多元函數(shù)的基本概念

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第九章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用 第1節(jié) 多元函數(shù)的基本概念教學(xué)目的：學(xué)習(xí)并掌握關(guān)于多元函數(shù)的區(qū)域、極限以及多元函數(shù)概念，掌握多元函數(shù)的連續(xù)性定理，能夠判斷多元函數(shù)的連續(xù)性，能夠求出連續(xù)函數(shù)在連續(xù)點(diǎn)的極限。教學(xué)重點(diǎn)：多元函數(shù)概念和極限，多元函數(shù)的連續(xù)性定理。教學(xué)難點(diǎn)：計算多元函數(shù)的極限。教學(xué)方法：講授為主，互動為輔教學(xué)課時：2教學(xué)內(nèi)容：一、 平面點(diǎn)集討論一元函數(shù)時，經(jīng)常用到鄰域和區(qū)間的概念。由于討論多元函數(shù)的需要，我們首先把鄰域和區(qū)間概念加以推廣，同時還要涉及其它一些概念。1 鄰域設(shè)是平面上的一個點(diǎn)，是某一正數(shù)。與點(diǎn)距離小于的點(diǎn)的全體，稱為點(diǎn)的鄰域，記為，即 =， 也就

2、是 = 。在幾何上，就是平面以上點(diǎn)為中心、為半徑的圓的內(nèi)部的點(diǎn)的全體。2 區(qū)域設(shè)E是平面上的一個點(diǎn)集，P是平面上的一個點(diǎn)。如果存在點(diǎn)的某一鄰域，則稱為的內(nèi)點(diǎn)（畫圖8-1顯示）。顯然，的內(nèi)點(diǎn)屬于。如果的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱為開集。例如，點(diǎn)集中每個點(diǎn)都是1的內(nèi)點(diǎn)，因此1為開集。如果點(diǎn)的任一鄰域內(nèi)既有屬于的點(diǎn)，也有不屬于的點(diǎn)（點(diǎn)本身可以屬于，也可以不屬于），則稱為的邊界點(diǎn)（可畫圖8-2顯示）。的邊界點(diǎn)的全體稱為的邊界。例如上例中，1的邊界是圓周和 =4。設(shè)D是開集。如果對于D內(nèi)任何兩點(diǎn)，都可用折線連結(jié)起來，且該折線上的點(diǎn)都屬于D，則稱開集D是連通的。連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域。例如，及都是區(qū)域。開區(qū)域連

3、同它的邊界一起，稱為閉區(qū)域，例如 0及14都是閉區(qū)域。對于點(diǎn)集，如果存在正數(shù)K，使一切點(diǎn)與某一定點(diǎn)A間的距離|A|不超過K，即 |A|k, 對一切成立，則稱為有界點(diǎn)集，否則稱為無界點(diǎn)集。例如，14是有界閉區(qū)域，>0是無界開區(qū)域。3 維空間我們知道，數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)有一一對應(yīng)關(guān)系，從而實(shí)數(shù)全體表示數(shù)軸上一切點(diǎn)的集合，即直線。在平面上引入直角坐標(biāo)系后，平面上的點(diǎn)與二元數(shù)組一一對應(yīng)，從而二元數(shù)組全體表示平面上一切點(diǎn)的集合，即平面。在空間引入直角坐標(biāo)系后，空間的點(diǎn)與三元數(shù)組（）一一對應(yīng)，從而三元數(shù)組（）全體表示空間一切點(diǎn)的集合，即空間。一般地，設(shè)為取定的一個自然數(shù)，我們稱元數(shù)組（）的全體為維空間

4、，而每個元數(shù)組稱為維空間中的一個點(diǎn)，數(shù)xi稱為該點(diǎn)的第i個坐標(biāo)。維空間記為Rn。維空間中兩點(diǎn)及間的距離規(guī)定為。容易驗(yàn)知，當(dāng)=1，2，3時，由上式便得解析幾何中關(guān)于直線（數(shù)軸），平面，空間內(nèi)兩點(diǎn)的距離。前面就平面點(diǎn)集來陳述的一系列概念，可推廣到維空間中去。例如，設(shè)，是某一正數(shù)，則維空間內(nèi)的點(diǎn)集 =就定義為點(diǎn)的鄰域。以鄰域概念為基礎(chǔ)，可定義內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域、聚點(diǎn)等一系列概念。二、多元函數(shù)概念在很多自然現(xiàn)象以及實(shí)際問題中，經(jīng)常遇到多個變量之間的依賴關(guān)系，舉例如下：例1 圓柱體的體積V和它的底半徑、高之間具有關(guān)系 。這里，當(dāng)、在集合內(nèi)取定一對值時，的對應(yīng)值就隨之確定。例2 一定量的理想氣體的壓強(qiáng)、體

5、積和絕對溫度之間具有關(guān)系 =，其中為常數(shù)。這里，當(dāng)、在集合時，的對應(yīng)值就隨之確定。例3 設(shè)是電阻、并聯(lián)后的總電阻，由電學(xué)知道，它們之間具有關(guān)系 對應(yīng)值就隨之確定。上面三個例子的具體意義雖各不相同，但它們卻有共同的性質(zhì)，抽象出這些共性就可得出以下二元函數(shù)的定義。定義一 設(shè)是平面上的一個點(diǎn)集。如果對于每個點(diǎn)，變量按照一定法則總有確定的值和它對應(yīng)，則稱是變量的二元函數(shù)（或點(diǎn)的函數(shù)），記為 （或）。點(diǎn)集稱為該函數(shù)的定義域，稱為自變量，也稱為因變量。數(shù)集稱為該函數(shù)的值域。是的函數(shù)也可記為 ， 等等。類似地可以定義三元函數(shù)以及三元以上的函數(shù)。一般的，把定義1中的平面點(diǎn)集換成維空間內(nèi)的點(diǎn)集，則可類似地可以定

6、義元函數(shù)。元函數(shù)也可簡記為，這里點(diǎn)。當(dāng)時，元函數(shù)就是一元函數(shù)。當(dāng)時，元函數(shù)就統(tǒng)稱為多元函數(shù)。關(guān)于多元函數(shù)定義域，與一元函數(shù)類似，我們作如下約定：在一般地討論用算式表達(dá)的多元函數(shù)時，就以使這個算式有確定值u的自變量所確定的點(diǎn)集為這個函數(shù)的定義域。例如，函數(shù)的定義域?yàn)?（圖8-3），就是一個無界開區(qū)域。又如，函數(shù)的定義域?yàn)椋▓D8-4），這是一個閉區(qū)域。x+y=0圖 8-4圖 8-3設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?。對于任意取定的點(diǎn)，對應(yīng)的函數(shù)值為。這樣，以為橫坐標(biāo)、為縱坐標(biāo)、為豎坐標(biāo)在空間就確定一點(diǎn) 。當(dāng)遍取上的一切點(diǎn)時，得到一個空間點(diǎn)集 ，這個點(diǎn)集稱為二元函數(shù)的圖形（圖8-5）。通常我們也說二元函數(shù)的圖形是一張

7、曲面。例如，由空間解析幾何知道，線形函數(shù) 的圖形是一張平面；由方程 所確定的函數(shù)的圖形是球心在圓點(diǎn)、半徑的為球面，它的定義域是圓形閉區(qū)域。 在D的內(nèi)部任一點(diǎn)處，這函數(shù)有兩個對應(yīng)值，一個為，另一個為。因此，這是多值函數(shù)。我們把它分成兩個單值函數(shù)： 及，前者表示上半球面，后者表示下半球面。以后除了對多元函數(shù)另做聲明外，總假定所討論的函數(shù)是單值的；如果遇到多值函數(shù)，可以把它拆成幾個單值函數(shù)后再分別加以討論。三、多元函數(shù)的極限我們先討論二元函數(shù)當(dāng)，即時的極限。這里 表示點(diǎn)以任何方式趨于點(diǎn)，也就是點(diǎn)與點(diǎn)間的距離趨于零，即 。與一元函數(shù)的極限概念類似，如果在的過程中，對應(yīng)的函數(shù)值無限接近一個確定的常數(shù)，我

8、們就說A是函數(shù)，時的極限。下面用“”語言描述這個極限概念。定義2 設(shè)函數(shù)在開區(qū)域（或閉區(qū)域）內(nèi)有定義，是的聚點(diǎn)。如果對于任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，使得對于適合不等式 的一切點(diǎn)，都有 成立，則稱常數(shù)為函數(shù)當(dāng)，時的極限，記作 ，或 （），這里 。為了區(qū)別于一元函數(shù)的極限，我們把二元函數(shù)的極限叫做二重極限。例4 設(shè) （），求證 。證 因?yàn)?，可見，對任給，取，則當(dāng) 時，總有 成立所以 我們必須注意，所謂二重極限存在，是指以任何方式趨于時，函數(shù)都無限接近于A。因此，如果以某一種特殊方式，例如沿著一條直線或定曲線趨于時，即使函數(shù)無限接近于某一確定值，我們還不能由此斷定函數(shù)的極限存在。但是反過來，如果當(dāng)以

9、不同方式趨于時，函數(shù)趨于不同的值，那么就可以斷定這函數(shù)的極限不存在。下面用例子來說明這種情形。考察函數(shù) 顯然，當(dāng)點(diǎn)沿軸趨于點(diǎn)時，；又當(dāng)點(diǎn)沿軸趨于點(diǎn)時，。 雖然點(diǎn)以上述兩種特殊方式(沿x軸或沿y軸)趨于原點(diǎn)時函數(shù)的極限存在并且相等,但是并不存在.這是因?yàn)楫?dāng)點(diǎn)沿著直線趨于點(diǎn)時,有 ， 顯然它是隨著的值的不同而改變的.以上關(guān)于二元函數(shù)的極限概念,可相應(yīng)的推廣到元函數(shù)即上去。關(guān)于多元函數(shù)極限的運(yùn)算,有與一元函數(shù)類似的運(yùn)算法則.例5 求 .解： 這里在區(qū)域和區(qū)域內(nèi)都有定義，同時為及的邊界點(diǎn)。但無論在內(nèi)還是在內(nèi)考慮，下列運(yùn)算都是正確的：。四、多元函數(shù)的連續(xù)性明白了函數(shù)極限的概念，就不難說明多元函數(shù)的連續(xù)性

10、，定義3 設(shè)函數(shù)在開區(qū)域（閉區(qū)域）內(nèi)有定義，是的聚點(diǎn)且。如果 ,則稱函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)。如果函數(shù)在開區(qū)域（或閉區(qū)域）內(nèi)的每一點(diǎn)連續(xù)，那么就稱函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，或者稱是內(nèi)的連續(xù)函數(shù)。以上關(guān)于二元函數(shù)的連續(xù)性概念，可相應(yīng)地推廣到元函數(shù)上去。若函數(shù)在點(diǎn)聚點(diǎn)不連續(xù)，則稱為函數(shù)的間斷點(diǎn)。這里順便指出：如果在開區(qū)域（或閉區(qū)域）內(nèi)某些孤立點(diǎn)，或者沿D內(nèi)某些曲線，函數(shù)沒有定義，但在內(nèi)其余部分都有定義，那么這些孤立點(diǎn)或這些曲線上的點(diǎn)，都是函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)，即間斷點(diǎn)。前面已經(jīng)討論過的函數(shù) 當(dāng)，時的極限不存在，所以點(diǎn)是該函數(shù)的一個間斷點(diǎn)。二元函數(shù)的間斷點(diǎn)可以形成一條曲線，例如函數(shù) 在圓周上沒有定義，所以該圓周上各點(diǎn)都是間斷點(diǎn)。

11、與閉區(qū)域上一元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)相類似，在有界閉區(qū)域上多元連續(xù)函數(shù)也有如下性質(zhì)。性質(zhì)1（最大值和最小值定理） 在有界閉區(qū)域 上的多元連續(xù)函數(shù)，在上一定有最大值和最小值。這就是說，在上至少有一點(diǎn)及一點(diǎn)，使得為最大值而為最小值，即對于一切PD, 有 .性質(zhì)2（介值定理） 在有界閉區(qū)域上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在上取得介于這兩個值之間的任何值至少一次。特殊地，如果是函數(shù)在上的最小值和最大值之間的一個數(shù)，則在上至少有一點(diǎn)，使得。一元函數(shù)中關(guān)于極限的運(yùn)算法則，對于多元函數(shù)仍然適用；根據(jù)極限運(yùn)算法則， 可以證明多元連續(xù)函數(shù)的和、差、積均為連續(xù)函數(shù)；在分母不為零處，連續(xù)函數(shù)的商是連續(xù)函

12、數(shù)。多元連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)也是連續(xù)函數(shù)。與一元的初等函數(shù)相類似，多元初等函數(shù)是可用一個式子所表示的多元函數(shù)，而這個式子是由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的（這里指出，基本初等函數(shù)是一元函數(shù)，在構(gòu)成多元初等函數(shù)時，它必須與多元函數(shù)復(fù)合）。例如，是兩個多項(xiàng)式之商，它是多元初等函數(shù)。又例如是由基本初等函數(shù)與多項(xiàng)式復(fù)合而成的，它也是多元初等函數(shù)。根據(jù)上面指出的連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性以及連續(xù)函數(shù)的復(fù)合的連續(xù)性，再考慮到多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)的連續(xù)性，我們進(jìn)一步可以得出如下結(jié)論：一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的。所謂定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域。由多元初等函數(shù)的連續(xù)性，如果要求它在點(diǎn)處的極限，而該點(diǎn)又在此函數(shù)的定義區(qū)域內(nèi)，則極限值就是函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值，即 .例6 求.解 函數(shù) 是初等函數(shù)，它的定義域?yàn)?。因不是連通的，故不是區(qū)域。但是區(qū)域，且 ，所以是函數(shù)的一個定義區(qū)域。因, 故 .如果這里不引進(jìn)區(qū)域，也可用下述方法判定函數(shù)在點(diǎn) 處是連續(xù)的：因是的定義域的內(nèi)點(diǎn)，