復(fù)變函數(shù)柯西公式

1、 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)學(xué)習(xí)要點學(xué)習(xí)要點熟練掌握高階導(dǎo)數(shù)公式熟練掌握高階導(dǎo)數(shù)公式 熟練掌握柯西積分公式熟練掌握柯西積分公式第三章第三章 復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)變函數(shù)的積分3.2 柯西公式柯西公式 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)一、柯西積分公式一、柯西積分公式1. 問題的提出問題的提出000( ):|(0)( )f zCzzrrf zC 設(shè)設(shè)在在以以圓圓為為邊邊界界的的閉閉圓圓盤盤上上解解析析，沿沿 的的積積分分為為零零?？伎紤]慮積積分分0( )Cf zIdzzz 0( )2)0;f zIzz 在在上上述述閉閉圓圓盤盤上上不不解解析析， 的的值值不不一一定定為為

2、 1) 被積函數(shù)在被積函數(shù)在C上連續(xù)，積分上連續(xù)，積分I必然存在；必然存在； 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)因此，因此，I的值只與的值只與f(z)在在z0點附近的值有關(guān)。點附近的值有關(guān)。根據(jù)閉路變形原理知根據(jù)閉路變形原理知, 得得( )12.f zIi 例例如如：時時，00( )( )CCf zf zdzdzzzzz 00 , : ,zCzz 作作以以為為中中心心 半半徑徑為為很很小小的的 的的正正向向圓圓周周現(xiàn)在考慮現(xiàn)在考慮f(z)為一般解析函數(shù)的情況。為一般解析函數(shù)的情況。 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù) ( ) ,f z由由的的連連續(xù)續(xù)性性0 ( ) ,

3、Cf zz 在在上上函函數(shù)數(shù)的的值值將將隨隨著著 的的縮縮小小而而逐逐漸漸接接近近于于它它在在圓圓心心處處的的值值000()( )d d .()CCf zf zzzzzzz 將將接接近近于于縮縮小小00()dCf zzzz 0001()d2().Cf zzif zzz 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)2. 柯西公式柯西公式( )DCf zDCDDz設(shè)設(shè) 是是以以有有限限條條簡簡單單閉閉曲曲線線 為為邊邊界界的的有有界界區(qū)區(qū)域域, , 設(shè)設(shè)在在 及及 所所組組成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域 上上解解析析，那那么么在在 內(nèi)內(nèi)任任一一點點 ，有有1( )( )2Cff zdiz 定理定理1 (柯

4、西公式柯西公式) C是是D的正向邊界，我們稱它為的正向邊界，我們稱它為柯西公式?？挛鞴?。 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)DC( ),( ),fzDFzDz 設(shè)設(shè)顯顯然然函函數(shù)數(shù)在在滿滿足足的的點點 處處解解析析。.rrDCD在在 上上，挖挖去去以以為為邊邊界界的的圓圓盤盤，余余下下的的點點集集是是一一個個閉閉區(qū)區(qū)域域證明：證明：,rzDrC以以 為為心心，作作一一個個包包含含在在 內(nèi)內(nèi)的的圓圓盤盤，設(shè)設(shè)其其半半徑徑為為 ，邊邊界界為為圓圓方方向向為為逆逆時時針針。zrC( ) rfDz 在在上上，解解析析，所所以以有有 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)( )(

5、)rCCffddzz ( )2rCff zdif zz rrCCfff zf zddzz ( )rrCCff zf zddzz ( )1rrCCff zdf zdzz 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù) ( ) ,fz 因因為為在在 連連續(xù)續(xù)0,( )0, ,( )( )zff z 所所以以當(dāng)當(dāng)時時 有有成成立立. . rCffz 故故在在圓圓周周上上，亦亦有有 22rrCCff zff zddzzrr 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù) 0lim0rrCff zdz 于于是是有有 2rCfdif zz 從從而而得得到到 1 2Cfdf zzDiz 即即證畢證畢 哈爾濱

6、工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)2、公式給出了解析函數(shù)的一個積分表達(dá)式、公式給出了解析函數(shù)的一個積分表達(dá)式.3、公式提供了計算某些復(fù)變函數(shù)沿閉路積分、公式提供了計算某些復(fù)變函數(shù)沿閉路積分的一種方法的一種方法注解注解(這是解析函數(shù)的又一特征這是解析函數(shù)的又一特征)1、對于有界閉區(qū)域上的解析函數(shù)，它在區(qū)域、對于有界閉區(qū)域上的解析函數(shù)，它在區(qū)域內(nèi)任一點所取的值可以用它在邊界上的值表內(nèi)任一點所取的值可以用它在邊界上的值表示出來。示出來。1( )( )2Cff zdiz 001( )()2Cf zf zdzizz 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)412)d .123zzzzz 21

7、213) d .(1)z izz z 例例1 求下列積分求下列積分41sin1)d2zzziz 2sin4 d , :1111) 1; 2) 1; 3) 2.22CzzCzzzz 計計算算積積分分其其中中例例2 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)41sin1)d ;2zzziz ( )sin , f zz 因因為為在在復(fù)復(fù)平平面面內(nèi)內(nèi)解解析析0 4 ,zz位位于于內(nèi)內(nèi)例例1 求下列積分求下列積分解解041sin1d2sin22zzzzizizi 0; 由柯西積分公式由柯西積分公式 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)412)d .123zzzzz 441dd123zzzz

8、zzz1 32122 2ii 7.2i 21213) d .(1)z izz z 21(1)z z 1()()z zizi1()z zizi )(zf 0,zi 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)1 ( ) , 2f zzi 因因為為在在內(nèi)內(nèi)解解析析2112211()dd(1)z iz iz zizzz zzi 12()z iiz zi 2122ii . i 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)解解2112sin41)d1zzzz 112sin41d1zzzzz 1sin421zziz 2;2i 2sin4 d , :1111) 1; 2) 1; 3) 2.22CzzCz

9、zzz 計計算算積積分分其其中中例例2 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)2111122sin4sin142)dd11zzzzzzzzz 1sin421zziz 2;2i 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)22sin43)d1zzzz 由閉路復(fù)合定理由閉路復(fù)合定理, 得得22sin4d1zzzz 2112sin4d1zzzz 2112sin4d1zzzz 2222ii 2. i 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)( )( )( )f zDDCf zCf zD設(shè)設(shè)在在閉閉區(qū)區(qū)域域 內(nèi)內(nèi)解解析析， 的的邊邊界界 是是由由光光滑滑或或分分段段光光滑滑曲曲線線所所組

10、組成成若若在在上上恒恒為為常常數(shù)數(shù)，證證明明在在 上上恒恒為為常常數(shù)數(shù). .( )( ),( )( )( )( )f zg zDCDDf zg zCf zg zC 設(shè)設(shè)與與在在區(qū)區(qū)域域 內(nèi)內(nèi)解解析析， 為為 內(nèi)內(nèi)的的任任意意一一條條簡簡單單閉閉曲曲線線，它它的的內(nèi)內(nèi)部部全全含含于于如如果果在在 上上所所有有點點成成立立，試試證證在在 內(nèi)內(nèi)所所有有點點處處成成立立。例例3 例例4 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)232. d .(1)zzezz z 練習(xí)練習(xí)計算下列積分計算下列積分2-2 1cos1. d .4zzzz 1(2)i ee 2cos2i 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué)

11、復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)定理定理2 ( ) , .Cf zDzD其其中中為為在在函函數(shù)數(shù)的的解解析析區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)圍圍繞繞的的任任何何一一條條正正向向簡簡單單閉閉曲曲線線 而而且且它它的的內(nèi)內(nèi)部部全全含含于于二、高階導(dǎo)數(shù)公式二、高階導(dǎo)數(shù)公式 ( ) , f z解解析析函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)仍仍為為解解析析函函數(shù)數(shù) :n它它的的階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為( )1( )( )d(1,2,)2(!)nnCffzinnz 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義,要證明要證明從柯西積分公式得從柯西積分公式得1( )( )d ,2Cff ziz 1( )()d ,2Cff zzizz 證明：

12、證明： , zD設(shè)設(shè) 為為內(nèi)內(nèi)任任一一點點 1 ,n 先先證證的的情情況況 201lim2zCf zzf zfdziz 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù) 12Cffdizzzzz 22Cfzdizzz 212Cf zzf zfdziz ?0 ( ) , 0, ( ),f zCMf zM 故故在在上上有有界界 于于是是使使得得 ( ) ,f zCC因因為為在在上上解解析析 所所以以在在上上連連續(xù)續(xù) 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù) ,dzC設(shè)設(shè)為為從從 到到曲曲線線上上各各點點的的最最短短距距離離zDCd1 , ,2zzd 并并取取適適當(dāng)當(dāng)?shù)氐匦⌒?滿滿足足11 ,z

13、dzd 則則zzzz ,2d 12,zzd 232CfzMLdzidzzz 0(0)z .LC這這里里為為的的長長度度 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)21( )( )d ,2()Cffzziz 于于是是再利用以上方法求極限再利用以上方法求極限0()( )limzfzzfzz 32!( ) ( )d .2()Cffziz 可可得得( )1!( )( )d .2()nnCnffzziz 證畢證畢至此我們證明了一個解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是至此我們證明了一個解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是解析函數(shù)解析函數(shù).依次類推依次類推, 利用數(shù)學(xué)歸納法可證利用數(shù)學(xué)歸納法可證 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)

14、復(fù)變函數(shù)1d .( )znzeznz 求求積積分分為為整整數(shù)數(shù)522, : 1. cos1)d ;2)d .(1)(1)zCCCzrzezzzz 計計算算下下列列積積分分 其其中中為為正正向向圓圓周周例例5例例6高階導(dǎo)數(shù)公式提供了計算某些復(fù)變函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)公式提供了計算某些復(fù)變函數(shù)沿閉路積分的一種方法沿閉路積分的一種方法.( )1( )( )d2()!nnCffzzizn 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)解解5cos1) 1 , (1)zCzz 函函數(shù)數(shù)在在內(nèi)內(nèi)處處不不解解析析cos ,zC 但但在在內(nèi)內(nèi)處處處處解解析析 根根據(jù)據(jù)高高階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)公公式式522, : 1. cos1

15、)d ;2)d .(1)(1)zCCCzrzezzzz 計計算算下下列列積積分分 其其中中為為正正向向圓圓周周例例55cosd(1)Czzz 1)4()(cos)!15(2 zzi5;12i 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)222) , (1)zeCziz 函函數(shù)數(shù)在在內(nèi)內(nèi)的的處處不不解解析析1C2Cxyo iCi 1 ,CiC在在內(nèi)內(nèi)以以為為中中心心作作一一個個正正向向圓圓周周2 ,iC 以以為為中中心心作作一一個個正正向向圓圓周周1222 ,(1), zeC C Cz 則則函函數(shù)數(shù)在在由由圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)解解析析根據(jù)復(fù)合閉路定理根據(jù)復(fù)合閉路定理12222222ddd(

16、1)(1)(1)zzzCCCeeezzzzzz 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)122d(1)zCezz 122()d()zCezizzi 22(21)! ()zz iiezi (1),2ii e 1C2Cxyo iCi 212222()dd(1)()zzCCeezizzzzi (1),2ii e 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)22 (1)(1) d(1)22ziiCei ei ezz 于于是是(1)()2iii eie 2(1) (cos1sin1)2i 2sin 1.4i 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)解解(1)0,n 1 , znezz 在在

17、上上解解析析由柯西定理得由柯西定理得1d0;znzezz (2)1,n 由柯西積分公式得由柯西積分公式得1dznzezz 02()zzie 2; i 1d .( )znzeznz 求求積積分分為為整整數(shù)數(shù)例例6 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)(3)1,n ( )010!( ) ()d2()nnCnf zfzzizz 根根據(jù)據(jù)公公式式1dznzezz (1)02()(1)!znzien 2.(1)!in 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù) 00|( )max( )z zf zzCzCMf z 若若函函數(shù)數(shù)在在以以 為為圓圓心心， 為為半半徑徑的的圓圓周周上上及及其其內(nèi)

18、內(nèi)部部解解析析，如如果果對對，有有，則則 0( ) 1,2,3,!nnfzMnn 三、一些結(jié)論三、一些結(jié)論1. 柯西不等式柯西不等式柯西不等式柯西不等式注注：解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)模的估計與區(qū)域的大?。航馕龊瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)模的估計與區(qū)域的大小 有關(guān)；有關(guān)； 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)( ),( )0( ).Cf zDDCf z dzf zD 若若在在區(qū)區(qū)域域 內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，且且對對于于 內(nèi)內(nèi)的的任任一一條條簡簡單單閉閉合合曲曲線線有有那那么么在在 內(nèi)內(nèi)解解析析2. 劉維爾定理劉維爾定理 有界整函數(shù)一定恒為常數(shù)有界整函數(shù)一定恒為常數(shù).3. 莫勒拉定理莫勒拉定理整函數(shù)：整函數(shù)：在整個復(fù)平面解析的函數(shù)在整個復(fù)平面解析的函數(shù) 哈爾濱工程大學(xué)哈爾濱工程大學(xué) 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)2. 劉維爾定理劉維爾定理 有界整函數(shù)一定恒為常數(shù)有界整函數(shù)一定恒為常數(shù).證明：證明：( )(0,),C,|( )|.f zMzf zM 是是有有界界整整函函數(shù)數(shù)，即即使使得得00( ) |-|C,(0,),f zzz zz 在在上上解解析析，這這里里，由柯西不等式由柯西不等式| ( )|Mfz 0 0