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1、三好高中生(ID:sanhao-youke),為高中生提供名師公開(kāi)課和精品資料。直接證明與間接證明 編稿:趙雷 審稿:李霞【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 掌握用綜合法證題的思路和特點(diǎn)。2. 掌握用分析法證題的思路和敘述方式3掌握間接證明中的常用方法反證法的思維過(guò)程和特點(diǎn)【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、綜合法證題1定義:一般地,從命題的已知條件出發(fā),利用公理、已知的定義及定理等,經(jīng)過(guò)一系列的推理論證,最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立,這種證明方法叫做綜合法.2綜合法的的基本思路:執(zhí)因索果綜合法又叫“順推證法”或“由因?qū)Чā?它是由已知走向求證,即從數(shù)學(xué)題的已知條件出發(fā),經(jīng)過(guò)逐步的邏輯推理,最后導(dǎo)出待證結(jié)論或需求的問(wèn)題綜合法

2、這種由因?qū)Ч淖C明方法,其邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理方法3綜合法的思維框圖:用表示已知條件,為定義、定理、公理等,表示所要證明的結(jié)論,則綜合法可用框圖表示為:(已知) (逐步推導(dǎo)結(jié)論成立的必要條件) (結(jié)論)要點(diǎn)詮釋?zhuān)?)從“已知”看“可知”,逐步推出“未知”,由因?qū)Ч?,其逐步推理?shí)際上是尋找它的必要條件; (2)用綜合法證明不等式,證明步驟嚴(yán)謹(jǐn),逐層遞進(jìn),步步為營(yíng),條理清晰,形式簡(jiǎn)潔,宜于表達(dá)推理的思維軌跡; (3)因用綜合法證明命題“若A則D”的思考過(guò)程可表示為: 故要從A推理到D,由A推演出的中間結(jié)論未必唯一,如B、B1、B2等,可由B、B1、B2進(jìn)一步推演出的中間結(jié)論則可能更多,如C

3、、C1、C2、C3、C4等等 所以如何找到“切入點(diǎn)”和有效的推理途徑是有效利用綜合法證明問(wèn)題的“瓶頸”4綜合法證明不等式時(shí)常用的不等式(1)a2+b22ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào));(2)(a,bR*,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào));(3)a20,|a|0,(ab)20;(4)(a,b同號(hào));(a,b異號(hào));(5)a,bR,(6)不等式的性質(zhì)定理1 對(duì)稱(chēng)性:abba。定理2 傳遞性:。定理3 加法性質(zhì):。推論 。定理4 乘法性質(zhì):。推論1 。推論2 。定理5 開(kāi)方性質(zhì):。要點(diǎn)二、分析法證題1定義:一般地,從需要證明的命題出發(fā),分析使這個(gè)命題成立的充分條件,逐步尋找使命題成立的充分條件,直至

4、所尋求的充分條件顯然成立(已知條件、定理、定義、公理等),或由已知證明成立,從而確定所證的命題成立的一種證明方法,叫做分析法.2分析法的基本思路:執(zhí)果索因分析法又叫“逆推證法”或“執(zhí)果索因法”.它是從要證明的結(jié)論出發(fā),分析使之成立的條件,即尋求使每一步成立的充分條件,直到最后,把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止.分析法這種執(zhí)果索因的證明方法,其邏輯依據(jù)是三段論式的演繹推理方法。3分析法的思維框圖:用表示已知條件和已有的定義、公理、公式、定理等,所要證明的結(jié)論,則用分析法證明可用框圖表示為:(結(jié)論) (逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件) (已知)4分析法的

5、格式:要證,只需證,只需證,因?yàn)槌闪?,所以原不等式得證。要點(diǎn)詮釋?zhuān)?(1)分析法是綜合法的逆過(guò)程,即從“未知”看“需知”,執(zhí)果索因,逐步靠攏“已知”,其逐步推理,實(shí)際上是尋找它的充分條件 (2)由于分析法是逆推證明,故在利用分析法證明時(shí)應(yīng)注意邏輯性與規(guī)范性,即分析法有獨(dú)特的表述5綜合法與分析法的橫向聯(lián)系(1) 綜合法是把整個(gè)不等式看做一個(gè)整體,通過(guò)對(duì)欲證不等式的分析、觀察,選擇恰當(dāng)不等式作為證題的出發(fā)點(diǎn),其難點(diǎn)在于到底從哪個(gè)不等式出發(fā)合適,這就要求我們不僅要熟悉、正確運(yùn)用作為定理性質(zhì)的不等式,還要注意這些不等式進(jìn)行恰當(dāng)變形后的利用分析法的優(yōu)點(diǎn)是利于思考,因?yàn)樗较蛎鞔_,思路自然,易于掌握,而綜

6、合法的優(yōu)點(diǎn)是宜于表述,條理清晰,形式簡(jiǎn)潔我們?cè)谧C明不等式時(shí),常用分析法尋找解題思路,即從結(jié)論出發(fā),逐步縮小范圍,進(jìn)而確定我們所需要的“因”,再用綜合法有條理地表述證題過(guò)程分析法一般用于綜合法難以實(shí)施的時(shí)候(2) 有些不等式的證明,需要把綜合法和分析法聯(lián)合起來(lái)使用:根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化結(jié)論,得到中間結(jié)論Q;根據(jù)結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化條件,得到中間結(jié)論P(yáng)若由P可以推出Q成立,就可以證明結(jié)論成立,這種邊分析邊綜合的證明方法,稱(chēng)之為分析綜合法,或稱(chēng)“兩頭擠法”分析綜合法充分表明分析與綜合之間互為前提、互相滲透、互相轉(zhuǎn)化的辯證統(tǒng)一關(guān)系,分析的終點(diǎn)是綜合的起點(diǎn),綜合的終點(diǎn)又成為進(jìn)一步分析的起點(diǎn) 命題“若

7、P則Q”的推演過(guò)程可表示為: 要點(diǎn)三、反證法證題間接證明不是從正面確定命題的真實(shí)性,而是證明它的反面為假,或改證它的等價(jià)命題為真,間接地達(dá)到目的,反證法是間接證明的一種基本方法1反證法定義:一般地,首先假設(shè)要證明的命題結(jié)論不正確,即結(jié)論的反面成立,然后利用公理,已知的定義、定理,命題的條件逐步分析,得到和命題的條件或公理、定理、定義及明顯成立的事實(shí)等矛盾的結(jié)論,以此說(shuō)明假設(shè)的結(jié)論不成立,從而證明了原命題成立,這樣的證明方法叫做反證法.2反證法的基本思路:假設(shè)矛盾肯定” 分清命題的條件和結(jié)論 做出與命題結(jié)論相矛盾的假設(shè) 由假設(shè)出發(fā),結(jié)合已知條件,應(yīng)用演繹推理方法,推出矛盾的結(jié)果 斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果

8、的原因,在于開(kāi)始所做的假定不真,于是原結(jié)論成立,從而間接地證明原命題為真3反證法的格式:用反證法證明命題“若p則q”時(shí),它的全部過(guò)程和邏輯根據(jù)可以表示如下: 要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?)反證法是間接證明的一種基本方法.它是先假設(shè)要證的命題不成立,即結(jié)論的反面成立,在已知條件和“假設(shè)”這個(gè)新條件下,通過(guò)邏輯推理,得出與定義、公理、定理、已知條件、臨時(shí)假設(shè)等相矛盾的結(jié)論,從而判定結(jié)論的反面不能成立,即證明了命題的結(jié)論一定是正確的.(2) 反證法的優(yōu)點(diǎn):對(duì)原結(jié)論否定的假定的提出,相當(dāng)于增加了一個(gè)已知條件.4反證法的一般步驟: (1)反設(shè):假設(shè)所要證明的結(jié)論不成立,假設(shè)結(jié)論的反面成立; (2)歸謬:由“反設(shè)”出發(fā)

9、,通過(guò)正確的推理,導(dǎo)出矛盾與已知條件、已知的公理、定義、定理、反設(shè)及明顯的事實(shí)矛盾或自相矛盾;(3)結(jié)論:因?yàn)橥评碚_,產(chǎn)生矛盾的原因在于“反設(shè)”的謬誤,既然結(jié)論的反面不成立,從而肯定了結(jié)論成立 要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?)結(jié)論的反面即結(jié)論的否定,要特別注意:“都是”的反面為“不都是”,即“至少有一個(gè)不是”,不是“都不是”;“都有”的反面為“不都有”,即“至少有一個(gè)沒(méi)有”,不是“都沒(méi)有”;“都不是”的反面是“部分是或全部是”,即“至少有一個(gè)是”,不是“都是”;“都沒(méi)有”的反面為“部分有或全部有”,即“至少有一個(gè)有”,不是“都有”(2)歸謬的主要類(lèi)型: 與已知條件矛盾; 與假設(shè)矛盾(自相矛盾);與定義、定理

10、、公理、事實(shí)矛盾 5宜用反證法證明的題型: 要證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)系不明顯,直接由條件推出結(jié)論的線索不夠清晰;比如“存在性問(wèn)題、唯一性問(wèn)題”等; 如果從正面證明,需要分成多種情形進(jìn)行分類(lèi)討論,而從反面進(jìn)行證明,只要研究一種或很少的幾種情形.比如帶有“至少有一個(gè)”或“至多有一個(gè)”等字樣的數(shù)學(xué)問(wèn)題. 要點(diǎn)詮釋?zhuān)?反證法體現(xiàn)出正難則反的思維策略(補(bǔ)集的思想)和以退為進(jìn)的思維策略,故在解決某些正面思考難度較大和探索型命題時(shí),有獨(dú)特的效果【典型例題】類(lèi)型一、利用綜合法證明有關(guān)命題例1已知,試用綜合法證明: .【解析】 因?yàn)椋?所以;又因?yàn)?,;所? 因此.【總結(jié)升華】 利用綜合法時(shí),從已知出發(fā),進(jìn)行運(yùn)

11、算和推理得到要證明的結(jié)論,并且在用均值定理證明不等式時(shí),一要注意均值定理運(yùn)用的條件,二要運(yùn)用定理對(duì)式子作適當(dāng)?shù)淖冃?,把式分成若干部分,?duì)每部分運(yùn)用均值定理后,再把它們相加或相減。舉一反三:【變式1】求證:【答案】待證不等式的左端是3個(gè)數(shù)和的形式,右端是一常數(shù)的形式,而左端3個(gè)分母的真數(shù)相同,由此可聯(lián)想到公式,轉(zhuǎn)化成能直接利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)的形式. ,左邊,.【變式2】設(shè)、是互不相等的正數(shù),且,試用綜合法證明:【答案】因?yàn)?,所?例2. 已知數(shù)列滿足, ,求證:是等比數(shù)列; 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)等比數(shù)列的定義變形?!窘馕觥坑蒩n1an6an1,an12an3(an2an1) (n2)a15,

12、a25a22a115故數(shù)列an12an是以15為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列 【總結(jié)升華】 本題從已知條件入手,分析數(shù)列間的相互關(guān)系,合理實(shí)現(xiàn)了數(shù)列間的轉(zhuǎn)化,從而使問(wèn)題獲解,綜合法是直接證明中最常用的證明方法。舉一反三:【變式】已知數(shù)列an中,Sn是它的前n項(xiàng)和,并且Sn+1=4an+2(n=1,2,),a1=1。(1)設(shè)bn=an+12an(n=1,2,),求證:數(shù)列bn是等比數(shù)列。(2)設(shè)(n=1,2,),求證:數(shù)列cn是等差數(shù)列。【答案】(1)Sn+1=4an+2,Sn+2=4an+1+2,兩式相減,得Sn+2Sn+1=4an+14an(n=1,2,3,),即an+2=4an+14an,變形

13、得an+22an+1=2(an+12an)。bn=an+12an(n=1,2,),bn+1=2bn(n=1,2,)。由此可知,數(shù)列bn是公比為2的等比數(shù)列。由S2=a1+a2=4a1+2,a1=1,得a2=5,b1=a22a1=3。故bn=32n1。(2)(n=1,2,)將bn=32n1代入,得(n=1,2,)。由此可知,數(shù)列cn是公差的等差數(shù)列,它的首項(xiàng),故。例3如圖,設(shè)在四面體中,是的中點(diǎn).求證:垂直于所在的平面. 【思路點(diǎn)撥】要證垂直于所在的平面,只需在所在的平面內(nèi)找到兩條相交直線與垂直.【解析】連、因?yàn)槭切边吷系闹芯€,所以又因?yàn)?而是、的公共邊,所以于是,而,因此,由此可知垂直于所在的

14、平面.【總結(jié)升華】 利用綜合法證明立體幾何中線線、線面和面面關(guān)系的關(guān)鍵在于熟練地運(yùn)用判定定理和性質(zhì)定理。這是一例典型的綜合法證明.現(xiàn)將用綜合法證題的過(guò)程展現(xiàn)給大家,供參考:(1)由已知是斜邊上的中線,推出,記為(已知);(2)由和已知條件,推出三個(gè)三角形全等,記為;(3)由三個(gè)三角形全等,推出,記為;(4)由推出,記為(結(jié)論).這個(gè)證明步驟用符號(hào)表示就是(已知)(結(jié)論).舉一反三:【變式】如圖所示,在四棱錐PABCD中,底面ABCD是正方形,側(cè)棱PD底面ABCD,PD=DC,E是PC的中點(diǎn),作EFPB交PB于點(diǎn)F。求證:(1)PA平面EDB;(2)PB平面EFD?!敬鸢浮浚?)連結(jié)AC交BD于

15、O,連結(jié)EO。底面ABCD是正方形,點(diǎn)O是AC的中點(diǎn),在PAC中,EO是中位線,PAEO。而EO平面EDB且PA平面EDB,PA平面EDB。(2)PD底面ABCD且DC底面ABCD,PDDC。由PD=DC,可知PDC是等腰直角三角形,而DE是斜邊PC上的中線,DEPC。同樣由PD底面ABCD,得PDBC。底面ABCD是正方形,DCBC,BC平面PDC。而DE平面PDC,BCDE。由和推得DE平面PBC。而PB平面PBC,DEPB。又EFPB且DEEF=E,PB平面EFD。類(lèi)型二、 利用分析法證明有關(guān)命題 例4求證: 【解析】 錯(cuò)證: 由不等式 , 平方得 , 即 , 則1820, 因?yàn)?820

16、,所以 錯(cuò)因: 由于上述分析法的流程結(jié)構(gòu)是 ,因而上述書(shū)寫(xiě)格式導(dǎo)致了邏輯錯(cuò)誤正確的證法如下: 證明: 欲證不等式, 只需證成立, 即證 , 即證1820成立 由于1820是成立的, 因此 證畢【總結(jié)升華】1.在證明過(guò)程中,若使用綜合法出現(xiàn)困難時(shí),應(yīng)及時(shí)調(diào)整思路,分析一下要證明結(jié)論成立需要怎樣的充分條件是明智之舉.從結(jié)論出發(fā),結(jié)合已知條件,逐步反推,尋找使當(dāng)前命題成立的充分條件的方法.2. 用分析法證明問(wèn)題時(shí),一定要恰當(dāng)?shù)赜煤谩耙C”“只需證”“即證”“也即證”等詞語(yǔ) 舉一反三:【變式1】 已知、是正數(shù),用分析法證明: .【答案】要證 成立,只需證成立,即證.即證,也就是要證,即.該式顯然成立,

17、所以.【變式2】用分析法證明:若a0,則?!敬鸢浮恳C,只需證。a0,兩邊均大于零,因此只需證只需證,只需證,只需證,即證,它顯然成立。原不等式成立?!靖咔逭n堂:直接證明與間接證明401471 例題2】【變式3】已知,求證:【答案】要證只需證,只需證,即欲證,只需證,即顯然成立。欲證,只需證,即顯然成立。成立,且以上各步都可逆,故原不等式成立。例5.求證:【思路點(diǎn)撥】由于本題所給的條件較少,且不等式中項(xiàng)都是根式的形式,因而用綜合法證明比較困難.這時(shí),可從結(jié)論出發(fā),逐步反推,尋找使命題成立的充分條件;此外,若注意到,也可用綜合法證明. 【解析】法一:分析法要證成立,只需證明,兩邊平方得,所以只需

18、證明,兩邊平方得,即,恒成立,原不等式得證.法二:綜合法,. 即原不等式成立.【總結(jié)升華】1.在證明過(guò)程中,若使用綜合法出現(xiàn)困難時(shí),應(yīng)及時(shí)調(diào)整思路,分析一下要證明結(jié)論成立需要怎樣的充分條件是明智之舉.從結(jié)論出發(fā),結(jié)合已知條件,逐步反推,尋找使當(dāng)前命題成立的充分條件的方法.2綜合法寫(xiě)出的證明過(guò)程條理清晰,易于理解;但綜合法的證題思路并不容易想到,因此,在一般的證題過(guò)程中,往往是先用分析法尋找解題思路,再用綜合法書(shū)寫(xiě)證明過(guò)程.舉一反三:【變式】設(shè)a、b是兩個(gè)正實(shí)數(shù),且ab,求證:證明一:(分析法)要證+成立,只需證(a+b)( -ab+)ab(a+b)成立,即需證-ab+ab成立。(a+b0)只需

19、證-2ab+0成立,即需證0成立。而由已知條件可知,ab,有a-b0,所以0顯然成立,由此命題得證。證明二:(綜合法)ab,a-b0,0,即-2ab+0亦即-ab+ab由題設(shè)條件知,a+b0,(a+b)( -ab+)(a+b)ab即+,由此命題得證。類(lèi)型三、反證法證明相關(guān)問(wèn)題例6. 已知、是整數(shù),且求證:、不可能都是奇數(shù).【思路點(diǎn)撥】證明含有“不”“沒(méi)有”“無(wú)”等否定性詞語(yǔ)的命題,應(yīng)考慮反證法?!窘馕觥?設(shè)、都是奇數(shù),則、都是奇數(shù),所以為偶數(shù), 所以 , 這與已知矛盾, 所以、不可能都是奇數(shù).【總結(jié)升華】 結(jié)論中含有“不是”“不可能”“不存在”等詞語(yǔ)的命題,此類(lèi)問(wèn)題的反面比較具體,適宜應(yīng)用反證

20、法 舉一反三:【變式1】設(shè)an是公比為q的等比數(shù)列,Sn為它的前n項(xiàng)和(1)求證:數(shù)列Sn不是等比數(shù)列(2)數(shù)列Sn是等差數(shù)列嗎?為什么?【答案】假設(shè)Sn是等比數(shù)列,則,即a10,(1+q)2=1+q+q2即q=0,與等比數(shù)列中公比q0矛盾故Sn不是等比數(shù)列【高清課堂:直接證明與間接證明401471 例題5】【變式2】證明:是無(wú)理數(shù).【答案】假設(shè)不是無(wú)理數(shù).即是有理數(shù),那么必存在整數(shù),使得,其中為既約分?jǐn)?shù),則,所以,于是能整除,從而為偶數(shù),設(shè),所以,即,所以2能整除,于是m,n均為偶數(shù),這與為既約分?jǐn)?shù)矛盾,所以假設(shè)不成立。從而原命題成立,即是無(wú)理數(shù).例7. 如圖所示,已知a,b,c是同一平面內(nèi)的三條直線,ac,b與c不垂直,求證:a與b必相交【解析】證法一:假設(shè)a與b不相交,則ab,所以1=2由于b與c不垂直,則290,即190,所以a與c不垂直,這與已知條件矛盾,所以a與b必相交證法二:假設(shè)a與b不相交,則a6,所以1=2因?yàn)?/p>

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