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文檔簡介
1、1攸縣一中攸縣一中 湯慶平湯慶平2 1、在初中我們是如何定義銳角三角函數(shù)的?、在初中我們是如何定義銳角三角函數(shù)的?sincostancacbba OabMPc1.2任意角的三角函數(shù)任意角的三角函數(shù)3OabMP yx 2.在直角坐標(biāo)系中如何用坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)?在直角坐標(biāo)系中如何用坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)?422:barOPbMPaOM其中 yx2.在直角坐標(biāo)系中如何用坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)?在直角坐標(biāo)系中如何用坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)?raOPOMcosrbOPMPsinabOMMPtanbaP,Mo5如果改變點(diǎn)在終邊上的位置,這三個(gè)比值會改變嗎?如果改變點(diǎn)在終邊上的位置,這三個(gè)比值會改變嗎?PMOP
2、MPsinOPOMcosOMMPtanOMPPMOPOPMPOOMMOPMMOyxP(a,b)6OPMPsinOPOMcosOMMPtan,則若1 rOPbaab 3.銳角三角函數(shù)(在單位圓中)銳角三角函數(shù)(在單位圓中)以原點(diǎn)以原點(diǎn)O為為圓心,以單位圓心,以單位長度為半徑的圓,稱為單位圓長度為半徑的圓,稱為單位圓. yoP),(bax1M7 2.任意角的三角函數(shù)定義任意角的三角函數(shù)定義 設(shè) 是一個(gè)任意角,它的終邊與單位圓交于點(diǎn)),(yxP 那么:(1) 叫做 的正弦正弦,記作 ,即 ;ysinysin (2) 叫做 的余弦余弦,記作 ,即 ; cosxxcos(3) 叫做 的正切正切,記作 ,
3、即 。 xytanxytan 所以,正弦,余弦,正切都所以,正弦,余弦,正切都是以是以角為自變量角為自變量,以,以單位圓單位圓上點(diǎn)上點(diǎn)的的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的為函數(shù)值的函數(shù),我們將他們稱為函數(shù),我們將他們稱為三角函數(shù)三角函數(shù).0 , 1AOyxyxP ,)0(x使比值有意義的角的集合使比值有意義的角的集合即為三角函數(shù)的定義域即為三角函數(shù)的定義域.8(1)正弦就是交點(diǎn)的縱坐標(biāo),余弦就是交點(diǎn))正弦就是交點(diǎn)的縱坐標(biāo),余弦就是交點(diǎn)橫坐標(biāo)的比值橫坐標(biāo)的比值. .的橫坐標(biāo),的橫坐標(biāo),交點(diǎn)的縱坐標(biāo)與交點(diǎn)的縱坐標(biāo)與. .(2) 正弦、余弦總有意義正弦、余弦總有意義.當(dāng)當(dāng) 的終邊在的終邊在
4、 y橫坐標(biāo)等于橫坐標(biāo)等于0, xytan無意義,此時(shí)無意義,此時(shí) )(2zkk軸上時(shí),點(diǎn)軸上時(shí),點(diǎn)P 的的(3)由于角的集合與實(shí)數(shù)集之間可以建立一一對應(yīng)關(guān)系,)由于角的集合與實(shí)數(shù)集之間可以建立一一對應(yīng)關(guān)系,三角函數(shù)可以看成是自變量為實(shí)數(shù)的函數(shù)三角函數(shù)可以看成是自變量為實(shí)數(shù)的函數(shù). 正切就是正切就是9 任意角的三角函數(shù)的定義過程:任意角的三角函數(shù)的定義過程:直角三角形中定義銳角三角函數(shù) abrarbtan,cos,sin直角坐標(biāo)系中定義銳角三角函數(shù) abrarbtan,cos,sin單位圓中定義銳角三角函數(shù) ababtan,cos,sin單位圓中定義任意角的三角函數(shù) ,sinyxcosxytan
5、,10例例1 求求 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值.3535AOB解:在直角坐標(biāo)系中,作解:在直角坐標(biāo)系中,作 AOB,易知,易知 的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為 )23,21(所以所以 2335sin2135cos335tan思考:若把角思考:若把角 改為改為 呢呢? 3567,2167sin, ,2367cos3367tanxyoAB3511例例2 已知角已知角 的終邊經(jīng)過點(diǎn)的終邊經(jīng)過點(diǎn) ,求角,求角 的正弦、余的正弦、余弦和正切值弦和正切值 .)4, 3(0P5) 4() 3(220OP解解:由已知可得由已知可得設(shè)角設(shè)角 的終邊與單位圓交于的終邊與單位圓交
6、于 ,),(yxP分別過點(diǎn)分別過點(diǎn) 、 作作 軸的垂線軸的垂線 、0PMPP00PMx400PM 于是,于是, ;54|1sin000OPPMOPMPyyyMP30OMxOMOMP00POM;531cos00OPOMOPOMxx34cossintanxy4, 30P0MOyxMyxP ,12 設(shè)角設(shè)角 是一個(gè)任意角,是一個(gè)任意角, 是終邊上的任意一點(diǎn),是終邊上的任意一點(diǎn),點(diǎn)點(diǎn) 與原點(diǎn)的距離與原點(diǎn)的距離),( yxP022yxrP那么那么 叫做叫做 的正弦,即的正弦,即ryrysin 叫做叫做 的余弦,即的余弦,即rxrxcos 叫做叫做 的正弦,即的正弦,即xy0tanxxy 任意角任意角 的
7、三角函數(shù)值僅與的三角函數(shù)值僅與 有關(guān),而與點(diǎn)有關(guān),而與點(diǎn) 在角的在角的終邊上的位置無關(guān)終邊上的位置無關(guān).xr1312cosrx125tanxy135sinry于是于是,練習(xí)練習(xí) 1、已知角、已知角 的終邊過點(diǎn)的終邊過點(diǎn) , 求求 的三個(gè)三角函數(shù)值的三個(gè)三角函數(shù)值.5 ,12P解:由已知可得:解:由已知可得:142P15 ,8aa、已知角 的終邊上一點(diǎn)aR且a0 ,sin,cos ,tan求角 的的值.-15 ,8 ,xa ya解:由于22158170raaa a所以 1017 ,ara若則于是88151588sin,cos,tan171717171515aaaaaa
8、20-17 ,ara若則于是88151588sin,cos,tan171717171515aaaaaa 1532sin ,cos ,tan.yx、已知角 的終邊在直線上,求角 的的值 1解: 當(dāng)角 的終邊在第一象限時(shí),221,2125在角 的終邊上取點(diǎn),則r=225152sin,cos,tan255155 2當(dāng)角的終邊在第三象限時(shí),221, 2125r 在角的終邊上取點(diǎn),則22 5152sin,cos,tan255155 161.根據(jù)三角函數(shù)的定義,確定它們的定義域根據(jù)三角函數(shù)的定義,確定它們的定義域(弧度制)(弧度制)sincostanR)(2Zkk2.確定三角函數(shù)值在各象限的符號確定三角函
9、數(shù)值在各象限的符號yxosinyxocosyxotan+( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )R+-+-+-+-17 例例3 求證:當(dāng)且僅當(dāng)下列不等式組成立時(shí),求證:當(dāng)且僅當(dāng)下列不等式組成立時(shí), 角角 為第三象限角為第三象限角.0tan 0sin 證明:證明: 因?yàn)槭揭驗(yàn)槭?成立成立,所以所以 角的終邊可能位于第三角的終邊可能位于第三 或第四象限,也可能位于或第四象限,也可能位于y 軸的非正半軸上;軸的非正半軸上;0sin 又因?yàn)槭接忠驗(yàn)槭?成立,所以角成立,所以角 的終邊可能位于的終邊可能位于第一或第三象限第一或第三象限. 0tan 因?yàn)槭蕉汲闪?,所以角因?yàn)槭蕉汲?/p>
10、立,所以角 的終邊只能位于第三象限的終邊只能位于第三象限.于是角于是角 為第三象限角為第三象限角.反過來請同學(xué)們自己證明反過來請同學(xué)們自己證明.18如果兩個(gè)角的終邊相同,那么這兩個(gè)角的如果兩個(gè)角的終邊相同,那么這兩個(gè)角的同一三角函數(shù)值有何關(guān)系?同一三角函數(shù)值有何關(guān)系? 終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等(公式一)終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等(公式一)tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(kkk其中其中zk 利用公式一,可以把求任意角的三角函數(shù)值,轉(zhuǎn)化為利用公式一,可以把求任意角的三角函數(shù)值,轉(zhuǎn)化為求求 角的三角函數(shù)值角的三角函數(shù)值 .360020到或到 ?19 例例4 確定下
11、列三角函數(shù)值的符號:確定下列三角函數(shù)值的符號: (1) (2) (3)解:解:250cos)672tan(4sin(1)因?yàn)椋┮驗(yàn)?是第三象限角,所以是第三象限角,所以 ;2500250cos(2)因?yàn)椋┮驗(yàn)?= , 而而 是第一象限角,所以是第一象限角,所以 ;)672tan(48tan)360248tan(0)672tan(48練習(xí)練習(xí) 確定下列三角函數(shù)值的符號確定下列三角函數(shù)值的符號516cos)34sin()817tan( (3)因?yàn)椋┮驗(yàn)?是第四象限角,所以是第四象限角,所以 .404sin20 例例5 求下列三角函數(shù)值:求下列三角函數(shù)值: (1) (2)49cos)611tan( 解:(解:(1) 224cos)24cos(49cos練習(xí)練習(xí) 求下列三角函數(shù)值求下列三角函數(shù)值319tan)431tan( 31336tan6tan)26tan()611tan((2)21117119cossintan363練習(xí):求值117119cossintan363解:cos4sin12tan 6363cossintan3631131322 221. 內(nèi)容總結(jié):內(nèi)容總結(jié): 三角函數(shù)的
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