同濟(jì)大學(xué)第六版高等數(shù)學(xué)上下冊(cè)課后習(xí)題答案(15)

1、.習(xí)題6-3 1. 由實(shí)驗(yàn)知道, 彈簧在拉伸過(guò)程中, 需要的力F(單位: N)與伸長(zhǎng)量s(單位: cm)成正比, 即F=ks (k為比例常數(shù)). 如果把彈簧由原長(zhǎng)拉伸6cm, 計(jì)算所作的功. 解 將彈簧一端固定于A, 另一端在自由長(zhǎng)度時(shí)的點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn), 建立坐標(biāo)系. 功元素為dW=ksds, 所求功為 k(牛×厘米). 2. 直徑為20cm、高80cm的圓柱體內(nèi)充滿壓強(qiáng)為10N/cm2的蒸汽. 設(shè)溫度保持不變, 要使蒸汽體積縮小一半, 問(wèn)需要作多少功？ 解 由玻-馬定律知: . 設(shè)蒸氣在圓柱體內(nèi)變化時(shí)底面積不變, 高度減小x厘米時(shí)壓強(qiáng) 為P(x)牛/厘米2, 則 , . 功元素為,

2、 所求功為 (J). 3. (1)證明: 把質(zhì)量為m的物體從地球表面升高到h處所作的功是 , 其中g(shù)是地面上的重力加速度, R是地球的半徑; (2)一顆人造地球衛(wèi)星的質(zhì)量為173kg, 在高于地面630km處進(jìn)入軌道. 問(wèn)把這顆衛(wèi)星從地面送到630的高空處, 克服地球引力要作多少功？已知g=9.8m/s2, 地球半徑R=6370km. 證明 (1)取地球中心為坐標(biāo)原點(diǎn), 把質(zhì)量為m的物體升高的功元素為 , 所求的功為 . (2)(kJ). 4. 一物體按規(guī)律作直線運(yùn)動(dòng), 媒質(zhì)的阻力與速度的平方成正比. 計(jì)算物體由x=0移至x=a時(shí), 克服媒質(zhì)阻力所作的功. 解 因?yàn)? 所以 , 阻力. 而,

3、所以 . 功元素dW=-f(x)dx, 所求之功為 . 5. 用鐵錘將一鐵釘擊入木板, 設(shè)木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘擊入木板的深度成正比, 在擊第一次時(shí), 將鐵釘擊入木板1cm. 如果鐵錘每次打擊鐵釘所做的功相等, 問(wèn)錘擊第二次時(shí), 鐵釘又擊入多少？ 解 設(shè)錘擊第二次時(shí)鐵釘又擊入hcm, 因木板對(duì)鐵釘?shù)淖枇與鐵釘擊入木板的深度x(cm)成正比, 即f=kx, 功元素dW=f dx=kxdx, 擊第一次作功為 , 擊第二次作功為 . 因?yàn)? 所以有 , 解得(cm). 6. 設(shè)一錐形貯水池, 深15m, 口徑20m, 盛滿水, 今以唧筒將水吸盡, 問(wèn)要作多少功？ 解 在水深x處, 水平截面半徑為,

4、 功元素為 , 所求功為 =1875(噸米)=57785.7(kJ). 7. 有一閘門, 它的形狀和尺寸如圖, 水面超過(guò)門頂2m. 求閘門上所受的水壓力. 解 建立x軸, 方向向下, 原點(diǎn)在水面. 水壓力元素為 , 閘門上所受的水壓力為 (噸)=205. 8(kN). 8. 灑水車上的水箱是一個(gè)橫放的橢圓柱體, 尺寸如圖所示. 當(dāng)水箱裝滿水時(shí), 計(jì)算水箱的一個(gè)端面所受的壓力. 解 建立坐標(biāo)系如圖, 則橢圓的方程為 . 壓力元素為 , 所求壓力為 (噸)=17.3(kN). (提示: 積分中所作的變換為) 9. 有一等腰梯形閘門, 它的兩條底邊各長(zhǎng)10m和6m, 高為20m. 較長(zhǎng)的底邊與水面相

5、齊. 計(jì)算閘門的一側(cè)所受的水壓力. 解 建立坐標(biāo)系如圖. 直線AB的方程為 , 壓力元素為 , 所求壓力為 (噸)=14388(千牛). 10. 一底為8cm、高為6cm的等腰三角形片, 鉛直地沉沒(méi)在水中, 頂在上, 底在下且與水面平行, 而頂離水面3cm, 試求它每面所受的壓力. 解 建立坐標(biāo)系如圖. 腰AC的方程為, 壓力元素為 , 所求壓力為 (克)=1.65(牛). 11. 設(shè)有一長(zhǎng)度為l、線密度為m的均勻細(xì)直棒, 在與棒的一端垂直距離為a單位處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)M, 試求這細(xì)棒對(duì)質(zhì)點(diǎn)M的引力. 解 建立坐標(biāo)系如圖. 在細(xì)直棒上取一小段dy, 引力元素為 , dF在x軸方向和y軸方向上的分力分別為 , . , . 12. 設(shè)有一半徑為R、中心角為 j 的圓弧形細(xì)棒, 其線密