新人教版初三數(shù)學(xué)二次函數(shù)公式及知識點總結(jié)

1、新人教版初三數(shù)學(xué)二次函數(shù) 知識點總結(jié)一、二次函數(shù)概念：21二次函數(shù)的概念：一般地，形如y ax bx c a, b , c是常數(shù)，a 0的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。22. 二次函數(shù)y ax bx c的結(jié)構(gòu)特征： 等號左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x的二次式，x的最高次數(shù)是2a , b , c是常數(shù)，a是二次項系數(shù)，b是一次項系數(shù)，c是常數(shù)項.二、二次函數(shù)的根本形式1. 二次函數(shù)根本形式：y ax2的性質(zhì)：a的絕對值越大，拋物線的開口越小。a的符號開口方向頂點坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)a 0向上0, 0y軸x 0時，y隨x的增大而增大；x 0時，y隨 x的增大而減?。粁 0時，y有最小值0 .a 0向下0, 0y軸

2、x 0時，y隨x的增大而減??；x 0時，y隨 x的增大而增大；x 0時，y有最大值0 .2. y ax2 c的性質(zhì)：上加下減。a的符號開口方向頂點坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)a 0向上0, cy軸x 0時，y隨x的增大而增大；x 0時，y隨 x的增大而減?。粁 0時，y有最小值c .a 0向下0, cy軸x 0時，y隨x的增大而減?。粁 0時，y隨 x的增大而增大；x 0時，y有最大值c .23. y a x h的性質(zhì)：左加右減。a的符號開口方向頂點坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)a 0向上h , 0X=hx h時，y隨x的增大而增大；x h時，y隨 x的增大而減??；x h時，y有最小值0 .a 0向下h , 0X=hx h

3、時，y隨x的增大而減??；x h時，y隨 x的增大而增大；x h時，y有最大值0 .24. y a x h k的性質(zhì):a的符號開口方向頂點坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)a 0向上h , kX=hx h時，y隨x的增大而增大；x h時，y隨 x的增大而減?。粁 h時，y有最小值k .a 0向下h , kX=hx h時，y隨x的增大而減?。粁 h時，y隨 x的增大而增大；x h時，y有最大值k .三、二次函數(shù)圖象的平移1. 平移步驟：2方法一：將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點式 y a x h k，確定其頂點坐標(biāo) h , k ；保持拋物線y ax2的形狀不變，將其頂點平移到h，k處，具體平移方法如下:y=ax2平移|k|個

4、單位y=a(x h)2向右(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或下(k0)【或向下(k y=ax 2+k向右(h0)【或左(*0)】平移|k|個單位向右(h0)【或左(h0)】平移|k|個單位y=a (x-h)2+k2.平移規(guī)律 在原有函數(shù)的根底上方法二：h值正右移，負(fù)左移；k值正上移，負(fù)下移概括成八個字“左加右減，上加下減y ax2 bx c沿y軸平移：向上下平移 m個單位，yax2 bx c變成2 2y ax bx c m或 y ax bx c my ax2 bx c沿軸平移：向左右平移m個單位，y ax2 bx c變成a(x m)2 b(x m) c或 ya(x m)2 b(x m)

5、c四、二次函數(shù)ya x h $ k與y ax2 bx c的比擬從解析式上看，y a x h 2 k與y ax2 bx c是兩種不同的表達(dá)形式，后者通過配方可以得到前2 2 2b 4ac bb , 4ac b者，即卩y a x，其中h, k2a4a2a4a五、二次函數(shù)y ax2 bx c圖象的畫法五點繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)y ax2 bx c化為頂點式y(tǒng) a(x h)2 k ,確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標(biāo)，然后在對稱軸兩側(cè)，左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為：頂點、與y軸 的交點0, c、以及0 , c關(guān)于對稱軸對稱的點2h , c、與x軸的交點 為,0 , X2, 0 假設(shè)與x

6、軸沒有交點，那么取兩組關(guān)于對稱軸對稱的點畫草圖時應(yīng)抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與 x軸的交點，與y軸的交點.六、二次函數(shù)y ax2 bx c的性質(zhì)1當(dāng)a 0時，拋物線開口向上，對稱軸為x，頂點坐標(biāo)為b 4ac b22a 4a當(dāng)x 時，y隨x的增大而減小；當(dāng)x 時，y隨x的增大而增大；當(dāng)x 時，y有最小2a2a2a值4ac.4a2當(dāng)a 0時，拋物線開口向下， 對稱軸為x一，頂點坐標(biāo)為2ab 4ac b22a 4aA時,2ax的增大而增大；當(dāng)x 時，y隨x的增大而減??；當(dāng)x b時，y有最大值 竺 b2a2a4a七、二次函數(shù)解析式的表示方法1. 一般式：y ax2 bx c a， b， c

7、 為常數(shù)，a 0；2. 頂點式：ya(xh) k a， h， k為常數(shù)，a 0丨；3. 兩根式：ya(xxj(x X2) a 0,捲，他是拋物線與x軸兩交點的橫坐標(biāo).注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點式，只 有拋物線與x軸有交點，即b2 4ac 0時，拋物線的解析式才可以用交點式表示.二次函數(shù)解析式 的這三種形式可以互化.八、1.二次函數(shù)的圖象與各項系數(shù)之間的關(guān)系二次項系數(shù)a二次函數(shù)y ax2 bx c中，a作為二次項系數(shù)，顯然 a 0 .0時，拋物線開口向上，a的值越大,0時，拋物線開口向下，a的值越小, 開口越小，反之 a的值越小，開口越

8、大; 開口越小，反之 a的值越大，開口越大.2.總結(jié)起來,a決定了拋物線開口的大小和方向,a的正負(fù)決定開口方向，a的大小決定開口的大小.一次項系數(shù)b在二次項系數(shù)a確定的前提下，b決定了拋物線的對稱軸.0的前提下，當(dāng)b0時，b0 ,即拋物線的對稱軸在 y軸左側(cè);2a當(dāng)b0時，_b_0 ,即拋物線的對稱軸就是 y軸；2a當(dāng)b0時，b0 ,即拋物線對稱軸在 y軸的右側(cè).2a0的前提下,當(dāng)b0時，b0 ,即拋物線的對稱軸在 y軸右側(cè);2a當(dāng)b0時，_b_0 ,即拋物線的對稱軸就是 y軸；2a當(dāng)b0時，_b_0 ,即拋物線對稱軸在 y軸的左側(cè).2a結(jié)論剛好與上述相反，即總結(jié)起來，在a確定的前提下,ab的

9、符號的判定：對稱軸xb決定了拋物線對稱軸的位置.K在y軸左邊那么ab 0 ,在y軸的右側(cè)那么ab 0,概括的說就是“左2a同右異3.常數(shù)項c0時，拋物線與y軸的交點在X軸上方，即拋物線與y軸交點的縱坐標(biāo)為正;當(dāng)c 0時，拋物線與當(dāng)c 0時，拋物線與y軸交點的縱坐標(biāo)為0 ； y軸交點的縱坐標(biāo)為負(fù).九、二次函數(shù)圖象的對稱1.二次函數(shù)圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達(dá) 關(guān)于x軸對稱2y ax bx c關(guān)于x軸對稱后，得到的解析式是2 axbx2.2y a x h k關(guān)于x軸對稱后，得到的解析式是關(guān)于y軸對稱y ax2 bx c關(guān)于y軸對稱后，得到的解析式是ax2bx c ；y軸的交點

10、為坐標(biāo)原點，即拋物線與y軸的交點在x軸下方，即拋物線與總結(jié)起來，c決定了拋物線與 y軸交點的位置.總之，只要a , b, c都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的.二次函數(shù)解析式確實定:根據(jù)條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根 據(jù)題目的特點，選擇適當(dāng)?shù)男问?，才能使解題簡便.一般來說，有如下幾種情況：1. 拋物線上三點的坐標(biāo)，一般選用一般式；2. 拋物線頂點或?qū)ΨQ軸或最大小值，一般選用頂點式;3. 拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；4. 拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點，常選用頂點式.2y a x h k關(guān)于y軸對稱后，得到的解析式是3.關(guān)于原點對稱

11、y ax2 bx c關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是ax2bx2y a x h k關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是4.關(guān)于頂點對稱即：拋物線繞頂點旋轉(zhuǎn)180 y ax2bx c關(guān)于頂點對稱后，得到的解析式是2 axbx2b2ak關(guān)于頂點對稱后，得到的解析式是5.關(guān)于點對稱k關(guān)于點 m , n對稱后，得到的解析式是2h 2m 2n k根據(jù)對稱的性質(zhì)，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化，因此a永遠(yuǎn)不變.求拋物線的對稱拋物線的表達(dá)式時，可以依據(jù)題意或方便運算的原那么，選擇適宜的形式，習(xí)慣上是先確定原 拋物線或表達(dá)式的拋物線的頂點坐標(biāo)及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標(biāo)及開口方向，

12、然后再寫出其對稱拋物線的表達(dá)式.十、二次函數(shù)與一元二次方程：1. 二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系二次函數(shù)與X軸交點情況：一元二次方程ax2 bx c 0是二次函數(shù)y ax2 bx c當(dāng)函數(shù)值y 0時的特殊情況 圖象與x軸的交點個數(shù)：當(dāng)b2 4ac 0時，圖象與x軸交于兩點，0 , B x?, 0 (論x?)，其中的人，他是一元二次方程ax2bx c 0 a0的兩根這兩點間的距離 AB xb2 4ac 當(dāng) 當(dāng)12i a0時,a0時,2 axbx2.拋物線y0時，圖象與0時，圖象與都有都有x軸只有一個交點;x軸沒有交點.圖象落在x軸的上方，無論x為任何實數(shù), 圖象落在x軸的下方，無論x為任何實數(shù),c

13、的圖象與y軸一定相交，交點坐標(biāo)為(0 , c);3.二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)： 求二次函數(shù)的圖象與 x軸的交點坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程； 求二次函數(shù)的最大小值需要利用配方法將二次函數(shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點式； 根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù) y ax2 bx c中a , b , c的符號，或由二次函數(shù)中 a , b , c的符號 判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合； 二次函數(shù)的圖象關(guān)于對稱軸對稱，可利用這一性質(zhì)， 求和一點對稱的點坐標(biāo)，或與x軸的一個交點坐標(biāo)，可由對稱性求出另一個交點坐標(biāo) 與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項式，二次三項式ax2 bx c(a 0)本身就是所含字母 x的二次函數(shù)；下面以a 0時為例，

14、揭示二次函數(shù)、二次三項式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系：0拋物線與 x軸有 兩個交點二次三項式的值可正、 可零、可負(fù)一兀二次方程有兩個不相等實根0拋物線與 x軸只 有一個交點二次三項式的值為非負(fù)一兀二次方程有兩個相等的實數(shù)根0拋物線與x軸無交占八、二次三項式的值恒為正一兀二次方程無實數(shù)根y=3(x+4)2y=3x 2y=3(x-2)二次函數(shù)圖像參考:y=-2(x-3) 2十一、函數(shù)的應(yīng)用剎車距離二次函數(shù)應(yīng)用何時獲得最大利潤最大面積是多少二次函數(shù)考查重點與常見題型1.考查二次函數(shù)的定義、性質(zhì)，有關(guān)試題常出現(xiàn)在選擇題中，如:以x為自變量的二次函數(shù) y (m 2)x2 m2 m 2的圖像經(jīng)過原點，那么

15、m的值是2. 綜合考查正比例、反比例、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像，習(xí)題的特點是在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)考查 兩個函數(shù)的圖像，試題類型為選擇題，如：如圖，如果函數(shù)y kx b的圖像在第一、二、三象限內(nèi)，那么函數(shù)y kx2 bx 1的圖像大致是3. 考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，有關(guān)習(xí)題出現(xiàn)的頻率很高，習(xí)題類型有中檔解答題和選 拔性的綜合題，如：5一條拋物線經(jīng)過(0,3) , (4,6)兩點，對稱軸為x，求這條拋物線的解析式。34. 考查用配方法求拋物線的頂點坐標(biāo)、對稱軸、二次函數(shù)的極值，有關(guān)試題為解答題，如：拋物線y ax2 bx c0與x軸的兩個交點的橫坐標(biāo)是一1、3，與y軸交點的縱坐標(biāo)是1確定

16、拋物線的解析式；2用配方法確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo) 5 考查代數(shù)與幾何的綜合能力，常見的作為專項壓軸題?！纠}經(jīng)典】由拋物線的位置確定系數(shù)的符號例11二次函數(shù)yax2 bx c的圖像如圖1,那么點A 第一象限2二次函數(shù)和x=3時，函數(shù)值相等;A. 1個 B . 2個B .第二象限 C .第三象限y=ax2+bx+c a豐0的圖象如圖4a+b=0;當(dāng) y=-2 時，xCM (b,C)在aD 第四象限2所示，？那么以下結(jié)論：a、b同號；當(dāng)x=1 的值只能取0.其中正確的個數(shù)是(1)【點評】弄清拋物線的位置與系數(shù)b, c之間的關(guān)系，是解決問題的關(guān)鍵.例2.二次函數(shù) y=ax2+bx+c

17、的圖象與x軸交于點(-2 , 0)、(x 1, 0)，且1X12，與y軸的正半軸的交點在點(0,2)的下方.以下結(jié)論：ab04a+c0,其中正確結(jié)論的個數(shù)為()A 1 個B. 2 個C. 3 個D . 4個會用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式2 2例3.：關(guān)于x的一元二次方程 ax +bx+c=3的一個根為x=-2 ,且二次函數(shù)y=ax +bx+c的對稱軸是直線x=2，那么拋物線的頂點坐標(biāo)為()A(2, -3)B.(2, 1)C(2, 3) D . (3 , 2)答案：C例4、如圖單位：m等腰三角形ABC以2米/秒的速度沿直線 L向正方形移動，直到 AB與CD重合.設(shè) x秒時，三角形與正方形重疊局部

18、的面積為ym2.1寫出y與x的關(guān)系式；AD2當(dāng)x=2, 3.5時，y分別是多少？3當(dāng)重疊局部的面積是正方形面積的一半時， 三角形移動了多長時間？求拋物線頂點坐標(biāo)、 對稱軸.1 5例5、拋物線y= x2+x-.2 21用配方法求它的頂點坐標(biāo)和對稱軸.2假設(shè)該拋物線與 x軸的兩個交點為 A B,求線段AB的長.【點評】此題1是對二次函數(shù)的“根本方法的考查，第2問主要考查二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系.1 2例6、“函數(shù)yx2 bx c的圖象經(jīng)過點 Ac, 2，2求證：這個二次函數(shù)圖象的對稱軸是x=3。題目中的矩形框局部是一段被墨水污染了無法識別的文字。1根據(jù)和結(jié)論中現(xiàn)有的信息，你能否求出題中的二次函

19、數(shù)解析式？假設(shè)能，請寫出求解過程， 并畫出二次函數(shù)圖象；假設(shè)不能，請說明理由。2請你根據(jù)已有的信息，在原題中的矩形框中，填加一個適當(dāng)?shù)臈l件，把原題補充完整。點評： 對于第1小題，要根據(jù)和結(jié)論中現(xiàn)有信息求出題中的二次函數(shù)解析式，就要把原來的結(jié)論“函數(shù)圖象的對稱軸是 x=3當(dāng)作來用，再結(jié)合條件“圖象經(jīng)過點 Ac，- 2，就可以列出兩個 方程了，而解析式中只有兩個未知數(shù)，所以能夠求出題中的二次函數(shù)解析式。對于第2小題，只要給出的條件能夠使求出的二次函數(shù)解析式是第1小題中的解析式就可以了。而從不同的角度考慮可以添加出不同的條件，可以考慮再給圖象上的一個任意點的坐標(biāo)，可以給出頂點的坐標(biāo)或與坐標(biāo)軸的一個交

20、點的坐標(biāo)等。解答11根據(jù)y 丄x22bx c的圖象經(jīng)過點 A c,- 2，圖象的對稱軸是 x=3,-c2 bc c22,解得3,3,2.所以所求二次函數(shù)解析式為1 2y x 3x 2.圖象如下列圖。21 22在解析式中令y=0,得x2 3x 220，解得X135, x235.所以可以填“拋物線與x軸的一個交點的坐標(biāo)是3+ 5,0 或“拋物線與x軸的一個交點的坐標(biāo)是35,0.5令x=3代入解析式，得y ,21 25所以拋物線y x 3x 2的頂點坐標(biāo)為3,2 2所以也可以填拋物線的頂點坐標(biāo)為3, 5等等。2函數(shù)主要關(guān)注：通過不同的途徑圖象、解析式等了解函數(shù)的具體特征；借助多種現(xiàn)實背景理解函數(shù);

21、將函數(shù)視為“變化過程中變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型；滲透函數(shù)的思想；關(guān)注函數(shù)與相關(guān)知識的聯(lián)系。用二次函數(shù)解決最值問題例1邊長為4的正方形截去一個角后成為五邊形ABCDE如圖，其中AF=2, BF=1 .試在AB上求一點P,使矩形PNDM有最大面積.【評析】此題是一道代數(shù)幾何綜合題，把相似三角形與二次函數(shù)的知識有機(jī)的結(jié)合在一起，能很好考查學(xué) 生的綜合應(yīng)用能力同時，也給學(xué)生探索解題思路留下了思維空間.例2某產(chǎn)品每件本錢10元，試銷階段每件產(chǎn)品的銷售價 x元？與產(chǎn)品的日銷售量y件之間的關(guān)系如下表：假設(shè)日銷售量x元152030y件252010y是銷售價x的一次函數(shù).?此時每日銷售利潤是多少元?1求出日銷售量

22、y件與銷售價x元的函數(shù)關(guān)系式； 2要使每日的銷售利潤最大，每件產(chǎn)品的銷售價應(yīng)定為多少元?15k b 25,【解析】1設(shè)此一次函數(shù)表達(dá)式為 y=kx+b 貝U解得k=-1 , b=40, ?即一次函數(shù)表達(dá)2k b 20式為 y=-x+40 2設(shè)每件產(chǎn)品的銷售價應(yīng)定為x元，所獲銷售利潤為 w元w= x-10 40-x=-x 2+50x-400=- x-252+225.產(chǎn)品的銷售價應(yīng)定為 25元，此時每日獲得最大銷售利潤為225元.【點評】解決最值問題應(yīng)用題的思路與一般應(yīng)用題類似，也有區(qū)別，主要有兩點：1設(shè)未知數(shù)在“當(dāng)某某為何值時，什么最大或最小、最省的設(shè)問中，？“某某要設(shè)為自變量，“什么要設(shè)為函數(shù)

23、；2 ?問的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程.二次函數(shù)對應(yīng)練習(xí)試題一、選擇題1. 二次函數(shù)y x2 4x 7的頂點坐標(biāo)是()A.(2, 11) B. 2, 7 C.2, 11 D.2, - 32. 把拋物線y 2x2向上平移1個單位，得到的拋物線是2 2 2 2A. y 2(x 1) B. y 2(x 1) C. y 2x 1 D. y 2x12k3. 函數(shù)y kx k和y (k 0)在同一直角坐標(biāo)系中圖象可能是圖中的()x那么以下結(jié)論4.二次函數(shù) y ax2 bx c(a 0)的圖象如下列圖x 1和x 3時，函數(shù)值相等；4a b 0當(dāng)y的個數(shù)是()A.1 個B.2個C. 3個5.二次函

24、數(shù)1A丿a,b同號；當(dāng)2時,x的值只能取0.其中正確D. 4由圖象可知關(guān)于A.1ax2 bx c(a0)的頂點坐標(biāo)-1 , -3.2丨及局部圖象(如圖),元二次方程 ax2 bx c 0的兩個根分別是為1.3和X26.二次函數(shù)2ax bx c的圖象如下列圖，那么點(ac, bc)在 A.第一象限B.第二象限D(zhuǎn).第四象限2 27.方程2x x的正根的個數(shù)為xA.0 個B.1個C.28.拋物線過點 A(2,0),B(-1,0),與y軸交于點C,且0C=2那么這條拋物線的解析式為A.y2小x x 2B.C.yx2 x 2 或 y2x2x 2D2小yxx2yx2x2 或 yx2x2二、填空題29 .二次函數(shù)y x bx 3的對稱軸是x 2，那么b 。x的取值范圍是10. 拋物線y=-2 x+3各5，如果y隨x的增大而減小，那么11. 一個函數(shù)具有以下性質(zhì)：圖象過點一 1, 2，當(dāng)x v 0時，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大;滿足上述兩條性質(zhì)的函數(shù)的解析式是 只寫一個即可。212.