計(jì)算機(jī)控制技術(shù)-第2章Z變換及Z傳遞函數(shù)

1、第2章 Z變換及Z傳遞函數(shù)第第2章章 Z變換及變換及Z傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) 第2章 Z變換及Z傳遞函數(shù)2.1 Z變換定義與常用函數(shù)變換定義與常用函數(shù)Z變換變換 2.1.1 Z變換的定義變換的定義 已知連續(xù)信號(hào)已知連續(xù)信號(hào)f(t)經(jīng)過(guò)來(lái)樣周期為經(jīng)過(guò)來(lái)樣周期為T的采樣開(kāi)關(guān)后，的采樣開(kāi)關(guān)后，變成離散的脈沖序列函數(shù)變成離散的脈沖序列函數(shù)f *(t)即采樣信號(hào)。即采樣信號(hào)。對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換，則對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換，則 0*)()()(kkTtkTftf第2章 Z變換及Z傳遞函數(shù)對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換，則對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換，則根據(jù)廣義脈沖函數(shù)的性質(zhì)，可得：根據(jù)廣義脈沖函數(shù)的性質(zhì)，可得： 00*)()()()()(

2、)()(ktTstTsktTsdekTtkTfdekTtkTfdetftfLsF0*)()(kkTsekTfsF第2章 Z變換及Z傳遞函數(shù)上式中，上式中，F(xiàn)*(s)是離散時(shí)間函數(shù)是離散時(shí)間函數(shù)f *(t)的拉氏變換，因復(fù)變的拉氏變換，因復(fù)變量量s含在指數(shù)含在指數(shù)e-kTs中是超越函數(shù)不便于計(jì)算，故引一個(gè)新中是超越函數(shù)不便于計(jì)算，故引一個(gè)新變量變量z=eTs，設(shè)設(shè) 并將并將F*(s)記為記為F(z)則則 式中式中F(z)就稱為離散函數(shù)就稱為離散函數(shù)f *(t)的的Z變換。變換。 0)()(kkzkTfzF第2章 Z變換及Z傳遞函數(shù) 在在Z變換的過(guò)程中，由于僅僅考慮的是變換的過(guò)程中，由于僅僅考慮的

3、是f(t)在采樣瞬在采樣瞬間的狀態(tài)，所以上式只能表征連續(xù)時(shí)間函數(shù)間的狀態(tài)，所以上式只能表征連續(xù)時(shí)間函數(shù)f(t)在采樣時(shí)在采樣時(shí)刻上的特性，而不能反映兩個(gè)采樣時(shí)刻之間的特性，從刻上的特性，而不能反映兩個(gè)采樣時(shí)刻之間的特性，從這個(gè)意義上來(lái)說(shuō)，連續(xù)時(shí)間函數(shù)這個(gè)意義上來(lái)說(shuō)，連續(xù)時(shí)間函數(shù)f(t)與相應(yīng)的離散時(shí)間函與相應(yīng)的離散時(shí)間函數(shù)數(shù)f *(t)具有相同的具有相同的Z變換。即變換。即 *0( )( )( )()kkF zf tftf kT zZ ZZ Z第2章 Z變換及Z傳遞函數(shù)求取離散時(shí)間函數(shù)的求取離散時(shí)間函數(shù)的Z變換有多種方法，常用的有兩種。變換有多種方法，常用的有兩種。 1級(jí)數(shù)求和法級(jí)數(shù)求和法 將

4、離散時(shí)間函數(shù)寫成展開(kāi)式的形式將離散時(shí)間函數(shù)寫成展開(kāi)式的形式 對(duì)上式取拉氏變換，得對(duì)上式取拉氏變換，得 )()()2()2()()()() 0()()()(0*kTtkTfTtTfTtTftfkTtkTftfkkzkTfzTfzTffsFzF)()2()() 0 ()()(21*第2章 Z變換及Z傳遞函數(shù)例例2.1 求求f(t)=af(t)=at/T t/T 函數(shù)（函數(shù)（a為常數(shù)）的為常數(shù)）的Z變換。變換。 解：根據(jù)解：根據(jù)Z變換定義有變換定義有 azazzazzazaazzkTfzFkkkk12210111)()(第2章 Z變換及Z傳遞函數(shù)2部分分式法部分分式法 設(shè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)的拉氏變換為有理

5、函數(shù)，將展開(kāi)成設(shè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)的拉氏變換為有理函數(shù)，將展開(kāi)成部分分式的形式為部分分式的形式為 因此，連續(xù)函數(shù)的因此，連續(xù)函數(shù)的Z變換可以由有理函數(shù)求出變換可以由有理函數(shù)求出niiissasF1)(nitsiiezzazF1)(第2章 Z變換及Z傳遞函數(shù)例例2.2 已知已知 （a為常數(shù)）為常數(shù)） 求求F(Z)F(Z) 解：將解：將F(s)F(s)寫成部分分式之和的形式寫成部分分式之和的形式 )()(assasFassassasF11)()(assaa2121011aTaTaTaTezezzeezzzzzF)1 ()1 (1)(2第2章 Z變換及Z傳遞函數(shù)2.1.2 常用信號(hào)的常用信號(hào)的Z變換變換

6、1單位脈沖信號(hào)單位脈沖信號(hào) )()(ttf0( )( )()1kkF ztkT zZ Z2單位階躍信號(hào)單位階躍信號(hào) )( 1)(ttf0121()1()111(1)1kkFzkTzzzzzzz第2章 Z變換及Z傳遞函數(shù)3單位速度信號(hào)單位速度信號(hào) ttf)(01232()(23)(1)(1)kkFzkT zTzzzT zzz第2章 Z變換及Z傳遞函數(shù)4指數(shù)信號(hào)指數(shù)信號(hào) atetf)(01221( )111kaTkkaTaTaTatF zezezezezzze 第2章 Z變換及Z傳遞函數(shù)5正弦信號(hào)正弦信號(hào) ttfsin)(221sin()21( )()2121212()1sin2cos1jtjtj

7、tjtjtjtjTjTjTjTjTjTteejF zeejeejzzjzezeeejzeezzTzzTZ ZZ ZZ Z第2章 Z變換及Z傳遞函數(shù)2.2 Z變換的性質(zhì)和定理變換的性質(zhì)和定理 1線性定理線性定理設(shè)設(shè)a,a1,a2為任意常數(shù)，連續(xù)時(shí)間函數(shù)為任意常數(shù)，連續(xù)時(shí)間函數(shù)f(t),f1(t),f2(t) 的的Z變換分別為變換分別為F(z),F1(z),F2(z)、及，則有及，則有11221122( )( )( )( )( )( )af taF za fta fta Fza FzZ ZZ Z第2章 Z變換及Z傳遞函數(shù)2滯后定理滯后定理設(shè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)在設(shè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)在t0時(shí)，時(shí)，f(t)=0，且

8、且f(t)的的Z變換為變換為F(z)，則有則有證明：證明：()( )kf tkTzF zZ Z0(1)(2)12()()(0)( )(2 )(0)( )(2 )( )nnkkkkkf tkTf nTkT zfzf T zfT zzff T zfT zzF zZ Z第2章 Z變換及Z傳遞函數(shù)3超前定理超前定理設(shè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)設(shè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)f(t)的的Z變換為變換為F(z)，則有則有證明：證明：10()( )()kkkmmf tkTz F zf mT zZ Z012(1)(2)10010()()()(1) (2) ()(1) (2) ()()()( )()nnkkkkkmm kkkmmmmkkk m

9、mf tkTf nTkT zf kTfkT zfkT zzf kT zfkT zfkT zzf mT zzf mT zf mT zz F zf mT zZ Z第2章 Z變換及Z傳遞函數(shù)4初值定理初值定理設(shè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)設(shè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)f(t)的的Z變換為變換為F(z)，則有則有 證明：證明：所以所以 (0)lim( )zfF z120( )()(0)( )(2 )kkF zf kT zff T zfT z)(lim)0(zFfz第2章 Z變換及Z傳遞函數(shù)5終值定理終值定理設(shè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)設(shè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)f(t)的的Z變換為變換為F(z)，則有則有證明：證明：)() 1(lim)()1 (lim)(11

10、1zFzzFzfzz)()()2()0()()()0()()()()()()(lim)()(lim)()1 (lim0000011111fTfTffTfTffTkTfkTfTkTfkTfzTkTfzkTfzFzzFzFzkkkkkkkzzz第2章 Z變換及Z傳遞函數(shù)6卷積和定理卷積和定理設(shè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)設(shè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)f(t)和和g(t)的的Z變換分別為變換分別為F(z)及及G(z)，若若定義定義則則00()()()()()*()kkiig iT f kTiTg kTiT f iTg kTf kT()*()( )( )g kTf kTG z F zZ Z第2章 Z變換及Z傳遞函數(shù)證明：證明：由于當(dāng)

11、由于當(dāng)i k時(shí)時(shí) 0)( iTkTf0000()00()00()*()() ()() ()() ()() ()( ) ( )kkkikkik iikik iik iig kTf kTg iT f kTiT zg iT f kTiT zfki T zg iT zfki T zg iT zF z G z Z Z第2章 Z變換及Z傳遞函數(shù)7求和定理求和定理設(shè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)設(shè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)f(t)和和g(t)的的Z變換分別為變換分別為F(z)及及G(z)，若若有有則則 kiiTfkTg0)()(11)()(zzFzG第2章 Z變換及Z傳遞函數(shù)證明：證明： 111001)()()()()()()()()()

12、()()(zzFzGzFzGzzGkTfTkTgkTgjTfTkTgiTfkTgkjki第2章 Z變換及Z傳遞函數(shù)8 8位移定理位移定理設(shè)設(shè)a為任意常數(shù)，連續(xù)時(shí)間函數(shù)為任意常數(shù)，連續(xù)時(shí)間函數(shù)f(t)的的Z變換為變換為F(z)，則有則有 證明：證明： ( )()ataTf t eF z e Z Z00( )()()()()atakTkkaTkkaTf t ef kT ezf kTezF ze Z Z第2章 Z變換及Z傳遞函數(shù)9 9微分定理微分定理設(shè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)設(shè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)f(t)的的Z變換為變換為F(z)，則有則有 證明：證明： ( )( )zd F ztf tTzd Z Z00100( )(

13、)()1()()()()1( )kkkkzzzkkkkd F zddf kT zf kTzdddf kTk zf kTkT zTztf tTz Z Z第2章 Z變換及Z傳遞函數(shù)2.3 Z反變換反變換 所謂所謂Z反變換，是已知反變換，是已知Z變換表達(dá)式變換表達(dá)式F(z)，求相應(yīng)離散求相應(yīng)離散序列序列f(kT)或或f*(t)的過(guò)程，表示為的過(guò)程，表示為 Z反變換主要有三種方法，即長(zhǎng)除法、部分分式法和反變換主要有三種方法，即長(zhǎng)除法、部分分式法和留數(shù)計(jì)算法留數(shù)計(jì)算法 1()( )f kTF z Z Z第2章 Z變換及Z傳遞函數(shù)1長(zhǎng)除法長(zhǎng)除法設(shè)設(shè) 用長(zhǎng)除法展開(kāi)得用長(zhǎng)除法展開(kāi)得：由由Z變換定義得：變換定義

14、得：比較兩式得：比較兩式得：則：則： nnnmmmazazabzbzbzF110110)(kkzczcczF110)(kzkTfzTffzF)()()0()(1,)(,)(,)0(10kckTfcTfcf)()2()()(210*kTtcTtcTtcctfk第2章 Z變換及Z傳遞函數(shù)2部分分式法部分分式法又稱查表法又稱查表法 ，設(shè)已知的設(shè)已知的Z變換函數(shù)變換函數(shù)F(z)無(wú)重極點(diǎn)，先求出無(wú)重極點(diǎn)，先求出F(z)的極點(diǎn)，再將的極點(diǎn)，再將F(z)展開(kāi)成如下分式之和展開(kāi)成如下分式之和 然后逐項(xiàng)查然后逐項(xiàng)查Z變換表，得到變換表，得到 則：則：niiizzzazF1)(1()1, 2,iiia zfkTi

15、nzzZ Z01*)()()(kniikTtkTftf第2章 Z變換及Z傳遞函數(shù)3留數(shù)法留數(shù)法 設(shè)已知設(shè)已知Z變換函數(shù)變換函數(shù)F(z)，則可證明，則可證明，F(xiàn)(z)的的Z反變換反變換f(kT)值，可由下式計(jì)算值，可由下式計(jì)算 根據(jù)柯西留數(shù)定理，上式可以表示為根據(jù)柯西留數(shù)定理，上式可以表示為 n表示極點(diǎn)個(gè)數(shù)，表示極點(diǎn)個(gè)數(shù)，pi表示第表示第i個(gè)極點(diǎn)。即個(gè)極點(diǎn)。即f(kT)等于等于F(z)zk- -1的的全部極點(diǎn)的留數(shù)之和。全部極點(diǎn)的留數(shù)之和。 11()( )1( )2kzcf kTF zF z zdj Z Z11()Res( )inkzpif kTF z z第2章 Z變換及Z傳遞函數(shù)即：即：111

16、1Res( )lim() ( )()lim() ( )iiikkizpzpnkizpiF z zzp F z zf kTzp F z z第2章 Z變換及Z傳遞函數(shù)2.5 線性定常離散系統(tǒng)的差分方程及其解線性定常離散系統(tǒng)的差分方程及其解 對(duì)于單輸入、單輸出的計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)，設(shè)在某一對(duì)于單輸入、單輸出的計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)，設(shè)在某一采樣時(shí)刻的輸出為采樣時(shí)刻的輸出為y(kT)， 輸入為輸入為u(kT)，為了書寫方便，為了書寫方便，用用y(k)表示表示y(kT)，用用u(k)表示表示u(kT)。 在某一采樣時(shí)刻的輸出值在某一采樣時(shí)刻的輸出值y(k)不但與該時(shí)刻的輸入不但與該時(shí)刻的輸入u(k)及該時(shí)刻以前的輸

17、入值及該時(shí)刻以前的輸入值u(k- -1)，u(k- -2)，u(k- -m)有關(guān)，且與該時(shí)刻以前的輸出值有關(guān)，且與該時(shí)刻以前的輸出值y (k- -1)，y (k- -2)，y(k- -n)有關(guān)，即：有關(guān)，即： 或或1201( )(1)(2)()( )(1)()nmy kay ka y ka y k nbu kbu kb u k m 0112( ) ( )(1)() (1)(2)()mny kbu kbu kb u k may ka y ka y k n 第2章 Z變換及Z傳遞函數(shù) 上式稱為上式稱為n階線性定常離散系統(tǒng)的差分方程，其中階線性定常離散系統(tǒng)的差分方程，其中ai、bi由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)決定

18、，它是描述計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)決定，它是描述計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型的一般表達(dá)式，對(duì)于實(shí)際的應(yīng)用系統(tǒng)，根據(jù)物理可模型的一般表達(dá)式，對(duì)于實(shí)際的應(yīng)用系統(tǒng)，根據(jù)物理可實(shí)現(xiàn)條件，應(yīng)有實(shí)現(xiàn)條件，應(yīng)有k0。當(dāng)當(dāng)k0時(shí)，時(shí)，y(k)=u(k)=0。 用用Z Z變換解常系數(shù)線性差分方程和用拉氏變換解微分變換解常系數(shù)線性差分方程和用拉氏變換解微分方程是類似的。先將差分方程變換為以方程是類似的。先將差分方程變換為以z z為變量的代數(shù)方為變量的代數(shù)方程，最后用查表法或其它方法，求出程，最后用查表法或其它方法，求出Z Z反變換。反變換。 第2章 Z變換及Z傳遞函數(shù) 若當(dāng)若當(dāng)k0時(shí)，時(shí)，f(k)=0，設(shè)設(shè)

19、f(k)的的Z變換為變換為F(z)，則根據(jù)則根據(jù)滯后定理關(guān)系可推導(dǎo)出滯后定理關(guān)系可推導(dǎo)出 12( )( )(1)( )(2)( )()( )nf kF zf kz F zf kz F zf knzF zZ ZZ ZZ ZZ Z第2章 Z變換及Z傳遞函數(shù)例例2.8 若某二階離散系統(tǒng)的差分方程為：若某二階離散系統(tǒng)的差分方程為：設(shè)輸入為單位階躍序列。設(shè)輸入為單位階躍序列。 解：對(duì)差分方程求解：對(duì)差分方程求Z變換得變換得 ( )5 (1)6 (2)( )y ky ky ku k1212( )5( )6( )( )11( )115691421223zY zz Y zz Y zU zzzY zzzzzzz

20、zzz第2章 Z變換及Z傳遞函數(shù)取取Z反變換得反變換得 )23(21329242122kkkkky第2章 Z變換及Z傳遞函數(shù)2.6 Z傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) 2.6.1 Z傳遞函數(shù)的定義傳遞函數(shù)的定義 設(shè)設(shè)n階定常離散系統(tǒng)的差分方程為：階定常離散系統(tǒng)的差分方程為：在零初始條件下，取在零初始條件下，取Z Z變換變換 則則G(z)就稱為線性定常離散系統(tǒng)的就稱為線性定常離散系統(tǒng)的Z傳遞函數(shù)。即：在零傳遞函數(shù)。即：在零初始條件下離散系統(tǒng)的輸出與輸入序列的初始條件下離散系統(tǒng)的輸出與輸入序列的Z變換之比。變換之比。 )() 1()()() 1()(101mkubkubkubnkyakyakymn)()()()1

21、 (11011zUzbzbbzYzazammnnnnmmzazazbzbbzUzYzG111101)()()(第2章 Z變換及Z傳遞函數(shù)2.6.3 Z傳遞函數(shù)的求法傳遞函數(shù)的求法 1用拉氏反變換求脈沖過(guò)渡函數(shù)用拉氏反變換求脈沖過(guò)渡函數(shù)2將將g(t)按采樣周期按采樣周期T離散化，得離散化，得g(kT) 3應(yīng)用定義求出應(yīng)用定義求出Z傳遞函數(shù)，即傳遞函數(shù)，即 G(z)不能由不能由G(s)簡(jiǎn)單地令簡(jiǎn)單地令s=z代換得到。代換得到。G(s)是是g(t)的拉氏的拉氏變換，變換，G(z)是是g(t)的的Z變換。變換。G(s)只與連續(xù)環(huán)節(jié)本身有關(guān)，只與連續(xù)環(huán)節(jié)本身有關(guān)，G(z)除與連續(xù)環(huán)節(jié)本身有關(guān)外，還要包括

22、采樣開(kāi)關(guān)的作用。除與連續(xù)環(huán)節(jié)本身有關(guān)外，還要包括采樣開(kāi)關(guān)的作用。為了討論方便，將上述過(guò)程簡(jiǎn)記為為了討論方便，將上述過(guò)程簡(jiǎn)記為 )()(1sGLtg0)()(kkzkTgzG( )( )G zG s 第2章 Z變換及Z傳遞函數(shù)例例2.9 已知已知 解解式中式中e-Ts相當(dāng)于將采樣延遲了相當(dāng)于將采樣延遲了T T時(shí)間。根據(jù)時(shí)間。根據(jù)Z Z變換的線性定變換的線性定理和滯后定理，再通過(guò)查表，可得上式對(duì)應(yīng)的脈沖傳遞理和滯后定理，再通過(guò)查表，可得上式對(duì)應(yīng)的脈沖傳遞函數(shù)為函數(shù)為 11ssKsesGTs21(1)1T sGsKesss 1121111111(1)111()()(1)(1)TTTTTTzG zKz

23、zzezKzTeeTezzez 第2章 Z變換及Z傳遞函數(shù)2.6.4 開(kāi)環(huán)開(kāi)環(huán)Z傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) 1串聯(lián)環(huán)節(jié)的串聯(lián)環(huán)節(jié)的Z傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) 串聯(lián)環(huán)節(jié)的串聯(lián)環(huán)節(jié)的Z傳遞函數(shù)的結(jié)構(gòu)有兩種情況：傳遞函數(shù)的結(jié)構(gòu)有兩種情況：種是兩種是兩個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間沒(méi)有采樣開(kāi)關(guān)存在，即串聯(lián)環(huán)節(jié)之間的個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間沒(méi)有采樣開(kāi)關(guān)存在，即串聯(lián)環(huán)節(jié)之間的信號(hào)是連續(xù)時(shí)間信號(hào)，如圖信號(hào)是連續(xù)時(shí)間信號(hào)，如圖2.3所示。所示。 G1 (s)Y(s)T U(z)U(s)Y1(s)Y(z)圖2.3串聯(lián)環(huán)節(jié)間無(wú)采樣開(kāi)關(guān)G2 (s)G(z)第2章 Z變換及Z傳遞函數(shù)輸出輸出Y(z)與輸入與輸入U(xiǎn)(z)之間總的之間總的Z傳遞函數(shù)并不等于兩個(gè)環(huán)傳

24、遞函數(shù)并不等于兩個(gè)環(huán)節(jié)節(jié)Z傳遞函數(shù)之積。因?yàn)閮蓚€(gè)環(huán)節(jié)之間的信號(hào)傳遞是一個(gè)傳遞函數(shù)之積。因?yàn)閮蓚€(gè)環(huán)節(jié)之間的信號(hào)傳遞是一個(gè)連續(xù)時(shí)間函數(shù)，即連續(xù)時(shí)間函數(shù)，即上式對(duì)應(yīng)的上式對(duì)應(yīng)的Z Z傳遞函數(shù)為傳遞函數(shù)為 上式中符號(hào)上式中符號(hào) 是是 的縮寫，它表示先的縮寫，它表示先將串聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)將串聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)G1(s)與與G2(s)相乘后，再求相乘后，再求Z變換的變換的過(guò)程。過(guò)程。 )()()()()()(21sUsGsUsGsGsY1212( )( )( )( )G zG sGsG GzZ Z)(21zGG12( )( )G sGsZ Z第2章 Z變換及Z傳遞函數(shù) 另一種是兩個(gè)環(huán)節(jié)之間有同步采樣開(kāi)關(guān)存在，如

25、圖另一種是兩個(gè)環(huán)節(jié)之間有同步采樣開(kāi)關(guān)存在，如圖2.4所示。所示。 G1 (s)T U(z)U(s)T Y1(z)G2 (s)Y(z)圖2.4串聯(lián)環(huán)節(jié)間有采樣開(kāi)關(guān)G(z)第2章 Z變換及Z傳遞函數(shù)兩個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開(kāi)關(guān)，可由兩個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有采樣開(kāi)關(guān)，可由Z傳遞函數(shù)約定義直傳遞函數(shù)約定義直接求出。接求出。串聯(lián)環(huán)節(jié)總的串聯(lián)環(huán)節(jié)總的Z Z傳遞函數(shù)為傳遞函數(shù)為 )()()()()()(1211zYzYzGzUzYzG)()()()()()()()()(2111zGzGzYzYzUzYzUzYzG第2章 Z變換及Z傳遞函數(shù) 由上式可知，兩個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有同步采樣開(kāi)關(guān)隔開(kāi)的由上式可知，兩個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)之間

26、有同步采樣開(kāi)關(guān)隔開(kāi)的Z傳遞函數(shù)，等于每個(gè)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)，等于每個(gè)環(huán)節(jié)Z傳遞函數(shù)的乘積。傳遞函數(shù)的乘積。 在一般情況下，很容易證明：在一般情況下，很容易證明： 在進(jìn)行計(jì)算時(shí)，應(yīng)引起注意。在進(jìn)行計(jì)算時(shí)，應(yīng)引起注意。 )()()(2121zGzGzGG第2章 Z變換及Z傳遞函數(shù)結(jié)論：結(jié)論： n個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)構(gòu)成的系統(tǒng)，若各串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有同步個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)構(gòu)成的系統(tǒng)，若各串聯(lián)環(huán)節(jié)之間有同步采樣開(kāi)關(guān)，總的采樣開(kāi)關(guān)，總的Z傳遞函數(shù)等于各個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)等于各個(gè)串聯(lián)環(huán)節(jié)Z傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)之積，即之積，即 如果在串聯(lián)環(huán)節(jié)之間沒(méi)有采樣開(kāi)關(guān)，需要將這些串如果在串聯(lián)環(huán)節(jié)之間沒(méi)有采樣開(kāi)關(guān)，需要將這些串聯(lián)環(huán)節(jié)看成一個(gè)整體，求出

27、其傳遞函數(shù)聯(lián)環(huán)節(jié)看成一個(gè)整體，求出其傳遞函數(shù)然后再根據(jù)然后再根據(jù)G G( (s s) )求求G G( (z z) )。一般表示成一般表示成 )()()()(21zGzGzGzGn)()()()(21sGsGsGsGn1212( )( )( )( )( )nnG zG s GsGsG GGzZ Z第2章 Z變換及Z傳遞函數(shù)2并聯(lián)環(huán)節(jié)的并聯(lián)環(huán)節(jié)的Z傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) 對(duì)于兩個(gè)環(huán)節(jié)并聯(lián)的離散系統(tǒng)，輸入采樣開(kāi)關(guān)設(shè)在總對(duì)于兩個(gè)環(huán)節(jié)并聯(lián)的離散系統(tǒng)，輸入采樣開(kāi)關(guān)設(shè)在總的輸入端，其效果相當(dāng)于在每一個(gè)環(huán)節(jié)的輸入端分別設(shè)的輸入端，其效果相當(dāng)于在每一個(gè)環(huán)節(jié)的輸入端分別設(shè)置一個(gè)采樣開(kāi)關(guān)，如圖置一個(gè)采樣開(kāi)關(guān)，如圖2.5所

28、示。所示。 G1 (s)Y(s)TU(s)Y1(s)Y(z)(b) 采樣開(kāi)關(guān)在總輸入端G2 (s)TY2(s)G1 (s)TU(s)Y1(s)(a) 采樣開(kāi)關(guān)在各個(gè)環(huán)節(jié)輸入端G2 (s)Y2(s)圖2.5 并聯(lián)環(huán)節(jié)Y(s)Y(z)第2章 Z變換及Z傳遞函數(shù) 根據(jù)圖根據(jù)圖2.5可知，總的可知，總的Z傳遞函數(shù)等于兩個(gè)環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)等于兩個(gè)環(huán)節(jié)Z傳遞傳遞函數(shù)之和，即函數(shù)之和，即 上述關(guān)系可以推廣到上述關(guān)系可以推廣到n個(gè)環(huán)節(jié)并聯(lián)時(shí)、在總的輸出端與輸個(gè)環(huán)節(jié)并聯(lián)時(shí)、在總的輸出端與輸入端分別設(shè)有采樣開(kāi)關(guān)時(shí)的情況。總的入端分別設(shè)有采樣開(kāi)關(guān)時(shí)的情況?？偟腪傳遞函數(shù)等于各傳遞函數(shù)等于各環(huán)節(jié)環(huán)節(jié)Z傳遞函數(shù)之和，即傳遞

29、函數(shù)之和，即 1212( )( )( )( )( )( )( )Y zG zU zGsGsGzGzZ Z)()()()(21zGzGzGzGn第2章 Z變換及Z傳遞函數(shù)2.6.5 閉環(huán)閉環(huán)Z傳遞函數(shù)傳遞函數(shù) 設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)輸出信號(hào)的設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)輸出信號(hào)的Z變換為變換為Y(z)，輸入信號(hào)的輸入信號(hào)的Z變換為變換為R(z)，誤差信號(hào)的誤差信號(hào)的Z變換為變換為E(z)，則有如下定義：則有如下定義： 閉環(huán)閉環(huán)Z傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)： 閉環(huán)誤差閉環(huán)誤差Z傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)： )()()(zRzYzW)()()(zRzEzWe第2章 Z變換及Z傳遞函數(shù)例例2.11 設(shè)離散系統(tǒng)如圖設(shè)離散系統(tǒng)如圖2.6所示，求該系統(tǒng)

30、的閉環(huán)誤差所示，求該系統(tǒng)的閉環(huán)誤差Z傳傳遞函數(shù)及閉環(huán)遞函數(shù)及閉環(huán)Z傳遞函數(shù)。傳遞函數(shù)。 Y(z)E(z)R(z)y(t)e*(t) r(t)e(t)TH(s)G(s)圖2.6 例2.11線性離散系統(tǒng)第2章 Z變換及Z傳遞函數(shù)解：解：G(s)與與H(s)為串聯(lián)環(huán)節(jié)且之間沒(méi)有采樣開(kāi)關(guān)，則有為串聯(lián)環(huán)節(jié)且之間沒(méi)有采樣開(kāi)關(guān)，則有 閉環(huán)誤差閉環(huán)誤差Z傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)：又：又：閉環(huán)閉環(huán)Z Z傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)： )()()()(zEzGHzRzE)(1)()(zGHzRzE)(11)()()(zGHzRzEzWe)(1)()()()()(zGHzRzGzEzGzY)(1)()()()(zGHzGzRzYz

31、W第2章 Z變換及Z傳遞函數(shù)2.6.6 Z傳遞函數(shù)的物理可實(shí)現(xiàn)性傳遞函數(shù)的物理可實(shí)現(xiàn)性 從物理概念上說(shuō)就是系統(tǒng)的輸出只能產(chǎn)生于輸入信號(hào)從物理概念上說(shuō)就是系統(tǒng)的輸出只能產(chǎn)生于輸入信號(hào)作用于系統(tǒng)之后。這就是通常所說(shuō)的作用于系統(tǒng)之后。這就是通常所說(shuō)的“因果因果”關(guān)系。關(guān)系。 設(shè)設(shè)G(z)的一般表達(dá)式為的一般表達(dá)式為 ： 不失一般性，假定其中的系統(tǒng)不失一般性，假定其中的系統(tǒng)m0，n0，其余系其余系數(shù)為任意給定值，則其對(duì)應(yīng)的差分方程為數(shù)為任意給定值，則其對(duì)應(yīng)的差分方程為由上式知，由上式知，k時(shí)刻的輸出時(shí)刻的輸出y(k)不依賴于不依賴于k時(shí)刻之后的輸入，時(shí)刻之后的輸入，只取決于只取決于k時(shí)刻及時(shí)刻及k時(shí)刻之前的輸入和時(shí)刻之前的輸入和k時(shí)刻之前的輸出。時(shí)刻之前的輸出。故故G(z)是物理可實(shí)現(xiàn)的。是物理可實(shí)現(xiàn)的。10111( )( )( )1mmnnbb zb zY zG zU za za z)() 1()() 1()()(110nkyakyamkubkubkubkynm第2章 Z變換及Z傳遞函數(shù) 若設(shè)若設(shè)G(z)的一般表達(dá)式為的一般表達(dá)式為 不失一般性，假定其中的系統(tǒng)不失一般性，假定其中的系統(tǒng)m0，