靜電場的環(huán)路定理和電勢綜述

1、9.4 9.4 靜電場的環(huán)路定理和電勢靜電場的環(huán)路定理和電勢9.4 靜電場的環(huán)路定理和電勢靜電場的環(huán)路定理和電勢9.4.1 靜電場的環(huán)路定理靜電場的環(huán)路定理 9.4.2 電勢能和電勢電勢能和電勢 9.4.3 電勢的計(jì)算電勢的計(jì)算 9.4 9.4 靜電場的環(huán)路定理和電勢靜電場的環(huán)路定理和電勢一、靜電場力做功的特點(diǎn)一、靜電場力做功的特點(diǎn)9.4.1 靜電場的環(huán)路定理靜電場的環(huán)路定理 EQABarbr將試驗(yàn)電荷將試驗(yàn)電荷q0從從a點(diǎn)移動到點(diǎn)移動到b點(diǎn)點(diǎn)對任意位移元對任意位移元ld靜電力所做的元功靜電力所做的元功lEqlFWddd0lEqd cos0rrQqWd 4d2000qldrrd9.4 9.4

2、靜電場的環(huán)路定理和電勢靜電場的環(huán)路定理和電勢EQABarbr0qldrrdbarrrrQqW200d4)11( 400barrQq 電場力所做的功只與電荷電場力所做的功只與電荷的電量以及始末位置有關(guān)，而的電量以及始末位置有關(guān)，而與路徑無關(guān)與路徑無關(guān)靜電力是保守力靜電力是保守力從從a點(diǎn)到點(diǎn)到b點(diǎn)電場力做的功點(diǎn)電場力做的功推廣：推廣：點(diǎn)電荷系點(diǎn)電荷系( (連續(xù)帶電體連續(xù)帶電體) )的電場力做功的電場力做功具有同樣特征具有同樣特征9.4 9.4 靜電場的環(huán)路定理和電勢靜電場的環(huán)路定理和電勢二、靜電場的環(huán)路定理二、靜電場的環(huán)路定理EAB12ABBAlEqlEq2010ddLlEqWd000d LlE在

3、靜電場中，電場強(qiáng)度在靜電場中，電場強(qiáng)度 沿沿任意閉合路徑的線積分為零任意閉合路徑的線積分為零E靜電場是無旋場靜電場是無旋場靜電場的電場線不可能是閉合曲線靜電場的電場線不可能是閉合曲線BABAlEqlEq2010dd9.4 9.4 靜電場的環(huán)路定理和電勢靜電場的環(huán)路定理和電勢環(huán)流環(huán)流通量通量高斯定理高斯定理內(nèi)）（SiSqSE01d靜電場是有源場，靜電場是有源場，“源源”就是電荷就是電荷靜電場的環(huán)路定理靜電場的環(huán)路定理0dLlE靜電力是保守力，靜電力是保守力，靜電場是無旋場靜電場是無旋場 電勢能電勢能描述靜電場的性質(zhì)的定理描述靜電場的性質(zhì)的定理9.4 9.4 靜電場的環(huán)路定理和電勢靜電場的環(huán)路定理

4、和電勢一、電勢能、電勢、電勢差一、電勢能、電勢、電勢差1、電勢能、電勢能Weq0qQrQPrP9.4.2 電勢能和電勢電勢能和電勢QPQPlEqWWd0eePWeQWe0eQW若設(shè)若設(shè)零電勢能零電勢能參考點(diǎn)PPlEqWd0e 試驗(yàn)電荷在電場中某點(diǎn)的電勢能試驗(yàn)電荷在電場中某點(diǎn)的電勢能We ，在數(shù)值上等于把在數(shù)值上等于把它從該點(diǎn)移到它從該點(diǎn)移到零電勢能處零電勢能處( (參考點(diǎn)參考點(diǎn)) )電場力所做的功。電場力所做的功。靜電力做正功時(shí)，電勢能減少靜電力做正功時(shí)，電勢能減少電場力做負(fù)功時(shí)，電勢能增加電場力做負(fù)功時(shí)，電勢能增加9.4 9.4 靜電場的環(huán)路定理和電勢靜電場的環(huán)路定理和電勢F 電勢能屬于靜電

5、場和試驗(yàn)點(diǎn)電荷電勢能屬于靜電場和試驗(yàn)點(diǎn)電荷F 電勢能的大小是相對的電勢能的大小是相對的F 電勢能是狀態(tài)（位置）的單值函數(shù)電勢能是狀態(tài)（位置）的單值函數(shù)2、電勢與電勢差、電勢與電勢差0eqWVPP電勢電勢0eqWVQQ參考點(diǎn)PlEd參考點(diǎn)QlEdF某點(diǎn)的電勢等于把某點(diǎn)的電勢等于把單位正電荷單位正電荷從該點(diǎn)移到從該點(diǎn)移到電勢零電勢零點(diǎn)點(diǎn)電場力作的功電場力作的功F電勢與電勢能的聯(lián)系和區(qū)別電勢與電勢能的聯(lián)系和區(qū)別9.4 9.4 靜電場的環(huán)路定理和電勢靜電場的環(huán)路定理和電勢二、電勢零點(diǎn)二、電勢零點(diǎn)1 1、電荷只分布在有限區(qū)域時(shí)，電勢零點(diǎn)通常選在無、電荷只分布在有限區(qū)域時(shí)，電勢零點(diǎn)通常選在無窮遠(yuǎn)處。窮遠(yuǎn)處

6、。PPlEVd設(shè)設(shè)Q點(diǎn)在無限遠(yuǎn)點(diǎn)在無限遠(yuǎn)，VQ=0 2 2、 電荷分布延伸到無限遠(yuǎn)；電荷分布延伸到無限遠(yuǎn)；可選取場中任一點(diǎn)，可選取場中任一點(diǎn)，合理選擇電勢零點(diǎn)可使問題簡化。合理選擇電勢零點(diǎn)可使問題簡化。電勢差電勢差QPlEdQPPQVVU電勢是相對的，電勢差是絕對的電勢是相對的，電勢差是絕對的單位：單位：1V1J/C電荷分布雖延伸到無限遠(yuǎn)，但電荷的代數(shù)和為零。電荷分布雖延伸到無限遠(yuǎn)，但電荷的代數(shù)和為零。9.4 9.4 靜電場的環(huán)路定理和電勢靜電場的環(huán)路定理和電勢一個(gè)電子伏特的能量一個(gè)電子伏特的能量F電子伏特（電子伏特（eV）能量的一個(gè)單位能量的一個(gè)單位qUW J101.601VC1060. 1

7、1919電子伏特是近代物理學(xué)中能量單位電子伏特是近代物理學(xué)中能量單位三、點(diǎn)電荷在電場中移動時(shí)電場力所做的功三、點(diǎn)電荷在電場中移動時(shí)電場力所做的功PQW)(0QPVVqPQUq0QPQPlEqWWd0ee9.4 9.4 靜電場的環(huán)路定理和電勢靜電場的環(huán)路定理和電勢一、點(diǎn)電荷一、點(diǎn)電荷q的電場中任一場點(diǎn)的電勢的電場中任一場點(diǎn)的電勢PlEPVd)(9.4.3 電勢的計(jì)算電勢的計(jì)算 rrrq 20d4rq04無窮遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn)無窮遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn)PrEdPrEdF在正電荷形成的電場中任一點(diǎn)的電勢均為正，在正電荷形成的電場中任一點(diǎn)的電勢均為正，且離點(diǎn)電荷越遠(yuǎn)的點(diǎn)，電勢越低且離點(diǎn)電荷越遠(yuǎn)的點(diǎn)，電勢越低F在負(fù)

8、電荷形成的電場中任一點(diǎn)的電勢均為負(fù)，在負(fù)電荷形成的電場中任一點(diǎn)的電勢均為負(fù)，且離點(diǎn)電荷越遠(yuǎn)的點(diǎn)，電勢越高且離點(diǎn)電荷越遠(yuǎn)的點(diǎn)，電勢越高9.4 9.4 靜電場的環(huán)路定理和電勢靜電場的環(huán)路定理和電勢rqVd410iiirq04一般的：連續(xù)帶電體的電場一般的：連續(xù)帶電體的電場任一場點(diǎn)的電勢任一場點(diǎn)的電勢二、電勢疊加原理二、電勢疊加原理PlEPVd)( d)(21plEE )(iiPV三、電勢的計(jì)算三、電勢的計(jì)算F利用電勢疊加原理利用電勢疊加原理0daalEVF由定義式由定義式9.4 9.4 靜電場的環(huán)路定理和電勢靜電場的環(huán)路定理和電勢例題例題1 1 求電偶極子的電勢分布求電偶極子的電勢分布 解解)11

9、(40rrqVP在在 的情況下有的情況下有 lr cos2lrrcos2lrr220)cos2(cos4lrlqVqrrxyrqlO),(yxP9.4 9.4 靜電場的環(huán)路定理和電勢靜電場的環(huán)路定理和電勢忽略二級小量忽略二級小量l 的平方項(xiàng)，得的平方項(xiàng)，得 20cos41rqlV3041rrpV20cos41rpqrrxyrqlO),(yxP9.4 9.4 靜電場的環(huán)路定理和電勢靜電場的環(huán)路定理和電勢Rl d22xRr例題例題2 2 求均勻帶電圓環(huán)（電量求均勻帶電圓環(huán)（電量q ，半徑半徑R）軸線軸線上上P點(diǎn)的電勢。點(diǎn)的電勢。 解解 利用電勢疊加原理利用電勢疊加原理lqddrqVd41d0lrl

10、Vd4022041Rxqrld410rq049.4 9.4 靜電場的環(huán)路定理和電勢靜電場的環(huán)路定理和電勢例題例題3 3 求圓盤軸線上任一點(diǎn)的電勢求圓盤軸線上任一點(diǎn)的電勢解解 取微元取微元P0Rxdrrrrqd2drrrxVd2141d2202200d2rxrrVR)(2220 xRx9.4 9.4 靜電場的環(huán)路定理和電勢靜電場的環(huán)路定理和電勢 有N個(gè)電荷均為q的點(diǎn)電荷，以兩種方式分布在相同半徑的圓周上：一種是無規(guī)則地分布，另一種是均勻分布比較這兩種情況下在過圓心O并垂直于圓平面的z軸上任一點(diǎn)P(如圖所示)的電場強(qiáng)度與電勢，則有 概念檢測概念檢測CA. 電場強(qiáng)度相等，電勢相等B. 電場強(qiáng)度不等，

11、電勢不等 C. 電場強(qiáng)度分量Ez相等，電勢相等 D. 電場強(qiáng)度分量Ez相等，電勢不等 9.4 9.4 靜電場的環(huán)路定理和電勢靜電場的環(huán)路定理和電勢例題例題4 4 求球面半徑為求球面半徑為R、總帶電量為總帶電量為Q的均勻的均勻帶電球面的電勢分布。帶電球面的電勢分布。 解解 均勻帶電球面的電場均勻帶電球面的電場 )( 0)( 4r20RrERrerQE rrQrVrd4)( 20rrQrrVRrRd4d0)( 0在球面處場強(qiáng)不連續(xù)，但電勢卻是連續(xù)的。在球面處場強(qiáng)不連續(xù)，但電勢卻是連續(xù)的。PPlEVdPrEd)( 40RrrQ)( 40RrRQ9.4 9.4 靜電場的環(huán)路定理和電勢靜電場的環(huán)路定理和

12、電勢解解 無限長均勻帶電直線的電場場強(qiáng)無限長均勻帶電直線的電場場強(qiáng) rE02方向垂直于帶電直線方向垂直于帶電直線 若仍然選取無窮遠(yuǎn)為電勢零點(diǎn)，則由若仍然選取無窮遠(yuǎn)為電勢零點(diǎn)，則由E可知：各點(diǎn)電勢將為無限大而失去意義。可知：各點(diǎn)電勢將為無限大而失去意義。 例題例題5 5 求無限長均勻帶電直線的電場中的電勢分布。求無限長均勻帶電直線的電場中的電勢分布。設(shè)線電荷密度為設(shè)線電荷密度為 。 PrPPlEVdPrEd9.4 9.4 靜電場的環(huán)路定理和電勢靜電場的環(huán)路定理和電勢0 0drrrEVVVrrrrd20 0設(shè)設(shè): r0=1 m，則有則有 rVln 20可以選取某一距帶電直導(dǎo)線為可以選取某一距帶電直

13、導(dǎo)線為r0的點(diǎn)為電勢零點(diǎn)的點(diǎn)為電勢零點(diǎn) 則距帶電直線為則距帶電直線為r 的點(diǎn)的電勢的點(diǎn)的電勢 rr00ln2ErPr09.4 9.4 靜電場的環(huán)路定理和電勢靜電場的環(huán)路定理和電勢9.5 電場強(qiáng)度和電勢梯度的關(guān)系電場強(qiáng)度和電勢梯度的關(guān)系 9.5.1 等勢面等勢面 9.5.2 電場強(qiáng)度與電勢梯度電場強(qiáng)度與電勢梯度 9.4 9.4 靜電場的環(huán)路定理和電勢靜電場的環(huán)路定理和電勢F疏密程度反映著電場的強(qiáng)弱疏密程度反映著電場的強(qiáng)弱二、性質(zhì)二、性質(zhì)一、定義一、定義CzyxV),(F規(guī)定任意相鄰兩面之間電勢差相等規(guī)定任意相鄰兩面之間電勢差相等等勢面較密集的地方，場強(qiáng)較大。等勢面較密集的地方，場強(qiáng)較大。等勢面較

14、稀疏的地方，場強(qiáng)較小。等勢面較稀疏的地方，場強(qiáng)較小。 9.5.1 等勢面等勢面 電場中電勢相等的點(diǎn)構(gòu)成的面電場中電勢相等的點(diǎn)構(gòu)成的面9.4 9.4 靜電場的環(huán)路定理和電勢靜電場的環(huán)路定理和電勢F電場線與等勢面處處正交電場線與等勢面處處正交F電荷沿等勢面移動時(shí)電場力不作功電荷沿等勢面移動時(shí)電場力不作功 將單位正電荷從等勢面上將單位正電荷從等勢面上M點(diǎn)移動點(diǎn)移動dl到達(dá)到達(dá)N點(diǎn)，點(diǎn)，因單位正電荷的電勢能沒有變化，故電場力作功為零。因單位正電荷的電勢能沒有變化，故電場力作功為零。02 0cos 沿電場線方向移動正電荷，電場力做正功，沿電場線方向移動正電荷，電場力做正功，正電荷的電勢能減少，故電勢減小

15、。正電荷的電勢能減少，故電勢減小。 cosdddlElEWMNF電場指向電勢降落方向電場指向電勢降落方向 9.4 9.4 靜電場的環(huán)路定理和電勢靜電場的環(huán)路定理和電勢 我們的心臟附近我們的心臟附近的等電勢線（類似于的等電勢線（類似于電偶極子）電偶極子）9.4 9.4 靜電場的環(huán)路定理和電勢靜電場的環(huán)路定理和電勢9.5.2 電場強(qiáng)度與電勢梯度電場強(qiáng)度與電勢梯度 VVVABlEABUBAVV VlEcoslE電勢差電勢差A(yù)BU沿沿 方向單位長方向單位長度上電勢的變化率度上電勢的變化率llE場強(qiáng)場強(qiáng) 在在 方向上的分量方向上的分量lElVEllEV coslEl 9.4 9.4 靜電場的環(huán)路定理和電

16、勢靜電場的環(huán)路定理和電勢VVVABlElVEl0lV0lE沿著電場強(qiáng)度的方向電勢沿著電場強(qiáng)度的方向電勢是下降的是下降的0V當(dāng)當(dāng) 取得很小時(shí)取得很小時(shí)llVlVlddlim0 電場中某一點(diǎn)的電場強(qiáng)度沿任一方向的分量，電場中某一點(diǎn)的電場強(qiáng)度沿任一方向的分量，等于這一點(diǎn)沿該方向上電勢變化率的負(fù)值等于這一點(diǎn)沿該方向上電勢變化率的負(fù)值lVElddlVEl9.4 9.4 靜電場的環(huán)路定理和電勢靜電場的環(huán)路定理和電勢電勢梯度電勢梯度F大小等于電勢沿等勢面法向的空間變化率大小等于電勢沿等勢面法向的空間變化率F方向是該點(diǎn)附近電勢升高最快的方向，與電場方方向是該點(diǎn)附近電勢升高最快的方向，與電場方向相反向相反nlV

17、EnelVEn VVVABlElVEl如果把如果把x軸、軸、y軸和軸和z軸正方向分別取做軸正方向分別取做 的正方向的正方向lxVExzVEzyVEy9.4 9.4 靜電場的環(huán)路定理和電勢靜電場的環(huán)路定理和電勢)(kxVjxVixVEkzjyix引入引入梯度算符梯度算符V 電場中任一點(diǎn)的電場強(qiáng)度等于該點(diǎn)電勢梯度電場中任一點(diǎn)的電場強(qiáng)度等于該點(diǎn)電勢梯度的負(fù)值的負(fù)值電場強(qiáng)度與電勢的微分關(guān)系電場強(qiáng)度與電勢的微分關(guān)系F 電場中某點(diǎn)的場強(qiáng)僅與該點(diǎn)電勢的空間變化率電場中某點(diǎn)的場強(qiáng)僅與該點(diǎn)電勢的空間變化率有關(guān)，與該點(diǎn)電勢值本身無直接關(guān)系有關(guān)，與該點(diǎn)電勢值本身無直接關(guān)系F 電場強(qiáng)度的單位可以用電場強(qiáng)度的單位可以用

18、 V/m 來表示來表示F 提供一種計(jì)算場強(qiáng)的方法提供一種計(jì)算場強(qiáng)的方法VE9.4 9.4 靜電場的環(huán)路定理和電勢靜電場的環(huán)路定理和電勢例題例題 試由電偶極子電場的電勢分布試由電偶極子電場的電勢分布 求電偶極子的電場強(qiáng)度求電偶極子的電場強(qiáng)度qrrxyrqlO),(yxP電偶極子電場的電勢電偶極子電場的電勢在圖示的在圖示的Oxy坐標(biāo)系中坐標(biāo)系中20 4cosrpV222yxr22cosyxx2/3220)( 4yxpxV9.4 9.4 靜電場的環(huán)路定理和電勢靜電場的環(huán)路定理和電勢qrrxyrqlO),(yxP2/3220)( 4yxpxVxVExyVEy2/522022)( 4)2(yxyxp2/

19、5220)( 4yxpxy當(dāng)當(dāng)P點(diǎn)在點(diǎn)在y軸上軸上30 4ypEx0yE當(dāng)當(dāng)P點(diǎn)在點(diǎn)在x軸上軸上30 42xpEx0yE9.4 9.4 靜電場的環(huán)路定理和電勢靜電場的環(huán)路定理和電勢積分關(guān)系積分關(guān)系QPQPPQlEVVUd微分關(guān)系微分關(guān)系VVEgrad電勢與電場強(qiáng)度的關(guān)系電勢與電場強(qiáng)度的關(guān)系9.4 9.4 靜電場的環(huán)路定理和電勢靜電場的環(huán)路定理和電勢 有一“無限大”帶正電荷的平面，若設(shè)平面所在處為電勢零點(diǎn)，取x軸垂直帶電平面，原點(diǎn)在帶電平面上，則其周圍空間各點(diǎn)電勢V隨距離平面的位置坐標(biāo)x變化的關(guān)系曲線為 概念檢測概念檢測BA. B. C. D. 9.4 9.4 靜電場的環(huán)路定理和電勢靜電場的環(huán)路

20、定理和電勢 已知某電場的電場線分布情況如圖所示現(xiàn)觀察到一負(fù)電荷從M點(diǎn)移到N點(diǎn)有人根據(jù)這個(gè)圖作出下列幾點(diǎn)結(jié)論，其中哪點(diǎn)是正確的？ 概念檢測概念檢測DA. 電場強(qiáng)度EMEN B. 電勢VMVN C. 電勢能WMWN D. 電場力的功W0 -q M N 9.4 9.4 靜電場的環(huán)路定理和電勢靜電場的環(huán)路定理和電勢小小 結(jié)結(jié)三、電勢與電場強(qiáng)度的關(guān)系三、電勢與電場強(qiáng)度的關(guān)系一、等勢面一、等勢面二、等勢面與電場線的關(guān)系二、等勢面與電場線的關(guān)系積分關(guān)系積分關(guān)系QPQPPQlEVVUd微分關(guān)系微分關(guān)系VVEgrad9.4 9.4 靜電場的環(huán)路定理和電勢靜電場的環(huán)路定理和電勢小小 結(jié)結(jié)一、靜電場力做功的特點(diǎn)：與

21、路徑無關(guān)一、靜電場力做功的特點(diǎn)：與路徑無關(guān)三、電勢差和電勢三、電勢差和電勢0eQWQPPlEqWd0e 0eqWV QPQPPQlEVVUdPPlEVdLlE0d二、靜電場的環(huán)路定理二、靜電場的環(huán)路定理9.4 9.4 靜電場的環(huán)路定理和電勢靜電場的環(huán)路定理和電勢A. EAEBEC，UAUBUCB. EAEBEC，UAUBUCC. EAEBEC，UAUBUCD. EAEBEC，UAUBUC概念檢測概念檢測 圖中實(shí)線為某電場中的電場線，虛線表示等勢面，由圖可看出9.4 9.4 靜電場的環(huán)路定理和電勢靜電場的環(huán)路定理和電勢A. qB. 2q C. 兩個(gè)電荷具有同樣的電勢 D. 與電勢的零點(diǎn)有關(guān)概念檢測概念檢測 原點(diǎn)處有一個(gè)點(diǎn)電荷Q。有兩個(gè)點(diǎn)電荷，一個(gè)電量為q，放置在距離原點(diǎn)r處，另一個(gè)電量為2q，放置放置在距離原點(diǎn)2r處，如果所有的電荷都是正的，哪個(gè)電荷的電勢較高？ 9.4 9.4 靜電場的環(huán)路定理和電勢靜電場的環(huán)路定理和電勢 身體各部分的電勢會隨著心臟跳動而發(fā)生變化身體各部分的電勢會隨著心臟跳動而發(fā)生變化,記錄這個(gè)變化（電勢差）就得到了心臟跳動的情況記錄這個(gè)變化（電勢差）就得到了心臟跳動的情況9.4 9.4 靜電場的環(huán)路