第九章彎曲剛度

1、第九章第九章 彎曲剛度彎曲剛度一、彎曲變形與位移一、彎曲變形與位移二、小撓度微分方程及其積分二、小撓度微分方程及其積分四、彎曲剛度計(jì)算四、彎曲剛度計(jì)算五、簡單靜不定梁五、簡單靜不定梁三、變形疊加原理三、變形疊加原理一、彎曲變形與位移一、彎曲變形與位移 在平面彎曲的情況下，梁的軸線彎曲成平面曲在平面彎曲的情況下，梁的軸線彎曲成平面曲線，梁的橫截面變形后仍然為平面，與梁的軸線垂線，梁的橫截面變形后仍然為平面，與梁的軸線垂直。由于彎曲變形使梁的橫截面發(fā)生位置改變，稱直。由于彎曲變形使梁的橫截面發(fā)生位置改變，稱為位移。梁的位移包括三部分：為位移。梁的位移包括三部分： 橫截面形心處垂直于軸線方向的位移，

2、稱為橫截面形心處垂直于軸線方向的位移，稱為撓撓度度； 變形后橫截面相對于變形前位置繞中性軸轉(zhuǎn)過變形后橫截面相對于變形前位置繞中性軸轉(zhuǎn)過的角度，稱為的角度，稱為轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角； 橫截面形心沿軸線方向的位移，成為橫截面形心沿軸線方向的位移，成為軸向位移軸向位移。1 1、變形和撓度有關(guān)概念、變形和撓度有關(guān)概念2 2、彎曲變形的撓度曲線、彎曲變形的撓度曲線 在彈性范圍內(nèi)，梁的軸線在彎曲變形在彈性范圍內(nèi)，梁的軸線在彎曲變形變成一條連續(xù)光滑的曲線，稱為變成一條連續(xù)光滑的曲線，稱為彈性曲線彈性曲線或撓度曲線?；驌隙惹€。 撓度曲線上某一點(diǎn)的曲率半徑與這一撓度曲線上某一點(diǎn)的曲率半徑與這一點(diǎn)橫截面上的彎矩、彎曲剛度的

3、關(guān)系：點(diǎn)橫截面上的彎矩、彎曲剛度的關(guān)系：EIM1 在小變形情況下，在小變形情況下，軸向位移軸向位移與撓度相與撓度相比為高階小量，通常不考慮。比為高階小量，通常不考慮。x)(x)(xx)(x 如圖：撓度如圖：撓度與轉(zhuǎn)角的關(guān)系與轉(zhuǎn)角的關(guān)系tandxd小變形情況下：小變形情況下：tandxd撓度與轉(zhuǎn)角的關(guān)系：撓度與轉(zhuǎn)角的關(guān)系：撓度方程撓度方程二、小撓度微分方程及其積分二、小撓度微分方程及其積分MNTAxyo1 1、弧微分、弧微分)(xf函數(shù)函數(shù))(xf在區(qū)間在區(qū)間（a,b）上上連續(xù)可導(dǎo)。在曲線上取一連續(xù)可導(dǎo)。在曲線上取一點(diǎn)點(diǎn)A(x0，y0)作為基點(diǎn)，對于作為基點(diǎn)，對于曲線上任意一點(diǎn)曲線上任意一點(diǎn)M(

4、x，y)，規(guī)定：規(guī)定： 曲線的正向?yàn)榍€的正向?yàn)閤增大的增大的方向；方向；MAs)(xfs 是是x的單調(diào)增函數(shù)的單調(diào)增函數(shù))(xfs 的導(dǎo)數(shù)與微分：的導(dǎo)數(shù)與微分：MNTAxyo)(xfx0 xxx)(yyxxN，為曲線上另為曲線上另 一點(diǎn)，一點(diǎn)，NMs有：有：222222222221xyMNNMxyxMNNMxMNMNNMxNMxs2221xyMNNMs得：得：當(dāng)：當(dāng)：MNx，0yxyMNNMxMN02lim1lim，dxyds21)(xfs 是是x的單調(diào)增函數(shù)的單調(diào)增函數(shù)由于：由于：弧微分公式弧微分公式2 2、曲率的定義、曲率的定義描述曲線局部彎曲程度的量描述曲線局部彎曲程度的量)(xfxy

5、MMos如圖：如圖：切線的轉(zhuǎn)角為，MMMMs則弧段則弧段s的平均曲率：的平均曲率：sK點(diǎn)點(diǎn)M處的曲率：處的曲率：dsdsKs0lim設(shè)設(shè))(xfy 二階可導(dǎo)，有：二階可導(dǎo)，有：tan yy arctandxyydxyd21)(arctan dxyds21由：由：23222)1(11yydxydxyydsdK 當(dāng)當(dāng)yKy ，有：1EIM13 3、小撓度微分方程及其積分、小撓度微分方程及其積分dxddxddsdK122dxddxd221dxdEIMdxd22yKEIM 1方法一：方法一：方法二：方法二：EIMdxd22撓度曲線近似微分方程。撓度曲線近似微分方程。EIMdxd22式中的正負(fù)號與坐標(biāo)取

6、向相關(guān)。式中的正負(fù)號與坐標(biāo)取向相關(guān)。對于等截面梁，對上式進(jìn)行不定積分，得：對于等截面梁，對上式進(jìn)行不定積分，得：轉(zhuǎn)角方程：轉(zhuǎn)角方程：CdxxMEIdxdEIl)(撓度方程：撓度方程：DCxdxdxxMEIll)(4 4、積分常數(shù)的確定、約束條件及連續(xù)條件、積分常數(shù)的確定、約束條件及連續(xù)條件 在上面的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程中，積分常數(shù)在上面的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程中，積分常數(shù)由梁的約束條件和連續(xù)條件確定。由梁的約束條件和連續(xù)條件確定。 約束條件約束條件是指約束對撓度和轉(zhuǎn)角的限制，也是指約束對撓度和轉(zhuǎn)角的限制，也稱邊界條件。稱邊界條件。常見約束條件：常見約束條件：在固定鉸鏈支座和輥軸支座處，有：在固定鉸鏈

7、支座和輥軸支座處，有：0在固定端處，有：在固定端處，有：00和 連續(xù)條件是指在梁的彈性范圍內(nèi)，其軸線彎曲變連續(xù)條件是指在梁的彈性范圍內(nèi)，其軸線彎曲變形為一條連續(xù)光滑曲線，因此在集中力、集中力偶以形為一條連續(xù)光滑曲線，因此在集中力、集中力偶以及分布載荷的間斷處，兩側(cè)的撓度和轉(zhuǎn)角相等。及分布載荷的間斷處，兩側(cè)的撓度和轉(zhuǎn)角相等。x)(xaPlCABPlaFBPlalFAAC段彎矩方程：段彎矩方程：axPxlalxM0)()(1；BC段彎矩方程：段彎矩方程：lxaPxllaxM；)()(2palalMCABC點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角相等。點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角相等。P214，例題，例題8-1PxlalxMdxdEI)(

8、1212axpxlalxM0)(1；1212)(ClxalPEIlxaPxllaxM；)()(2PaxlPaPxllaxMdxdEI)()(22222223226DxCxPaxlPaEI11316)(DxClxalPEI2222CPaxxlPaEI0A01D：lx 0B03222lPaDlC：0 x212221PaCC23216)(DPaaCC21：ax 22322CPalPaEI123122CPalPaEI1134166DaCPalPaEI2234226DaCPalPaEI根據(jù)邊界條件和連續(xù)條件可求出積分常數(shù)。根據(jù)邊界條件和連續(xù)條件可求出積分常數(shù)。例：已知梁的抗彎剛度例：已知梁的抗彎剛度EI

9、EI，求圖示簡支梁在均布，求圖示簡支梁在均布載荷載荷q q作用下的轉(zhuǎn)角方程和撓度曲線方程，并確作用下的轉(zhuǎn)角方程和撓度曲線方程，并確定最大轉(zhuǎn)角和撓度。定最大轉(zhuǎn)角和撓度。xqABl解：解：2BqlFFAqxqlFqxqlFyqqi20202022)(02)(0 xqxqlxMqxdxxqlxMMxi222212qxxqldxdEICxqxqlEI3264DCxxqxqlEI432412有：有：由邊界條件：由邊界條件：0A：lx 0B：0 x0D0241244DCllqql243qlC轉(zhuǎn)角方程：轉(zhuǎn)角方程：撓度曲線方程：撓度曲線方程：)2464(1332qlxqxqlEI)242412(1343xql

10、xqxqlEI最大轉(zhuǎn)角為最大轉(zhuǎn)角為A和和B處：處：最大撓度發(fā)生在中間：最大撓度發(fā)生在中間：EIqlBAMax243EIqlMax38454三、變形疊加原理三、變形疊加原理?xiàng)U件變形：桿件變形：其軸線為一光滑連續(xù)曲線；其軸線為一光滑連續(xù)曲線；位移是桿件變形累加的結(jié)果；位移是桿件變形累加的結(jié)果；小變形下力的作用是獨(dú)立的。小變形下力的作用是獨(dú)立的。疊加原理：疊加原理：，1313 工程中將典型載荷作用下梁的撓度和轉(zhuǎn)角表達(dá)式工程中將典型載荷作用下梁的撓度和轉(zhuǎn)角表達(dá)式制成表，撓度表。制成表，撓度表。多個(gè)載荷作用時(shí)，分解為各載荷單多個(gè)載荷作用時(shí)，分解為各載荷單獨(dú)作用狀態(tài)，根據(jù)撓度表查得相應(yīng)撓度和轉(zhuǎn)角，再進(jìn)獨(dú)作

11、用狀態(tài)，根據(jù)撓度表查得相應(yīng)撓度和轉(zhuǎn)角，再進(jìn)行疊加，可得綜合作用結(jié)果。行疊加，可得綜合作用結(jié)果。 P220，例題，例題8-3xqABxqABxABxqAB四、彎曲剛度計(jì)算四、彎曲剛度計(jì)算 maxmax彎曲剛度條件彎曲剛度條件: : rad:,單位許用轉(zhuǎn)角許用撓度 計(jì)算變形計(jì)算變形 校核剛度校核剛度 確定最大載荷確定最大載荷 五、簡單靜不定梁五、簡單靜不定梁靜不定靜不定：約束數(shù)量超過方程數(shù)量。約束數(shù)量超過方程數(shù)量。變形協(xié)調(diào)方程：位移或變形之間的幾何關(guān)系變形協(xié)調(diào)方程：位移或變形之間的幾何關(guān)系物理方程物理方程：力與位移或變形之間的關(guān)系力與位移或變形之間的關(guān)系平面匯交力系：兩個(gè)獨(dú)立方程，只能求解兩個(gè)未知

12、數(shù)平面匯交力系：兩個(gè)獨(dú)立方程，只能求解兩個(gè)未知數(shù)0iM0)(00iOyxFMFF平面力偶系：一個(gè)獨(dú)立方程，只能求解一個(gè)未知數(shù)平面力偶系：一個(gè)獨(dú)立方程，只能求解一個(gè)未知數(shù)00yxFF平面任意力系：三個(gè)獨(dú)立方程，只能求解三個(gè)未知數(shù)平面任意力系：三個(gè)獨(dú)立方程，只能求解三個(gè)未知數(shù)當(dāng)獨(dú)立方程數(shù)當(dāng)獨(dú)立方程數(shù) 未知數(shù)數(shù)量未知數(shù)數(shù)量：靜定問題靜定問題當(dāng)獨(dú)立方程數(shù)當(dāng)獨(dú)立方程數(shù) 未知數(shù)數(shù)量未知數(shù)數(shù)量：靜不定問題，超靜定問題靜不定問題，超靜定問題物體系統(tǒng)平衡的特點(diǎn)：物體系統(tǒng)平衡的特點(diǎn)：平衡系統(tǒng)中的每個(gè)單體（構(gòu)件）也是平衡的；平衡系統(tǒng)中的每個(gè)單體（構(gòu)件）也是平衡的； 平衡系統(tǒng)中每個(gè)單體（構(gòu)件）可以列出平衡系統(tǒng)中每個(gè)單

13、體（構(gòu)件）可以列出3個(gè)獨(dú)立個(gè)獨(dú)立平衡方程，整個(gè)系統(tǒng)可以有平衡方程，整個(gè)系統(tǒng)可以有3 n個(gè)方程。（設(shè)系統(tǒng)中個(gè)方程。（設(shè)系統(tǒng)中有有n個(gè)物體）個(gè)物體） 面接觸約束限制面接觸約束限制2個(gè)自由度；個(gè)自由度； 線和點(diǎn)接觸限制線和點(diǎn)接觸限制1個(gè)自由度。個(gè)自由度。 約束限制構(gòu)件的自由度，構(gòu)件在空間有約束限制構(gòu)件的自由度，構(gòu)件在空間有6個(gè)自由個(gè)自由度，平面有度，平面有3個(gè)自由度。個(gè)自由度。在平面情況下：在平面情況下：關(guān)于靜不定的次數(shù)：關(guān)于靜不定的次數(shù)：靜不定的次數(shù)，即多余約束的數(shù)量靜不定的次數(shù)，即多余約束的數(shù)量獨(dú)立方程數(shù)：獨(dú)立方程數(shù)：3個(gè)個(gè)約束數(shù)（未知力個(gè)數(shù)）：約束數(shù)（未知力個(gè)數(shù)）：3個(gè)個(gè)獨(dú)立方程數(shù)：獨(dú)立方程數(shù)

14、：3個(gè)個(gè)約束數(shù)（未知力個(gè)數(shù)）：約束數(shù)（未知力個(gè)數(shù)）：4個(gè)個(gè)物體系統(tǒng)的自由度數(shù)：物體系統(tǒng)的自由度數(shù)：HLPPnF23 當(dāng)當(dāng)物體系統(tǒng)的自由度數(shù)物體系統(tǒng)的自由度數(shù)F0，為靜不定系統(tǒng)，為靜不定系統(tǒng)，F(xiàn)即為物體系統(tǒng)的即為物體系統(tǒng)的靜不定的次數(shù)。靜不定的次數(shù)。P222，例題，例題8-4xqAC2l2lB 如圖：已知均布載荷集度如圖：已知均布載荷集度q=15N/mm，l=4m，梁為圓截梁為圓截面，直徑面，直徑d=100mm，材料的許，材料的許用應(yīng)力用應(yīng)力 =100MPa，校核該，校核該梁是否安全。梁是否安全。解：該梁有多余約束，為一次靜不定問題，受力如圖解：該梁有多余約束，為一次靜不定問題，受力如圖xqAC

15、BCFAxFAyFBF將將C處約束解除，以處約束解除，以FC取代取代力平衡方程：力平衡方程：02121:00:00:0qllFlFMqlFFFFFFBAyCCBAyyiAxxixqAC2l2lB變形協(xié)調(diào)條件：變形協(xié)調(diào)條件：梁在梁在C處的撓度必須為零。處的撓度必須為零。由疊加原理：由疊加原理：0)()(CccCFqxqAC2l2lBxAC2l2lBCF再根據(jù)疊加原理，其中：再根據(jù)疊加原理，其中：)()()(21qqqcccEIqlllEIqllllllllEIlqqc3847)8345(48)22(4)23(42242)(433221EIqllEIlqlqBc3842124)21(21)(432

16、EIlFllllEIlFFCCCc12)32(2412)(32xqAC2l2lBxqAC2l2lBEIqlEIqlEIqlqqqccc38463843847)()()(444210)()(CccCFq由由038461243EIqlEIlFCqlFC163qlFB85qlFAy163xqACBCFAyFBF求求AB段彎矩：段彎矩：x210121163)(0163)(:0qxqlxxMqxdxqlxxMMxi0163)(1qxqlxMlx163lx163當(dāng)當(dāng)mkNxM22. 410153291691015214341015163)(3331求求BC段彎矩：段彎矩：22202165211613)(0)21(85163)(:0qlqxqlxxMqxdxlxqlqlxxMMxilx1613當(dāng)當(dāng)mkNxM22. 4161015165