概率論課件第六章

1、概率論與數理統(tǒng)計§2抽樣分布u 統(tǒng)計量與經驗分布函數u 統(tǒng)計學三大抽樣分布u 幾個重要的抽樣分布定理u 小結2回顧正態(tài)分布N (mi ,s 2),相互若niæ2 önnnåai Xiåi=1åi=12a m ,a s N則ç÷iiiièøi=1特別地, N (m,s 2)öXi若nnæs 21nåi=1X N ç m ,則X =÷øinè3標準正態(tài)分布的上 a 分位點定義P( X > za ) = a ，則稱z a為標準

2、正態(tài)若分布的上a 分位點., 則稱 za 為標準若 P(| X |> za) = a/22正態(tài)分布的雙側 a 分位點.標準正態(tài)分布的上a 分位點圖形常用數字P( X > za ) = a= 1.645= 1.96= 2.575z0.05z0.025z0.005P(| X |> za /2 ) = a50.40.30.2a/2a/20.1-zza -2 a/2 -11/2 20.40.30.2a0.1z-2-11a 2二、常見分布統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布.1. c 2分布分布是由正態(tài)分布派生出來的一種分布. 設 X1 ,X2 ,L, Xn 是來自總體N(0，1) 的樣本則稱統(tǒng)計

3、量c 2c 22n=服從自由度為n的c 2分布，記為c 2 c 2(n).變量的個數.自由度是指上式右端包含的6c 2(n)分布的概率密度為1n-1- yy 2e2，ìny > 022 G(n)ïf ( y)íïî2其他.0,æ1ö因為c (1)分布即為G2證明ç 2, 2÷分布,èø N (0, 1),由定義 X 2 c 2(1),又因為Xii即 X 2 Gæ 1 , 2ö,i = 1, 2, L, n.ç 2÷ièø

4、7因為所以相互2也相互nnnæ nöå Xic 22Gç 2 , 2÷.根據G分布的可加性知èøi =1c 2(n)分布的概率密度曲線如圖.8注意：其中伽瑪函數 G(x)通過¥ò-tx-G(x) =x > 01e tdt,來定義.0在x > 0時收斂，稱為G函數，其具有以下性質pG(G(1) = 1,G(1/ 2) =),G(n +1) = n! (n Î N )9n = 1 時,其概率密度為ìï1- y- 1y > 0y2 e 2 ,2pf ( y) =

5、íïy £ 00,în = 2 時,其概率密度為ì12- yy > 0e2 ,ïf ( y) =íïy £ 00,î為參數為2的指數分布.100.40.30.20.1246810c 2分布的性質(c 2 分布的可加性)性質1設 c 2 c 2(n ),c 2 c 2(n ), 并且 c 2,c 2獨112212則c 2 + c 2 c 2(n + n ).立,1212( 此性質可以推廣到多個隨量的情形. )設 c 2 c 2(n ),并且 c 2 (i = 1, 2,L, m) 相互iii

6、må ic 2(n + n + L + nc 2).,則12mi =111性質2 (c 2分布的數學期望和方差)若 c 2 c 2(n),則E(c 2 ) = n,D(c 2 ) = 2n.D( Xi )= 1,2所以E( Xi)證明因為Xi N (0, 1),2422D( Xi)E( Xi) - E( Xi)3 -1i = 1, 2, L, n.2,¥1- x2ò44E( Xi ) =dx = 3注x e22p-¥næönå E( Xi)Eç å X2E(c 2 )n,2 ÷ø故i&

7、#232;i =1i =1nDæ2 önåi =1ç å X÷2 )D(c 2 )D( X2n.iièøi =112性質3, 都服從正態(tài)分布設n相互n1s 2åi=1c 2- m)2 c 2(n)N (m s 2=,),( X則iX - n的分布性質4若 c2 c2(n),則當n充分大時,2n近似正態(tài)分布N(0,1).(應用中心極限定理可得)13c 2分布的分位點對于給定的正數a ,0 < a < 1,¥稱滿足條件òPc 2 > c 2 (n)f ( y)dya2c(

8、 n)a的點c 2 (n) 為c 2(n) 分布的上a 分位點.a對于不同的a ,n,可以通過查表求得上a 分位點的值.14設 X 服從標準正態(tài)分布N (0,1), N (0,1) 的上例1- x21+¥òa 分位點za 滿足 P X > za =求 za 的值, 可通過查表完成.z0.05 = 1.645,z0.025 = 1.96,e 2 dx = a ,2za根據正態(tài)分布的對稱性知= -za .z1-a15例2設 Z c 2(n),c 2(n) 的上a 分位點滿足+¥òPZ > c 2 (n) =c 2( y; n)dy = a ,ac

9、( n)2a求c 2 (n)的值,可通過查表完成.ac 2(8) = 17.534,(10) = 3.247,0.025c 20.975c 2(25) = 34.382.0.1附表只詳列到n=40為止.16費希爾(R.A.Fisher)證明:1c (n) »(z+2n - 1)2 .2當n 充分大時,aa2其中za 是標準正態(tài)分布的上a 分位點. 利用上面公式,可以求得n > 40 時, 上a 分位點的近似值.(50) » 1 (1.645 +c 299)2 = 67.221.例如0.052c 2(50) = 67.505 .而查詳表可得0.05172. t 分布設

10、X N (0, 1),Y c 2(n),且 X , Y,則X量t =服從自由度為n 的t 分布,稱隨Y / n記為t t(n).t 分布又稱學生氏(Student)分布.t(n) 分布的概率密度函數為æ n + 1öG çn+1÷ æt 2 ö-èø ç1 +22÷h(t ) =- ¥ < t < +¥,nG æ n ö èn øç 2 ÷èø注：具有自由度為n的t分布t t(n),其

11、數學期望與方差為：E(t) = 0, D(t) = n (n - 2)(n > 2)18t 分布的概率密度曲線如圖顯然圖形是關于t = 0對稱的.當n充分大時, 其圖形類似于標準正態(tài)變量概率密度的圖- t 22 ,1形.因為lim h(t ) =n®¥e2所以當n 足夠大時t 分布近似于N (0,1) 分布,但對于較小的n,t分布與N (0,1)分布相差很大.注：f n(t)是偶函數19t 分布的分位點對于給定的a ,0 < a < 1,稱滿足條件¥Pt > ta (n) = òt( n) h(t )dt = aa(n) 分布的上

12、a 分位點.的點可以通過查表求得上a分位點的值. 由分布的對稱性知a (n).當n > 45 時, ta (n) » za .20(n) 的上a 分位點滿足( y; n)dy = a ,ta ( n)設T 例3PT >求 ta (n) 的值, 可通過查表完成.t0.05 (10) = 1.8125,t0.025(15) = 2.1315.21P (T > ta ) = a-ta= t1-aP (T > 1.8125) = 0.05 Þ t0.05 (10) = 1.8125P (T < -1.8125) = 0.05,P (T > -1.

13、8125) = 0.95Þ t0.95 (10) = -1.8125220.350.30.250.20.150.10.05n = 10a-3-ta2-112ta33. F分布設U c 2(n ), V c 2(n ),且U , V,則稱12U / n量 F =1(n , n ) 的F 分隨服從自由度為12V / n2布,記為F F (n1, n2 ).n1稱為第一自由度，n2稱為第二自由度。23F (n1, n2 )分布的概率密度為n1n1 -1y 2æ n + n öæ nö 2Gç2 ÷ç1 ÷1&#

14、232;2øè n2 øìï,y > 0,n1 +n2æ n1 öæ n2 öéæ n1 y öù2ïï Gç 2 ÷Gç2 ÷ê1 + ç÷úy ( y)íèøèøënèøû2ïïïî0,其他.F分布的數學期望為:n2E(F ) =

15、若n > 2n2 - 22即它的數學期望并不依賴于第一自由度n1.24F分布的概率密度曲線如圖根據定義可知, 若F F (n1, n2 ),則1 F (n , n ).21FF 分布的分位點對于給定的a ,0 < a < 1,+¥稱滿足條件òy ( y)dy = aPF > F) =(n , na12Fa ( n1 , n2 )的點Fa (n1 , n2 ) 為F (n1 , n2 ) 分布的上a 分位點.25設 F (n1, n2 )分布的上a分位點滿足+¥例4òy ( y)dy = a ,PF > F(n , n ) =

16、a12Fa ( n1 , n2 )求 Fa (n1, n2 ) 的值, 可通過查表完成.= 4.90,F0.025 (8, 7)= 2.31 .F0.05 (30,14)26F 分布的上a 分位點具有如下性質:1(n , n ) =F.1-a12Fa (n , n )21證明因為F F (n1, n2 ),所以 1 - a = PF > F1-a (n1 , n2 )= P ì 1ü = 1 - P ì 1ü11<³íF(n , n )ýíF(n , n )ýFFîþ

17、38;þ1-a1-a12112= 1 - P ì 1ü,>íF)ýF(n , nîþ1-a12故 P ì 1ü = a ,1>íF(n , n )ýFîþ1-a1227因為 1 F (n , n ), 所以Pì 1 > F (n , n )ü = a ,íFýa2121F比較后得îþ1= F (n , n ),aF1-a (n1 , n2 )211(n , n ) =即F.1-a12Fa

18、(n , n )21用來求分布表中未列出的一些上a 分位點.11= 0.357 .(12,9) =例F0.95F(9, 12)0.280.05284. 正態(tài)總體的樣本均值與樣本方差的分布定理一 (樣本均值的分布)是來自正態(tài)總體 N (m,s 2 )設的樣本,n則有X 是樣本均值, S2是樣本方差E( X ) = m,D( X ) = s 2E( S 2 ) = s2n ,X N (m, s 2 / n).X - m N (0,1)即sn29éêêë2 öùæn1å22E(s ) = E- nXX÷

19、0;注：çin -1øúûè i=1éùn 1å22=E( Xi) - nE( X)ún -1 êêë i=1úûéùn(s 2 + m 2 )- n(s 2)ú 1ån + m2=n -1 êêë i=1úû= s 230X - ms2X N (m,) Ûns N (0,1)n請注意:在已知總體m，s 2時可用本定理計算樣本均值X.n取不同值時樣本均值X

20、的分布31定理二是總體N (m,s 2 ) 的樣本,設S 2n則有X ,分別是樣本均值和樣本方差,(n - 1)S 2s 2 c(n - 1);2(1)X 與S 2(2).(n -1)S 2n取不同值時的分布s 2定理的證明見本章末附錄.32定理三是總體N (m,s 2 ) 的樣本,設nX , S 2分別是樣本均值和樣本方差, 則有X - m t(n - 1).S /nX - m(n - 1)S 2s 2 c (n - 1),2因為s /n N (0,1),證明, 由 t 分布的定義知且兩者X - m(n - 1)S 2s 2(n - 1)t(n - 1).s /n在未知總體m，s 2時，可用

21、本定理計算樣本均值X.33(兩總體樣本均值差、樣本方差比的分布)定理四設n 與Y1 , Y2 , L, Yn分別是具有12相同方差的兩正態(tài)總體N (m ,s 2 ), N (m ,s 2 )的樣1122n11,設 X =å Xi ,n本, 且這兩個樣本互相i =11分別是這兩個樣本的均值,n21åYiY =ni =112n1n21å( Xiå(YS1=2- X ) ,2S 2=- Y )2- 1 i =12in - 1 i =n112分別是這兩個樣本的方差,則有34S 2 / S 2 F (n1 - 1, n2 - 1);12(1)ss2 /212當s

22、2 = s 2 = s 2 時,(2)12( X - Y ) - (m1 - m)+ n- 2),2 t(n1211+nSwn12(n - 1)S 2 + (n - 1)S 2 其中 Sw =2= 1122 ,S 2 .Sn + n - 2ww1235證明(1) 由定理二(n - 1)S 2(n - 1)S 2 c (n1 c (n2 - 1),2- 1),21122s 2s221由假設 S 2 , S 2則由F 分布的定義知,12(n - 1)S 2- 1)S 2(nF (n1 - 1, n2- 1),1122(n - 1)s 2- 1)s 2(n1122S 2 / S 2- 1, n2-

23、1).12即 F (n1ss2 /21236s 2sæ mö2- m ,(2)因為X - Y N ç+÷ø12nnè12所以U = ( X - Y ) - (m1 - m2 )N (0,1),11s+n1n2(n - 1)S 2(n - 1)S 2 c2(n1 - 1), 故由c 2 c 2(n由11 - 1), 22 s 2s 2且它們相互2分布的可加性知37(n - 1)S 2- 1)S 2(nc 2(n1 + n2 - 2),+1122Vs 2s 2由于U 與V 相互U, 按 t 分布的定義 .V /(n1 + n2 - 2)(

24、 X - Y ) - (m1 - m2 )t(n + n- 2).1211+nSwn1238例5 設總體X 服從正態(tài)分布N (12,s 2 ), 抽取容量為25的樣本,求樣本均值X 大于12.5的概率.如果(1)已知s = 2；（2）s 未知，但已知樣本方差S 2 = 5.57.(1) PX > 12.5 = P ì X -12 > 12.5 -12 ü解í 2ý25225îþ= P ì X -12 > 1.25ü = 1- F(1.25) = 0.1063íý0.4î

25、;þ(2)PX > 12.5 = P ì X -12 > 12.5 -12 ü = PT > 1.059í Sý25S25îþ查自由度為24的t分布表,t0.15 (24) = 1.059,即PT > 1.059 = 0.15. 故有PX > 12.5 = 0.15.39從正態(tài)總體N (m, 0.52 )中抽取樣本X1,L, X10.例6ìï 10üï（1）已知m = 0，求概率p íå Xi2³ 4ýï&

26、#254;ïî i=1ìï 10üï（2）m未知，求概率p íå( Xi2- X )³ 2.85ý.ïþïî i=1(1) 由m = 0，有Xi0.5 N (0,1)，則解102 D1å Xi22 c (10)=0.52Yi=1ìï 10üïìïüï10p Y³ 1614p íå Xi³ 4ý = p í&#

27、229; Xi³222=ý22ïî0.50.5ïî i=1ïþïþi=140ìï 10üïp íå Xi³ 4ý = 0.10.22查表求c0.10 (10) = 16.由此可得(2) 由題設及定理2，ïî i=1ïþ10D 9S 21å( Xi2 c (9)2Z =0.52=0.52- X )i=1ìï 10üïì&

28、#239;2.85 üï101p íå( Xiå( Xi22- X )³ 2.85=- X )³pýíý22ïî i=1ïþïî0.50.5ïþi=1= PZ 2 ³ 11.4查表得c 2(9) = 11.4,由此可求得0.25ìï 10üïp íå( Xi2- X )³ 2.85ý = 0.25.ïþ

29、39;î i=141設總體服從泊松分布p (l)，X1,L, Xn是一個樣本例7（1） 寫出X1,L, X n的概率分布；（2） 計算E( X ), D( X )和E(S 2 ).l xi解（1）由于PXi = xi =-lxi = 0,1, 2,L, l > 0exi !因此樣本X1,L, Xn的概率分布為nå xii=1nnl xinÕÕxi !ÕPXi = xi =-l-nll=eexi !i=1i=1i=1(2) 由于，E( X ) = D( X ) = l,則有E( X ) = E( X ) = l,é2 ù

30、nlD( X )1åi=1D( X ) =n2( X - X ) ú = lE(S ) = Eêin -1nêëúû42例8若總體X N (0,1)，從此總體中取一個容量為6的樣本Y = (試決定常數C，使隨6,設3)+ (6 )2量CY服從c 2分布.解 N (0,3)因為3 ö2 3 c (1)23 ÷ N (0,1)所以從而çèø33 ö22 c (1)6同理可知ç÷èø3由c 2分布的性質可知ö21343&#

31、230;öæ1 c (2)2Y = ç3 ÷+ç3 ÷故 C =. 3èøèø33小結在這一節(jié)中我們學習了統(tǒng)計量的概念, 幾個重要的統(tǒng)計量及其分布,即抽樣分布. 要求大家熟練地掌握它們.44常用的統(tǒng)計量1nnå iX =樣本平均值Xi=11nåi=1S =( X - X )22樣本方差in -11nS =( X - X )2n - 1 å樣本標準差ii =1n1n1nåi=1Ak =k iX樣本k階原點矩nåi=1Bk =- X )k樣本k階中心

32、矩( Xi45抽樣分布c 2分布 設X1,L, Xn相互,且均服從正態(tài)分布N (0,1)，n= å Xi 2服從自由度為n的c 2分布,i=1c 2則稱隨量記為c 2 c 2 (n).設X N (0,1)，Y c 2 (n),且X 與Y相互t 分布隨，則稱分布，記為t t(n).量YnF分布 設U c 2 (n1)，V c 2 (n2 ),U與V 相互，則稱量F = U n1 服從自由度為（n , n ）的分布,隨12V n2記為F F (n1, n2 ).46抽樣分布定理樣本均值的分布設X N (m,s 2)，則樣本均值X 有X N (m,s 2樣本方差、均值的分布的樣本，n).設X1,L, xn是來自總體N (m,s 2)的樣本，X , S 2分別是樣本均值和樣本方差，則有(n -1)S 2 c (n -1).2(1)s 2X 與2(2)X - m t(n -1)(3)Sn47兩總體樣本均值差、樣本方差比的分布設X1,L, Xn 與Y1,L,Yn 分別來自總體N (m1,s 2 )和112N (m2 ,s 2 )的樣本，且這兩個