第二次二重積分計(jì)算一課件

1、xA(x)dV=A(x)dxx已知平行截面面積為已知平行截面面積為 A(x)的立體的立體 baxxAVd)(.aV 平行截面面積為已知的立體的體積平行截面面積為已知的立體的體積b二重積分的計(jì)算二重積分的計(jì)算 (D是矩形區(qū)域是矩形區(qū)域)y0 xz yabcdDD是矩形區(qū)域是矩形區(qū)域 a,b ; c,d z=f (x,y) Dyxy,xfId)d(y0 xz yabcdDD是矩形區(qū)域是矩形區(qū)域 a,b ; c,d z=f (x,y) baxy,xf)d()(yQ yyyxfz),( 問(wèn)題：?jiǎn)栴}：Q( y)是什么圖形？是什么圖形？Q( y ) =是曲邊梯形。是曲邊梯形。 Dyxy,xfId)d(.

2、二重積分的計(jì)算二重積分的計(jì)算 (D是矩形區(qū)域是矩形區(qū)域). dcyyQ)d(I0 xz yyabcdD dcbaxy,xfy)d(d. baxy,xf)d(Q( y ) = dcyyQ)d(I同理，也可以先對(duì)同理，也可以先對(duì) y 積分積分 badcyyxfxId),(d. Dyxy,xfId)d(z=f (x,y)D是矩形區(qū)域是矩形區(qū)域 a,b ; c,d 二重積分的計(jì)算二重積分的計(jì)算 (D是矩形區(qū)域是矩形區(qū)域)0 xz ycdDz=f (x,y)x= (y)x= (y)yD: (y) x (y) c y d 二重積分的計(jì)算二重積分的計(jì)算（D是曲線梯形區(qū)域）是曲線梯形區(qū)域） Dyxy,xfId

3、)d(0 xz ycdDz=f (x,y)x= (y)x= (y)(yQ.y問(wèn)題：?jiǎn)栴}：Q( y)是什么圖形？是什么圖形？D: (y) x (y) c y d yyyxfz),(也是曲邊梯形也是曲邊梯形 ! Dyxy,xfId)d(. )( )( )d,(yyxyxfQ( y ) = dcyyQ)d(I = 二重積分的計(jì)算二重積分的計(jì)算（D是曲線梯形區(qū)域）是曲線梯形區(qū)域）.0 xz yx= (y)ycdD dcyyxyxfy)( ) )d,(d(.D: (y) x (y) c y d. Dyxy,xfId)d( )( )( )d,(yyxyxf dcyyQ)d(Q( y ) =I =二重積分的

4、計(jì)算二重積分的計(jì)算（D是曲線梯形區(qū)域）是曲線梯形區(qū)域）x= (y)z=f (x,y)如果積分區(qū)域?yàn)椋喝绻e分區(qū)域?yàn)椋? bxa ).()(21xyx 其中函數(shù)其中函數(shù) 、 在區(qū)間在區(qū)間 上連續(xù)上連續(xù).)(1x )(2x ,ba直角坐標(biāo)系下計(jì)算二重積分X型型)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy .),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf .),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf 如果積分區(qū)域?yàn)椋喝绻e分區(qū)域?yàn)椋?dyc ).()(21yxy Y型型)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx DX型區(qū)域的特點(diǎn)型區(qū)域的特點(diǎn)：

5、穿過(guò)區(qū)域且平行于穿過(guò)區(qū)域且平行于y軸的直線軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn)與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn). 積分次序：先積分次序：先Y后后X。Y型區(qū)域的特點(diǎn)型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過(guò)區(qū)域且平行于穿過(guò)區(qū)域且平行于x軸的直線軸的直線與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn)與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn). 積分次序：先積分次序：先X后后Y。若區(qū)域如圖，若區(qū)域如圖，3D2D1D在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別在分割后的三個(gè)區(qū)域上分別使用積分公式使用積分公式.321 DDDD則須進(jìn)行分割則須進(jìn)行分割.xy 1例例 1 1 改改變變積積分分 xdyyxfdx1010),(的的次次序序.原原式式 ydxyxfdy1010),(.解：解

6、： 積分區(qū)域如圖積分區(qū)域如圖 如果積分區(qū)域即是如果積分區(qū)域即是X-型又是型又是Y-型的型的 ，則重積分既可以，則重積分既可以轉(zhuǎn)化為先對(duì)轉(zhuǎn)化為先對(duì)x后對(duì)后對(duì)y的的 ，也可以轉(zhuǎn)化為先，也可以轉(zhuǎn)化為先y后后x的二次積分（的二次積分（累次積分）累次積分）xy 222xxy 例例 2 2 改改變變積積分分 xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2的的次次序序.原原式式 102112),(yydxyxfdy.解：解：積分區(qū)域如圖積分區(qū)域如圖例例 3 3 改變積分改變積分)0(),(20222 adyyxfdxaaxxax 的次序的次序.axy2 解：解：= ayaaaydxyxfd

7、y02222),(原式原式 aayaadxyxfdy0222),(.),(2222 aaaaydxyxfdy22xaxy 22yaax a2aa2a0y x2a2aaD:axyxax22 2 解：解：0 x 2aD1D2axy2 yaax . yaax . )d,(d20222 aaayxyxfy )d,(d ayaayaaxyxfy. . DD I . )d,(d20222 aaxxaxyyxfxI注：注：這種方法要求這種方法要求 f (x, y) 在在D2上有定義甚至連續(xù)上有定義甚至連續(xù)解：解：兩兩曲曲線線的的交交點(diǎn)點(diǎn)),1 , 1( ,)0 , 0(22 yxxy Ddxdyyx)(2

8、1022)(xxdyyxdxdxxxxxx)(21)(42102 .14033 2xy 2yx 2xy 2yx 0y x1133y = xx = y 2D yyxyxyId yd.31 : , dd 222 yyxyDyxyxyID.2ln21123 . 計(jì)算計(jì)算例例5 5 求求 Dydxdyex22，其其中中 D 是是以以),1 , 1(),0 , 0()1 , 0(為為頂頂點(diǎn)點(diǎn)的的三三角角形形. dyey2無(wú)法用初等函數(shù)表示無(wú)法用初等函數(shù)表示解：解： 積積分分時(shí)時(shí)必必須須考考慮慮次次序序 Dydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 10332210262dyyey ).21

9、(61e 例例 6 6 計(jì)計(jì)算算積積分分 yxydxedyI212141 yyxydxedy121.解：解： dxexy不不能能用用初初等等函函數(shù)數(shù)表表示示先先改改變變積積分分次次序序.原原式式 xxxydyedxI2211 121)(dxeexx.2183ee 2xy xy 所圍區(qū)域所圍區(qū)域 與與 xyxyDyxxyD : , dd 11y = x20y xD2 先對(duì)先對(duì) y 積分（從下到上）積分（從下到上）1 畫出區(qū)域畫出區(qū)域 D 圖形圖形 Dddyxxy xxyxyd xd xxyyxxdd 1053d)(21xxx241 3 先對(duì)先對(duì) x 積分（從左到右）積分（從左到右）. Dddyx

10、xyy = x yyxxyd yd241 .用兩種順序計(jì)算用兩種順序計(jì)算x0z yab1. . 平面所圍成的體積平面所圍成的體積與與 求橢圓拋物面求橢圓拋物面xoybyaxz 1 2222 1 :2222 byaxDxyD1 Vx)byax(ybybbadd byybba023223d)(324 204dcos38 ab（定積分三角代換）（定積分三角代換）2423138 abab2 .yxbyaxDd)d( 瓦里斯公式瓦里斯公式= dxxn20sin dxxn 20cos )( , 2! ! !)!1()( , ! ! !)!1(為偶數(shù)為偶數(shù)為奇數(shù)為奇數(shù)nnnnnn 二重積分在直角坐標(biāo)下的計(jì)算

11、公式二重積分在直角坐標(biāo)下的計(jì)算公式（在積分中要正確選擇（在積分中要正確選擇積分次序積分次序）二、小結(jié).),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf .),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf Y型型X型型D: 由四條直線由四條直線 : x=3，x=5, 3x 2y+4 = 0, 3x 2y+1 = 0 共同圍成的區(qū)域共同圍成的區(qū)域 .oxy35583x 2y+4 = 03x 2y+1 = 0D I. 21985)42(31d),(dxyxfyyD1D2D3 321DDDI先對(duì)先對(duì)y積分【積分【X-型】型】先對(duì)先對(duì)x積分【積分【Y-型】（需分塊）型】（需分塊）.213219 8213)12(31)42(31d),(dxyxfyyy 2135)12(313d),(dxyxfyy. 53)43(21)13(21)d,(dxxyyxfx Dyxy,xfId)d(yxoabDyxoabDyxoabD baybaxyxfyId)