抽象函數(shù)-題型大全(例題-含答案)

1、CHONG高考抽象函數(shù)技巧總結(jié)由于函數(shù)概念比擬抽象，學(xué)生對(duì)解有關(guān)函數(shù)記號(hào)f(X)的問題感到困難，學(xué)好這局部知識(shí)，能加深學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解，更好地掌握函數(shù)的性質(zhì)，培養(yǎng)靈活性；提高解題能力，優(yōu)化學(xué)生數(shù)學(xué)思維素質(zhì)。現(xiàn) 將常見解法及意義總結(jié)如下：一、求表達(dá)式：1.換元法：即用中間變量 口表示原自變量X的代數(shù)式，從而求出 f(x)，這也是證某些公式或等式常用的 方法，此法解培養(yǎng)學(xué)生的靈活性及變形能力。例1:f(x)X 12x 1 ,求 f(x).解：設(shè)xu,那么X宀 f(u) 2-u ,2 u1 f(x)務(wù)X 11 u1u1 u1 X2.湊合法：在f(g(x)h(x)的條件下，把h(x)并湊成以g(u

2、)表示的代數(shù)式，再利用代換即可求f (x).此解法簡(jiǎn)潔，還能進(jìn)一步復(fù)習(xí)代換法。1 3 1 例 2 : f (x ) X 3，求 f (x)Xx11 1 11 11解： f(x -) (x -)(x2 1 -) (x -)(x -)2 3)又Tlx -| |x|1xxxx xx| x|23f (x) x(x 3) x 3x, (| x | > 1)3. 待定系數(shù)法：先確定函數(shù)類型，設(shè)定函數(shù)關(guān)系式，再由條件，定出關(guān)系式中的未知系數(shù)。例 3. f (x)二次實(shí)函數(shù)，且 f (x 1) f(x 1) X2+2X+4,求 f(x).解：設(shè) f (x) =ax2 bx c，那么 f(x 1) f (

3、x 1) a(x 1)2 b(x 1) c a(x 1)2 b(x 1) c2(a c) 4c 2= 2ax22bx 2(a c) x 2x 4比擬系數(shù)得 2a 1 2b 21 3a,b 1,c2 21 23f (X)-XX224.利用函數(shù)性質(zhì)法:主要利用函數(shù)的奇偶性，求分段函數(shù)的解析式.例4.y = f (x)為奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x) lg(x 1),求f (x)解： f (x)為奇函數(shù)， f (x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故先求 x<0時(shí)的表達(dá)式。 - x>0, f( X) lg( X 1) lg(1 X), f(x)為奇函數(shù), lg(1 x) f( x) f (x)

4、 當(dāng) x<0 時(shí) f (x)ig(i x) f(x)lg(1 x),xig(1 x),x例5f(x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)，且有f(x) + g(x) 1x 1求 f (x) , g(x).解： f (x)為偶函數(shù)，g(x)為奇函數(shù)， f ( x) f (x), g(x)g(x),1 不妨用-x代換f(x) + g(x)=x 11- f( x) g( x)即 f(x) - g(x)x 1中的x,顯見+即可消去g(x),求出函數(shù)f (x)x 111再代入求出1g(x)5.賦值法：給自變量取特殊值，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律，求出f (x)的表達(dá)式例6:設(shè)f(x)的定義域?yàn)樽匀粩?shù)集，且滿足條件f(x

5、1)f(x)f(y)xy,及 f (1)=1,求 f(x)1) f(x) f(n)解： f (x)的定義域?yàn)镹,取y=1,那么有f(x- f(1)=1, f(2) = f(1)+2, f(3)f(2) 3以上各式相加，有f(n)=1+2+3+n =凹 衛(wèi) f (x)2x 1f(n 1)x(x21),x二、禾U用函數(shù)性質(zhì)，解f(x)的有關(guān)問題1. 判斷函數(shù)的奇偶性:例7f (x y) f (x y) 2f (x)f (y),對(duì)一切實(shí)數(shù)x、y都成立，且f (0)0,求證f(x)為偶函數(shù)。證明：令x =0,那么等式變?yōu)閒(y) f( y) 2 f (0) f (y)y) 2f (y) f ( y)

6、f (y)在中令 y=o 那么 2 f(0) =2 f(0) / f (0)工 0二 f(0)=1. f (y) f( f (x)為偶函數(shù)。2. 確定參數(shù)的取值范圍例&奇函數(shù)f(x)在定義域-1 , 1內(nèi)遞減，求滿足f(1 m)f(12m )0的實(shí)數(shù)m的取值范圍。解：由 f(1 m) f (1 m2)0 得 f (1m) f (12、m )，:2f (x)為函數(shù)， f (1 m) f (m 1)又 f (x)在-1 , 1內(nèi)遞減，13. 解不定式的有關(guān)題目例9 :如果f(x) = ax2 bx c對(duì)任意的t有f(2 t) f2 t),比擬f(1、f (2)、f 的大小解：對(duì)任意t有f

7、(2 t) f 2 t) x =2為拋物線y=ax2 bx c的對(duì)稱軸又其開口向上f (2)最小，f (1)= f(3) 在2,+ )上，f (x)為增函數(shù)f (3)< f (4), f (2)< f (1)< f (4)五類抽象函數(shù)解法1、線性函數(shù)型抽象函數(shù) 線性函數(shù)型抽象函數(shù)，是由線性函數(shù)抽象而得的函數(shù)。例1、函數(shù)fx對(duì)任意實(shí)數(shù)x, y,均有fx+ y= fx+ fy，且當(dāng)x> 0時(shí)，fx> 0, f一 1= 2,求fx在區(qū)間2, 1上的值域。分析：由題設(shè)可知，函數(shù)fx是 上"-1的抽象函數(shù)，因此求函數(shù) fX的值域，關(guān)鍵在于研究它的單調(diào)性。解：設(shè)心&

8、lt; 和那么乃-町0 ,.當(dāng)(乃)-75)打(乃-眄)>0,即畑俯)，f x為增函數(shù)。在條件中，令 y= x,那么 11* 八一，再令 y = o,那么 f o= 2 f 0， f 0= 0,故 f一 x= f x，f x為奇函數(shù)， f 1= f 1= 2,又 f 2= 2 f 1= 4, fX的值域?yàn)?, 2o例2、函數(shù)f x對(duì)任意，滿足條件f x+ f y= 2 + f x + y，且當(dāng)x> 0時(shí)，fx> 2, f3= 5，求不等式丿(口"的解。分析：由題設(shè)條件可猜測(cè)：f x是y = x+ 2的抽象函數(shù)，且f x為單調(diào)增函數(shù)，如果這一猜測(cè)正確， 也就可以脫去不

9、等式中的函數(shù)符號(hào)，從而可求得不等式的解。解：設(shè)盤1 < %丄 那么乃 F °，當(dāng)攔乜)=7(叼-珂可】= /(£ -毎)+ _/(對(duì)-22 + m - 2 = /(可) 即fX為單調(diào)增函數(shù)。/<：' 1 /<： .! : 1 二 /：-'二 3= 5,. f 1= 3o即:;'',解得不等式的解為一1 a 3。2、指數(shù)函數(shù)型抽象函數(shù)例3、設(shè)函數(shù)fx的定義域是 3,+，滿足條件：存在心 7，使得 餉：1工了色 ，對(duì)任何x和y，/仗亠刃=產(chǎn)/刃成立。求：1f0；2對(duì)任意值x，判斷fx值的正負(fù)。分析：由題設(shè)可猜測(cè) f x是指數(shù)函數(shù)

10、y=的抽象函數(shù)，從而猜測(cè) f 0= 1且f x 0。解：1令y = 0代入址竺型=了 祠丁刃，那么/© = /力/ywi-/o2-oo假設(shè)fx= 0,那么對(duì)任意盡它，有了如叮也“0，這與題設(shè)矛盾， fxm 0,. f 0= 1 o2令 y= xm 0,、*" ，又由1知 fx工 0,二 f 2x 0,即 fx 0,故對(duì)任意x, fx 0恒成立。例4、是否存在函數(shù)f x,使以下三個(gè)條件：f X 0, x N;於 J ' ' 1匚"' f 2= 4。同時(shí)成立？假設(shè)存在，求出 fX的解析式，如不存在，說明理由。分析：由題設(shè)可猜測(cè)存在' 1

11、： '',又由f2= 4可得a= 2故猜測(cè)存在函數(shù)二：，用數(shù)學(xué)歸納法證明如下:1x= 1 時(shí),.- N時(shí)，fx 0, ' '二結(jié)論正確。x = k,且時(shí)有畑=譽(yù)，那么 x = k + 1 時(shí),2假設(shè) x= k+ 1時(shí)，結(jié)論正確。綜上所述，x為一切自然數(shù)時(shí)了 °二呼。3、對(duì)數(shù)函數(shù)型抽象函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)型抽象函數(shù)，即由對(duì)數(shù)函數(shù)抽象而得到的函數(shù)。例5、設(shè)fx是定義在0,+上的單調(diào)增函數(shù)，滿足sm+HM /=i,求1f 1；2假設(shè)f x+ f x 8w 2，求x的取值范圍。分析：由題設(shè)可猜測(cè) f x是對(duì)數(shù)函數(shù) '一的抽象函數(shù)，f 1= 0, f 9= 2o

12、解:1./(司打(1乍打(1)+/(習(xí). ,2/(9) = /(3x3)/(3)(3J = 2，從而有 f x+ f x 8W f 9，即f是0,+上的增函數(shù)，故4夕y o嚴(yán)-2九，解之得：8 v x w 9。例 6、設(shè)函數(shù) y= fX的反函數(shù)是 y = gx。如果 fab= fa+ fb，那么 ga+ b= ga g b是否正確，試說明理由。分析：由題設(shè)條件可猜測(cè) y= fx是對(duì)數(shù)函數(shù)的抽象函數(shù)，又y= fx的反函數(shù)是y= gx，二y=g x必為指數(shù)函數(shù)的抽象函數(shù)，于是猜測(cè)g a+ b= g ag b正確。解：設(shè) fa= m f b= n 由于 gx是 fx的反函數(shù)，g m = a，gn=

13、b，從而/ + 型二 fab =-曲， gg n= gn+ n，以a、b分別代替上式中的m n即得g a+ b= g ag b。4、三角函數(shù)型抽象函數(shù)三角函數(shù)型抽象函數(shù)即由三角函數(shù)抽象而得到的函數(shù)。例7、己知函數(shù)fx的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足以下三條件:當(dāng)：兒是定義域中的數(shù)時(shí)，有十1亢冷-JX心 f a= 1a>0，a是定義域中的一個(gè)數(shù)； 當(dāng) 0 v xv 2a 時(shí)，f xv 0。試問：1f x的奇偶性如何？說明理由。2在0，4a上,f x的單調(diào)性如何？說明理由。f x是奇函數(shù)且分析：由題設(shè)知fx是匚一7的抽象函數(shù)，從而由一及題設(shè)條件猜測(cè):在0，4a上是增函數(shù)這里把a(bǔ)看成一進(jìn)行猜測(cè)解：

14、1： f x的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且耳帀是定義域中的數(shù)時(shí)有y-tv1-xa3 = yxa -可/碼-/砌了巧一伽:二_ - _在定義域中。 f X是奇函數(shù)。2設(shè) 0v X1<X2< 2a，貝U 0vX2 X1< 2a，v在0，2a上 fxv 0， J佝+1 fX1，fX2，fX2 X1均小于零，進(jìn)而知'l7-'匚】 中的-，于是fX1v f X2，.在0, 2a上f X是增函數(shù)。如心+1佔(zhàn)-心fa= 1，二'1 ?71；=0,設(shè) 2av x v4a,貝U Ov x 2av 2a,_/(R丿(購十1_/(加)-了0)于是 fx> 0，即在2a, 4

15、a上 f x> 0。設(shè) 2avxi v X2< 4a,那么 0 v X2 xiv 2a,從而知 f Xi，f X2均大于零。f X2 xiv 0,巧廿佃T了山-乳勺，即fXiv fX2，即卩f 乂在2a, 4a上也是增函數(shù)。綜上所述，f乂在0, 4a上是增函數(shù)。5、幕函數(shù)型抽象函數(shù)幕函數(shù)型抽象函數(shù)，即由幕函數(shù)抽象而得到的函數(shù)。例8、函數(shù)fx對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y都有fxy= fxfy，且f i= i, f27= 9, 當(dāng) 0 < x < 1 時(shí),7 R E 0。i判斷f x的奇偶性；2判斷fx在0,+上的單調(diào)性，并給出證明；3假設(shè)盤- °且W + 1'游，求

16、a的取值范圍。2分析：由題設(shè)可知fx是幕函數(shù) 廠只的抽象函數(shù)，從而可猜測(cè)fx是偶函數(shù)，且在0,+ 上是增函數(shù)。解：門令 y = i,那么 f x= f X f i，. f i= i , f一 X= f X，f X為偶函數(shù)。2設(shè)0工咼 < 乃rNZi 時(shí)，/WcdPl)心<1乃 , fXiv fX2，故fx在0,+上是增函數(shù)。3. f 27= 9 又-' 1-<+1 <3，即,又> 0,故0 < 2, . , ,抽象函數(shù)常見題型解法綜述抽象函數(shù)是指沒有給出函數(shù)的具體解析式，只給出了一些表達(dá)函數(shù)特征的式子的一類函數(shù)。由于抽象函數(shù) 表現(xiàn)形式的抽象性，使得這

17、類問題成為函數(shù)內(nèi)容的難點(diǎn)之一。本文就抽象函數(shù)常見題型及解法評(píng)析如下：重慶書之CHONG QING香教育EDUCATION、定義域問題例1.函數(shù) 盧Q 的定義域是1, 2，求f(x)的定義域。解：聲()的定義域是1 , 2 ，是指1 552，所以 卅) 中的戶滿足1壬J三4從而函數(shù)f(x)的定義域是1, 4:評(píng)析：一般地，函數(shù) 煮卩(的定義域是A,求f(x)的定義域問題，相當(dāng)于 了9型 中x的取值 范圍為A,據(jù)此求卩(力的值域問題。例2.函數(shù)-1- 2的定義域是7 2，求函數(shù)的定義域。7 2-l<loghC3-r)<2(l)2nlSM#的定義域是，意思是凡被f作用的對(duì)象都在中，由此可

18、得所以函數(shù)/ 9E 的定義域。正確理解函數(shù)符的定義域是的值域B,且皿:,據(jù)此評(píng)析：這類問題的一般形式是：函數(shù)f(x)的定義域是A,求函數(shù)號(hào)及其定義域的含義是求解此類問題的關(guān)鍵。這類問題實(shí)質(zhì)上相當(dāng)于求x的取值范圍。例2和例1形式上正相反。二、求值問題例3.定義域?yàn)槌叩暮瘮?shù)f(x)，同時(shí)滿足以下條件：勺；/(工丁)二麗十愆，求f(3) , f(9)的值。解：取耳=2 y = 3,得")*(2)打14/d /C6) = -因?yàn)?，所?又取-'Q得5y-3|/(2) = L/(6) = 1評(píng)析：通過觀察與未知的聯(lián)系，巧妙地賦值，取_L一日，這樣便把條件 與欲求的f(3)溝通了起來。賦

19、值法是解此類問題的常用技巧。 三、值域問題例4.設(shè)函數(shù)f(x)定義于實(shí)數(shù)集上，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，求函數(shù)使得''Jl"''0假設(shè)= °，那么得由于'-:.小解：令的值域。x、y,總成立，且存在/W=_/(o)= /w/(o)= o，對(duì)任意吉w R均成立，這與存在實(shí)數(shù)毛7，得，即有O，使O成立矛盾，故對(duì)任意，必有均成立，因此，對(duì)任意二，有/W =塢 + 彳)二= U (評(píng) > 0兀 E 丘，/(x) H 0F面來證明，對(duì)任意，使得心口設(shè)存在這與上面已證的/(P) = /(-o) = 0，那么,矛盾，因此，對(duì)任意"一 -w 丁所

20、以/ W >0評(píng)析：在處理抽象函數(shù)的問題時(shí)，往往需要對(duì)某些變量進(jìn)行適當(dāng)?shù)馁x值，這是一般向特殊轉(zhuǎn)化的必要手段。四、解析式問題例5.設(shè)對(duì)滿足亠亠+ = 1:的所有實(shí)數(shù)X，函數(shù)解：在0)滿足兀_1，求fx的解析式。中以.代換其中x，得:再在1中以，I代換X,得ITT 2/er X-1x-1卩一宀1化簡(jiǎn)得：評(píng)析：如果把x和況下，給某些變量適當(dāng)賦值，使之在關(guān)系中“消失，進(jìn)而保存一個(gè)變量，是實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的重要策略。 五、單調(diào)性問題分別看作兩個(gè)變量，怎樣實(shí)現(xiàn)由兩個(gè)變量向一個(gè)變量的轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵。通常情時(shí),/U)>1，且對(duì)于任意實(shí)數(shù):在卞取x. y = 0，得令 A>0, y= 0，那么，與

21、例6.設(shè)fx定義于實(shí)數(shù)集上，當(dāng)二- 求證：在R上為增函數(shù)。/W>1所以孑®芝。，即有爪:M當(dāng)x列時(shí)，/W >1 >0；當(dāng)兀小時(shí)，而證明矛盾所以又當(dāng)1 -時(shí),/(0)=>0所以對(duì)任意一仞吒無W M吒+«?，恒有/W>o心一珂n 0,于心一五J設(shè)所以 y乃=701 + 帀-丑=-心> 心 所以"，在R上為增函數(shù)。評(píng)析：一般地，抽象函數(shù)所滿足的關(guān)系式，應(yīng)看作給定的運(yùn)算法那么，那么變量的賦值或變量及數(shù)值的分解與 組合都應(yīng)盡量與式或所給關(guān)系式及所求的結(jié)果相關(guān)聯(lián)。六、奇偶性問題，那么了u R, x 0)對(duì)任意不等于零的實(shí)數(shù)兀 1?都有畑屯=

22、7如+/乃，試又取取畫二_匕忑得：的"7+如所以Xj = 1得：燉打7+了7,所以了7凸那么，即解:再取_ _ 1那么八一'例7.函數(shù)判斷函數(shù)fx的奇偶性。因?yàn)?力為非零函數(shù)，所以或?yàn)榕己瘮?shù)。七、對(duì)稱性問題例8.函數(shù)=滿足八+ /工=如02 ,求廠誥+廠劉02-耳的值。解：式即在對(duì)稱關(guān)系式 /依+云+_/佃不=能中取a = 0- b= 2002 ，所以函數(shù)尸=/忑的圖象 關(guān)于點(diǎn)0, 2002對(duì)稱。根據(jù)原函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系，知函數(shù) y=f的圖象關(guān)于點(diǎn)2002, 0對(duì) 稱。所以 'J-將上式中的x用丘®代換，得廠© +廣102-耳=0a、b均為常數(shù)，

23、函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)a，b成中心評(píng)析：這是同一個(gè)函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱問題，在解題中使用了下述命題：設(shè) 卩二/工對(duì)一切實(shí)數(shù)x都滿足+對(duì)+張工二處， 對(duì)稱圖形。八、網(wǎng)絡(luò)綜合問題例9.定義在R上的函數(shù)fx滿足：對(duì)任意實(shí)數(shù)mn,總有+=，且當(dāng)x0時(shí)，0fx11判斷fx的單調(diào)性；2設(shè)£迢回西!E應(yīng)亙辿，5 = 鬲I 了恥-嚴(yán) = 1門E £，假設(shè)山石=Q，試確定a的取值范圍。解：門在/ + = / W VW中，令那卑=0，得/I二/I J°，因?yàn)榘薚羊，所以在/剛+町二代緬中，令牌=恥用=疋因?yàn)楫?dāng)齊0時(shí)，所以當(dāng)：.I時(shí) - - ->l>0而-./ 1-又當(dāng)x=0

24、時(shí)，/(0)=1>0所以，綜上可知，對(duì)于任意zR，均有/W >0設(shè)一00 5 <乃，那么巧-阿 >0, 0 </(z3 -zL) <1所以/M =O所以在r上為減函數(shù)。+?)>/(!)又/朋-十眨二1二/®，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，有血-?+罷二°2由于函數(shù)y=fx在R上為減函數(shù)，所以 即有；'匕 ' - 42，解得由川萬山,所以直線心-卩十庇=0與圓面無公共點(diǎn)。因此有-1£心。f0的取值問題，二是fx0的結(jié)論。這是評(píng)析：1要討論函數(shù)的單調(diào)性必然涉及到兩個(gè)問題：一是 解題的關(guān)鍵性步驟，完成這些要在抽象函數(shù)式中進(jìn)行

25、。由特殊到一般的解題思想，聯(lián)想類比思維都有助于 冋題的思考和解決。定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：f(x) f(4 x)且f(2 x) f(x 2)0,求f (2000)的值。解：由 f(2 x) f(x 2)0，以 t x 2 代入，有 f ( t) f (t)，f (x)為奇函數(shù)且有f (0)0又由 f (x 4)f4( x)f ( x)f (x)f (x 8)f (x 4)f (x)故f (x)是周期為8的周期函數(shù)，f (2000) f (0)0例2函數(shù)f (x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y都有f (x y) f (x) f (y)，且當(dāng)x 0時(shí)，f (x)0，f( 1)2，求 f (x)在2，1上的

26、值域。解：設(shè)x1x2且x1，x2R，那么x2x10，由條件當(dāng)x0 時(shí)，f (x)0f (x2 x1)0又 f(X2) f(X2 xj Xf(X2 xj f(xj f(xjf (x)為增函數(shù)，令 y x，那么 f (0) f (x) f( x)又令x y 0得 f(0)0f( x) f (x),故f (x)為奇函數(shù),f (1) f (1)2, f ( 2) 2f ( 1)4f (x)在2, 1上的值域?yàn)?, 2二.求參數(shù)范圍這類參數(shù)隱含在抽象函數(shù)給出的運(yùn)算式中，關(guān)鍵是利用函數(shù)的奇偶性和它在定義域內(nèi)的增減性，去掉“ f 符號(hào)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式組求解，但要特別注意函數(shù)定義域的作用。例3 f (x)是

27、定義在1，1丨上的偶函數(shù)，且在0，1丨上為增函數(shù)，滿足f (a 2) f (4 a2)0，試確定a的取值范圍。解：f (x)是偶函數(shù)，且在0，1上是增函數(shù)，f (x)在(1，0)上是減函數(shù),由1 a2 1得3 ao1 4a211當(dāng)a2時(shí)，f (a2)f(4a2)f (0)，不等式不成立。2當(dāng)3a2時(shí)，f (a 2) f (4 a2)1 a 202 2f (a 4)1 a 40a 2 a24解之得，飛 a 23當(dāng) 2 a 5 時(shí)，f (a 2) f (4 a2)0 a 21f(a24)0 a24 1a 2 a24解之得，2a 5綜上所述，所求a的取值范圍是(、-3, 2) (2, .5)。例4f

28、(X)是定義在(1上的減函數(shù)，假設(shè) f (m2sin x) f (m 1 cos x)對(duì) x R 恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。2 m解:sin x 31 cos2sin x2cos xR恒成立2 m2 msin xsin xcos2R恒成立3 sinxm 1 si nx2cos x(si nxR恒成立,m2三.解不等式這類不等式一般需要將常數(shù)表示為函數(shù)在某點(diǎn)處的函數(shù)值,再通過函數(shù)的單調(diào)性去掉函數(shù)符號(hào)“轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式求解。例5 函數(shù)f (x)對(duì)任意 x，y R 有 f(x) f (y)f (x y)，當(dāng) x 0 時(shí)，f (x)2，2f (3)5，求不等式f (a 2a 2)3的解集解：設(shè)x1、

29、x2R且x1X2那么 x2x10f (X2X1)2，即 f(x2X1)20，f (X2)f (X2X1)X1f (X2X1)f (X1)2 f(xjf (X2)f (X1)故f (x)為增函數(shù),又 f (3) f (21)f (2) f (1) 23f(1)4 5f (1)3f(a2 2a2)3f(1)，即a2 2a 211 a 3因此不等式f (a22a 2)3的解集為a| 1a 3 o四.證明某些問題例6設(shè)f (x)定義在R上且對(duì)任意的x有f(x)f (x 1) f (x 2)，求證：f (x)是周期函數(shù)，并找出它的一個(gè)周期。分析：這同樣是沒有給出函數(shù)表達(dá)式的抽象函數(shù)，其一般解法是根據(jù)所給

30、關(guān)系式進(jìn)行遞推，假設(shè)能得出f(x T) f(x) T為非零常數(shù)貝y f(x)為周期函數(shù)，且周期為To證明： f(x) f (x 1) f (x 2)(1)f (x 1) f (x 2) f (x 3)(2)(1)得 f (x) f(x 3)(3)由3得 f (x 3) f (x 6)(4)由3和4得 f (x) f (x 6) o上式對(duì)任意x R都成立，因此f (x)是周期函數(shù)，且周期為 6o例 7 f (x)對(duì)一切 x, y，滿足 f (0)0, f (x y) f (x) f (y)，且當(dāng) x 0時(shí)，f (x)1,求證：1x 0時(shí)，0f(x)1;2f (x)在R上為減函數(shù)。證明:對(duì)一切x,

31、y R 有 f (x y)f (x) f (y) o且 f(0)0，令0，得 f (0)現(xiàn)設(shè)xo,那么f( x) 1 ,而 f (0)f (x)f(x)f ( x)f (x)0 f (x)1 ,重慶書之CHONG QING香教育EDUCATION設(shè) xi, x2R 且 xix2,那么 of(X2 Xi) 1,f(X2) f (X2 Xi) Xif(X2 Xi) f (Xi)f (Xi)f (Xi)f (X2),即f (X)為減函數(shù)。五綜合問題求解抽象函數(shù)的綜合問題一般難度較大，常涉及到多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，抽象思維程度要求較高,解題時(shí)需把握好如下三點(diǎn)：一是注意函數(shù)定義域的應(yīng)用，二是利用函數(shù)的奇偶性去掉函

32、數(shù)符號(hào)“前的“負(fù)號(hào)，三是利用函數(shù)單調(diào)性去掉函數(shù)符號(hào)“例8 設(shè)函數(shù)y f (x)定義在R上，當(dāng)x 0時(shí)，f (x)且對(duì)任意m, n , 有f (m n) f (m) f(n)，當(dāng) m n 時(shí) f(m) f (n)。1證明 f (0)1 ；2證明：f (X)在R上是增函數(shù);3設(shè) A (x, y)|f (x2)f(y2)f(i)，件。B ( X，y)| f (ax by c)i，a，b， c R，a 0，假設(shè)A，求a，b，c滿足的條解：i令 m n 0得 f (0f(0f(0，f (0)0或 f(0) i。假設(shè)f (0)0,當(dāng)m 0時(shí)，有fm0) fm)f (0)，這與當(dāng)mn 時(shí)，f (m)f(n)

33、矛盾,f (0) i。2設(shè)Xi x2，那么x2 Xi 0，由得f(x2Xi)i，因?yàn)?Xi0，f(Xi)i，假設(shè)Xi0時(shí)，Xi 0, f( Xi) 1，由 f (0)fX) i f( xi)f (Xi)1f ( Xi)f(X2) f(X2 Xi) f(Xi) f(Xi) f (x)在R上為增函數(shù)。3由 f (x2) f (y2) f (1)得 x2y2 1()由 f (ax by c) 1 得 ax byc02從1、 2中消去y得(a2 b2)x22acx2 2c b 0,因?yàn)锳B(2ac)2 4(a2 b2)(cb2)0,2 2 2即a b c例9定義在1, 1上的函數(shù)f (x)滿足1，對(duì)任

34、意x, y ( 1, 1)都有f(x) f (y)f (丄厘),1 xy2當(dāng) X ( 1，0)時(shí)，有 f(X)0，1試判斷f(X)的奇偶性；2判斷f(X)的單調(diào)性；f(h ) f(1)。n2 3n211113求證 f(-) f(-)、“ “511n 3r1分析：這是一道以抽象函數(shù)為載體，研究函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，再以這些性質(zhì)為根底去研究數(shù)列求 和的綜合題。解：1對(duì)條件中的x, y，令x y0,再令yX可得f (0)f(0)f(0)f (0)0，所以f (X)是奇f(Xf( X) 0f ( x)f(X2設(shè)1X1x20，那么 fX) 1fx(2)fX)if(函數(shù)。1，X2)x1f(1-XiX2X2

35、)x1x20，0 X1 x2X|x21X1X20,由條件2知f(X1x20，從而有 f (Xi)f (X2)0，即 f (Xi)f (X2)，故 f (X)在(1,0)上單調(diào)遞減，由奇函數(shù)性質(zhì)可知,f(x)在0, 1上仍是單調(diào)減函數(shù)。3f (n2 3n 1)1f(n 1)(n 2)1)(丄)n 1 n 21 (nf(n1)f(n1"2fj n f(1) fG) f(1)1)f£， f (令11 fQ f f(&)(1)fG)13n1)fj)1,f(111f (;)f()Y)2n 22111f(匚)f ()f( 2)511n 3n 1f(2)抽象函數(shù)問題分類解析我們將

36、沒有明確給出解析式的函數(shù)稱為抽象函數(shù)。近年來抽象函數(shù)問題頻頻出現(xiàn)于各類考試題中，由 于這類問題抽象性強(qiáng)，靈活性大，多數(shù)同學(xué)感到困惑，求解無從下手。本文試圖通過實(shí)例作分類解析，供 學(xué)習(xí)參考。1.求定義域這類問題只要緊緊抓?。簩⒑瘮?shù) fg(x)中的g(x)看作一個(gè)整體，相當(dāng)于f (x)中的x這一特性，問題就會(huì)迎刃而解。例1.函數(shù)y f (x)的定義域?yàn)?，1，那么函數(shù)y flog2(x2 2)的定義域是 。分析：因?yàn)閘og(, x 2)相當(dāng)于f (x)中的x，所以log( x2 2) 1，解得、2 x 2 或 2 x 2。1例2.f(x)的定義域?yàn)?0，1)，那么y f(x a) f (x a)(

37、|a| -)的定義域是2分析：因?yàn)閤 a及x a均相當(dāng)于f (x)中的x，所以0 x a 1a x 1 a0 x a 1a x 1 a1(1)當(dāng)a0時(shí)，那么 x ( a，1 a)2(2)當(dāng) 0 a1時(shí)，那么 x (a，1 a)22.判斷奇偶性根據(jù)條件，通過恰當(dāng)?shù)馁x值代換，尋求f (x)與f ( x)的關(guān)系。例3.f(x)的定義域?yàn)镽,且對(duì)任意實(shí)數(shù)x, y滿足fx( y)fX)f(y，求證分析:在fx y)fx()f ()y中，令x得f(1)f(1) f(1)f(1)0令xy1，得f(1)f(1) f( 1)于是fX)f(1 x)f(1) f (x)故f(x)是偶函數(shù)。例4.假設(shè)函數(shù)y f (X

38、f() x 0)與yy 1，f( 1) 0f(x)f (x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，求證：函數(shù) y f (x)是偶函數(shù)。證明：設(shè)y f (x)圖象上任意一點(diǎn)為 P xo，y0y f (x與y f (x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,P(x)，y0)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)(x0，y0)在y f (x)的圖象上,y。f( x。)y。 f ( x。)又 y° f(x0)f( x°) fX 0)即對(duì)于函數(shù)定義域上的任意 x都有f( x) f (x)，所以y f (x)是偶函數(shù)。3. 判斷單調(diào)性根據(jù)函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性等有關(guān)性質(zhì)，畫出函數(shù)的示意圖，以形助數(shù)，問題迅速獲解。f (x)是偶函數(shù)。7，3上是例

39、5.如果奇函數(shù)f (x)在區(qū)間3, 7上是增函數(shù)且有最小值為5,那么f (x)在區(qū)間A.增函數(shù)且最小值為5C.減函數(shù)且最小值為5分析：畫出滿足題意的示意圖B增函數(shù)且最大值為5D.減函數(shù)且最大值為51，易知選B。例6.偶函數(shù)f (x)在(0，)上是減函數(shù)，問f (x)在(，0)上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論。分析：如圖2所示，易知f(x)在(，0)上是增函數(shù)，證明如下：任取 xx 20% x20因?yàn)閒 (x)在(0，)上是減函數(shù)，所以f( xj f ( x2) o又f (x)是偶函數(shù)，所以f ( xj f(xf), ( X2)f(X2),從而f(xjf(X2)，故f(x)在(,0)上是增函

40、數(shù)。4. 探求周期性這類問題較抽象，一般解法是仔細(xì)分析題設(shè)條件，通過類似，聯(lián)想出函數(shù)原型，通過對(duì)函數(shù)原型的分 析或賦值迭代，獲得問題的解。例7.設(shè)函數(shù)f (x)的定義域?yàn)镽,且對(duì)任意的x, y有f (x y) f(x y) 2f (x)( f y)，并存在正實(shí)數(shù)c,使f(C) 0。試問f(x)是否為周期函數(shù)？假設(shè)是，2求出它的一個(gè)周期；假設(shè)不是，請(qǐng)說明理由。分析：仔細(xì)觀察分析條件，聯(lián)想三角公式，就會(huì)發(fā)現(xiàn)：y cosx滿足題設(shè)條件，且cos 0，猜測(cè)f(x)2是以2c為周期的周期函數(shù)。畑 2)|% 自 | 2f(x 扌)q 0f(x c) f (x)f (x 2c) f (x c) f (x)故

41、f (x)是周期函數(shù)，2c是它的一個(gè)周期。5. 求函數(shù)值緊扣條件進(jìn)行迭代變換，經(jīng)有限次迭代可直接求出結(jié)果，或者在迭代過程中發(fā)現(xiàn)函數(shù)具有周期性,利用周期性使問題巧妙獲解。例8.f(x)的定義域?yàn)镽，且fxy) fx()f()對(duì)一切正實(shí)數(shù)x, y都成立，假設(shè)f(8)4 ,那么 f (2)。分析：在條件fx(y) fx( )f« )中，令x y4，得f(8)f(4)f(4) 2f(4)4 ,f(4)2又令xy 2,得 f (4)f(2)f(2)2,f(2)1例9.f(x)是定義在R上的函數(shù)，且滿足：f (x2)1f(x)1 f (x),f (1)1997，求 f (2001)的值。分析：緊

42、扣條件，并屢次使用，發(fā)現(xiàn)f(x)是周期函數(shù)，顯然 f(x) 1,于是f(x 2)1f (x)1f (x)f(x 4)1 f (x 2)1 _f(x 2)1 1 f(x)1 f(x)1 1 f(x)1 f(x)所以f(x 8)1f(x 4)f(x)故f (x)是以8為周期的周期函數(shù)，從而f (2001) f (8 250 1)f(1)19976. 比擬函數(shù)值大小利用函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱性等性質(zhì)將自變量轉(zhuǎn)化到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用其單調(diào)性使問題獲解。例10.函數(shù)f(x)是定義域?yàn)?R的偶函數(shù)，x 0時(shí)，f (x)是增函數(shù)，假設(shè)x1 0，x2 0,且|x1| |x2|，貝 y f ( x1)，f(

43、 x2)的大小關(guān)系是 分析：x10 , x20且 |x1| |x2 | ,0x1x2x2x10又x 0時(shí)，f(x)是增函數(shù),f ( X2)fX： Jf (x)是偶函數(shù)，f ( Xi)fX 1)故 f( Xi) f ( X2)7. 討論方程根的問題例11.函數(shù)f (X)對(duì)一切實(shí)數(shù)X都滿足f(1 X) f (1 X)，并且f(x) 0有三個(gè)實(shí)根，那么這三個(gè) 實(shí)根之和是。分析：由f(1 x) f (1 X)知直線X 1是函數(shù)f (x)圖象的對(duì)稱軸。又f (X) 0有三個(gè)實(shí)根，由對(duì)稱性知x11必是方程的一個(gè)根，其余兩根X2，X3關(guān)于直線X 1對(duì)稱，所以 x2 x32 12 ，故 x1 x2 x3 3。

44、8. 討論不等式的解求解這類問題利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化，脫去函數(shù)符號(hào)。例12.函數(shù)f (X)是定義在(，1上的減函數(shù)，且對(duì)一切實(shí)數(shù) x，不等式fk( sinx) fk( 2 sin)x 恒成立，求 k 的值。分析：由單調(diào)性，脫去函數(shù)記號(hào)，得2 2k sin x 12 2k sinx k sin x2 2k 1sinx(1)11k2 k (si nx )2(2)4 2由題意知(1)(2)兩式對(duì)一切X R恒成立，那么有k2 (1 Sin 2x)min1211 29 k 1k k (sin x 矗一4249. 研究函數(shù)的圖象這類問題只要利用函數(shù)圖象變換的有關(guān)結(jié)論，就可獲解。例13.假設(shè)函數(shù)y f(

45、x 2)是偶函數(shù)，那么y f (x)的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱。左移2個(gè)單位分析：y f(x)的圖象右移2個(gè)單位y f (x 2)的圖象，而y f(x 2)是偶函數(shù)，對(duì)稱軸是x 0，故y f (x)的對(duì)稱軸是x 2。例14.假設(shè)函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)0, 1，那么f(x 4)的反函數(shù)的圖象必過定點(diǎn) 分析:f (x)的圖象過點(diǎn)0, 1，從而f(x4)的圖象過點(diǎn)(4, 1)，由原函數(shù)與其反函數(shù)圖象間的關(guān)系易知，f(x 4)的反函數(shù)的圖象必過定點(diǎn) (1，4)。10. 求解析式例15.設(shè)函數(shù)f(x)存在反函數(shù)，g(X f 1(x，h(X與g(x)的圖象關(guān)于直線 x y 0對(duì)稱，貝U函數(shù)h(x)A. f (x

46、)B. f( x) C. f 1(x) D. f 1( x)分析：要求y h(x)的解析式，實(shí)質(zhì)上就是求 y h(x)圖象上任一點(diǎn) Px 0，y0)的橫、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系。點(diǎn)Px 0，y°)關(guān)于直線y x的對(duì)稱點(diǎn)(y°，X。)適合y f 1(x)，即X。g( y°)。又 gx ) f 1(x)，1x° f ( y°)y°f( x°)y° f ( x°)即 h(x f ( x)，選 Bo抽象函數(shù)的周期問題2001年高考數(shù)學(xué)文科第 22題：設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x 1對(duì)稱。對(duì)1任意 x

47、1，x20，丄都有 f (xx 2) f (xf)() x2。211I 丨設(shè) f (1)2，求 f(-), f (丄);24II丨證明f (x)是周期函數(shù)。解析：I解略。II證明：依題設(shè)y f (x)關(guān)于直線x 1對(duì)稱故 f (Xf(2 x)，x R又由f (x)是偶函數(shù)知f( x) f(X , x Rf( x) f(2 x), xR將上式中 x以x代換，得f(Xf(x 2), x R這說明f (x)是R上的周期函數(shù)，且 2是它的一個(gè)周期f (x)是偶函數(shù)的實(shí)質(zhì)是 f (x)的圖象關(guān)于直線 x 0對(duì)稱又f (x)的圖象關(guān)于x 1對(duì)稱，可得f(x)是周期函數(shù)且2是它的一個(gè)周期由此進(jìn)行一般化推廣，

48、我們得到思考一：設(shè)f (x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x aa 0)對(duì)稱，證明f (x)是周期函數(shù)，且2a是它的一個(gè)周期。證明：f (x)關(guān)于直線x a對(duì)稱fx( ) f (2 a x)，xR又由f (x)是偶函數(shù)知f ( x) f (x ，x Rf ( x) f (2 a x)，x R將上式中 x以x代換，得f(xf (2ax )，xRf (x)是R上的周期函數(shù)且2a是它的一個(gè)周期思考二：設(shè)f (x)是定義在R上的函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x a和x ba b)對(duì)稱。證明f (x)是周期函數(shù)，且2(b a)是它的一個(gè)周期。證明：f (x)關(guān)于直線x a和x b對(duì)稱f (x) f (2a

49、x)，x Rf (x) f (2b x)，x Rf (2a x) f (2b x)，x R將上式的 x以x代換得f (2a x) f (2b x)，xRfx 2(b a) f(x 2a) 2b f(x 2a) 2a f (x), x Rf (x)是R上的周期函數(shù)且2(b a)是它的一個(gè)周期假設(shè)把這道高考題中的“偶函數(shù)換成“奇函數(shù)，f (x)還是不是周期函數(shù)？經(jīng)過探索，我們得到f (x 4) f 2 (x f(x 2) f(x) f (x)，x思考三：設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x 1對(duì)稱。證明f(x)是周期函數(shù)，且 4證明：f(x)關(guān)于x1對(duì)稱fx( )f(2 x)，xR又由

50、f (x)是奇函數(shù)知f ( x)f (x)， x Rf(2x)f ( x)， x R將上式的x以x代換，得f(2 x)f (x)， xR是它的一個(gè)周期。，2)f (x)是R上的周期函數(shù) 且4是它的一個(gè)周期f (x)是奇函數(shù)的實(shí)質(zhì)是 f(X)的圖象關(guān)于原點(diǎn)0，0中心對(duì)稱，又f(X)的圖象關(guān)于直線 x 1對(duì)稱，可得f(x)是周期函數(shù)，且 4是它的一個(gè)周期。由此進(jìn)行一般化推廣，我們得到思考四：設(shè)f (x)是定義在 R上的函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn) M(a, 0)中心對(duì)稱，且其圖象關(guān)于直線x bba)對(duì)稱。證明f (x)是周期函數(shù)，且4(b a)是它的一個(gè)周期。證明： f (x)關(guān)于點(diǎn)M(a, 0)對(duì)稱f (2a x) f (x)，x Rf (x)關(guān)于直線x b對(duì)稱f (x) f (2b x)，x Rf(2b x) f(2a x)， x R將上式中的x以x代換，得f