第7章 差分方程模型

1、第七章第七章 差分方程模型差分方程模型 在經(jīng)濟(jì)與管理或其他實(shí)際問題中，大多數(shù)的變量是以定義在整數(shù)集上的數(shù)列形式變化的，例如，銀行中的定期存款按所設(shè)定的時(shí)間等間隔計(jì)息，國家的財(cái)政預(yù)算按年制定等等。通常稱這類變量為離散型變量。根據(jù)客觀事物的運(yùn)行機(jī)理和規(guī)律，我們可以得到在不同取值點(diǎn)上的各離散變量之間的關(guān)系，如遞推關(guān)系，時(shí)滯關(guān)系等。描述各離散變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型稱為離散型模型，求解這類模型可以得知各個(gè)離散型變量的運(yùn)行規(guī)律。 本章簡單介紹在經(jīng)濟(jì)學(xué)和其他實(shí)際問題中最常見的一種以整數(shù)為自變量的函數(shù)以及相關(guān)的離散數(shù)學(xué)模型差分方程模型。 7.1 差分方程基本概念和方法差分方程基本概念和方法 7.2 7.2 市

2、場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型 7.3 7.3 減肥計(jì)劃減肥計(jì)劃節(jié)食與運(yùn)動(dòng)節(jié)食與運(yùn)動(dòng) 7.4 7.4 差分形式的阻滯增長模型差分形式的阻滯增長模型引例引例 漢諾塔問題漢諾塔問題 n n個(gè)大小不同的圓盤依其半徑大小依次套個(gè)大小不同的圓盤依其半徑大小依次套在樁在樁A A上，大的在下，小的在上，現(xiàn)要將上，大的在下，小的在上，現(xiàn)要將n n個(gè)個(gè)盤移到空樁盤移到空樁B B或或C C上，但要求一次只能移動(dòng)一上，但要求一次只能移動(dòng)一個(gè)盤且移動(dòng)過程中，始終保持大盤在下，小個(gè)盤且移動(dòng)過程中，始終保持大盤在下，小盤在上，移動(dòng)過程中樁盤在上，移動(dòng)過程中樁A A也可利用，設(shè)移動(dòng)也可利用，設(shè)移動(dòng)n n個(gè)盤的次數(shù)為

3、個(gè)盤的次數(shù)為 ，試建立關(guān)于，試建立關(guān)于 的差分方程的差分方程nanaABC 先將A上的n-1個(gè)盤按題設(shè)要求移到C上，這需要移動(dòng) 次，再將A上的最大盤移到B上，這需要一次，最后將C上的n-1個(gè)盤按要求移到B上，這又需要移動(dòng) 次，于是得差分方程：ABC1na1na11211nnaaa7.1 7.1 差分方程基本概念和方法差分方程基本概念和方法常系數(shù)線性差分方程的解法常系數(shù)線性差分方程的解法求解漢諾塔問題求解漢諾塔問題： 11211nnaaa解 對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解為 *2nnaA觀察特解為 1na 因?yàn)槌跏紬l件 11a 故有解 21nna 7.2 市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型問問 題題

4、供大于求供大于求現(xiàn)現(xiàn)象象商品數(shù)量與價(jià)格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定商品數(shù)量與價(jià)格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定當(dāng)不穩(wěn)定時(shí)政府能采取什么干預(yù)手段使之穩(wěn)定當(dāng)不穩(wěn)定時(shí)政府能采取什么干預(yù)手段使之穩(wěn)定價(jià)格下降價(jià)格下降減少產(chǎn)量減少產(chǎn)量增加產(chǎn)量增加產(chǎn)量價(jià)格上漲價(jià)格上漲供不應(yīng)求供不應(yīng)求描述商品數(shù)量與價(jià)格的變化規(guī)律描述商品數(shù)量與價(jià)格的變化規(guī)律數(shù)量與價(jià)格在振蕩數(shù)量與價(jià)格在振蕩蛛蛛 網(wǎng)網(wǎng) 模模 型型gx0y0P0fxy0 xk第第k時(shí)段商品數(shù)量；時(shí)段商品數(shù)量；yk第第k時(shí)段商品價(jià)格時(shí)段商品價(jià)格消費(fèi)者的需求關(guān)系消費(fèi)者的需求關(guān)系)(kkxfy 生產(chǎn)者的供應(yīng)關(guān)系生產(chǎn)者的供應(yīng)關(guān)系減函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)增函數(shù)供應(yīng)函數(shù)供應(yīng)函數(shù)需求函數(shù)需

5、求函數(shù)f與與g的交點(diǎn)的交點(diǎn)P0(x0,y0) 平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)一旦一旦xk=x0，則，則yk=y0, xk+1,xk+2,=x0, yk+1,yk+2, =y0 )(1kkyhx)(1kkxgyxy0fgy0 x0P0設(shè)設(shè)x1偏離偏離x0 x1x2P2y1P1y2P3P4x3y332211xyxyx0321PPPP00,yyxxkkP0是穩(wěn)定平衡點(diǎn)是穩(wěn)定平衡點(diǎn)P1P2P3P4P0是不穩(wěn)定平衡點(diǎn)是不穩(wěn)定平衡點(diǎn)gfKKxy0y0 x0P0fg)(kkxfy )(1kkyhx)(1kkxgy00,yyxxkk gfKK曲線斜率曲線斜率蛛蛛 網(wǎng)網(wǎng) 模模 型型0321PPPP )(kkxfy )(1kkyh

6、x在在P0點(diǎn)附近用直線近似曲線點(diǎn)附近用直線近似曲線)0()(00 xxyykk)0()(001yyxxkk)(001xxxxkk)()(0101xxxxkk1P0穩(wěn)定穩(wěn)定P0不穩(wěn)定不穩(wěn)定0 xxkkxfKgK/1)/ 1()/ 1(1方方 程程 模模 型型gfKKgfKK方程模型與蛛網(wǎng)模型的一致方程模型與蛛網(wǎng)模型的一致)(00 xxyykk 商品數(shù)量減少商品數(shù)量減少1單位單位, 價(jià)格上漲幅度價(jià)格上漲幅度)(001yyxxkk 價(jià)格上漲價(jià)格上漲1單位單位, (下時(shí)段下時(shí)段)供應(yīng)的增量供應(yīng)的增量考察考察 , 的含義的含義 消費(fèi)者對(duì)需求的敏感程度消費(fèi)者對(duì)需求的敏感程度 生產(chǎn)者對(duì)價(jià)格的敏感程度生產(chǎn)者對(duì)

7、價(jià)格的敏感程度 小小, 有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定 小小, 有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定結(jié)果解釋結(jié)果解釋xk第第k時(shí)段商品數(shù)量；時(shí)段商品數(shù)量；yk第第k時(shí)段商品價(jià)格時(shí)段商品價(jià)格1經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定結(jié)果解釋結(jié)果解釋經(jīng)濟(jì)不穩(wěn)定時(shí)政府的干預(yù)辦法經(jīng)濟(jì)不穩(wěn)定時(shí)政府的干預(yù)辦法1. 使使 盡量小，如盡量小，如 =0 以行政手段控制價(jià)格不變以行政手段控制價(jià)格不變2. 使使 盡量小，如盡量小，如 =0靠經(jīng)濟(jì)實(shí)力控制數(shù)量不變靠經(jīng)濟(jì)實(shí)力控制數(shù)量不變xy0y0gfxy0 x0gf結(jié)果解釋結(jié)果解釋需求曲線變?yōu)樗叫枨笄€變?yōu)樗焦?yīng)曲線變?yōu)樨Q直供應(yīng)曲線變?yōu)樨Q直2/ )(0101yyyxxkkk模型的推廣模型的推廣 生產(chǎn)

8、者根據(jù)當(dāng)前時(shí)段和前一時(shí)生產(chǎn)者根據(jù)當(dāng)前時(shí)段和前一時(shí)段的價(jià)格決定下一時(shí)段的產(chǎn)量。段的價(jià)格決定下一時(shí)段的產(chǎn)量。)(00 xxyykk生產(chǎn)者管理水平提高生產(chǎn)者管理水平提高設(shè)供應(yīng)函數(shù)為設(shè)供應(yīng)函數(shù)為需求函數(shù)不變需求函數(shù)不變, 2 , 1,)1 (22012kxxxxkkk二階線性常系數(shù)差分方程二階線性常系數(shù)差分方程x0為平衡點(diǎn)為平衡點(diǎn)研究平衡點(diǎn)穩(wěn)定，即研究平衡點(diǎn)穩(wěn)定，即k, xkx0的條件的條件)(1kkyhx211kkkyyhx48)(22, 1012)1 (22xxxxkkk方程通解方程通解kkkccx2211(c1, c2由初始條件確定由初始條件確定) 1, 2特征根，即方程特征根，即方程 的根的根

9、 022平衡點(diǎn)穩(wěn)定，即平衡點(diǎn)穩(wěn)定，即k, xkx0的條件的條件:12,12平衡點(diǎn)穩(wěn)定條件平衡點(diǎn)穩(wěn)定條件比原來的條件比原來的條件 放寬了放寬了122, 1模型的推廣模型的推廣7.3 減肥計(jì)劃減肥計(jì)劃節(jié)食與運(yùn)動(dòng)節(jié)食與運(yùn)動(dòng)背背景景 多數(shù)減肥食品達(dá)不到減肥目標(biāo)，或不能維持多數(shù)減肥食品達(dá)不到減肥目標(biāo)，或不能維持 通過控制飲食和適當(dāng)?shù)倪\(yùn)動(dòng)，在不傷害身體通過控制飲食和適當(dāng)?shù)倪\(yùn)動(dòng)，在不傷害身體的前提下，達(dá)到減輕體重并維持下去的目標(biāo)的前提下，達(dá)到減輕體重并維持下去的目標(biāo)分分析析 體重變化由體內(nèi)能量守恒破壞引起體重變化由體內(nèi)能量守恒破壞引起 飲食（吸收熱量）引起體重增加飲食（吸收熱量）引起體重增加 代謝和運(yùn)動(dòng)（消

10、耗熱量）引起體重減少代謝和運(yùn)動(dòng)（消耗熱量）引起體重減少 體重指數(shù)體重指數(shù)BMI=w(kg)/l2(m2). 18.5BMI25 超重超重; BMI30 肥胖肥胖.模型假設(shè)模型假設(shè)1）體重增加正比于吸收的熱量）體重增加正比于吸收的熱量每每8000千卡增加體重千卡增加體重1千克；千克；2）代謝引起的體重減少正比于體重）代謝引起的體重減少正比于體重每周每公斤體重消耗每周每公斤體重消耗200千卡千卡 320千卡千卡(因人而異因人而異), 相當(dāng)于相當(dāng)于70千克的人每天消耗千克的人每天消耗2000千卡千卡 3200千卡；千卡；3）運(yùn)動(dòng)引起的體重減少正比于體重，且與運(yùn)動(dòng)）運(yùn)動(dòng)引起的體重減少正比于體重，且與運(yùn)

11、動(dòng)形式有關(guān)；形式有關(guān)； 4）為了安全與健康，每周體重減少不宜超過）為了安全與健康，每周體重減少不宜超過1.5千克，每周吸收熱量不要小于千克，每周吸收熱量不要小于10000千卡。千卡。某甲身高某甲身高1.7米，體重米，體重100千克，目前每周吸收千克，目前每周吸收20000千卡熱量，體重維持不變?，F(xiàn)欲減肥至千卡熱量，體重維持不變?，F(xiàn)欲減肥至75千克。千克。第一階段：每周減肥第一階段：每周減肥1千克，每周吸收熱量逐漸減千克，每周吸收熱量逐漸減少，直至達(dá)到下限（少，直至達(dá)到下限（10000千卡）；千卡）；第二階段：每周吸收熱量保持下限，減肥達(dá)到目標(biāo)第二階段：每周吸收熱量保持下限，減肥達(dá)到目標(biāo) 2）若

12、要加快進(jìn)程，第二階段增加運(yùn)動(dòng)，試安排計(jì)劃。）若要加快進(jìn)程，第二階段增加運(yùn)動(dòng)，試安排計(jì)劃。1）在不運(yùn)動(dòng)的情況下安排一個(gè)兩階段計(jì)劃。）在不運(yùn)動(dòng)的情況下安排一個(gè)兩階段計(jì)劃。減肥計(jì)劃減肥計(jì)劃3）給出達(dá)到目標(biāo)后維持體重的方案。）給出達(dá)到目標(biāo)后維持體重的方案。)()1()()1(kwkckwkw千卡）千克 /(80001 確定某甲的代謝消耗系數(shù)確定某甲的代謝消耗系數(shù)即每周每千克體重消耗即每周每千克體重消耗 20000/100=200千卡千卡基本模型基本模型w(k) 第第k周周(末末)體重體重c(k) 第第k周吸收熱量周吸收熱量 代謝消耗系數(shù)代謝消耗系數(shù)(因人而異因人而異)1）不運(yùn)動(dòng)情況的兩階段減肥計(jì)劃）不

13、運(yùn)動(dòng)情況的兩階段減肥計(jì)劃每周吸收每周吸收20000千卡千卡 w=100千克不變千克不變wcww025. 0100800020000wc 第一階段第一階段: w(k)每周減每周減1千克千克, c(k)減至下限減至下限10000千卡千卡1) 1()(kwkwk20012000 )() 1()() 1(kwkckwkw第一階段第一階段10周周, 每周減每周減1千克，第千克，第10周末體重周末體重90千克千克10kkwkw)0()()1(1)0()1(kwkc80001025.09, 1 , 0,20012000) 1(kkkc吸收熱量為吸收熱量為1）不運(yùn)動(dòng)情況的兩階段減肥計(jì)劃）不運(yùn)動(dòng)情況的兩階段減肥

14、計(jì)劃1)(1)1(kwkc10000mC)1 ()1 (1 )()1 ()(1nmnCkwnkw 第二階段：每周第二階段：每周c(k)保持保持Cm, w(k)減至減至75千克千克 代入得以10000,80001,025. 0mC5050)(975. 0)(kwnkwnmmnCCkw)()1 (1）不運(yùn)動(dòng)情況的兩階段減肥計(jì)劃）不運(yùn)動(dòng)情況的兩階段減肥計(jì)劃)() 1()() 1(kwkckwkw基本模型基本模型mCkwkw)()1 () 1(nnkwkw求，要求已知75)(,90)(50)5090(975.075n 第二階段：每周第二階段：每周c(k)保持保持Cm, w(k)減至減至75千克千克 5

15、050)(975.0)(kwnkwn第二階段第二階段19周周, 每周吸收熱量保持每周吸收熱量保持10000千卡千卡, 體重按體重按 減少至減少至75千克。千克。)19, 2 , 1(50975. 040)(nnwn19975. 0lg)40/25lg(n)028. 0()025. 0(t24,003. 0tt即取運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng) t=24 (每周每周跳舞跳舞8小時(shí)或自行車小時(shí)或自行車10小時(shí)小時(shí)), 14周即可。周即可。2）第二階段增加運(yùn)動(dòng)的減肥計(jì)劃）第二階段增加運(yùn)動(dòng)的減肥計(jì)劃根據(jù)資料每小時(shí)每千克體重消耗的熱量根據(jù)資料每小時(shí)每千克體重消耗的熱量 (千卡千卡): 跑步跑步 跳舞跳舞 乒乓乒乓 自行車自行

16、車(中速中速) 游泳游泳(50米米/分分) 7.0 3.0 4.4 2.5 7.9t每周運(yùn)動(dòng)每周運(yùn)動(dòng)時(shí)間時(shí)間(小時(shí)小時(shí))()() 1()() 1(kwtkckwkw基本基本模型模型6 .44)6 .4490(972. 075n14nmmnCCkwnkw)()1()(3）達(dá)到目標(biāo)體重）達(dá)到目標(biāo)體重75千克后維持不變的方案千克后維持不變的方案)()() 1()() 1(kwtkckwkw每周吸收熱量每周吸收熱量c(k)保持某常數(shù)保持某常數(shù)C，使體重，使體重w不變不變wtCww)(wtC)()(1500075025. 08000千卡C 不運(yùn)動(dòng)不運(yùn)動(dòng))(1680075028. 08000千卡C 運(yùn)動(dòng)運(yùn)

17、動(dòng)(內(nèi)容同前內(nèi)容同前)1()(Nxrxtx,2, 1),1 (1kNyryyykkkk7.3 差分形式的阻滯增長模型差分形式的阻滯增長模型連續(xù)形式連續(xù)形式的阻滯增長模型的阻滯增長模型 (Logistic模型模型)t, xN, x=N是是穩(wěn)定平衡點(diǎn)穩(wěn)定平衡點(diǎn)(與與r大小無關(guān)大小無關(guān))離散離散形式形式x(t) 某種群某種群 t 時(shí)刻的數(shù)量時(shí)刻的數(shù)量(人口人口)yk 某種群第某種群第k代的數(shù)量代的數(shù)量(人口人口)若若yk=N, 則則yk+1,yk+2,=N討論平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，即討論平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，即k, ykN ？y*=N 是平衡點(diǎn)是平衡點(diǎn)kkyNrrx) 1( 1rb記) 1 ()1 (1Nyry

18、yykkkk離散形式阻滯增長模型的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性離散形式阻滯增長模型的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性kkkyNrryry) 1(1) 1(1)2()1 (1kkkxbxx一階一階(非線性非線性)差分方程差分方程 (1)的平衡點(diǎn)的平衡點(diǎn)y*=N討論討論 x* 的穩(wěn)定性的穩(wěn)定性變量變量代換代換(2)的平衡點(diǎn)的平衡點(diǎn)brrx111*(1)的平衡點(diǎn)的平衡點(diǎn) x*代數(shù)方程代數(shù)方程 x=f(x)的根的根穩(wěn)定性判斷穩(wěn)定性判斷)2()()(*1xxxfxfxkk(1)的近似線性方程的近似線性方程x*也是也是(2)的平衡點(diǎn)的平衡點(diǎn)1)(* xfx*是是(2)和和(1)的穩(wěn)定平衡點(diǎn)的穩(wěn)定平衡點(diǎn)1)(* xfx*是是(2)和和(1)的不穩(wěn)定平衡點(diǎn)的不穩(wěn)定平衡點(diǎn)補(bǔ)充知識(shí)補(bǔ)充知識(shí)一階非線性差分方程一階非線性差分方程) 1 ()(1kkxfx的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性)21()(*xbxf1)(* xf0yxxy )(xfy 4/b*x2/11)1 ()(xbxxfx)1 (1kkkxbxx的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性平衡點(diǎn)平衡點(diǎn)bx11*穩(wěn)定性穩(wěn)定性31 b2/ 1/ 11*bx*xxk（單調(diào)增）0 x1x1x2xx* 穩(wěn)定穩(wěn)定21)1( b) 1)(3*xfbx* 不穩(wěn)定不穩(wěn)定另一平