù)p，都有1Um p故級數(shù)丄收斂.n4 收斂級數(shù)的性質(zhì)定理2假設(shè)級數(shù) Un與 Vn都有收斂，那么對任意常數(shù)C,d ,級

6、數(shù) (CUn dV.)也收n 1n 1n 1斂，且 (cun dvn) c un d vn .n 1n 1n 1即對于收斂級數(shù)來說，交換律和結(jié)合律成立.定理3去掉、增加或改變級數(shù)的有限個(gè)項(xiàng)并不改變級數(shù)的斂散性.即級數(shù)的斂散性與級數(shù)的有限個(gè)項(xiàng)無關(guān)，但其和是要改變的假設(shè)級數(shù) Un收斂，設(shè)其和為 S，那么級數(shù)Un 1 Un 2也收斂，且其和為n 1Rn S Sn.并稱為級數(shù) Un的第n個(gè)余項(xiàng)簡稱余項(xiàng)，它代表用S.代替S時(shí)所產(chǎn)生的誤n 1差.定理4 在收斂級數(shù)的項(xiàng)中任意加括號，既不改變級數(shù)的收斂性，也不改變它的和.注意：從級數(shù)加括號后的收斂，不能推斷加括號前的級數(shù)也收斂即去括號法那么不成 立.如：(1

7、 1) (1 1)(1 1)0 00收斂,而級數(shù)1111是發(fā)散的.作業(yè)P5 1，2， 3， 4， 5，6，7.第二節(jié) 正 項(xiàng) 級 數(shù)一 正項(xiàng)級數(shù)收斂性的一般判別原那么假設(shè)級數(shù)各項(xiàng)的符號都相同，那么稱為同號級數(shù) . 而對于同號級數(shù)，只須研究各項(xiàng)都由正 數(shù)組成的級數(shù)正項(xiàng)級數(shù) . 因負(fù)項(xiàng)級數(shù)同正項(xiàng)級數(shù)僅相差一個(gè)負(fù)號，而這并不影響其收 斂性.1 正項(xiàng)級數(shù)收斂的充要條件定理 5 正項(xiàng)級數(shù) un 收斂 局部和數(shù)列 Sn 有界 .n1證明：由于對 n， un 0，故 Sn 是遞增的，因此，有un 收斂Sn 收斂Sn 有界 .n12 比擬原那么定理 6比擬原那么 設(shè) un 和 vn 均為正項(xiàng)級數(shù)，如果存在某個(gè)

8、正數(shù) N ，使得對 n 1 n1n N 都有un vn ，那么 1假設(shè)級數(shù) vn 收斂，那么級數(shù) un 也收斂；n 1n 12假設(shè)級數(shù) un 發(fā)散，那么級數(shù)vn 也發(fā)散.n 1n 1證明：由定義及定理 5即可得 .例1考察的收斂性.n 1 n n 1解：由于當(dāng)n2時(shí)，有1_ _1 n2 n n(n1)12 5(n 1)2因正項(xiàng)級數(shù)1"2收斂故n2-收斂.1比擬判別法的極限形式推論比擬判別法的極限形式Unn 1和Vn是兩個(gè)正項(xiàng)級數(shù)，假設(shè)n 1.Un lim n vn1當(dāng)0 l2當(dāng)l 0且級數(shù)3當(dāng)l且時(shí)，級數(shù)那么Un1Vnn 1同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散;Vn收斂時(shí)，級數(shù) Un也收斂;n 1n

9、1Vn發(fā)散時(shí)，級數(shù) un 1n 1n也發(fā)散.證明：由比擬原那么即可得.例2討論級數(shù)亠的收斂性2n n解：利用級數(shù)丄的收斂性，由推論可知級數(shù)2n例3由級數(shù) 1的發(fā)散性，可知級數(shù)sin 1是發(fā)散的.nn比式判別法和根式判別法定理7 達(dá)朗貝爾判別法，或稱比式判別法設(shè)Un為正項(xiàng)級數(shù)，且存在某個(gè)正整數(shù)N0及常數(shù)q(0,1):(1)假設(shè)對n N0，有Un 1Unq，那么級數(shù)Un收斂；(2)假設(shè)對n N0，有Un 1Un1，那么級數(shù)Un發(fā)散.1比式判別法證明：11不妨設(shè)對一切n，有亠 q成立，于是，有UnUnU2U3-q，一 q，U1U2故 U1 U3Unn 1q ，即 UnU1 U2Un 1-q,.Un

10、1qqn1，由于，當(dāng)q (0,1)時(shí)，級數(shù)qn1收斂，由比擬原那么，可知級數(shù)Un收斂.n 12因此時(shí)lim Un 0，故級數(shù)Un發(fā)散.n2比式判別法的極限形式推論比式判別法的極限形式設(shè) Un為正項(xiàng)級數(shù)，且limnUn 1Un那么1當(dāng)q 1時(shí)，級數(shù) Un收斂;(2)當(dāng)q 1可為 丨時(shí)，級數(shù) Un發(fā)散;(3)當(dāng)q 1時(shí)，級數(shù) un可能收斂，也可能發(fā)散.如: 證明：由比式判別法和極限定義即可得.例4討論級數(shù)22_52 5 82 5 823(n1)1 1 51 5 91 5 914( n1)的收斂性.例5討論級數(shù)nxn 1 (x 0)的收斂性.3 根式判別法定理8柯西判別法，或稱根式判別法設(shè) Un為正

11、項(xiàng)級數(shù)，且存在某個(gè)正整數(shù) N。及正常數(shù)丨，1假設(shè)對 n No，有n unl 1， 那么級數(shù)Un收斂；2假設(shè)對n No，有 n Un 1，貝U級數(shù) Un發(fā)散.證明：由比擬判別法即可得.4 根式判別法的極限形式推論根式判別法的極限形式設(shè) un為正項(xiàng)級數(shù)，且lim n Un 丨，n那么1當(dāng)當(dāng)l 1時(shí)，級數(shù)Un收斂；2當(dāng)當(dāng)l 1可為丨時(shí)，級數(shù) Un發(fā)散；3當(dāng)當(dāng)q 1時(shí)，級數(shù)Un可能收斂，也可能發(fā)散.如：1n12 n例6討論級數(shù)2 (廣的斂散性.2n解：由上推論即得說明：因lim 虹 q lim n u； q這就說明凡能用比式判別法判定收斂性的級數(shù)，n Un；飛也能用根式判別法來判斷，即根式判別法較之比

12、式判別法更有效但反之不能，如例6.三積分判別法積分判別法是利用非負(fù)函數(shù)的單調(diào)性和積分性質(zhì)，并以反常積分為比擬對象來判斷正項(xiàng)級數(shù)的斂散性定理9設(shè)f(x)為1,)上非負(fù)減函數(shù)，那么正項(xiàng)級數(shù)f(n)與反常積分1 f(x)dx同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散證明：由假設(shè)f(x)為1,)上非負(fù)減函數(shù)，那么對任何正數(shù) A， f (x)在1，A上可積，從而有f(n) n 1 f(x)dx f (n 1)， n 2,3,mmm 1依次相加，得f(n) 1n 2f(x)dxf (n 1)n 2nf (n)1假設(shè)反常積分收斂，那么對m，有Smmf (n)n 1mf(1)1 f(x)dx f(1)1 f(x)dx于是，知級數(shù)f

13、(n)收斂.反之，假設(shè)級數(shù)f(n)收斂，那么對任意正整數(shù)m( 1)，有f(x)dx Sm if(n)1n 1又因f(x)為1,)上非負(fù)減函數(shù)，故對任何 AA0 f (x)dx SnS, n1故知，反常積分1 f (x)dx收斂.f (n) S.1，有A n 1.1n 3 n(ln n)(ln In n)p(1)， 2n 1 nn132 n(In n)p '的斂散性.作業(yè)P161，2, 3, 4,5， 6， 7， 8,9.例7討論以下級數(shù)同理可證它們同時(shí)發(fā)散.第三節(jié)般項(xiàng)級數(shù)一 交錯(cuò)級數(shù)1 交錯(cuò)級數(shù)的定義假設(shè)級數(shù)的各項(xiàng)符號正負(fù)相間，即u1 u2 u3 u4( 1)nun(un 0, n 1

14、,2, ) 1那么稱 1為交錯(cuò)級數(shù) .2 交錯(cuò)級數(shù)收斂的判別定理 11 (萊布尼茨判別法 ) 假設(shè)交錯(cuò)級數(shù) (1) 滿足下述兩個(gè)條件：1. 數(shù)列 un 單調(diào)遞減；2. lim un 0 n那么級數(shù) (1) 收斂 .證 ( 證明局部和數(shù)列 Sn 的兩個(gè)子列 S2m 和 S2m 1 收斂于同一極限 .)考察交錯(cuò)級數(shù) (1) 的局部和數(shù)列 Sn 的偶子列 S2m 和奇子列 S2m 1UlU2 U3U2m 2U2m 1,S>m (Ui U2) (U3 U4)(U 2m 1 U2m) 由條件1.上述兩式中各個(gè)括號內(nèi)的數(shù)都是非負(fù)的，從而數(shù)列S2m1是遞減的，而數(shù)列S2m° S2m 1S2m

15、U2m0(m),從而S2m，S2m1】是一個(gè)區(qū)間套由區(qū)間套定理,存在唯一的一個(gè)數(shù)S,使得lim S2m 1 lim SzmS.mm所以數(shù)列Sn收斂,即交錯(cuò)級數(shù)(1)收斂.推論假設(shè)交錯(cuò)級數(shù)(1)滿足萊布尼茨判別法的條件，那么收斂的交錯(cuò)級數(shù)(1)的余和Rn 的符號與余和的首項(xiàng)相同，并有RnUn 1 .判別級數(shù)(n 1n1也n(x °)的斂散性.n解 ° x 1時(shí),由萊布尼茨判別法知，(1)n 收斂;n 1nnx 1時(shí),通項(xiàng)(1)n0,所以1n發(fā)散.n 1n絕對收斂級數(shù)及其性質(zhì)1絕對收斂和條件收斂假設(shè)級數(shù) Un各項(xiàng)絕對值所組成的級數(shù)n 1片收斂,那么稱原級數(shù)Un為絕對收n 1n

16、1假設(shè)級數(shù)Un收斂,但各項(xiàng)絕對值所組成的級數(shù)| Un不收斂,那么稱原級數(shù)Unn 1n 1n 1為條件收斂.以級數(shù) 1n1為例，先說明 收斂絕對收斂.n 1n2 絕對收斂與收斂的關(guān)系定理12絕對收斂的級數(shù)一定收斂.證用柯西收斂準(zhǔn)那么.一般項(xiàng)級數(shù)判斂時(shí)，先應(yīng)判其是否絕對收斂.n例2判斷級數(shù)是絕對收斂還是條件收斂.n 1 n!3 絕對收斂級數(shù)的性質(zhì)1. 絕對收斂級數(shù)可重排性我們把正整數(shù)列 1, 2, ,n, 到它自身的一一映射 f ：n k(n) 稱為正整數(shù)列的 重排，相應(yīng)的對于數(shù)列un按映射 F： unuk(n)所得到的數(shù)列uk(n)稱為原數(shù)列un的重排，相應(yīng)于此，我們也稱級數(shù)uk(n) 是級數(shù)

17、un 的重排 .n 1 n 1定理 13 設(shè)級數(shù) un 絕對收斂 , 且其和等于 S, 那么任意重排后所得到的級數(shù) n1uk(n) 也絕對收斂亦有相同的和數(shù) .n12 級數(shù)的乘積設(shè)有收斂級數(shù)Un A與收斂級數(shù)Vn B ,那么它們的乘積UnVnn1n1n1n1按正方形排列順序有：UnVnU1V1U1V2U2V2U2V1U1V3U2V3U3V3U3V2U3V1n1n1按對角線排列順序有：UnVnU1V1U1V2U2V1U1V3U2V2U3V1114U2V3U3V2U4V1n 1n 1定理14假設(shè)級數(shù)Un A與級數(shù)Vn B都絕對收斂，那么按任意順序排列所得n 1n 1到的級數(shù)乘積Unn 1Vn也絕對

18、收斂，且其和等于AB .n 1例3等比級數(shù)1 r r21 r是絕對收斂的，將2rn按對角線順序排列，那么得到n 0R 1 (r r)(22)n n(r r1 2r 3r2(n 1)rn阿貝爾判別法和狄利克雷判別法對于型如an bn的級數(shù)的判斂，可用阿貝爾判別法和狄利克雷判別法n 11 阿貝爾判別法引理分部求和公式，或稱阿貝爾變換設(shè)i和Vii 1,2, ,n為兩組實(shí)數(shù).knn 1記kVi (k 1,2, ,n).貝Ui 1iiVi1(ii 1) in ni 1推論阿貝爾引理設(shè)(1)i (i 1,2,n)是單調(diào)數(shù)組;(2)對任一正整數(shù)k 1 k n,有1 kkA，這里 kVi (k 1,2,n),i 1那么記max k 時(shí)，有nkVk 3 A.定理15阿貝爾判別法k 1假設(shè)an為單調(diào)有界數(shù)列，且級數(shù)bn收斂,n 1那么級數(shù)anbn收斂.n 1證用柯西收斂準(zhǔn)那么利用阿貝爾引理估計(jì)尾項(xiàng)由 bn收斂,依柯西收斂準(zhǔn)那么，對任給n 10 ,存在正數(shù)N，使當(dāng)n N時(shí)，對任一正整數(shù)p,都有又由于數(shù)列an單調(diào)有界，所以存在M 0，使anM，應(yīng)用阿貝爾引理可得到akbk3M由柯西