2014年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題和答案解析

1、2014年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題和答案解析一、選擇題：（本題滿分42分，每小題7分）1已知為整數(shù)，且滿足，則的可能的值有（ ）A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個【答】 C.由已知等式得，顯然均不為0，所以0或.若，則.又為整數(shù)，可求得或所以或.因此，的可能的值有3個.2已知非負(fù)實數(shù)滿足，則的最大值為 （ ）A B C D【答】 A.，易知：當(dāng)，時，取得最大值.3在中，為的中點，于，交于，已知，則 （ ）A B C D【答】 B.因為，所以四點共圓，所以，又，所以，所以.又易知，所以，從而可得.46張不同的卡片上分別寫有數(shù)字2，2，4，4，6，6，從中取出3張，則這3張卡片上所寫的數(shù)字

2、可以作為三角形的三邊長的概率是 （ ）A B C D【答】 B.若取出的3張卡片上的數(shù)字互不相同，有2×2×28種取法；若取出的3張卡片上的數(shù)字有相同的，有3×412種取法.所以，從6張不同的卡片中取出3張，共有81220種取法.要使得三個數(shù)字可以構(gòu)成三角形的三邊長，只可能是：（2，4，4），（4，4，6），（2，6，6），（4，6，6），由于不同的卡片上所寫數(shù)字有重復(fù)，所以，取出的3張卡片上所寫的數(shù)字可以作為三角形的三邊長的情況共有4×28種.因此，所求概率為.5設(shè)表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)，令.已知實數(shù)滿足，則 （ ）A B C D1【答】 D.設(shè)，則

3、，所以，因式分解得，所以.由解得，顯然，所以1.6在中，在上，在上，使得為等腰直角三角形, ,則的長為 （ ）AB C D【答】 A.過作于，易知，.設(shè)，則，故，即.又，故可得.故.二、填空題：（本題滿分28分，每小題7分）1已知實數(shù)滿足，則_【答】 0.由題意知，所以整理得，所以0.2使得不等式對唯一的整數(shù)成立的最大正整數(shù)為 【答】144.由條件得，由的唯一性，得且，所以，所以.當(dāng)時，由可得，可取唯一整數(shù)值127.故滿足條件的正整數(shù)的最大值為144.3已知為等腰內(nèi)一點，為的中點，與交于點，如果點為的內(nèi)心，則 【答】.由題意可得，而，所以，從而可得.又，所以，從而.所以， ，所以.4已知正整數(shù)

4、滿足:，則 【答】36.設(shè)的最大公約數(shù)為，均為正整數(shù)且，則，所以，從而，設(shè)（為正整數(shù)），則有，而，所以均為完全平方數(shù)，設(shè)，則，均為正整數(shù)，且，.又，故，即.注意到，所以或.若，則，驗算可知只有滿足等式，此時，不符合題意，故舍去.若，則，驗算可知只有滿足等式，此時，符合題意.因此，所求的.三、（本題滿分20分）設(shè)實數(shù)滿足，求的值解 由已知條件可得，.設(shè)，則有， 5分聯(lián)立解得或. 10分若，即，則是一元二次方程的兩根，但這個方程的判別式，沒有實數(shù)根； 15分若，即，則是一元二次方程的兩根，這個方程的判別式，它有實數(shù)根.所以. 20分四、（本題滿分25分）如圖，在平行四邊形中，為對角線上一點，且滿足

5、, 的延長線與的外接圓交于點. 證明：證明 由是平行四邊形及已知條件知.5分又A、B、F、 D四點共圓，所以， .10分所以， 15分所以. 20分又，所以，故. 25分五、（本題滿分25分）設(shè)是整數(shù)，如果存在整數(shù)滿足，則稱具有性質(zhì).（1）試判斷1，2，3是否具有性質(zhì)；（2）在1，2，3，2013，2014這2014個連續(xù)整數(shù)中，不具有性質(zhì)的數(shù)有多少個？解 取，可得，所以1具有性質(zhì)；取，可得，所以2具有性質(zhì)；5分若3具有性質(zhì)，則存在整數(shù)使得，從而可得，故，于是有，即，這是不可能的，所以3不具有性質(zhì). 10分（2）記，則.即 15分不妨設(shè)，如果，即，則有；如果，即，則有；如果，即，則有；由此可知，形如或或（為整數(shù)）的數(shù)都具有性質(zhì).20分又若，則，從而，進而可知.綜合可知：當(dāng)且僅當(dāng)或（為整數(shù)）時，整數(shù)不