二階線性偏微分方程的分類與總結PPT精選文檔

1、數學物理方程數學物理方程第四章第四章 二階線性偏微分方程的分類與總結二階線性偏微分方程的分類與總結1 1 二階線性偏微分方程的分類二階線性偏微分方程的分類第四章第四章 二階線性偏微分方程二階線性偏微分方程 的分類與總結的分類與總結3 3 三類方程的比較三類方程的比較數學物理方程數學物理方程第四章第四章 二階線性偏微分方程的分類與總結二階線性偏微分方程的分類與總結 在前面的章節(jié)中，我們分別討論了弦振動方程、在前面的章節(jié)中，我們分別討論了弦振動方程、熱傳導方程與拉普拉斯方程。這三類方程的形狀很特熱傳導方程與拉普拉斯方程。這三類方程的形狀很特殊，它們是二階線性偏微分方程的三個典型代表。一殊，它們是二

2、階線性偏微分方程的三個典型代表。一般形式的二階線性偏微分方程之間的共性和差異，往般形式的二階線性偏微分方程之間的共性和差異，往往可以從對這三類方程的研究中得到。本章中，我們往可以從對這三類方程的研究中得到。本章中，我們將以這三類方程的知識為基礎，研究一般形式的二階將以這三類方程的知識為基礎，研究一般形式的二階線性偏微分方程，并對這三類方程的性質進行比較深線性偏微分方程，并對這三類方程的性質進行比較深入的分類和總結。入的分類和總結。數學物理方程數學物理方程第四章第四章 二階線性偏微分方程的分類與總結二階線性偏微分方程的分類與總結1.1 1.1 兩個自變量的方程兩個自變量的方程1 1 二階線性偏微

3、分方程的分類二階線性偏微分方程的分類1.2 1.2 兩個自變量的二階線性兩個自變量的二階線性 偏微分方程的化簡偏微分方程的化簡1.3 1.3 方程的分類方程的分類數學物理方程數學物理方程第四章第四章 二階線性偏微分方程的分類與總結二階線性偏微分方程的分類與總結1 1 二階線性偏微分方程的分類二階線性偏微分方程的分類1 . 4221221211fcuububuauauayxyyxyxx 遵循由簡單到復雜的認知規(guī)律，我們先研究兩個自變量的二遵循由簡單到復雜的認知規(guī)律，我們先研究兩個自變量的二階線性偏微分方程的分類問題。階線性偏微分方程的分類問題。 前面遇到的一維熱傳導方程、弦振動方程和二維拉普拉斯

4、前面遇到的一維熱傳導方程、弦振動方程和二維拉普拉斯方程都是方程都是兩個自變量的二階線性偏微分方程。不過它們的形兩個自變量的二階線性偏微分方程。不過它們的形式特殊，若用式特殊，若用(x,y)記自變量，一般的二階線性方程總可以寫成記自變量，一般的二階線性方程總可以寫成如下的形狀如下的形狀1-1 1-1 兩個自變量的方程兩個自變量的方程數學物理方程數學物理方程第四章第四章 二階線性偏微分方程的分類與總結二階線性偏微分方程的分類與總結 在前面弦振動方程的達朗貝爾解法在前面弦振動方程的達朗貝爾解法(行波法行波法)的學習中，我們的學習中，我們已看到變量變換的意義。變換是研究微分方程的一個有效手已看到變量變

5、換的意義。變換是研究微分方程的一個有效手段，通過適當的變換往往可以把復雜的方程轉化為簡單的，段，通過適當的變換往往可以把復雜的方程轉化為簡單的，把不易求解的方程轉化為容易求解的。把不易求解的方程轉化為容易求解的。方程方程(4.1)的二階導數項的二階導數項稱為它的主部。稱為它的主部?，F在研究在什么樣的自變量變換下，方程的現在研究在什么樣的自變量變換下，方程的主部可以得到簡化。主部可以得到簡化。2 . 42221211yyxyxxuauaua1-1 1-1 兩個自變量的方程兩個自變量的方程數學物理方程數學物理方程第四章第四章 二階線性偏微分方程的分類與總結二階線性偏微分方程的分類與總結1-1-2

6、2 兩個自變量的二階線性偏微分方程的化簡兩個自變量的二階線性偏微分方程的化簡設設(x0,y0)是區(qū)域是區(qū)域內一點，在該點的鄰域內對方程內一點，在該點的鄰域內對方程(1)進行簡化。進行簡化。為此我們作下面的自變量變換為此我們作下面的自變量變換3 . 4),(),(yxyx在高等數學中，我們已經知道：如果上述變換是二次連續(xù)可微在高等數學中，我們已經知道：如果上述變換是二次連續(xù)可微的，且雅可比行列式的，且雅可比行列式4 . 4),(),(xxyxyxDDJ數學物理方程數學物理方程第四章第四章 二階線性偏微分方程的分類與總結二階線性偏微分方程的分類與總結在在(x0,y0)點不為零，那么在點點不為零，那

7、么在點(x0,y0)的鄰域內，變換的鄰域內，變換(4.3)是可逆是可逆的，也就是存在逆變換的，也就是存在逆變換5 . 4),(),(yyxx也就是說，方程也就是說，方程(4.1)可以采用新的自變量可以采用新的自變量, ,表示為表示為6 . 4221221211fucububuauaua運用復合函數的求導法則運用復合函數的求導法則22212211112yyxxaaaa7 . 4)(22121112yyxyyxxxaaaa22212211222yyxxaaaa1-1-2 2 兩個自變量的二階線性偏微分方程的化簡兩個自變量的二階線性偏微分方程的化簡數學物理方程數學物理方程第四章第四章 二階線性偏微分

8、方程的分類與總結二階線性偏微分方程的分類與總結注意到注意到(4.7)的第一個和第三個等式形式完全相同，因此，如果的第一個和第三個等式形式完全相同，因此，如果我們能選擇到方程我們能選擇到方程8 . 40222212211yyxxaaa的兩個函數無關的解的兩個函數無關的解1(x,y)和和2(x,y)，那么，將變換取為，那么，將變換取為= =1 (x,y)和和= =2 (x,y)，方程方程(4.6)的系數的系數 。002211aa； 這樣就達到了簡化方程這樣就達到了簡化方程(4.1)的主部的目的。下面考察這種的主部的目的。下面考察這種選取的可能性。選取的可能性。1-1-2 2 兩個自變量的二階線性偏

9、微分方程的化簡兩個自變量的二階線性偏微分方程的化簡數學物理方程數學物理方程第四章第四章 二階線性偏微分方程的分類與總結二階線性偏微分方程的分類與總結 我們知道，方程我們知道，方程(4.8)的求解可以轉化為下述常微分方程在的求解可以轉化為下述常微分方程在(x,y)平面上的積分曲線問題：平面上的積分曲線問題：9 . 402)(2212211adxdyadxdya設設1(x,y)=c 是方程是方程(4.9)的一族積分曲線，則的一族積分曲線，則z=1(x,y)是方程是方程(4.8)的一個解。稱方程的一個解。稱方程(4.9)的積分曲線為方程的積分曲線為方程(4.8)的的特征線特征線，方程，方程(4.9)

10、有時也稱為方程有時也稱為方程(4.8)的的特征方程特征方程。顯然方程顯然方程(4.9)可以分解為兩個方程可以分解為兩個方程11. 4/ )(10. 4/ )(1122112121211221121212aaaaadxdyaaaaadxdy1-1-2 2 兩個自變量的二階線性偏微分方程的化簡兩個自變量的二階線性偏微分方程的化簡數學物理方程數學物理方程第四章第四章 二階線性偏微分方程的分類與總結二階線性偏微分方程的分類與總結這樣根據這樣根據 的符號不同，我們可以選取相應的的符號不同，我們可以選取相應的變換代入方程變換代入方程(4.6) ，從而得到不同的化簡形式，從而得到不同的化簡形式2211212

11、aaa , 02211212aaa12. 41111DuCuBuAuu, 02211212aaa13. 41111DuCuBuAu, 02211212aaa14. 4DCuBuAuuu這三個方程分別稱為二階線性偏微分方程的這三個方程分別稱為二階線性偏微分方程的標準形式標準形式。1-1-2 2 兩個自變量的二階線性偏微分方程的化簡兩個自變量的二階線性偏微分方程的化簡數學物理方程數學物理方程第四章第四章 二階線性偏微分方程的分類與總結二階線性偏微分方程的分類與總結 由前面的討論可知，方程由前面的討論可知，方程(4.1)通過自變量的可逆變換通過自變量的可逆變換(4.3)化為那一種化為那一種標準形式，

12、主要決定于它的主部系數。也就是說由標準形式，主要決定于它的主部系數。也就是說由l,m平面上的二次曲線平面上的二次曲線的性質而定。由于這個曲線可以是橢圓、雙曲線或拋物線，因此我們相應的性質而定。由于這個曲線可以是橢圓、雙曲線或拋物線，因此我們相應地定義方程在一點的類型如下：地定義方程在一點的類型如下：若方程若方程(4.1)的主部系數的主部系數 在區(qū)域在區(qū)域中某一點中某一點(x0，y0)滿足滿足02),(22212211malmalamlQ221211,aaa則稱方程在點則稱方程在點(x0，y0)是是雙曲型雙曲型的；的；, 02211212aaa, 02211212aaa, 02211212aaa

13、則稱方程在點則稱方程在點(x0，y0)是是橢圓型橢圓型的。的。則稱方程在點則稱方程在點(x0，y0)是是拋物型拋物型的的;相應地，相應地， (4.12)、(4.13)和和(4.14)這三個方程分別稱為這三個方程分別稱為雙曲型雙曲型、拋物型拋物型和和橢圓型橢圓型(二階線性二階線性)偏微分方程的標準形式。偏微分方程的標準形式。1-1-3 3 方程的分類方程的分類數學物理方程數學物理方程第四章第四章 二階線性偏微分方程的分類與總結二階線性偏微分方程的分類與總結如果方程在區(qū)域如果方程在區(qū)域中每一點上均為雙曲型，那么我們稱方程在區(qū)域中每一點上均為雙曲型，那么我們稱方程在區(qū)域中是中是雙曲型的。類似的，對橢

14、圓型和拋物型也有同樣的定義。如果一個方程在雙曲型的。類似的，對橢圓型和拋物型也有同樣的定義。如果一個方程在區(qū)域區(qū)域中的一部分區(qū)域表現為雙曲型，在另一部分表現為橢圓型，而在分中的一部分區(qū)域表現為雙曲型，在另一部分表現為橢圓型，而在分界面上表現為拋物型，那么，這樣的方程在在區(qū)域界面上表現為拋物型，那么，這樣的方程在在區(qū)域中稱為混合型的。中稱為混合型的。舉例：舉例：容易看出，如果點容易看出，如果點(x0，y0)上方程上方程(4.1)表現為雙曲型或橢圓型，那么一定存表現為雙曲型或橢圓型，那么一定存在該點的一個領域，使方程在這個領域內是雙曲型或橢圓型的。但如果這在該點的一個領域，使方程在這個領域內是雙曲

15、型或橢圓型的。但如果這個點上個點上方程方程(4.1)表現為拋物型，則不一定存在一個領域，使方程在這個領表現為拋物型，則不一定存在一個領域，使方程在這個領域內表現為拋物型。域內表現為拋物型。按照剛才的分類方法，很容易看出一維弦振動方程是雙曲型的，一維熱傳按照剛才的分類方法，很容易看出一維弦振動方程是雙曲型的，一維熱傳導方程是拋物型的，二維拉普拉斯方程是橢圓型的。前面我們已經知道，導方程是拋物型的，二維拉普拉斯方程是橢圓型的。前面我們已經知道，以上三種方程描述的自然現象的本質不同，其解的性質也各異。這也從側以上三種方程描述的自然現象的本質不同，其解的性質也各異。這也從側面說明了我們對二階線性偏微分

16、方程所進行的分類是有其深刻的原因的。面說明了我們對二階線性偏微分方程所進行的分類是有其深刻的原因的。例如，空氣動力學中，對于定常例如，空氣動力學中，對于定常Euler方程而言，它在方程而言，它在亞音速亞音速流動中表現為流動中表現為橢圓型橢圓型方程，在方程，在超音速超音速流動中表現為流動中表現為雙曲型雙曲型，在，在跨音速跨音速流動中表現為流動中表現為混合混合型型。而對于非定常。而對于非定常Euler方程而言，它始終表現為方程而言，它始終表現為雙曲型雙曲型。02222yuxuy1-1-3 3 方程的分類方程的分類數學物理方程數學物理方程第四章第四章 二階線性偏微分方程的分類與總結二階線性偏微分方程

17、的分類與總結例題：把方程例題：把方程0=+2+22yyxyxxuyxyuux分類并化為標準形式分類并化為標準形式 解：該方程的解：該方程的04)2(222yxxy故該方程是拋物型的。故該方程是拋物型的。顯然，該方程的特征方程為：顯然，該方程的特征方程為：0)(2)(222ydxdyxydxdyxxydxdy從而得到方程的一族特征線為：從而得到方程的一族特征線為：xdxydyxylnlnCyx/作自變量代換作自變量代換yxy;( (由于由于和和必須函數無關必須函數無關, ,所以所以宜取最宜取最簡單的函數形式簡單的函數形式, ,即即= =x 或或= =y) )于是，原方程化簡后的標準形式為：于是，

18、原方程化簡后的標準形式為：0u1-1-3 3 方程的分類方程的分類數學物理方程數學物理方程第四章第四章 二階線性偏微分方程的分類與總結二階線性偏微分方程的分類與總結練習題：例1、2，P 100101； 習題2、3，P 102103。數學物理方程數學物理方程第四章第四章 二階線性偏微分方程的分類與總結二階線性偏微分方程的分類與總結1.1 1.1 線性方程的疊加原理線性方程的疊加原理3 3 三類方程的比較三類方程的比較1.2 1.2 解的性質的比較解的性質的比較1.3 1.3 定解問題的提法比較定解問題的提法比較數學物理方程數學物理方程第四章第四章 二階線性偏微分方程的分類與總結二階線性偏微分方程

19、的分類與總結 現在我們以前面各章對三類典型方程的研究為基現在我們以前面各章對三類典型方程的研究為基礎，就雙曲型方程、拋物型方程和橢圓型方程這三種礎，就雙曲型方程、拋物型方程和橢圓型方程這三種不同類型的方程的解的性質、定解問題的提法等方面不同類型的方程的解的性質、定解問題的提法等方面進行分析和總結。我們將看到：這三類方程在其系數進行分析和總結。我們將看到：這三類方程在其系數的代數性質上的差別實際上反映著許多本質的差異。的代數性質上的差別實際上反映著許多本質的差異。3 3 三類方程的比較三類方程的比較數學物理方程數學物理方程第四章第四章 二階線性偏微分方程的分類與總結二階線性偏微分方程的分類與總結

20、3 3 三類方程的比較三類方程的比較3-1 3-1 線性方程的疊加原理線性方程的疊加原理共性共性 線性方程的共性是滿足疊加原理。線性方程的共性是滿足疊加原理。 前面的學習中，我們多次利用疊加原理把一個復雜的問題轉前面的學習中，我們多次利用疊加原理把一個復雜的問題轉化為若干個簡單的問題進行求解。分離變量法和齊次化原理實化為若干個簡單的問題進行求解。分離變量法和齊次化原理實際上都是疊加原理的具體應用。際上都是疊加原理的具體應用。數學物理方程數學物理方程第四章第四章 二階線性偏微分方程的分類與總結二階線性偏微分方程的分類與總結（以熱傳導方程為例）疊加原理I.) 1 . 3(),(合仍然是解的，它們的

21、無限線性組是如果txuk數學物理方程數學物理方程第四章第四章 二階線性偏微分方程的分類與總結二階線性偏微分方程的分類與總結疊加原理II是是下下面面方方程程的的解解設設,),(3 32 21 1 ktxuk(3.3) ),( ),(222Gtxtxfxuatuk如如果果級級數數 1 1kkktxuc),(函函數數可可逐逐項項求求導導兩兩次次，則則和和可可以以逐逐項項求求導導一一次次，對對內內對對在在xtG (3.4) ),( ),(1kkktxuctxu.是非下面齊次方程的解是非下面齊次方程的解(3.5) ),( ),(0222Gtxtxfcxuatukkk數學物理方程數學物理方程第四章第四章

22、二階線性偏微分方程的分類與總結二階線性偏微分方程的分類與總結疊加原理III 數學物理方程數學物理方程第四章第四章 二階線性偏微分方程的分類與總結二階線性偏微分方程的分類與總結疊加原理IV數學物理方程數學物理方程第四章第四章 二階線性偏微分方程的分類與總結二階線性偏微分方程的分類與總結 三類典型方程在數學性質上的差異往往是相應的物理現象的三類典型方程在數學性質上的差異往往是相應的物理現象的本質差異在數學上的表現。下面我們以三類典型方程本質差異在數學上的表現。下面我們以三類典型方程(波動方程、波動方程、熱傳導方程和拉普拉斯方程熱傳導方程和拉普拉斯方程)為例來敘述其差別。對于一般的變?yōu)槔齺頂⑹銎洳顒e

23、。對于一般的變系數方程，情況更復雜一些，但類似結論仍然成立。系數方程，情況更復雜一些，但類似結論仍然成立。3 3 三類方程的比較三類方程的比較3-2 3-2 解的性質的比較解的性質的比較差異差異數學物理方程數學物理方程第四章第四章 二階線性偏微分方程的分類與總結二階線性偏微分方程的分類與總結1） 解的光滑性解的光滑性 對于不同類型的方程來說，解的光滑性可以很不相同。對于弦振動方對于不同類型的方程來說，解的光滑性可以很不相同。對于弦振動方程來說，如果初始條件中高階的導數不存在，那么解的高階導數也就不存程來說，如果初始條件中高階的導數不存在，那么解的高階導數也就不存在；對于熱傳導方程，只要初始條件

24、是有界的，那么其解是無窮可微的；在；對于熱傳導方程，只要初始條件是有界的，那么其解是無窮可微的；對于拉普拉斯方程，它的解的光滑性更好，其解在定義域內都是解析函數。對于拉普拉斯方程，它的解的光滑性更好，其解在定義域內都是解析函數。 課本上從物理角度對上述解的光滑性差異進行了解釋。下面的圖形形課本上從物理角度對上述解的光滑性差異進行了解釋。下面的圖形形象地反映了不同類型方程的解的光滑性。象地反映了不同類型方程的解的光滑性。數學物理方程數學物理方程第四章第四章 二階線性偏微分方程的分類與總結二階線性偏微分方程的分類與總結2） 解的極值性質解的極值性質 熱傳導方程和拉普拉斯方程都存在極值原理，但它們所

25、采熱傳導方程和拉普拉斯方程都存在極值原理，但它們所采取的形式是有區(qū)別的。拉普拉斯方程解的極值只可能存在于取的形式是有區(qū)別的。拉普拉斯方程解的極值只可能存在于邊界。至于熱傳導方程，區(qū)域內部的最大值不能超過區(qū)域初邊界。至于熱傳導方程，區(qū)域內部的最大值不能超過區(qū)域初始時刻和邊界面上的最大值。雙曲型方程通常不存在極值原始時刻和邊界面上的最大值。雙曲型方程通常不存在極值原理，這是因為波在疊加時可以出現擾動增大的情況。理，這是因為波在疊加時可以出現擾動增大的情況。數學物理方程數學物理方程第四章第四章 二階線性偏微分方程的分類與總結二階線性偏微分方程的分類與總結3） 影響區(qū)和依賴區(qū)影響區(qū)和依賴區(qū) 從影響區(qū)和

26、依賴區(qū)來看，三類方程也有很大區(qū)別。波動方從影響區(qū)和依賴區(qū)來看，三類方程也有很大區(qū)別。波動方程的擾動是以有限速度傳播的，因而其影響區(qū)和依賴區(qū)是錐程的擾動是以有限速度傳播的，因而其影響區(qū)和依賴區(qū)是錐體狀的。對熱傳導方程而言，其擾動傳播進行的十分迅速，體狀的。對熱傳導方程而言，其擾動傳播進行的十分迅速，某個點的其影響區(qū)是該點以上的整個上半平面，依賴區(qū)是整某個點的其影響區(qū)是該點以上的整個上半平面，依賴區(qū)是整個初始值區(qū)間。拉普拉斯方程表示定常狀態(tài)或平衡狀態(tài)，因個初始值區(qū)間。拉普拉斯方程表示定常狀態(tài)或平衡狀態(tài)，因此不存在擾動傳播的問題。此不存在擾動傳播的問題。數學物理方程數學物理方程第四章第四章 二階線性偏微分方程的分類與總結二階線性偏微分方程的分類與總結4） 關于時間的反演關于時間的反演 一物理狀態(tài)的變化是否可逆，在數學上反映為所歸結出來一物理狀態(tài)的變化是否可逆，在數學上反映為所歸結出來的方程關于時間變量是否是對稱的，即以的方程關于時間變量是否是對稱的，即以t代替代替t后方程是否不后方程是否不變化。變化。 拉普拉斯方程不存在此問題，雙曲型方程是可逆的，熱傳拉普拉斯方程不存在此問題，雙曲型方程是可逆的，熱傳導方程是